問題表徵能力與數學解題

由於本研究以 Mayer(1992)解題理論的問題表徵(problem representation)為 主要研究架構，故對於表徵(representation)理論的理解有其必要性。本節將探 討表徵的意義、分類及與數學學習上的啟示，最後說明問題表徵與數學解題的 相關性。

壹、表徵意義

表徵係指個人對訊息的呈現方式。張春興(1989)認為表徵(representation) 是指將外在世界的事物以不同的抽象或符號化的方式來表達的歷程。從認知心 理學的角度來看，是訊息處理的過程中，把訊息譯碼轉換成另一種型式，以便 表達與儲存的歷程。

Lesh、Post 與 Behr (1987) 認為表徵是指心智過程模式化所使用的符號系 統，如圖表、符號與文字，即是將訊息概念化後，進一步依需求所產生外在的 具體化。

游自達(1995)認為表徵(representation)是人類學習的重要媒介，藉由表徵人 們得以理解外界、簡化思考過程、進行運思並與他人溝通。

綜合上列對表徵的意義，表徵是對訊息以另一種符號或形式表達的歷程，

也是個體對訊息的理解、詮譯與呈現的方式，其形式不僅不限於特定的符號，

更有溝通、簡化思考、便於儲存與表達的功能。

貳、表徵的分類

對於表徵的看法，不同的學者均從不同的角度進行探討，進而發展出對表 徵不同的分類，本研究整理相關文獻，將表徵從存在的形式、運思的觀點、溝 通的觀點與認知歷程的角度進行探討，茲將其分述如下：

一、表徵存在的形式

Hieberrt 與 Carpenter(1992)認為依表徵存在的形式，可以把表徵區分為外

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在表徵(external representation)與內在表徵(internal representation)兩類。

Hayes(1981)認為這兩類表徵的類型表示著個體是如何去理解問題的方 式：內在表徵是反映個體如何建構與組織這個問題與其心中的內在關係，也就 是訊息在腦中編碼、修正與儲存；外在表徵則是個體對內在表徵的訊息使用描 繪圖形、寫下文字或符號去創造與產生。

外在表徵使用的意義在於人腦中與之相對的內隱心智模式(Hestenes, 1995)，故內外在表徵互為表裡且密切相關，我們可利用外在表徵去理解內心 的心智模式，並對內在表徵予以精鍊，而內在表徵的運作過程，往往也會影響 外在表徵的呈現。

二、運思的觀點

Bruner(1966)認為個人經由知覺將外在環境的事物轉化為內在的心理事件 之過程，即為認知表徵(cognitive representation)，運思材料的不同代表了孩童 不同程度的心智成長，可將其分為三類：

(一)動作表徵(enactive representation)：指個體接受到刺激所引發的外在行動反 應，這些反應必須藉助實物或具體物的操弄活動來引發個人的運思活動。

故透過行動的手段來掌握概念或事物，為動作表徵對外界事物學習的主要 方式。如果以數數為例，教導孩童數數及數量的概念，必須利用花片或積 木等外界的刺激物，讓孩童由實際操弄而獲得數量的概念。

(二)圖像表徵(iconic representation)：孩童能靠心像(image)來掌握概念，因為對 物體的知覺存在於心像中。故當具體物消失時，在腦中仍有心像，可進行 內在的運思活動。

(三)符號表徵(symbolic representation)：符號與心像不同，本身是一個隨意的記 號，它與實物之間並無任何類似的地方，也不似心像為外在實物的影像，

它僅是一種心像與具體物之間某種特質的抽象意義。在此階段孩童會利用 符號在掌握概念，並作為運思的材料。

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Bruner(1966)認為表徵不僅是運思的材料，運思活動從具體到抽象的過程 更說明智慧的增長。孩童由具體物的動作表徵到形成心像，並進一步發展成符 號的表徵，讓其運思活動逐漸不依賴外在的刺激。當孩童能熟練符號的運思 時，即表示孩童數學概念能力的增長。

三、溝通的觀點

Lesh et al.(1987) 從溝通的觀點說明了表徵意義，以下茲將表徵的類別做 一說明：

(一)真實的腳本(real scripts)：利用真實情境中的物體來說明問題的情境及內容。

(二)可操作的模式(manipulative models)：指具體可操作的教具，這些教具能與 許多數學概念相結合，表示數學關係及演算，如:古氏積木、花片、分數板 與玩具紙鈔等。

(三)圖片或圖表(static pictures)：以靜態的圖形模式或表格，用它來理解相關的 數學概念，如:長條圖與面積圖等。

(四)口語符號(spoken languages)：特定領域或日常生活用的口語符號，如二分 之一、百分之五十。

(五)書寫符號(written symbols)：數學算式、符號或特定領域的句子，如：

( )+5=20 等。

Lesh(1987)認為表徵的重點不在於不同表徵類別分類，而在於轉換

(translation)，當個體能對同一概念自由的轉換成不同的表徵時，即代表個體能 熟練相關概念(如圖 2-1)。而表徵的功能不是代表個體心智的增長，而是一種對 概念的溝通。

Lesh(1987)的表徵理論除了結合 Bruner(1966)表徵的深度，並添加了廣度 的學習，因此增加了真實腳本與口語符號兩種表徵並且強調各種表徵的轉換。

Lesh(1987)從文化的觀點討論表徵，他認為符號表徵不僅是個人心智活動的材 料，而且是一種文化規約的溝通工具，意味著一些約定成俗的共識(引自陳霈 頡、楊德清，2005，頁 51)。

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從國小的教材與教學來看，無論是真實的腳本、可操作的模式、圖片圖表、

