第四章 結果與討論
第二節 問題表徵能力與閱讀理解能力的差異分析
本節旨在於探討不同數學解題能力學生在藉由統計控制排除非語文智商 的干擾後，不同數學解題能力學生在問題表徵能力或是中文閱讀理解能力主能 力及分項能力的差異情形，以下先對依變項進行迴歸係數的同質性檢定，再討 論不同數學解題能力學生在問題表徵能力或是中文閱讀理解能力的差異情形。
壹、問題表徵能力與閱讀理解能力的迴歸係數同質性檢定
進行共變數分析的前提是組內迴歸係數同質性(homogeneity of with-in regression coefficient)檢定。若組間迴歸係數的考驗不相等，則代表至少有兩條 以上的迴歸線並非平行，此時可以運用「詹森-內曼」(Johnson-Neyman)來進行 分析(吳明隆、涂金堂，2005)。
本研究的迴歸係數同質性檢定係指不同數學解題能力學生在依非語文智 商(共變項)預測問題表徵(依變項)與閱讀理解(依變項)之各組迴歸係數之檢 定。表 4-4 為不同數學解題能力學生在不同測驗的迴歸係數同質性檢定清單，
其中僅「問題表徵能力測驗」與「基模知識」達到.05 的顯著水準，代表不同 解題能力學生依非語文智商預測問題表徵與基模知識的迴歸係數並不同質。
針對以上檢定結果，除問題表徵能力與基模知識外，將對其他測驗進行排 除非語文智商干擾的共變數分析；在問題表徵與基模知識的部分，由於本研究 自變項為不同數學解題能力三組，因此將兩兩一組進行迴歸係數的同質性考 驗，若通過考驗仍進行二組的共變數分析，若未通過考驗則以「詹森-內曼」
(Johnson-Neyman)來進行資料的分析。
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表 4-4
問題表徵與閱讀理解迴歸係數同質性檢定清單
能力 變異來源 SS df MS F Sig 問題表徵能力
迴歸係數 同質性
1182706.88 2 591353.44 4.67 .01*
語言知識 11619.31 2 5809.65 1.65 .194 語意或事實知識 11746.19 2 5873.09 2.76 .066 基模知識 44.33 2 22.16 3.70 .026*
閱讀理解能力
迴歸係數 同質性
1271182.98 2 633591.49 0.31 .73 音韻處理能力 10.33 2 5.17 1.95 .144 語意能力 1044.37 2 522.19 0.54 .582 語法能力 364.45 2 182.23 0.25 .781 提取文章事實能力 4201.18 2 2100.59 0.19 .826 比較分析能力 5.48 2 2.74 0.69 .502 抽取大意能力 143.64 2 87.82 0.04 .962 推論能力 560.73 2 280.37 0.27 .805
*p<.05
貳、不同數學解題能力學生在問題表徵能力差異分析
一、不同數學解題能力學生在語言知識及語意或事實知識之差異分析
表 4-5 呈現不同數學解題能力學生在語言知識及語意或事實知識之獨立樣 本單因子共變數分析摘要表。由表 4-5 可以發現三組不同數學解題能力學生在 語言知識和語意與事實知識的平均數差異上達到顯著水準(F=29.9, p<.001；
F=19.54, p<.001)，且在經事後比較後發現三組不同解題能力在生在語言知識及 語意或事實知識之平均數表現上是高分組優於中、低分組；中分組優於低分組。
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表 4-5
語言知識與語意或事實知識單因子共變數分析摘要表
能力 變異來源 SS df MS F 事後比較 語言知識
共變項(智商) 77824.13 1 77824.13 22.01
高>中>低 組間(解題能力) 211474.27 2 105737.13 29.9***
Error(誤差) 739170.73 209 3536.70 語意或事實
知識
共變項(智商) 81877.08 1 81877.08 37.83
高>中>低 組間(解題能力) 84567.24 2 42283.62 19.54***
Error(誤差) 452305.06 209 2164.14 註：為達到變異數同質性的考驗，上述變項皆經過變數轉換。
***p<0.001；
二、不同數學解題能力學生在問題表徵能力之差異分析
