（二）教材地位分析 評量重點：
甲、 5-n-17（92 課綱）：能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公 尺」間的關係，並作相關計算。
乙、 5-n-19（97 課綱）：能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公 尺」間的關係，並作相關計算。
先備的知識（97 課綱）：
甲、 4-n-19：能識識體積及體積單位「立方公分」。
乙、 5-n-20：能理解長方體和正方體體積的計算公式，並能求出長方體和正方體的表面 積。（同 5-s-07）
延伸的知識（97 課綱）：
五年級應熟練所有量（長度、容量、角度、面積、體積、重量、時間）單位化聚，以 及複名數的加、減、乘和除的四則運算。
（三）補救教學建議
下面先與教師溝通立方公分、立方公尺單位的引入方式及兩單位間的化聚活動，再說明 如何引入長方體的體積公式，最後說明如何幫助學生解題。
但是引入公式的流程並不相同，我們很容易在長方形上面覆蓋 1 平方公分的單 位面積，並知道當將長方形蓋滿後，覆蓋單位面積的個數和就是長方形的面積。但 是我們無法在長方體甲的內部塞入 1 立方公分的單位體積，必須用 1 立方公分的單 位體積先複製一個和長方體甲一模一樣的長方體乙，先討論如何算出長方體乙的體 積，再透過比對長方體甲各邊邊長的公分數和長方體乙各邊單位體積個數的關係 後，才能引導出長方體的體積公式。下面透過四個步驟，說明如何幫助學生理解長 邊、寬邊及高都是整公分的長方體體積公式。
步驟一： 先建立單位體積 1 立方公分的概念，知道a個
1 立方公分合起來立體的體積是a立方公分。學童知道邊長 1 公分的正方體體 積是 1 立方公分，下圖中立體的體積和 7 個 1 立方公分合起來一樣大，所以圖 中立體的體積是 7 立方公分。
步驟二： 給定一個長方體甲，再用 1 立方公分的白色積木堆疊出一個 和長方體甲一模一樣的長方體乙，求出長方體乙的體積，並用乘法算式記錄計 算體積的過程。教師拿出一個長 5 公分、寬 4 公分、高 3 公分的長方體甲，要 求學生計算長方體甲的體積是多少立方公分，因為無法在長方體甲的內部塞入 1 立方公分的白色積木，無法點數長方體甲和幾個白色積木合起來一樣大，因 此教師應要求學生先用白色積木複製一個和長方體甲一模一樣的長方體乙，長 方體乙的體積會和長方體甲的體積一樣大。
長方體乙是用白色積木堆疊出來的，因此可以先用「一排有 5 個，有 4 排」的方法，利用乘法算式「5×4＝20」算出長方體乙的底層是由 20 個白色積 木合成的，接著再用「有 3 層」的方法，利用乘法算式「20×3＝60」算出長方 體乙是由 60 個白色積木合成的，並用併式「( 5×4 )×3＝60」摘要的記錄解題 過程。因為長方體甲和長方體乙一模一樣，所以長方甲的體積也是 60 立方公 分。
長方體甲 長方體乙
步驟三： 察覺長方體甲長、寬、高邊長的公分數和長方體乙長、寬、
高邊白色積木個數間的關係。當學生能使用乘法「（5×4）×3＝60」算出長方體
乙的體積是 60 立方公分後，教師可以透過比對長方體甲和長方體乙，幫助學 生察覺乘法算式中 5 是長方體乙長邊白色積木的個數，和長方體甲長邊的長度 5 公分有關，4 是長方體乙寬邊白色積木的個數，和長方體甲寬邊的長度 4 公 分有關，3 是長方體乙高邊白色積木的個數，和長方體甲高邊的長度 3 公分有 關。
透過邊長公分數和白色積木個數的關係，教師接著幫助學生察覺長方體 甲長邊是 5 公分，也就是底層一排和 5 個白色積木一樣多，寬邊是 4 公分，也 就是最底層和 4 排白色積木一樣多，高邊是 3 公分，也就是長方體甲和 3 層白 色積木一樣多。
步驟二： 利用長、寬、高邊的公分數，直接用乘法算出單位體積的個數，
並形成長乘以寬乘以高公式算法的共識長方體甲的長邊是 5 公分，表示底層一 排和 5 個白色積木接起來一樣長，寬邊是 4 公分，表示底層是由 4 排白色積木 合起來，因此可以透過長邊及寬邊的公分數，利用一排有幾個，有幾排的方式 算出長方體底層的體積，並得到「長方體底層體積＝長邊的公分數×寬邊的公 分數」的結果。
