問題表徵能力、中文閱讀理解能力與學童數學文字題解題能力之相關研究

全文

(1)國立臺中教育大學特殊教育學系碩士班碩士論文 Department of Special Education National Taichung University of Education Master Thesis. 問題表徵能力、中文閱讀理解能力與學童數學文字題解題能力之相關研究 A Study on relationships among capabilities of problem representation, Chinese reading comprehension and mathematical word problem solving abilities of children. 蘇品弘 Pin-Hung Su. 指導教授﹕廖晨惠博士 Advisor：Chen-Huei Liao, Ph. D.. 中華民國 103 年 6 月 June, 2014.

(2)

(3) 誌. 謝. 論文完成是碩士班生涯的一個結束，但卻是學識視野增長的一個開始，視野的增長的奶水就來自於每一篇的嚴謹研究，讓我得以站在巨人的肩膀上自我成長。當我越是浸沉於學海之中，就越覺得自己渺小。在穿著碩士袍快樂拍照的同時，更有滿滿的感動，這樣的感動出自於完成學位過程中有著許許多多人的照顧與協助。首先感謝指導教授廖晨惠老師，在我遇到困難時持續的鼓勵，指引我研究的方向。感謝郭伯臣老師，提供相關資源協助完成論文。感謝陳學志老師，不辭勞苦到台中指導論文，並悉心提供各項研究建議。另外，謝謝淑娟老師、原宏老師與如鵬老師在設計研究工具時提供各項的建議，讓我的研究工具更臻完備。感謝忻怡學姐在懷孕時，還要抽空和我討論與檢閱論文。感謝立祥學長在我撰寫論文持續的予以協助。感謝測統所鎧誌學長在自身工作繁忙之際，還能在統計上指引我方向。感謝雲林縣中山國小的四學年老師協助進行測驗的預試，與感謝初任教師的母校—嘉義縣大同國小四學年老師盡心的協助各項測驗的完成。感謝班上同學麗安、育薰、亭葦與純純在所上事務的相互協助。最後，謝謝玥妤在我最煩悶的時候，一直在我身旁陪伴著我，也一直幫我處理論文有關的大小事務，你除了是我的最佳幫手外，更是我心理上的最大支柱。「得之於人者太多，出之於己者太少」是我目前心情的寫照，論文的完成積累了太多人的幫忙，此刻的我只有無盡的感恩，感謝每一篇研究對我的啟發，感謝老師無私的付出，感謝學長姐協助，感謝同儕的相互支持與感謝家人無止境的體諒！蘇品弘. 謹誌. 中華民國一百零三年六月.

(4) 問題表徵能力、中文閱讀理解能力與學童數學文字題解題能力之相關研究摘. 要. 本研究的目的在於探討不同數學解題能力學生在問題表徵能力與中文閱讀理解能力的差異情形及問題表徵能力、中文閱讀能力及數學解題能力相關情形，最後以問題表徵能力及中文閱讀理解能力對國小四年級學童的數學文字題的解題能力進行預測並比較。本研究使用相關研究法，對嘉義縣國小四年級 213 位學生，施測「瑞文氏矩陣推理測驗」、「中文閱讀理解測驗」、「自編四則問題表徵能力測驗」與「數學解題能力測驗」四項測驗，並使用描述性統計、單因子共變數分析、皮爾遜積差相關與結構方程模式(SEM)對資料進行分析。本研究之主要發現如下：. 一、不同數學解題能力學生排除非語文智商干擾後在問題表徵與中文閱讀理能力與分項能力有差異，且解題能力高分組與中分組學生的表現優於低分組學生。二、無論是主能力或分項能力，中文閱讀理解能力、問題表徵能力與數學文字題解題能力為顯著中度以上的正相關，且問題表徵能力與數學文字題解題能力的相關高於閱讀理解能力與數學文字題解題能力的相關。三、語言知識、語意或事實知識及基模知識為問題表徵能力的測量指標。. 四、問題表徵能力相較於中文閱讀理解能力對於數學文字題解題能力更具直接性的預測效果。 I.

(5) 五、中文閱讀理解能力能預測問題表徵能力，且中文閱讀理解能力與問題表徵能力達顯著高度正相關。六、中文閱讀理解能力經由問題表徵能力對數學文字題解題能力具影響力。. 關鍵字：文字題解題、問題表徵、閱讀理解. II.

(6) A Study on relationships among capabilities of problem representation, Chinese reading comprehension and mathematical word problem solving abilities of children. Abstract The purpose of the present study aims at exploring the performances on problem representation and Chinese reading tests of students with different abilities on mathematical word problem solving tests; measuring relationships among problem representation ability, Chinese reading comprehension ability and mathematical problem-solving ability; predicting the performances of mathematical word problem solving of the fourth grade students by problem representation ability and Chinese reading comprehension ability. The Raven’s test, Chinese reading comprehension test, the arithmetic problem representation test and mathematical word problem solving test were administered to 213 students of the fourth grade in Chiayi County. Data were analyzed using descriptive statistics, ANCOVA, Pearson Product-Moment Correlation and SEM methods. The results are as followed:. 1. There are differences excluding nonverbal IQ interference in the arithmetic problem representation test, Chinese reading comprehension test and component skills on performances of students with different mathematical word problem-solving ability. High and medium scoring students perform better than low scoring group students. III.

(7) 2. Chinese reading comprehension ability, problem representation ability and mathematical word problem solving ability correlated to each other significantly. The correlation between problem representation and mathematical word problem solving is higher than that between reading comprehension and mathematical word problem solving. 3. Linguistic, semantic, and schematic knowledge are measurement indexes of problem representation ability. 4. The problem representation ability has better direct predictability to mathematical word problem solving performances than that of Chinese reading comprehension. 5. Chinese reading comprehension ability could predict problem representation ability significantly. Chinese reading comprehension ability correlated to problem representation ability positively and significantly. 6. Chinese reading comprehension ability could predict the performance of mathematical word problem solving when considering the factor of problem representation ability.. Key word： word problem solving、problem representation、 reading comprehension. IV.

(8) 目次摘要 ................................................................................................. I 英文摘要 ......................................................................................III 目次 ............................................................................................... V 表次 ............................................................................................ VII 圖次 .............................................................................................. IX 第一章. 緒論 ................................................................................ 1. 第一節研究背景與動機 .................................................................... 1 第二節研究目的與待答問題 ............................................................ 5 第三節名詞解釋 ................................................................................ 7. 第二章文獻探討 .......................................................................... 9 第一節數學文字題解題歷程理論 .................................................... 9 第二節問題表徵能力與數學解題 .................................................. 18 第三節中文閱讀理解理論與相關研究 .......................................... 27 第四節數學解題、問題表徵與中文閱讀理解相關研究探討 ..... 39 第五節文獻總結 .............................................................................. 53. 第三章研究方法與步驟............................................................ 57 第一節研究架構 .............................................................................. 57 V.

(9) 第二節研究對象 .............................................................................. 58 第三節研究工具 .............................................................................. 59 第四節研究流程 .............................................................................. 68 第五節資料的處理與分析 .............................................................. 70. 第四章. 結果與討論 .................................................................. 75. 第一節國小四年級學童各測驗之描述性統計分析........................ 75 第二節問題表徵能力與閱讀理解能力的差異分析........................ 82 第三節智力變項、問題表徵能力、中文閱讀理解能力及數學解題能力的相關情形 .................................................................................. 95 第四節問題表徵能力及中文閱讀理解能力之驗證性因素分析 . 102 第五節智商變項、問題表徵能力、中文閱讀理解能力對數學解題能力的預測效果 ................................................................................ 109. 第五章. 結論與建議 ................................................................ 117. 第一節結論 ...................................................................................... 117 第二節建議 ...................................................................................... 120 第三節研究限制 .............................................................................. 123. 參考文獻....................................................................................125. VI.