表 4-6 呈現兩兩一組的不同數學解題能力學生在問題表徵能力之迴歸係數 同質性檢定摘要表。由表可以發現高、低分組及中、低分組迴歸係數沒有顯著 差異(F=3.32, p>.05；F=3.23, p>.05)，但是高、中分組迴歸係數異質(F=9.62, p<.05)，因此針對前兩組以獨立樣本單因子共變數進行比較分析，而高、中分 組則進行以詹森-內曼法(Johnson-Neyman)進行分析。
表 4-6 為高、低分組及中、低分組在問題表徵能力的單因子共變數分析摘 要表。由表中可以得知解題能力高、低分組及中、低分組學生在問題表徵能力 的平均數差異達顯著水準(F=55.57, p<.001；F=17.37, p<.001)，且在經事後比較 後，高分組與中分組均在問題表徵能力之平均數上的表現優於低分組。
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表 4-6
問題表徵能力迴歸係數同質檢定與單因子共變數分析摘要表
表 4-7 與圖 4-3 為高、中分組學生在問題表徵能力表現上以詹森-內曼法之 分析摘要表與迴歸線相交圖。由圖 4-3 與表 4-7 可以得知解題能力高分組學生 在非語文智商原始分數在 38.76 分(若對照 9.5 歲常模，標準分數約 94；PR 值 為 34)以上時，高分組的問題表徵能力顯著優於中分組學生(F=27.66, p<.001)；
若當學生非語文智商在 38.76 以下時，則高、中分組學生在問題表徵能力上並 無顯著差異。
能力 變異來源 SS df MS F Sig 事後比較
問題表徵能力 (高、低分組)
迴歸係數同質性 418365.70 1 418365.70 3.32 .07 共變項(智商) 6911969.48 1 6911969.48 54.03
高>低 組間(解題能力) 7109637.39 1 7109637.39 55.57 .000***
Error(誤差) 18677946.06 146 127931.14
問題表徵能力 (中、低分組)
迴歸係數同質性 423334.67 1 423334.67 3.23 .075 共變項(智商) 3104464.30 1 3104464.30 23.30
中>低 組間(解題能力) 2314169.16 1 2314169.16 17.37 .000***
Error(誤差) 17852558.21 134 133228.05 問題表徵能力
(高、中分組) 迴歸係數同質性 1181733.00 1 1181733.00 9.62 .002***
註：為達到變異數同質性，問題表徵能力經過變數轉換。
***p<.001
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表 4-7
問題表徵能力之 Johnson-Neyman 法摘要表(高、中分組)
能力 模式 SS df MS F 相交 低點 高點 問題表徵能力
(高、中分組)
迴歸 2507.35 3 835.78 27.66*** 32.81 -4.18 38.76 殘差 4109.07 136 30.21
總合 6616.42 139
***p<0.001
註：高分組 a=9.14 b=0.62 中分組 a=24.3 b=0.15 圖 4-3 解題能力高、中分組在問題表徵之迴歸線相交圖
三、不同數學解題能力學生在基模知識的差異分析
表 4-8 為不同數學解題能力學生兩兩一組在基模知識之迴歸係數同質性檢 定摘要表，由表可以得知高、低分組與中、低分組在迴歸係數同質檢定未達顯
38.76 32.8
1
高分組 中分組
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著差異(F=2.78, p>.05；F=2.25, p>.05)，代表迴歸係數同質，因此針對以上兩組 以單因子共變數分析進行討論；但在高、中分組的部分則達顯著差異(F=5.24, p<.05)，表代迴歸係數異質，因此高、中分組需用詹森-內曼法(Johnson-Neyman) 進行分析。
表 4-8 高、低分組及中、低分組的單因子共變數分析摘要表，由表可以得 知高、低分組與中、低分組在基模知識的平均數表現上達顯著差異，且事後比 較發現高分組與中分組在基模知識的平均數均優於低分組(F=30.93, p<.001；
F=11.27, p<.01)。
表 4-8
***p<0.001；**p<0.01
表 4-9 與圖 4-4 為高、中分組學生在基模知識表現上以詹森-內曼法之分析 摘要表與迴歸線相交圖。由圖 4-4 與表 4-9 可以得知當高、中分組學生之非語 文智商原始分數 40.3 分(對照 9.5 歲的常模，標準分數為 96；PR 為 39)以上時，