長方體甲的高邊是 3 公分，表示長方體甲有 3 層，因此可以透過高邊的 公分數，利用有幾層的方法算出長方體甲的體積，並得到「長方體體積＝（長 邊的公分數×寬邊的公分數）×高邊的公分數」的公式。當學生有一些利用上述 公式的解題經驗後，教師可以將公式「長邊的公分數×寬邊的公分數×高邊公分 數」簡稱為「長×寬×高」。
3. 幫助學生解題：
建議教師透過下列步驟，幫助學生解題。
步驟一： 先復習 1 公尺＝100 公分。
步驟二： 說明正方體體積公式＝邊長×邊長×邊長。
步驟三： 1 公尺＝100 公分，100×100×100＝1000000（立 方公分）。
步驟四： 1000000（立方公分）是 1 立方公分的 1000000 倍，1000000 個 1 立方公分的正方體積木合起來和邊長 1 公尺正方體積木的體 積一樣大。
第 21 題：
內容領域 代數 認知歷程向度 概念理解
分年細目 5-a-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。
題目
曉華每天存 50 元，小明每週存 50 元，請問下列哪個算式不能算出兩個人 6 週後一共存了多少錢？
① ( 50＋50 ) ×6
② 50× ( 7＋1 ) ×6
③ ( 50× 7＋50 ) ×6
④ 50× ( 7×6＋6 )
古典理論 (CTT) 選項分析
--- 選 項 1* 2 3 4
--- 選項率 0.61 0.15 0.09 0.11 通過率：0.61
---高分組 0.91 0.03 0.03 0.03 鑑別度：0.6
低分組 0.31 0.25 0.16 0.19
---（一）試題品質分析
1. 本題鑑別度為 0.6，試題品質良好；通過率為 0.61，試題難易度適中。
2. 本題是先乘後加再乘的三步驟文字題，要求學生選出正確的列式，評量學生列式及利用 乘法對加法分配律簡化計算的能力。
3. 本題正確答案為選項 1，通過率為 61％，顯示約有四成的學生，沒有三步驟問題列式的 能力，也沒有利用乘法對加法分配律簡化計算的能力。建議教師參考下面補救教學 的建議，針對全班進行補救教學。
4. 有 15％的學生選擇選項 2，這些學生可能誤解題意，誤以為兩人都是每天存 50 元，而 選擇了選項 2。
5. 有 9％的學生選擇選項 3，這些學生可能誤解題意，誤以為兩人都是每天存 50 元，而選 擇了選項 3。
6. 有 11％的學生選擇選項 4，這些學生可能誤解題意，誤以為兩人都是每天存 50 元，而 選擇了選項 4。
（二）教材地位分析 評量重點：
甲、 5-a-01（92 課綱）：能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化 心算。
乙、 5-a-01（92 課綱）：能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化 計算。
丙、 97 年課程綱要將 92 課綱的「簡化心算」修改為「簡化計算」
先備的知識（97 課綱）：
甲、 2-n-03 ：能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識遞移律。（同 2-a-01）
乙、 3-n-04：能熟練三位數乘以一位數的直式計算。
丙、 4-a-01：能在具體情境中，理解乘法結合律。
丁、 4-a-02：能在四則混合計算中，應用數的運算性質。
延伸的知識（97 課綱）：
6-a-04：能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。（同 6-n-13）
（三）補救教學建議
下面先說明乘法對加法分配律的意義，再說明如何幫助學生理解乘法對加法的分配律，
並用算式記錄乘法對加法的分配律，最後再說明如何幫助學生解題。
1. 乘法對加法的分配律：
a、b、c是三個正數，乘法對加法的分配律有兩組公式，依乘號與加加號的相對位 置，乘號在加號右邊時，「( a＋b )×c＝a×c＋b×c」稱為乘法對加法的右分配律，乘號在 加號左邊時，「a×( b＋c )＝a×b＋a×c」稱為乘法對加法的左分配律。
當我們將乘法對加法分配律中的加號改記成減號時，運算的公式依然會成立，「( a
－b )×c＝a×c－b×c」、「a×( b－c )＝a×b－a×c」，也就是說，乘法對減法也滿足分配律。