(10) 表次表 2-1Mayer 的數學解題四成份與例子說明 .......................................... 15 表 2-2 不同學者分類表徵觀點之比較 ..................................................... 22 表 2-3 一般閱讀與解題的相關研究 ......................................................... 40 表 2-4 學科閱讀與解題的相關研究 ......................................................... 45 表 2-5 數學解題與問題表徵相關研究 ..................................................... 48 表 3-1 預試樣本及正式樣本的班級數、人數與施測時間 ..................... 58 表 3-2 題目範例說明 ................................................................................. 62 表 3-3 自編四則問題表徵能力測驗出題架構表 ..................................... 63 表 3-4 自編四則問題表徵能力測驗專家效度名單 ................................. 64 表 3-5 自編四則問題表徵能力測驗之之題數、難度、鑑別度與信度 . 66 表 3-6 數學解題能力測驗運算形式與項目分析彙整表(n=52) .............. 67 表 4-1 國小四年級學童在各測驗表現之描述性統計分析(n＝213) ...... 77 表 4-2 不同解題能力學生在四則問題表徵能力測驗之描述性統計分析 ..................................................................................................................... 78 表 4-3 不同解題能力學生在中文閱讀理解測驗之描述性統計分析 ..... 80 表 4-4 問題表徵與閱讀理解迴歸係數同質性檢定清單 ......................... 83 表 4-5 語言知識與語意或事實知識單因子共變數分析摘要表 ............. 84. VII.

(11) 表 4-6 問題表徵能力迴歸係數同質檢定與單因子共變數分析摘要表 . 85 表 4-7 問題表徵能力之 Johnson-Neyman 法摘要表(高、中分組)....... 86 表 4-8 基模知識迴歸係數同質檢定與單因子共變數分析摘要表 ......... 87 表 4-9 基模知識之 Johnson-Neyman 法摘要表(高、中分組)............... 88 表 4-10 中文閱讀理及分測驗單因子共變數分析摘要表 ....................... 90 表 4-11 問題表徵與中文閱讀理解各項能力事後比較差異情形彙整表91 表 4-12 本研究四項因素主要能力之相關矩陣(n＝213) ........................ 95 表 4-13 本研究四項認知因素主次能力之相關矩陣(n＝213) .............. 101 表 4-14 圖 4-5 之整體模式適配度檢驗表(n＝213) ............................... 103 表 4-15 問題表徵能力驗證性因素分析相關參數表單 ......................... 104 表 4-16 閱讀理解能力驗證性因素分析相關參數表單 ......................... 106 表 4-17 圖 4-6 整體模式適配度檢驗表(n＝213) ................................... 110 表 4-18 圖 4-6 潛在變項路徑分析之直接、間接與全部效果(n＝213)112. VIII.

(12) 圖次圖 2-1 表徵系統的交互作用模式 ............................................................ 21 圖 2-2 研究目的與目前實徵研究關係圖 ................................................ 52 圖 3-1 研究架構.......................................................................................... 57 圖 3-2 自編四則問題表徵能力測驗編排說明 ......................................... 60 圖 3-3 研究流程圖...................................................................................... 69 圖 3-4 問題表徵能力之驗證性因素分析模式 ......................................... 71 圖 3-5 中文閱讀理解能力之驗證性因素分析模式 ................................. 71 圖 3-6 本研究四項認知因素潛在變項的路徑分析圖 ............................. 72 圖 4-1 不同解題能力學生在問題表徵測驗平均正確百分比折線圖 ..... 78 圖 4-2 不同解題能力學生在中文閱讀理解測驗平均正確百分比折線圖 ..................................................................................................................... 79 圖 4-3 解題能力高、中分組在問題表徵之迴歸線相交圖 .................... 86 圖 4-4 解題能力高、中分組在基模知識之迴歸線相交圖 .................... 89 圖 4-5 驗證性因素分析後四項認知因素之結構方程模式 ................... 103 圖 4-6 本研究四項認知因素間潛在變項的路徑分析結果 ................... 111. IX.

(13)

(14) 第一章. 緒論. 問題表徵能力是學生面對問題時，對問題所形成的一種抽象的表達歷程，其與解題能力關係密切，而閱讀更是學生解題並瞭解題意的開端，因此相關研究均指出除了表徵是問題解決的指標外，閱讀也與解題有關，但是有關問題表徵能力與閱讀理解能力的相關研究卻付之闕如，而有關不同解題能力學生在問題表徵分項能力的差異研究也相對缺少。有鑑於此，本研究的主要目的在探究不同數學解題能力學生在問題表徵能力與問題表徵相關知識的差異表現情形，並探討這些能力與中文閱讀理解能力、數學解題能力的相關及預測效果。本章共分為成三節，第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的與待答問題，第三節為名詞解釋，以下茲將各節分述說明。. 第一節研究背景與動機美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)是美國最具權威與最大的數學教育專業機構，在 2004 年最新頒布的學校數學原則和標準(Principles and Standards for School Mathematics)中指出所有學生要成為數學問題的解決者(美國數學教學協會，2004)。在最新修訂的教育部國民中小學九年一貫數學課程綱要(教育部，2008)指出「獨立思考與問題解決」是十大基本能力之一，而在數學領域的教學總體目標指出學生應學習應用問題的解決方法，並培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。經濟合作發展組織(Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD)將數學定義為一種工具與素養，即數學素養(Mathematical Literacy)，是指具有能力進行理解、認識與探索數學對世界的意義，並解決私人生活、學校生活、工作與休閒、社區與社會各種的情境問題，並應用自己發展出來對數學的判斷能力進行邏輯思考，進而探索數學(OECD, 2010)。OECD 1.

(15) 所發展的國際學生評量計畫 (Programme for International Student Assessment, PISA)，即以上述的理念檢測各國學生在數學部分掌握了多少面對未來世界的能力。在 NCTM(2004)所頒布的數學原則與標準、教育部(2008)頒布的九年一貫課程綱要之問題解決能力及 OECD(2010)強調的數學素養，所強調的重點都是對於問題進行解決的能力。因此，解決數學問題成為數學教育的核心，但相關的研究(康桂萍，2011；陳世杰，2004)卻指出學生在數學文字題的表現不佳。數學為科學之母，而數學能力是國民素質的一個重要指標(教育部，2008)，因此針對學生解數學文字題相關因素做一探討相當重要，有助於釐清相關變項並提供教育上的建議。研究者目前任教於國小資源班，在教學過程中，發現孩子對於數學文字題的解題能力普遍不佳。許多研究指出(吳昭容，1990；林淑菁，2003；楊淑芬， 2001；羅秋霞，2002；Lewis, 1989；Mayer, 1992) 學生的解題困難主要發生於問題表徵困難；許多研究也指出數學障礙學生(林沅芝，2006；林淑玲，1999；林穎義，2002)的解題困難是由表徵錯誤所致。因此無論是一般學生還是數學障礙學生，問題表徵的適合與否關係著問題解決的效率與正確性(蔣治邦， 1999；Glaser, 1984 ; Greeno & Simon, 1988 ; Johnson, 1988)。故學生問題表徵能力的良窳，與學生問題解決能力有很大的關係。 Mayer(1992)的解題成份論認為問題表徵能力(problem representation ability)，係由語言知識(linguistic knowledge)、語意或事實的知識(semantic knowledge)及基模的知識(schematic knowledge)所組成。而 Kintsch 和 Greeno(1985)認為數學解題時，解題者除要先形成對問題個別敘述的語意基礎外，也要依此基礎產生問題模式來表徵問題，以理解題意及其後隱藏的語意或數學結構。故問題表徵包括了三類知識，更是學生對數學問題理解的指標，反映了學生對數學問題的理解程度。黃敏晃(1985)認為學生在數學解題上的困難，源於對問題的不瞭解，而當學生出現不理解問題的狀況，則容易反映在學 2.