高分組基模知識之平均數優於中分組(F=24.732, p<.001)；當高、中分組學生非 語文智商在 15.26 到 40.3 之間時，高分組與中文分在基模知識平均數的表現上
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則無顯著差異。
在圖 4-4 中須特別要注意的是當高、中分的非語文智商在 15.26 以下時，
若以迴歸線圖來推論的話，則中分組在基模知識平均數的表現是優於高分組，
但在對照常模發現，學生原始分數為為 15.26 以下時，則非語文智商標準分數 要在 64 以下且百分等級在 1 以下，故代表學生的智商必需低於負兩個標準差 以上時，解題能力中分組的在基模知識的表現才會優於高分組，但研究者的原 始資料智商低於 15.36 的學生(該生為 13 分)為解題能力低分組學生，並且只有 1 人，因此這樣的推論並不正確，研究者認為實際對照個案狀況，推論這上述 表現情形為資料機率誤差所致，其證據力並不足夠。
綜合上述，只有當高、中分組學生之非語文智商原始分數在 40.3 分(對照 9.5 歲的常模，標準分數為 96；PR 為 39)以上時，高分組基模知識之平均數優 於中分組(F=24.732, p<.001)；高、中分組學生之非語文智商原始分數介於 15.26 到 40.3 間時，基模知識平均數的表現上則無顯著差異；高、中分組學生之非語 文智商原始分數在 15.26 以下時，中分組基模知識得分優於高分組，這樣的推 論證據力並不足夠。
表 4-9
基模知識之 Johnson-Neyman 法摘要表(高、中分組)
能力 模式 SS df MS F 相交 低點 高點 基模知識
(高、中分組)
迴歸 397.39 3 132.46 24.732*** 35.56 15.26 40.3 殘差 728.40 136 5.36
總合 1125.79 139
***p<0.001
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註：高分組 a=-1.92 b=0.28 中分組 a=5.7 b=0.06 圖 4-4 解題能力高、中分組在基模知識之迴歸線相交圖
參、不同數學解題能力學生在閱讀理解測驗的差異分析
表 4-10 呈現不同解題能力學生在閱讀理解測驗及分測驗之獨立樣本單因 子共變數分析摘要表。由表 4-10 可以得知三組不同數學解題能力學生在中文 閱讀理解測驗的平均數差異達到顯著差異(F=19.815, p<.001)。學生在中文閱讀 分項能力的表現上，不同解題能力學生在分項能力的表現也達顯著差異
(p<.001)，且在經過事後比較發現，僅有比較分析能力是高分組優於中、低分 組，但中、低分組未達顯著差異外，其餘分測驗在表現上，均為高分組表現最 佳，中分組次之，低分組最差。
40.3 15.26
35.56
高分組
中分組
90
Error(誤差) 426334282.40 209 2039829.10 音韻處理
***p<.001；
91
肆、綜合討論
本節主旨在探討數學解題能力高分組、中分組與低分組學生在問題表徵與 中文閱讀理解能力的差異情形，以下茲將共變數分析事後比較結果整理於表 4-11 說明，並分別從不同數學解題能力生在問題表徵能力及中文閱讀理解能力 的差異表現進行說明，茲分述如下：
表 4-11
問題表徵與中文閱讀理解各項能力事後比較差異情形彙整表
能力 事後比較差異情形 備註
問題表徵能力 高>低；中>低 高>中(非語文智商>38.76) 語言知識 高>中>低
語意或事實知識 高>中>低
基模知識 高>低；中>低 高>中(非語文智商>40.3) 閱讀理解能力 高>中>低
音韻處理能力 高>中>低 語意能力 高>中>低 語法能力 高>中>低 提取文章事實能力 高>中>低
比較分析能力 高>中；高>低 中、低分組未達顯著差異 抽取大意能力 高>中>低
推論能力 高>中>低
一、不同數學解題能力學生在問題表徵能力及分項能力的差異分析探討：
紀惠英(1991)的研究指出資優生問題表徵的同構性較普通學生佳；李後昆 (2006)的研究結果指出一般學生在數學問題表徵的能力上均比數學低成就學生 高；陳柏如(2006)研究發現一般學生在問題表徵能力上的表現優於數學學習困 難學生。上述研究比較差異的對象雖不同，但是都顯示不同數學能力的學生在 問題表徵的結果有差異，且數學能力佳的學生在問題表徵能力的表現上顯著優 於他組學生。上述的結果與本研究發現不同數學解題能力學生在問題表徵能力 的表現中，數學解題能力高、中分組對低分組在問題表徵能力的表現上都達顯