口語符號及書寫符號這五種的哪一種類別，不同的表徵類別均充斥於課堂中。

當老師把數學概念用在具體的情境中運用口語說明、配合教具展示及黑板繪製 圖表，並將數學概念用書寫的方式表達出來，除了是一種對數學概念的溝通，

也是對同一數學概念的多元表徵，除了表示教師對這些概念的精熟程度外，更 讓學生從更多不同的外在表徵上去習得數學概念。

圖 2-1 表徵系統的交互作用模式

資料來源：譯自 Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translations among representation in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of

mathematics (pp. 34). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

四、認知歷程的觀點

Kaput(1987)說明數學的表徵系統時，從認知歷程的角度出發，指出「表徵」

即是以表徵的事物來替代被表徵的事物，其關係為互相替代的關係。

(一)認知與知覺的表徵(cognitive and perceptual representation)：指個體腦中對 訊息的儲存與轉換，是指個人內在對於訊息的表徵。

(二)解釋性的表徵(explanatory representation)：說明個體內在表徵的假設性實 體，是連結自然語言或心像的心理結構模式，為描述數學符號間的關係。

(三)數學的內在表徵(representation within mathematics)：不同數學結構間的關 聯，以一種數學結構的表徵代表另一種結構特性的系統。

圖片或圖表

書寫符號

真實的腳本 口語符號

可操作的模式

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(四)外在符號的表徵(external symbolic representation)：用外在抽象的符號、圖 形或文字來表徵數學概念的形式。

綜合上列所述，從表徵理論的不同觀點來說，Hieberrt 與 Carpenter(1992) 為存在的形式的觀點、Bruner(1966)為運思觀點、Lesh(1987)為溝通的觀點，而 Kaput(1987)為認知歷程的觀點。

Hieberrt 與 Carpenter(1992)、Bruner(1966)與 Kaput(1987)的類別，都包括了 個體對表徵從內在歷程到外在形式；而 Lesh(1987)的五種表徵分類均是外在的 形式，其對於表徵的看法是從溝通及文化的角度切入，但理論中所強調的轉換 (translation)，則與個案的內在歷程有關，以下茲將不同觀點學者的分類整理如 表 2-2。

若從對學習的意義來說，Hieberrt 與 Carpenter(1992)認為由表徵的可理解 內心的心智模式並對其概念預以精練；Bruner(1966)認為不同運思過程可以搭 配適合的運思材料，而運思由動作表徵到符號表徵的過程，是一智慧的增長；

Lesh(1987)則認為表徵的意義在於溝通，對數學念的掌握在於轉換 (translation)；Kaput(1987)認為表徵為認知知覺到符號替代的過程。

表 2-2

不同學者分類表徵觀點之比較

分類者 觀點 分類方式

Hieberrt & Carpenter 形式 內在表徵、外在表徵 Bruner 運思 動作運思、圖像運思、符號運思 Lesh, Post, & Behr 溝通 真實腳本、操作的模式、圖片或圖表

、口語符號、書寫符號 Kaput 認知歷程 認知與知覺的表徵、解釋性的表徵

、數學的內在表徵、外在符號的表徵 資料來源：修改自許淑萍(2002)。國小學生乘除法表徵能力與後設認知相關之 研究(頁 11)(未出版之碩士論文)。國立台中師範學院，台中市。

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參、表徵與數學學習

綜合上列學者對表徵的看法，在數學的領域中，表徵除了可成為運思的材 料外，更有以下的意義性：

一、使用表徵讓解題過程意義化、合理化與生動化：配合學生認知層次去操作 不同層次的表徵是相輔相成的，利用這個過程來提升兒童的認知發展，進 而讓孩童學習去操作較高層認知的表徵(陳霈頡、楊德清，2005)。

二、增進學生的表徵能力有助於數學的學習：Lesh et al.(1987)認為強化表徵轉 換(translation)能力有助於基本數學觀念的獲得，故此能力是影響數學解題 表現的重要因素，其研究也證明了表徵轉換在數學解題與教學上的地位。

三、對教導數學概念的啟發：學生若能用更多的方法去表徵問題，展現這些表 徵在領域知識的關係上，學生將會有比較好的能力去轉換其他問題解決的 技巧(Ploetzner & Spada, 1998)。Putman、Lampert 與 Peterson(1990)認為「習 得一套強而有力的符號或表徵系統來表徵數學概念，讓學生能以多重表徵 來代表某一概念，或在不同的表徵系統間轉換同一概念」即是能真正的理 解數學概念。

四、與題目的難易程度方面：表徵是知識的媒介，也是內在知識的具體表達。

不同的題目會以不同的表徵形式呈現，不同的表徵方式也會影響到題目的 難易度(洪志峰，2007)，

Dufour-Janvier、Bednarz 與 Belanger(1987)的研究指出，表徵本來就是數學 的一部分，是對同一種概念多種不同具體化的成果，好的外在表徵系統不僅可 以減少學習概念或作業的難度，更可以增加學生的學習動機指。而 Greeno 與 Hall(1997)的研究指出，表徵的重要性為：(1)讓學生在學習數學概念時更加具 體；(3)協助學生理解在不同情境中的數學要素；(2)不同的表徵相互轉換，促 進數學概念與步驟上的進步；(4)為建立理解、溝通訊息與證明推理的工具。

綜合上列所述，表徵是數學學習的一部分，也是數學科學生操弄符號進行 運算、討論溝通與教學傳授教學知識的一個媒介。在學習上的意義來說，不僅

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可以讓學生理解與協助思考，更可以降低難度、增加學生動機、精鍊數學概念、

增進數學解題的理解與提供學生適性教材的一個參考，因此表徵與數學關係相 當密切。

肆、問題表徵(problem representation)與數學解題

肆、問題表徵(problem representation)與數學解題