(16) 生對問題的錯誤表徵上。因此，若學生有較好表徵問題能力，並應用這些表徵去展現領域知識的關係，學生將會有較好的能力去轉換他們問題解決的技巧 (Ploetzner & Spada, 1998)。由於問題表徵能力是學生對數學問題是否理解的指標，故國內已有許多研究者進行問題表徵的相關研究(李後昆，2006；吳曜溱，2010；林思行，2003；林宗翰，2011；紀惠英，1991；洪義德，2002；莊凱安，2003；陳柏如，2006；黃志強，2005)。有的研究利用調查法，並配合訪談之質性分析方法對學生的數學問題所形成各類型圖示或運算表徵進行研究(林宗翰，2011；紀惠英， 1991)；有研究者將數學問題以不同的形式呈現，探討不同題目表徵形式下學生在解題表現的得分差異(吳曜溱，2010；林思行，2003；洪義德，2002；黃志強，2005)；有的研究者則從量的角度來探討問題表徵與數學解題之間的關係(李後昆，2006；陳柏如，2006)。上述研究結果除指出解題能力愈佳者，其問題表徵能力愈佳外，也指出不同的問題表徵形式與學生的解題表現有關。但目前在國內仍未有實徵研究探討問題表徵所需之分項能力，及問題表徵分項能力與數學解題的關係，此為本研究目的之一。對於數學問題的理解，閱讀是對數學問題理解最重要的基礎，經由閱讀，解題者才能瞭解問題，進而解決問題。目前國內已有許多研究探討中文閱讀能力與數學解題能力的相關研究(王淑嬌，2006；王思佳，2004；邱美菁，2011；高淑娟，2010；陳冠廷，2013；蕭存宏，2012；蘇慧嫻，2012)，其研究結果均指出中文閱讀理解能力與數學解題能力有關，並指出中文閱讀理解與數學解題能力有正相關存在。故無論是問題表徵或中文閱讀，對於解題都是相當重要的元素。但從數學問題理解程度的指標____問題表徵能力來探討與中文閱讀理解的關係，與閱讀及問題表徵對解題預測效果的比較研究則相對缺少。另外，部分研究結果(張再明，1994；魏佐容，2011)指出學生普遍有計算能力優於文字題解題能力的現象。故本研究並不針對學生解題歷程的執行與檢核能力進行探討，而是進一步的討論「問題表徵及表徵相關知識」與「中文閱 3.

(17) 讀理解能力及其相關認知能力」之關係，並以中文閱讀理解及問題表徵為變項，對四年級學生的解題能力預測並進行比較。在研究的對象部分，由於國小四年級的學童位於閱讀新知期(reading for learning)，Chall(1996)認為此時期的學童已具備相當的閱讀技巧，因此相對於前三個階段的主要目標在於學習如何閱讀(learn to read)，國小四年級學生能流暢的進行閱讀，閱讀為他們學習的工具。在數學解題時，必須對數學文字題進行閱讀，進而形成問題表徵，因此本研究更重視的是探討學生已具備閱讀流暢能力下的國小四年級學生在經由閱讀而學習數學文字題的問題表徵表現情形。關於問題表徵部分，本研究以 Mayer(1992)解題成份論的架構探討問題表徵能力(problem representation ability)，探討其中的語言知識(linguistic knowledge)、語意或事實的知識(semantic knowledge)及基模的知識(schematic knowledge)與解題的關係。不同數學問題解決能力的學生在這三類知識的表現情形與差異狀況可作為學生對於數學問題理解的架構，所以當學生無法理解數學問題時，若以此為架構去發展適合學生年級的篩選測驗，進而找出學生數學文字題知識的弱項在哪，則不僅可做為瞭解學生數學問題理解程度的一個參考，對於補救教學也有其啟發性。綜合上述，四年級是學生進入閱讀中學習(read to learn)的一個開端，數學解題是數學教學的主軸，而問題表徵與中文閱讀更是學生進行解題的重要變項，故本研究將針對學生數學解題之上列變項，探討文獻中較少有實徵研究探討問題表徵與中文閱讀相互關係的部分，以釐清中文閱讀、問題表徵對解題的關係。問題表徵能力測驗的分項能力表現情形也可以做為未來建立數學障礙學生及一般學生解題困難篩選測驗與補救教學的一個依據與參考，幫助老師分析學生解數學文字題表徵錯誤時所缺乏的知識面向，為實務教學提供相關建議。. 4.

(18) 第二節研究目的與待答問題. 根據上述研究背景與動機，本研究之研究目的與待答問題如下: 壹、研究目的一、探討不同數學解題能力的國小四年級學生在問題表徵能力及中文閱讀理解能力的差異情形。二、探討國小四年級學生在問題表徵能力、中文閱讀理解能力及數學解題能力的相關情形。三、探討問題表徵分項能力及中文閱讀理解分項能力分別對國小四年級學生在問題表徵能力及中文閱讀理解能力的驗證性因素分析情形。四、探討國小四年級學生的問題表徵能力、中文閱讀理解能力對數學解題能力的預測情形。. 貳、待答問題根據上述之研究目的，本研究的待答問題為: 一、探討不同數學解題能力的國小四年級學生在問題表徵能力及中文閱讀理解能力的表現為何？ (一)解題能力高分組、中分組與低分組學生在問題表徵能力、中文閱讀理解能力及其分項能力的表現差異情形為何？ (二)在控制智力變項後，解題能力高分組、中分組與低分組學生在問題表徵能力及其分項能力是否有差異？ (三)在控制智力變項後，解題能力高分組、中分組與低分組學生在中文閱讀理解能力及其分項能力否有差異？. 5.

(19) 二、國小四年級學生在問題表徵能力、中文閱讀理解能力與數學解題能力是否有顯著相關? (一) 國小四年級學生在「問題表徵能力」、「中文閱讀理解能力」與「數學解題能力」是否有顯著相關? (二) 國小四年級學生在「問題表徵分項能力」、「中文閱讀理解分項能力」與「數學解題能力」是否有顯著相關?. 三、問題表徵分項能力及中文閱讀理解分項能力分別對國小四年級學生在問題表徵能力及中文閱讀理解能力的驗證性因素分析情形為何？ (一) 國小四年級學生的問題表徵分項能力對其問題表徵能力的驗證性因素分析情形為何？ (二) 國小四年級學生的中文閱讀理解分項能力對其中文閱讀理解能力的驗證性因素分析情形為何？. 四、國小四年級學生的問題表徵能力、中文閱讀理解能力對數學解題能力的預測情形為何? (一) 國小四年級學生的「問題表徵能力」、「中文閱讀理解能力」對「數學解題能力」直接、間接與全部預測效果及比較情形為何? (二)國小四年級學生「中文閱讀理解能力」對「問題表徵能力」的預測效果為何?. 6.

(20) 第三節名詞解釋壹、數學文字題解題能力(mathematical word problem solving ability) 本研究的數學文字題解題能力，是指學生在解數學文字題上的表現。 Mayer(1985)認為數學文字題是運用文字敘述問題的數學計算題型，學生在解數學文字題時，除了要能熟悉數學計算的過程，更要能對數學文字題閱讀並理解題目的語意，最後再整合文字題提供的條件來解決問題(林清山譯，1991)，故數學解題是一個對數學問題的情境理解與解決的過程。本研究數學文字題解題能力是指國小四年級學生在以整數四則為單元進行編製的「數學解題能力測驗」上的得分，得分越高則表示學生數學解題能力越佳，反之，得分越低則表示數學解題能力越低。本研究研究目的之一為探討不同數學文字題解題能力學生在問題表徵能力與中文閱讀理解能力的差異，依學生在「數學解題能力測驗」的得分，將得分前 27%設定為高分組，得分後 27%設定為低分組，並將中間人數設定為中分組。貳、問題表徵能力(problem representation ability) Mayer(1992)指出問題表徵(problem representation)是指解題者對問題的文字表徵轉換成內在心理表徵的過程，並指出解題者問題表徵的三類知識分別為語言知識(linguistic knowledge)、語意或事實的知識(semantic knowledge)與基模的知識(schematic knowledge)。本研究的問題表徵能力是指國小四年級學生在「自編四則問題表徵能力測驗」的表現，本測驗依 Mayer(1992)理論中的三項知識為架構來設計測驗，分別為語言知識 16 題、語意或事實知識 15 題及基模知識 14 題，共計 45 題。學生能答對的題目越多，代表學生的問題表徵能力越佳。 7.