2. 理解乘法對加法的分配律：
建議教師透過下列說明，幫助學生理解乘法對加法的分配律，並用算式記錄乘法對 加法的分配律。
甲、 乘法對加法的右分配律：
上圖中左邊有 4×3 個圓圈，右邊有 5×3 個圓圈，合起來有( 4×3 )＋( 5×3 ) 個圓圈，上圖中全部有( 4＋5 ) ×3 個圓圈。
左邊和右邊合起來的圓圈和全部的圓圈一樣多，可以記成 ( 4×3 )＋( 5×3 )＝( 4＋5 ) ×3，
全部的圓圈和左邊和右邊合起來的圓圈一樣多，可以記成 ( 4＋5 ) ×3＝( 4×3 )＋( 5×3 )。
乙、 乘法對加法的左分配律：
上圖中上面有 3×4 個圓圈，下面有 3×5 個圓圈，合起來有( 3×4 )＋( 4×5 ) 個圓圈，上圖中全部有 3× ( 4＋5 )個圓圈。上面和下面合起來的圓圈和全部的 圓圈一樣多，可以記成( 3×4 )＋( 4×5 )＝3×( 4＋5 )，全部的圓圈和上面和下 面合起來的圓圈一樣多，可以記成
3×( 4＋5 )＝( 3×4 )＋( 3×5 )。
3. 幫助學生解題：
建議教師先透過分段布題的方式，先幫助學生用併式記錄解題過程，再幫助學生利 用乘法對加法的分配律找出正確的答案。
甲、 用併式記錄解題過程：
建議教師透過分段布題的方式，依下列步驟幫助學生用併式記錄解題過程。
步驟一： 曉華每天存 50 元，1 週存了多少元？用算式把做法記下來。幫助學生用算式
「50×7＝350」記錄解題過程。
步驟二： 曉華每天存 50 元，1 週存了 350 元，6 週後一共存了多少錢？用算式把做法記 下來。幫助學生用併式「50×7×6＝2100」記錄解題過程。
步驟三： 小明每週存 50 元，6 週後一共存了多少錢？用算式把做法記下來。幫助學生 用算式「50×6＝300」記錄解題過程。
步驟四： 曉華每天存 50 元，小明每週存 50 元，請問兩個人 6 週後一共存了多少錢？用 算式把做法記下來。幫助學生用併式「50×7×6＋50×6＝2400」記錄解題過程。
乙、 利用乘法對加法的分配律找出正確的答案：
建議教師依下列步驟，幫助學生找出和「50×7×6＋50×6」相等的答案。
步驟一： 50×7×6＝( 50×7 ) ×6＝50×( 7×6 )＝50×( 6×7 )＝( 50×6 )×7，
50×7×6＋50×6＝( 50×6 )×7＋( 50×6 )×1＝( 50×6 )×( 7＋1 )＝50×( 7＋1 )×6。
步驟二： 50×7×6＋50×6＝( 50×7 )×6＋50×6＝( 50×7＋50 )×6。
步驟三： 50×7×6＋50×6＝50×( 7×6 )＋50×6＝50×( 7×6＋6 )
第 22 題：
內容領域 代數 認知歷程向度 概念理解
分年細目 5-a-04 能用中文簡記式表示簡單平面圖形的面積，並說明圖形中邊長或高 變化時對面積的影響。
題目
平行四邊形甲的底是 6 公分、高是 4 公分，平行四邊形乙的底和甲一樣長，
高是甲的 1
3 倍，請問平行四邊形乙的面積是甲的幾倍？
① 1 3
② 3
③ 8
④ 24
古典理論 (CTT) 選項分析
--- 選 項 1* 2 3 4
--- 選項率 0.41 0.23 0.21 0.12 通過率：0.41
---高分組 0.72 0.18 0.08 0.01 鑑別度：0.59
低分組 0.14 0.21 0.27 0.28
---（一）試題品質分析
1. 本題鑑別度為 0.59，試題品質良好；通過率為 0.41，試題難易度適中。
2. 本題給定平行四邊形甲的底和高，以及平行四邊形乙和平行四邊形甲的底和高的倍數關 係，要求學生算出平行四邊形乙的面積，評量學生是否掌握圖形底或高變化時對面 積的影響。
3. 本題正確答案為選項 1，通過率為 41％，顯示約有六成的學生，無法掌握圖形底或高變 化時對面積的影響。建議教師參考下面補救教學的建議，針對全班進行補救教學。
4. 有 23％的學生選擇選項 2，這些學生可能誤解題意，誤算出「平行四邊形甲的面積是乙 的幾倍」，也可能混淆 1
3 倍的意義，誤以為平行四邊形乙的高是甲的 3 倍，而得到 3 的答案。
5. 有 21％的學生選擇選項 3，這些學生可能誤解題意，誤算出平行四邊形乙的面積，而得