第五章 研究結果與討論
第四節 各年級學童 van Hiele 幾何思考層次
第四節 各年級學童 van Hiele 幾何思考層次分布情形
本節針對各年級的受測情形，分析學童的 van Hiele 幾何思考層 次的隸屬情形和跳躍情形。
一、 接受九年一貫課程的學童在不同概念 van Hiele 幾何思考層次 分布
研究者根據 Usiskin（1982）提出之標準，來分析台灣地區學童 在三種基本幾何圖形（三角形、四邊形及圓形）中各層次的通過人數 和通過的百分率，其相關數據如下列各表所示。
(一) 三角形
學童在三角形 van Hiele 幾何思考層次之分布情形，如表 5-11 所示：
表 5-11 學童在三角形各層次的分布情形
圖形 三角形
幾何層次 未達層
次一 層次一 層次二 層次三 總計 一年級 人數 202 151 15 0 368 百分比 54.89% 41.03% 4.08% .00% 100.00%
二年級 人數 159 203 26 0 388 百分比 40.98% 52.32% 6.70% .00% 100.00%
三年級 人數 58 206 131 0 395 百分比 14.68% 52.15% 33.16% .00% 100.00%
四年級 人數 52 100 229 0 381 百分比 13.65% 26.25% 60.10% .00% 100.00%
五年級 人數 25 37 142 135 339 百分比 7.37% 10.91% 41.89% 39.82% 100.00%
六年級 人數 19 17 127 191 354 百分比 5.37% 4.80% 35.88% 53.95% 100.00%
總計 人數 515 714 670 326 2225 百分比 23.15% 32.09% 30.11% 14.65% 100.0%
1. 由表 5-11 可知，在三角形概念中接受九年一貫課程一年級 的學生達到層次一的佔 41.03%，未達到層次一的佔
54.89%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，三角形概念中 一年級學生達到層次一的佔 48.1%，未達到層次一的佔 51.9%。接受九年一貫和 1993 年數學課程的學童，未達到 層次一的學生均達 50%以上。
2. 二年級學生達到層次一的佔 52.32%，未達到層次一的佔 40.98%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，二年級學生達 到層次一的佔 62.6%，未達到層次一的佔 37.4%。接受九年 一貫和 1993 年數學課程的學童，達到層次一的學童佔多 數。
3. 三年級達到層次一的佔 52.15%，達到層次二的佔 33.16%。
與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，三年級學生達到層次一 的佔 55.9%，達到層次二的佔 27.0%。接受九年一貫和 1993 年數學課程的學童，達到層次一的學生比例相當。
4. 四年級達到層次二的佔 60.10%，達到層次一的佔 26.25%，
達到層次二的比例較高。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，
四年級學生達到層次一的佔 50.6%，達到層次二的佔 40.6%，達到層次一的比例較高有所不同。
5. 五年級達到層次二的佔 41.89％，達到層次三的佔
39.82%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，五年級學生達 到層次二的佔 51.3%，達到層次三的只佔 11.0%。達到層次 三的比例明顯低於 39.82%。
6. 六年級層次三的佔 53.95%，達到層次二的 35.88%，與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，六年級學生達到層次二的佔 53.9%，達到層次三的佔 20.7%。接受 1993 年數學課程的 學童，達到層次三的比例明顯較低。
7. 三角形概念中，達到層次一佔 32.09%，達到層次二的佔 30.11%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，達到層次一的 佔 44.3%，達到層次二的佔 28.8%。接受九年一貫和 1993 年數學課程的學童，在層次一及層次二比例大致相符。
(二) 四邊形
學童在四邊形 van Hiele 幾何思考層次之分布情形，如表 5-12 所示：
表 5-12 學童在四邊形各層次的分布情形
圖形 四邊形
幾何層次 未達層次
一 層次一 層次二 層次三
總計
一年級 人數 277 59 32 0 368 百分比 75.27% 16.03% 8.70% .00% 100.00%
二年級 人數 269 73 46 0 388
百分比 69.33% 18.81% 11.86% .00% 100.00%
三年級 人數 159 108 128 0 395 百分比 40.25% 27.34% 32.41% .00% 100.00%
四年級 人數 115 98 168 0 381 百分比 30.18% 25.72% 44.09% .00% 100.00%
五年級 人數 63 74 62 140 339 百分比 18.58% 21.83% 18.29% 41.30% 100.00%