(21) 參、中文閱讀理解能力(Chinese reading comprehension ability) 有關於閱讀的定義，Rumelhart(1978)認為閱讀除了對文字符號訊息的接收、字義的理解與段落整合的正確瞭解外，也是個體本身知識與經驗，對所得的文字訊息做假設及驗證的過程，故中文閱讀是指讀者對中文文本或材料經由上述的認知過程，進而理解文意的結果。國內學者林寶貴與錡寶香(1999)編製之中文閱讀理解測驗中，認為影響閱讀的因素可以從聲韻、語意、語法、先備知識、一般知識、摘取大意的能力、推論能力與文章結構來進行探究。本研究的中文閱讀理解能力是指國小四年級學生在中文閱讀理解測驗(林寶貴、錡寶香，1999)的表現，在本測驗中依其閱讀理解的分項能力____音韻處理、語意能力、語法能力、了解文章基本事實、比較分析、抽取大意與推論來進行探究。學生在本測驗或其分項能力得分越高，則表示學生中文閱讀理解能力或中文閱讀理解分項能力越佳；反之，得分越低則表示中文閱讀理解能力或中文閱讀理解分項能力越低。. 8.

(22) 第二章文獻探討本研究的目的在探討數學解題能力、問題表徵能力及中文閱讀理解能力的關係，因此有必要針對數學解題理論、表徵理論及閱讀理論進行探究，並對相關變項的實徵研究進行探討，故本章旨在探討與本研究相關的理論基礎與已進行的實徵研究，並對相關文獻進行歸納與整理。本章可分為五節，第一節為數學解題理論，第二節為表徵理論與數學解題，第三節為中文閱讀理解理論，第四節為數學解題、問題表徵與閱讀相關實徵研究的探討，最後一節為總結。. 第一節數學文字題解題歷程理論學生為解決生活中的數學問題，有一定的數學解題歷程，本節從數學文字題的意義進行說明，並介紹相關數學解題理論及解題理論與本研究的關係，以期對解題理論有脈絡性的瞭解。. 壹、問題解決與數學文字題什麼是問題解決？認知心理學家 Mayer(1992)認為問題有三種特徵，分別為已知條件、目標與障礙。已知條件是指已知的情境為何，目標是指最終為達到的狀態，障礙則是由已知到目標之間的路徑。所謂問題解決即是在符合已知條件的狀態下，運用各種可能的方法解決障礙而到達目標的一種過程。Krulik 和 Rudnick(1980)認為問題解決是在問題的情境中，解題者以本身的舊經驗或知識來從事解答的過程。張春興(1994)認為問題是否存在，與個人的主觀感受有關，故問題即是個人有目的待追求，但未找到適合方法時感受到的困境。 Newell 與 Simon(1972)從問題空間(problem space)的角度來說明，指出問題空間 9.

(23) 量由以下幾個狀態(statement)所構成：(一)目標或目的；(二)初始的狀態，係指即問題的內容；(三)中間的狀態，其包括達成其目標所有可能的路徑。每一條可能解決問題的路徑由許多步驟所組成，經由這些步驟將能完成問題解決。數學文字題是針對數學問題以文字及學科相關符號表徵的一種形式，其最終的目的仍為問題解決，那究竟數學文字題的定義為何呢？ Mayer(1985)認為數學文字題是運用文字敘述問題的數學計算題型，學生在解數學文字題時，除了要能熟悉數學計算的過程，更要能對數學文字題閱讀並理解題目的語意，最後再整合文字題提供的條件來解決問題(林清山譯，1991)。 Cummins(1991)則認為文字題是指由用語文的形態來說明日常生活中的數學問題情境。詹士宜(1992)指出數學文字題是結合數學知識與語文技巧的問題，日常生活中的數學問題，非只是計算，更是許多問題解決的過程。由上述得知，對數學文字題問題解決的過程即是解題，而數學解題即數學被視為是一個解決問題的情境，個體在情境中運用到數學概念、原理及方法來解決問題，也就是把數學解題視為達成特定教學目標而進行的活動(楊瑞智， 1994)。數學文字題是利用文字及數學相關符號表徵數學問題的一種形式，它較一般的計算題涉及更複雜的認知與運算歷程(Cummins, 1991)。解答數學文字題的過程時，先必須瞭解問題的敘述，接著回憶相關問題的知識結構，並嘗試表徵問題的模式，最後針對此模式進行推論，因此解題不僅是一個複雜的心智活動 (古明峰，1997)，也是一種語文能力與數學能力整合的綜合學習活動(Mayer, 1992)。. 貳、數學解題的歷程模式最早的數學解題歷程模式是由 Polya 在 1945 年所提出的瞭解問題、擬定解題計畫、執行解題與驗證四步驟。往後的學者也都以此為基礎，提出相關的解題歷程模式，茲分述如下： 10.

(24) 一、Polya 的解題歷程模式 Polya(1945)為指導學生解題技能，在「怎樣解題」(How to solve it)一書中，指出解題的四個階段，分別為 (一)瞭解問題：能瞭解題意，除能指出問題所求，也能知道題目的已知條件與未知條件。 (二)擬定解題計畫：依題目的訊息擬訂解題的方法或執行步驟。 (三)執行解題：依據擬訂的計畫，執行每一步驟。 (四)回顧驗證：回顧解題的過程，或者能思索用各種的方法解答或將此方法運用到不同的問題情境中。 Polya(1945)認為這四個階段的解題歷程並非完全是直線式的思考，學生在解題的過程中，此四個階段會交互進行，直到解決題目。Polya 是一位數學學家，也是第一位提出解題歷程的學者，其對解題的看法給後續提出解題歷程的學者相當大的啟示。. 二、Kilpatrick 的解題歷程模式 Kilpatrick(1967)則針對八年級學生為對象，依 Polya 之歷程模式將問題設計成檢核表，探討解非例行性文字題時所用的策略。經由原案(protcol)分析後，調整檢核表並將解題歷程分成四個步驟： (一)瞭解問題：辨認已知條件、畫圖與引入符號。 (二)擬定計畫：重新敘述問題與考慮相關問題。 (三)執行計畫：使用連續漸進策略與檢查解題步驟。 (四)檢討：檢查答案是否合理、檢查答案是否符合條件、回溯論証的步驟與使用其他方法獲得答案。 Kilpatrick 認為解題者具備相關的數學知識、能組織表現與轉換問題的處理過程與能選擇知識進行處理的控制系統是成功解題的重要關鍵。. 11.

(25) 三、Schoenfeld 的後設認知解題歷程模式 Schoenfeld(1985)認為解題的歷程中需要考慮四個變項： (一)資源(resources)：是指解題者有的相關數學知識，包括數學事實、定義、運算的程序(procedural)與命題(propositional)的知識。 (二)捷思(heuristics)：是指解題者在解決數學問題時所使用的策略。 (三)控制(control)：認知的管理、執行與分配，係指認知與後設認知的部分，包括計畫、監控與回顧的解題歷程。 (四)信念系統(belief system)：係指解題者對數學的觀點。 Schoenfeld(1985) 的研究發現解題歷程四個變項中，以控制居於最關鍵的地位，故其從控制的觀點，進一步的將 Polya 數學解題歷程分為六個階段：1. 閱讀(read)：解題者對問題閱讀；2.分析(analysis)：解題者簡化或重述題目，以促瞭解問題；3.探索(exploration)：尋找出已知條件、未知條件與問題目標彼此間的關係；4.計畫(planning)：解題者擬定解題計畫，並評估計畫的適當性；5. 執行(implement)：執行計畫並檢視執行狀況；6.驗證(verify)：受試者對解題過程與結果的檢視(邱上真、王惠川、朱婉艷、沈明錦，1992)。. 四、Garofalo 與 Lester 的「認知-後設認知」數學解題歷程模式 Lester (1980)認為會影響數學解題的因子包括以下(劉湘川、許天維、林原宏，1993)： (一)問題本身：即問題的本質，如問題的內容、結構、格式等。 (二)解題者：解題者本身的不同特徵，如解題的經驗、知識或信念等。 (三)解題歷程：如題解的訊息處理、表徵與策略等 (四)解題環境：如教學方式或解題的限制等。 Garofalo 與 Lester(1985)修正 Polya 的解題歷程模式，並加入 Flavell 所提的「後設記憶」概念，提出「認知-後設認知」的解題歷程模式包括了定向 (orientation)、組織(organization)、執行(execution)、驗證(verification)四個階段， 12.

(26) 茲將其說明如下： (一)定向：評估並瞭解問題。 (二)組織：擬定解題計畫並選擇解題策略。 (三)執行：監控解題行為並配合計畫。 (四)驗證：評鑑定向、組織及執行歷程是否正確與合理。以上四類認知成分受三類後設認知成分所影響，即 Flavell(1976)所提的後設認知知識的個人(person)、工作(task)與策略(strategy)三個後設認知成分影響。 Lester 的解題歷程模式與 Schoenfeld 的模式相似，都是除了重視解題的認知歷程外，亦特別強調後設認知的重要性，即覺知並監控自己的解題歷程在整個解題歷程中佔有關鍵性的地位(引自邱上真、詹士宜、王惠川、吳建志，1995，頁 5)。. 五、Mayer 的數學解題成份論 Mayer(1992)從認知心理學的角度探討解題的歷程，他從表徵的觀點，探討如何將問題敘述轉換成數學運算敘述，而將數學解題歷程分為問題表徵 (problem representation)及問題解決(problem solution)兩個階段，而每個階段又分為兩個成份，分述如下並將其解題歷程以實例說明(如表 2-1)： (一)問題表徵(problem representation)：係指解題者對問題的文字表徵轉換成內在心理表徵的過程，又可分為以下兩個成份： 1.問題轉譯(problem translation)：解題者必須將題目中的陳述句譯成能理解的內在表徵，進而去理解句子之間的關係。在此階段，解題者必需有良好的「語言知識」及「語意或事實的知識」才能對數學問題的陳述句做轉譯的動作。 2.問題整合(problem integration)：問題中的陳述句在解題者具有「基模知識」的狀況下，將有問題的相關訊息予以整合成一致的表徵，如對問題的類型、有關及無關的資料、決定解答問題所需的資料或用圖示畫圖的方式來表示問題，予以整合成解題者對問題的心理表徵過程。 13.

(27) (二)問題解決(problem solution)：即從上述心理表徵進行到最後答案的過程，在問題解決階段也包括了兩個成份： 1.解題計畫與監控(solution planning and monitoring)：在理解題目的意義後，解題者能針對題目擬定次目標，並依數學語句或方程式來表示問題，同時針對問題列出可能的結論與想出監控解題的計畫，本階段所需要的是「策略的知識」。 2.解題執行(solution execution)：係指解題者能正確和有效的執行解題計畫和算出答案，在本階段需要「程序性的知識」。由上述 Mayer(1992)所提出的解題模式中，可以分為兩個階段，四個成份，而上述的四個成份中又可以分成解題的五種知識，且 Mayer 認為解題的五種知識中，若解題者欠缺任何一種，很可能就無法成功的完成解題。茲將解題的五種知識及其對解題的重要性說明如下(王瑋樺，2001)： (一)語言的知識(linguistic knowledge)：轉譯問題中的敘述的知識，是英文或其他語言的能力。此類知識可以讓解題者針對句子加以釋意或改述，並能理解句子中的關係語句。 (二)語意或事實的知識(semantic knowledge)：有關於現實世界的知識，如一公尺等於一百公分。 (三)基模的知識(schematic knowledge)：能將問題訊息組織成「有意義」整體與對熟悉問題型態指出相關性。如對問題的結構做分類，如能對加減法應用問題分類成「合併型」、「改變型」與「比較型」。 (四)策略性的知識(strategic knowledge)：有關於執行的知識，能檢視問題解答或者利用計畫對問題擬定解題的步驟。 (五)程序性的知識(procedural knowledge)：如何進行運算以接近問題答案的知識。 14.

(28) 表 2-1 Mayer 的數學解題四成份與例子說明例題：地磚是以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 0.72 元，若要以此磚鋪滿長為 7.2 公尺、寬為 5.4 公尺的矩形房間，一共要花多少錢? 階段. 成份. 知識類型. 地磚問題例子. 問題轉譯. 語言知識. 矩形房間是長 7.2 公尺、寬為 5.4 公尺. 事實或事實知識. 一公尺等於一百公分. 問題整合. 基模知識. 面積的問題=長×寬. 解題計畫. 策略知識. 第一步：計算長方形面積. 問題表徵. 與監控. 第二步：計算每塊磁磚面積第三步：將房間面積除以磁磚面積. 問題解決. 第四步：磁磚價錢乘以磁磚數解題執行. 程序性知識. 7.2×5.4=38.88 0.3×0.3=0.09 38.88÷0.09=423 0.72×432=311.04. 資料來源：修改自林清山譯(1991)。教育心理學—認知取向(頁 391)。(原作者： Richard E. Mayer)。台北市：遠流。由上述得知，Mayer 解題模式中，每個解題步驟所需的知識種類並不相同。如在問題轉譯時，需要的是語言與語意或事實的知識；在問題整合時則是基模的知識；在解題計畫與監控時則為策略知識；最後在解題執行則為程序性知識。每個知識在對應的解題成份並不相同，學生解數學文字題時在不同的解題成份上發生困難，都會造成學生的解題困難。其中，問題表徵階段在解題歷程中須具備語言知識、語意或事實知識及基模知識三項知識才能讓學生對數學文字題進行表徵，進而理解數學文字題的意涵。 15.

(29) 參、解題理論的小結從解題理論來探討影響數學解題的相關因素，可知學生解題成功與否，不僅與個人因素有關，環境與問題本身都會影響著解題的成敗。從數學解題歷程來看數學解題，解題為一項程序性的認知過程，其順序都必須從瞭解問題開始，接著針對問題所給的訊息予以組織，設計計畫並執行。從以往解題理論來看，除 Mayer(1992)的解題模式沒有檢核與驗證答案的過程外，其他解題理論均包括驗證的過程。而 Schoenfeld(1985)、Garofalo 與 Lester(1985)的解歷程模式則均有探討論解題時的相關因素變項，其中 Garofalo 與 Lester(1985)更進一步說明後設認知在解題過程中的角色。Mayer(1992)解題理論則從認知心理學出發，探討解題歷程中所必需四種成份與五種知識類型，並在解題歷程中把解題的能力成份與所需的知識做了整合，其特色整理如下：一、Mayer 強調數學解題不只是獲得答案正確答案而己，更應重視問題解決的歷程。二、教學者可以依據學生的錯誤類型來理解所缺乏的知識類型，進一步擬定補救教學(陳世杰，2004)。三、從訊息處理的角度出發，重視個體內在的知識對外在訊息的整合處理。四、Mayer 的解題模式最具結構性與分析性，其模式具備了瞭解問題階段、解題階段及其所需相對應的知識種類(引自邱上真、詹士宜、王惠川、吳建志，1995，頁 9；林月仙，1999；陳盈穎，2011) 五、Mayer 的解題理論較重視認知的成分，但對後設認知則不特別強調，對後設認知能力仍有限的國小學童而言較為適用(引自王瑞慶，2002，頁 45)，因此許多關於小學數學的解題研究(王思佳，2010；王瑋樺，2001；林麗華，2006；陳盈穎，2011)均以 Mayer 的解題理論作為學童解題的分析依據。本研究旨在探討問題表徵與數學解題的相關性，因此本研究著重於個 16.

(30) 人認知因素與解題的相關性，不討論問題變項及情境變項與解題的關係。研究者在考量 Mayer(1992)理論的特色與研究者自身的教學經驗後，決定以 Mayer 解題理論的問題表徵(problem representation)為本研究的主要架構，並以其中所括的語言的知識(linguistic knowledge)、語意或事實的知識(semantic knowledge) 及基模的知識基模的知識(schematic knowledge)三項認知因素作為探究學生問題表徵能力的方向，以自編問題表徵能力測驗的方式來探討問題表徵能力及其三項問題表徵所需知識與中文閱讀及數學解題的關係，及不同解題能力學生在三項問題表徵知識的差異情形。. 17.