六年級 人數 41 14 121 178 354 百分比 11.58% 3.95% 34.18% 50.28% 100.00%
總計 人數 924 426 557 318 2225 百分比 41.53% 19.15% 25.03% 14.29% 100.00%
1. 由表 5-12 可知，在四邊形概念中接受九年一貫課程一年級的 學生未達到層次一的佔 75.27%，達到層次一的佔 16.03%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，四邊形概念中一年級學生未達 到層次一的佔 68.9%，達到層次一的佔 31.1%，接受九年一貫 和 1993 年數學課程的學童，未達到層次一的學生比例最高。
2. 二年級未達到層次一佔 69.33%，達到層次一的佔 18.81%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，二年級學生未達到層次一的佔 53.5%，達到層次一的佔 46.5%，接受九年一貫和 1993 年數學
課程的學童，未達到層次一的學生比例最高。
3. 三年級未達到層次一的則有 40.25%，達到層次二的則有 32.41%，達到層次一的佔 27.34%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究 相對照，三年級學生達到層次一的佔 39.1%，未達到層次一的 佔 34.2%，達到層次二的佔 26.7%，接受九年一貫和 1993 年 數學課程的學童，未達層次一的比例相當。
4. 四年級達到層次二的佔 44.09%，未達到層次一的佔 30.18%，
達到層次一的佔 25.72%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，
四年級學生達到層次二的佔 53.2%，達到層次一的佔 31.6%，
未達到層次一的佔 15.2%，接受九年一貫和 1993 年數學課程 的學童，皆以達到層次二的人數所佔比例最高。
5. 五年級有達到層次三的佔 41.30%，達到層次一的佔 21.83，
達到層次二的佔 18.29%，達到層次三的比例最高。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，五年級學生達到層次二的佔 60.9%，
達到層次三的佔 15.6%，達到層次二的比例最高。
6. 六年級達到層次三的佔 50.28%，達到層次二的佔 34.18%，達 到層次三的比例最高。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，五 年級學生達到層次三的佔 24.5%，達到層次二的佔 57.9%，達 到層次二的比例最高。
7. 四邊形概念中，未達到層次一佔 41.53%最高，達到層次二的 佔 25.03%居次。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，未達到層 次一的佔 33.8%最高，達到層次二的佔 31.2%居次。
(三) 圓形
學童在圓形 van Hiele 幾何思考層次之分布情形，如表 5-13 所 示：
表 5-13 學童在圓形各層次的分布情形
圖形 圓形
幾何層次 未達層次一 層次一 層次二 層次三 總計 一年級 人數 101 148 119 0 368 百分比 27.45% 40.22% 32.34% .00% 100.0%
二年級 人數 44 174 170 0 388 百分比 11.34% 44.85% 43.81% .00% 100.0%
三年級 人數 39 98 258 0 395
百分比 9.87% 24.81% 65.32% .00% 100.0%
四年級 人數 26 8 347 0 381
百分比 6.82% 2.10% 91.08% .00% 100.0%
五年級 人數 25 4 231 79 339
百分比 7.37% 1.18% 68.14% 23.30% 100.0%
六年級 人數 13 7 181 153 354 百分比 3.67% 1.98% 51.13% 43.22% 100.0%
總計 人數 248 439 1306 232 2225 百分比 11.15% 19.73% 58.70% 10.43% 100.0%
1. 由表 5-13 可知，在圓形概念中接受九年一貫課程一年級達到 層次一的佔 40.22%，達到層次二的佔 32.34%，未達到層次一 的佔 27.45%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，圓形概念中 一年級學生達到層次一的佔 75.8%，未達到層次一的佔 24.2%。接受九年一貫和 1993 年數學課程的學童，未達到層 次一的比例相當。
2. 二年級達到層次一的佔 44.85%，達到層次二的佔 43.81%，未 達到層次一的佔 11.34%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，
達到層次一的佔 89.4%，未達層次一的佔 10.6%。接受九年一 貫和 1993 年數學課程的學童，未達到層次一的比例相當。
3. 三年級達到層次二的佔 65.32%，達到層次一的佔 24.81%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，達到層次二的佔 61.3%，達到 層次一的佔 32.0%。接受九年一貫和 1993 年數學課程的學童，