(31) 第二節問題表徵能力與數學解題由於本研究以 Mayer(1992)解題理論的問題表徵(problem representation)為主要研究架構，故對於表徵(representation)理論的理解有其必要性。本節將探討表徵的意義、分類及與數學學習上的啟示，最後說明問題表徵與數學解題的相關性。壹、表徵意義表徵係指個人對訊息的呈現方式。張春興(1989)認為表徵(representation) 是指將外在世界的事物以不同的抽象或符號化的方式來表達的歷程。從認知心理學的角度來看，是訊息處理的過程中，把訊息譯碼轉換成另一種型式，以便表達與儲存的歷程。 Lesh、Post 與 Behr (1987) 認為表徵是指心智過程模式化所使用的符號系統，如圖表、符號與文字，即是將訊息概念化後，進一步依需求所產生外在的具體化。游自達(1995)認為表徵(representation)是人類學習的重要媒介，藉由表徵人們得以理解外界、簡化思考過程、進行運思並與他人溝通。綜合上列對表徵的意義，表徵是對訊息以另一種符號或形式表達的歷程，也是個體對訊息的理解、詮譯與呈現的方式，其形式不僅不限於特定的符號，更有溝通、簡化思考、便於儲存與表達的功能。貳、表徵的分類對於表徵的看法，不同的學者均從不同的角度進行探討，進而發展出對表徵不同的分類，本研究整理相關文獻，將表徵從存在的形式、運思的觀點、溝通的觀點與認知歷程的角度進行探討，茲將其分述如下：一、表徵存在的形式 Hieberrt 與 Carpenter(1992)認為依表徵存在的形式，可以把表徵區分為外 18.

(32) 在表徵(external representation)與內在表徵(internal representation)兩類。 Hayes(1981)認為這兩類表徵的類型表示著個體是如何去理解問題的方式：內在表徵是反映個體如何建構與組織這個問題與其心中的內在關係，也就是訊息在腦中編碼、修正與儲存；外在表徵則是個體對內在表徵的訊息使用描繪圖形、寫下文字或符號去創造與產生。外在表徵使用的意義在於人腦中與之相對的內隱心智模式(Hestenes, 1995)，故內外在表徵互為表裡且密切相關，我們可利用外在表徵去理解內心的心智模式，並對內在表徵予以精鍊，而內在表徵的運作過程，往往也會影響外在表徵的呈現。. 二、運思的觀點 Bruner(1966)認為個人經由知覺將外在環境的事物轉化為內在的心理事件之過程，即為認知表徵(cognitive representation)，運思材料的不同代表了孩童不同程度的心智成長，可將其分為三類： (一)動作表徵(enactive representation)：指個體接受到刺激所引發的外在行動反應，這些反應必須藉助實物或具體物的操弄活動來引發個人的運思活動。故透過行動的手段來掌握概念或事物，為動作表徵對外界事物學習的主要方式。如果以數數為例，教導孩童數數及數量的概念，必須利用花片或積木等外界的刺激物，讓孩童由實際操弄而獲得數量的概念。 (二)圖像表徵(iconic representation)：孩童能靠心像(image)來掌握概念，因為對物體的知覺存在於心像中。故當具體物消失時，在腦中仍有心像，可進行內在的運思活動。 (三)符號表徵(symbolic representation)：符號與心像不同，本身是一個隨意的記號，它與實物之間並無任何類似的地方，也不似心像為外在實物的影像，它僅是一種心像與具體物之間某種特質的抽象意義。在此階段孩童會利用符號在掌握概念，並作為運思的材料。 19.

(33) Bruner(1966)認為表徵不僅是運思的材料，運思活動從具體到抽象的過程更說明智慧的增長。孩童由具體物的動作表徵到形成心像，並進一步發展成符號的表徵，讓其運思活動逐漸不依賴外在的刺激。當孩童能熟練符號的運思時，即表示孩童數學概念能力的增長。三、溝通的觀點 Lesh et al.(1987) 從溝通的觀點說明了表徵意義，以下茲將表徵的類別做一說明： (一)真實的腳本(real scripts)：利用真實情境中的物體來說明問題的情境及內容。 (二)可操作的模式(manipulative models)：指具體可操作的教具，這些教具能與許多數學概念相結合，表示數學關係及演算，如:古氏積木、花片、分數板與玩具紙鈔等。 (三)圖片或圖表(static pictures)：以靜態的圖形模式或表格，用它來理解相關的數學概念，如:長條圖與面積圖等。 (四)口語符號(spoken languages)：特定領域或日常生活用的口語符號，如二分之一、百分之五十。 (五)書寫符號(written symbols)：數學算式、符號或特定領域的句子，如： ( )+5=20 等。 Lesh(1987)認為表徵的重點不在於不同表徵類別分類，而在於轉換 (translation)，當個體能對同一概念自由的轉換成不同的表徵時，即代表個體能熟練相關概念(如圖 2-1)。而表徵的功能不是代表個體心智的增長，而是一種對概念的溝通。 Lesh(1987)的表徵理論除了結合 Bruner(1966)表徵的深度，並添加了廣度的學習，因此增加了真實腳本與口語符號兩種表徵並且強調各種表徵的轉換。 Lesh(1987)從文化的觀點討論表徵，他認為符號表徵不僅是個人心智活動的材料，而且是一種文化規約的溝通工具，意味著一些約定成俗的共識(引自陳霈頡、楊德清，2005，頁 51)。 20.

(34) 從國小的教材與教學來看，無論是真實的腳本、可操作的模式、圖片圖表、口語符號及書寫符號這五種的哪一種類別，不同的表徵類別均充斥於課堂中。當老師把數學概念用在具體的情境中運用口語說明、配合教具展示及黑板繪製圖表，並將數學概念用書寫的方式表達出來，除了是一種對數學概念的溝通，也是對同一數學概念的多元表徵，除了表示教師對這些概念的精熟程度外，更讓學生從更多不同的外在表徵上去習得數學概念。圖片或圖表. 書寫符號. 可操作的模式. 真實的腳本. 口語符號. 圖 2-1 表徵系統的交互作用模式資料來源：譯自 Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translations among representation in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 34). Hillsdale, NJ: Erlbaum. 四、認知歷程的觀點 Kaput(1987)說明數學的表徵系統時，從認知歷程的角度出發，指出「表徵」即是以表徵的事物來替代被表徵的事物，其關係為互相替代的關係。 (一)認知與知覺的表徵(cognitive and perceptual representation)：指個體腦中對訊息的儲存與轉換，是指個人內在對於訊息的表徵。 (二)解釋性的表徵(explanatory representation)：說明個體內在表徵的假設性實體，是連結自然語言或心像的心理結構模式，為描述數學符號間的關係。 (三)數學的內在表徵(representation within mathematics)：不同數學結構間的關聯，以一種數學結構的表徵代表另一種結構特性的系統。 21.

(35) (四)外在符號的表徵(external symbolic representation)：用外在抽象的符號、圖形或文字來表徵數學概念的形式。綜合上列所述，從表徵理論的不同觀點來說，Hieberrt 與 Carpenter(1992) 為存在的形式的觀點、Bruner(1966)為運思觀點、Lesh(1987)為溝通的觀點，而 Kaput(1987)為認知歷程的觀點。 Hieberrt 與 Carpenter(1992)、Bruner(1966)與 Kaput(1987)的類別，都包括了個體對表徵從內在歷程到外在形式；而 Lesh(1987)的五種表徵分類均是外在的形式，其對於表徵的看法是從溝通及文化的角度切入，但理論中所強調的轉換 (translation)，則與個案的內在歷程有關，以下茲將不同觀點學者的分類整理如表 2-2。若從對學習的意義來說，Hieberrt 與 Carpenter(1992)認為由表徵的可理解內心的心智模式並對其概念預以精練；Bruner(1966)認為不同運思過程可以搭配適合的運思材料，而運思由動作表徵到符號表徵的過程，是一智慧的增長； Lesh(1987)則認為表徵的意義在於溝通，對數學念的掌握在於轉換 (translation)；Kaput(1987)認為表徵為認知知覺到符號替代的過程。. 表 2-2 不同學者分類表徵觀點之比較分類者. 觀點. 分類方式. Hieberrt & Carpenter. 形式. 內在表徵、外在表徵. Bruner. 運思. 動作運思、圖像運思、符號運思. Lesh, Post, & Behr. 溝通. 真實腳本、操作的模式、圖片或圖表、口語符號、書寫符號. Kaput. 認知歷程. 認知與知覺的表徵、解釋性的表徵、數學的內在表徵、外在符號的表徵. 資料來源：修改自許淑萍(2002)。國小學生乘除法表徵能力與後設認知相關之研究(頁 11)(未出版之碩士論文)。國立台中師範學院，台中市。 22.

(36) 參、表徵與數學學習綜合上列學者對表徵的看法，在數學的領域中，表徵除了可成為運思的材料外，更有以下的意義性：一、使用表徵讓解題過程意義化、合理化與生動化：配合學生認知層次去操作不同層次的表徵是相輔相成的，利用這個過程來提升兒童的認知發展，進而讓孩童學習去操作較高層認知的表徵(陳霈頡、楊德清，2005)。二、增進學生的表徵能力有助於數學的學習：Lesh et al.(1987)認為強化表徵轉換(translation)能力有助於基本數學觀念的獲得，故此能力是影響數學解題表現的重要因素，其研究也證明了表徵轉換在數學解題與教學上的地位。三、對教導數學概念的啟發：學生若能用更多的方法去表徵問題，展現這些表徵在領域知識的關係上，學生將會有比較好的能力去轉換其他問題解決的技巧(Ploetzner & Spada, 1998)。Putman、Lampert 與 Peterson(1990)認為「習得一套強而有力的符號或表徵系統來表徵數學概念，讓學生能以多重表徵來代表某一概念，或在不同的表徵系統間轉換同一概念」即是能真正的理解數學概念。四、與題目的難易程度方面：表徵是知識的媒介，也是內在知識的具體表達。不同的題目會以不同的表徵形式呈現，不同的表徵方式也會影響到題目的難易度(洪志峰，2007)， Dufour-Janvier、Bednarz 與 Belanger(1987)的研究指出，表徵本來就是數學的一部分，是對同一種概念多種不同具體化的成果，好的外在表徵系統不僅可以減少學習概念或作業的難度，更可以增加學生的學習動機指。而 Greeno 與 Hall(1997)的研究指出，表徵的重要性為：(1)讓學生在學習數學概念時更加具體；(3)協助學生理解在不同情境中的數學要素；(2)不同的表徵相互轉換，促進數學概念與步驟上的進步；(4)為建立理解、溝通訊息與證明推理的工具。綜合上列所述，表徵是數學學習的一部分，也是數學科學生操弄符號進行運算、討論溝通與教學傳授教學知識的一個媒介。在學習上的意義來說，不僅 23.

(37) 可以讓學生理解與協助思考，更可以降低難度、增加學生動機、精鍊數學概念、增進數學解題的理解與提供學生適性教材的一個參考，因此表徵與數學關係相當密切。肆、問題表徵(problem representation)與數學解題問題表徵(problem representation)的溝通對象為他人或是解題者本身，故表徵又為解題歷程中各步驟的溝通工具，由於每個步驟本身即為一種運思活動，所以表徵的形式會影響解題方式或速度，可見表徵與解題能力的關係相當密切 (蔣治邦，1999)，所以問題表徵能力是題解題能力的指標。Glaser (1984)及 Greeno 與 Simon(1988)認為，解題者在問題解決活動一開始時所形成的問題表徵的品質、連貫性、完整性決定接下來的思考效率與正確性(引自羅素貞，1996，頁 161)，故解題者所形成問題表徵可用來預測他的解題表現。Johnson(1988)也認為問題表徵的適合與否關係著問題解決的效率與正確性。許多研究(林碧珍，1990；蔣治邦，1994；Lesh et al., 1987)均從表徵的觀點來探討對於數學概念的理解情形，其結果均表示，如果學生能依各題目情境，靈活的運用各種表徵來表示問題進而促進思考，是培養數學問題解決能力的基本要素。研究發現(何蘊琪，1994；Fuson & Willis, 1989)使用正確適當的圖示與正確的解題策略有高度的相關，故有效的外在表徵策略，可以幫助學生提昇解題能力。換言之，學生的問題表徵能力越強，其問題解決的能力也就越佳。由以上得知，問題表徵是學生解題時的運思活動，其品質的良窳與解題成功與否有很大的關係，以下茲將問題表徵能力與解題的關係歸納如下：一、問題表徵能力與問題理解互為表裡：Kintsch 與 Greeno(1985)認為數學解題時，解題者對問題敘述形成語意基礎後，並依此語意產生相對應的問題模式來表徵問題，進而理解題意及其後隱藏的語意。故問題的理解與問題表徵互為因果關係，解題者對問題的理解影響內在表徵的建立，而解題者所形成的問題表徵品質又可作為問題理解的指標(Yackel & Wheatley, 1985； 24.

(38) 引自羅素貞，1996，頁 161)。故許多學者均指出，學生的解題困難主要發生於問題表徵困難，如：Mayer(1992)認為兒童解題的困難主要多發生在問題表徵階段，而非問題解決階段；Lewis(1989)也指出解應用題上的錯誤主要來自問題結構的錯誤表徵(misrepresentation)。另外國內許多研究(吳昭容，1990；林淑菁，2003；楊淑芬，2001；羅秋霞，2002)均指出學生解題困難的原因主要在於「問題表徵」發生困難，故如要提昇學生解題的能力，應提升學生對問題理解的程度，其中形成正確的表徵即相當重要。二、解題歷程模式對問題表徵的重視：除了 Mayer(1992)的解題歷程模式中，將問題轉譯與問題整合視為個體的問題表徵能力外，在 Gagn′e (1985)的解題歷程三步驟、Willis 與 Fuson(1988)認為加減法應用題與 Montague(2002) 教導數學問題解決的過程均在首要步驟或次要步驟加入了「對問題形成表徵」、「問題情境的表徵」與「解釋視覺化問題或表徵問題」元素於解題的步驟歷程中，可見問題的表徵能力是解題歷程模中的重要元素。三、好的問題表徵能力有助於整合問題訊息：Mayer(1992)的解題歷程模式中，認為基模知識對於問題的分類與訊息整合的能力相當重要。而 Montague(2002)認為問題表徵需要解題者將語言和數學訊息進行條理性的轉譯，以整合問題的結構。Kotovsky、Hayes 與 Simon(1985)則認為問題表徵有助於組織問題的情境與規則，並協助決定特定的解題步驟是否可行。四、好的問題表徵能力讓學生有更多的工作記憶來解決問題：Silver(1987)認為複雜的解題活動可藉由熟練的外在表徵策略讓學生有更多的工作記憶來處理。Kotovsky、Hayes 與 Simon(1985)也認為問題表徵可以幫助減少記憶的負荷量。五、生手與專家問題表徵的能力不同：依據專家與生手的研究，專家問題表徵的能力較生手佳，能重視問題深層結構的意義；專家對於問題能有合適的知覺並對於問題正確的分類，具有較合適的問題空間(problem space)，並能兼用陳述性與程序性知識解決問題。生手問題表徵能力較差，對於問題 25.