達到層次二的比例較高。
4. 四年級達到層次二的佔 91.08%，未達到層次一的佔 6.82%。
與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，達到層次二的佔 82.3%，達 到層次一的佔 15.2%。其中，達到層次二的學童比例相當的高。
5. 五年級達到層次二的佔 68.14%階段，達到層次三的佔
23.30%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，達到層次二的佔 74.9%，達到層次三的佔 18.5%。接受九年一貫和 1993 年數學 課程的學童，達到層次二的比例也非常高。
6. 六年級達到層次三的佔 43.22%，達到層次二的佔 51.13%。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，達到層次二的佔 66.2%，達到 層次三的佔 28.3%。接受九年一貫和 1993 年數學課程的學童，
達到層次二及層次三的比例達 90%以上。
7. 圓形概念中，達到層次二的佔 58.70%最高，達到層次一的佔 19.73%居次。與 Wu 和 Ma(2006)的研究相對照，接受九年一貫 和 1993 年數學課程的學童，達到層次二的比例最高。
小結：
1. 在三種基本圖形中，學生在圓形概念上，一年級、二年級可達 到層次一的階段，三年級、四年級則可達到層次二的階段；五 年級和六年級則可達到層次二的階段。
2. 在三角形概念上，一年級、二年級和三年級大約可達到層次一 的階段；四年級可達到層次二的階段；五年級和六年級大約可 達到層次二的階段。
3. 在四邊形概念上，一年級、二年級大部份還未達到層次一的階 段；三年級則達到層次一的階段；四年級則在層次一和層次二 之間；五年級和六年級則可達到層次二的階段。
4. 本研究與 Wu 和 Ma(2003)所做的研究都發現，圓形的概念對於 學生來說是較簡單的。
5. 在三種基本圖形中，學生在圓形概念上可達到較高的層次；而 對四邊形的概念在三種基本圖形中則是最低的層次。
二、各年級未達第一層次之探討
本部份為各學童在受測圖形中未達通過率及未達第一層次之析。
(一) 學童在受測試題中各圖形未達通過率之分析
以下就學童在各受測試題中，未達第一層次做一分析。
表 5-14 各年級學童在三角形、四邊形、圓形均未達第一層次人數 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 人數 22 21 5 10 4 2 1 1 2 4 0 1
百分比 12.29 11.11 2.75 4.90 2.26 1.02 0.53 0.52 1.06 2.33 0 0.55
小計 11.68% 3.89% 1.60% 0.52% 1.66% 0.28%
由表 5-14 的結果可知，一年級在所有圖形均未達到通過率的比 率，最多(11.68%)，其次依序為二年級(3.89%)，五年級(1.66%)，三 年級(1.60%)，四年級(0.52%)，六年級(0.28%)。
(二) 各年級學童未達第一層次的分析
以下就各年級學童在受測試題中，未達第一層次做一分析。
表 5-15 各年級學童未達第一層次人數統計
一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 人數 86 91 58 60 21 17 13 26 5 8 4 2
百分比 47.25 48.92 31.02 29.85 12.43 7.91 7.22 12.94 3.21 4.37 2.37 1.08
小計 48.10% 30.41% 9.62% 7.61% 3.83% 1.69%
根據表 5-15 所示，年級越低者，其未通過第一層次的比率也越 多。相反的，年級越高者，未通過第一層次者就越少。顯示出心智越 成熟者，對於幾何思考的作答是越容易的。
小結：
1.綜合以上，未達第一層次的學童，並不代表在三角形、四邊形、
圓形等思考層次中，全部都是未通過的。其中有些是在某一個 幾何圖形中有達到通過率的。
2.因此，對於未通過第一層次之學童，其幾何思考的層次圖形，
並不是所有圖形均無法達到通過率，而是在某些圖形產生困 難。所以在實施補教學時，應針對其無法理解之圖形實施教學。
三、不同年級學童 van Hiele 幾何思考跳躍現象分析
本小節分三角形、四邊形、圓形等幾何思考層次的跳躍及各層次 各圖形二種以上的跳躍情形等四部份。(跳躍情形代號說明：J13 表 達第 1 層次但未達第 2 層次卻達第 3 層次，J23 表未達第 1 層次卻達 第 2 層次或達第 3 層次，J02 表未達第 1 層次卻達第 2 層次)
(一) 三角形
以下就學童在三角形圖形測驗中，呈現跳躍現象做分析。
表 5-16 各年級學童 van Hiele 三角形幾何思考層次跳躍現象人數統 計
一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 跳躍類型
女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男
J13 2 4 3 3
J02 3 2 3 1 4 5 7 4 3 0 0 4 小計 3 2 3 1 4 5 7 4 5 4 3 7
總計 5 4 9 11 9 10
總計 5 4 9 11 9 10