(39) 僅有表層結構意義，除問題空間容易出錯外，較不能正確的知覺並分類問題，更缺少有效的程序性知識(王春展，1997)。伍、表徵理論與數學解題總結問題表徵是對數學問題的內外在表徵，問題表徵能力的差異展現了個體的數學問題理解程度(Kintsch & Greeno, 1985；Yackel & Wheatley, 1985)，也表示了個體對問題的整合能力(Kotovsky, Hayes, & Simon, 1985)。個體若有較好的問題表徵能力，不僅表示其對問題整合及問題理解較佳外，更代表個體有更多的工作記憶來協助解題(Silver, 1987)。表徵在解題的歷程有其存在的必要性。當解題者閱讀題目時，代表著解題者從知覺接受訊息的外在表徵，個體利用自身的數學背景知識及語彙將訊息所形成的命題進行解釋，形成數學的內在表徵，而在列式與運算的過程則是一種外在表徵的展現。綜合上列所述，並配合 Polya(1945)認為解題歷程並非完全是直線式的思考，解題的過程中，每一個階段會交互進行，直到解決題目。因此 Kaput(1987) 認知觀點所提的四項表徵也是一個交互進行的階段。因此個體在解題時對問題所形成的問題表徵是一個不斷調整的過程，可以讓個體的問題的理解整合度更高，進而促進問題的理解，故個體是否能理解問題，並整合問題是問題表徵的關鍵。所以 Kotovsky、Hayes 與 Simon(1985)及 Mayer(1992)均認為問題表徵能力有助於整合問題訊息。本研究的重點在於探討學生的問題表徵與中文閱讀的相關性，並進一步對閱讀及數學解題做預測。因此本研究如上一節所述是採 Mayer(1992)理論中問題表徵能力及其所需三類知識為架構編製測驗，探討不同數學解題能力學生在問題表徵及所需的語言知識(linguistic knowledge)、語意或事實知識(semantic knowledge)及基模知識(schematic knowledge)的差異及其與中文閱讀理解能力之相關情形。 26.

(40) 第三節中文閱讀理解理論與相關研究由上一節的陳述得知，問題表徵能力與數學解題相關密切，但閱讀卻是學生理解數學問題的前提。學生必須對文字訊息覺知，才能對問題進行閱讀，進而在過程中對問題形成內外在表徵與解題。在學校教育中，大部分數學問題均以文字的方式呈現，因此學生中文閱讀理解能力是解題與對問題建立表徵的必要條件。因此本節將就閱讀的意涵、模式與歷程進行討論，並對影響閱讀的相關因素及其相關實徵研究進行說明。. 壹、閱讀理解的意涵文本資料與訊息知識的保存是人類社會的一項重要資產，但閱讀則是人們獲取資產的重要方式，人們藉由閱讀，知識與文化資產才能得以延續，故閱讀行為在現今資訊化的社會極顯重要。不同的心理學派對閱讀有不同的看法。行為學派認為閱讀是一個刺激反應的過程，當讀者能對文字符號刺激的處理達自動化，代表閱讀技能的獲得，理解便會產生；認知學派認為閱讀除了是一個複雜的心理歷程外，也代表個體由訊息的接收、知覺對訊息的詮譯到大腦的處理與理解，故閱讀是一個對訊息接收的過程，這個過程，包括讀者本身與文本之間的互動與建構，也影響了讀者對訊息的處理。不同學者提出了對於閱讀的不同看法。Rubin(1991)認為閱讀是多種心智能力的運作，對閱讀文本之字義、符號、概念的推理，進而獲取文章的意義。 Pressley(2000)認為閱讀理解分為兩個層次：一為字彙的層次，為閱讀歷程中較低層次的理解，強調字彙的解碼與字彙的數量；另一為較高層次的歷程，強調句子間、段落之間及對整篇文章的理解。Goodman(1996)認為，閱讀是一個對書寫文字建構意義的過程，故讀者在閱讀時須運用自己的經驗去理解與建構屬 27.

(41) 於自己的意義，故閱讀是一個建構性語言的歷程。Rumelhart(1978)認為，閱讀是對訊息正確的覺知，包括對字詞與句子都能予以正確的解讀，同時讀者利用本身的經驗對訊息的猜測與驗證，並推論其意義的一個過程。陳雅文(2004)認為閱讀理解的意義是閱讀者運用自身的經驗與知識，去預測、驗證與推論文章的發展，進而建構閱讀的意義。綜合上述學者的看法，閱讀除了對文字符號訊息的接收、字義的理解與段落的整合瞭解外，個體本身利用背景知識，對所得的文字訊息做假設及驗證的過程也是個體藉由閱讀而理解的歷程。. 貳、閱讀的理解模式閱讀理解的模式，代表著個體對於閱讀資料處理的系統方式，可分為「由下而上的模式」、「由上而下的模式」、「交互模式」與「循環模式」，茲將其分述如下：一、由下而上的模式(bottom-up model)：強調刺激感覺到內在表徵的知覺歷程 (林建平，1997)，又可以稱之為「資料驅動」模式，是由 Gough(1972)提出(吳訓生，2002)。本模式認為閱讀的歷程應該由低的認知層次到高的認知層次，故閱讀是從形象表徵、字母辨識、語詞的認知、詞到語句的處理，一直到組織句子的語意到整篇文章的理解為其過程。由於閱讀是由低階的認知能力運作而開始，故字音、字形的辨識比語音及語法的使用還要早，是閱讀的基礎。二、由上而下的模式(top-down model)：相對於「資料驅動」模式來說，認為個體本身先備知識與語言的知識才是閱讀理解的主軸，故又稱為「概念驅動」模式，是由 Goodman(1970)提出(吳訓生，2002)。Goodman(1998)認為閱讀是在預期的基礎上，使用可得、最少及從知覺選擇而來的語言線索來組識訊息，故閱讀是一種選擇的過程(張必隱，1992)。閱讀時，不必要用到文章中的每一個字來理解文章的意思，而是從脈落中來猜測閱讀時無法理解 28.

(42) 的字，並藉由個案的對於文章的各項知識來理解文章的過程。三、交互模式(interactive model)：本模式認為閱讀的歷程並非僅只有「由上而下」或「由下而上」的單一過程，閱讀時訊息處理有時候是由下而上，重視識字的理解；但有時候卻是由上而下，著重個人經驗的(曾世杰，2004)。故 Rumelhart 在 1977 年提出閱讀模式的互動理論，認為讀者是同時與交互使用「由上而下」與「由下而上」的模式來閱讀(林建平，1997)，強調人類閱讀時「平行處理」的能力(曾世杰，2004)，即個體在處理訊息時，同時處理二件以上的任務，閱讀時不僅利用識字來對文章進行理解，也運用個體的本身知識，不斷對文章的預期內容來猜測、考驗與理解文意的過程。四、循環模式(recycling model)：認為閱讀歷程是一種循環，並非如上述三種直線式的運作過程。當閱讀者看到文章中字的時候，對字便產生了解釋，進而形成對後面閱讀的字產生期待，期待又會與下一個字配合形成命題，若不能形成命題回頭尋找另一個解釋，一直到閱讀者能統整段落中所有的命題為止，進而理解文章的意義（林佩欣，2004）。所以閱讀是認字、形成命題與統整的循環過程。. 參、閱讀的歷程大多數學者都均認為識字(word recognition)與理解(comprehension)是閱讀最重要的兩個主要歷程(吳訓生，2002；柯華葳，1993；胡永崇，2008；錡寶香，2007)。認字與理解的關係又是如何呢？由識字、閱讀到理解的角度來看，識字是閱讀的基礎成分(蘇宜芬，2004)。Stanovich(1986)提出沒有上下文脈絡影響的認字測驗最能區辨優讀者與弱讀者，McBride 與 Ho(2000)也指出單一之認字測驗常被選為研究個體認字或閱讀的指標(引自黃秀霜，2001，頁 2)，故識字對閱讀有其關鍵性的角色(柯華葳，1994)。胡永崇(2008)則認為閱讀開始於認字，終於理解，而閱讀理解才是整個閱讀教學的最終與主要目的。 29.

(43) 由以上得知識字是解碼的要件，識字能力的建立，個體才能進行閱讀行為，理解文章的內容，而閱讀尚還有哪些重要歷程呢？茲簡述國內外學者的看法：一、國內學者柯華葳(1999a)將閱讀的歷程分成識字與閱讀理解。在識字部分為字形辨識、組字知識與部件字位置知識；在閱讀理解部分，可將其分述為部分處理與文本處理來進行說明： (一)部分處理：是指在處理少量的文本時，建構而出的初級單位，包括字義搜尋、形成命題與組合命題。 1.字義搜尋：在文本中得到正確的字彙理解。 2.形成命題：在上下文中找到字義後，將這些字組成基本的文本單位(命題)。 3.組合命題：讀者處理不同命題中重複出現的詞彙及概念。 (二)文本處理：指對較長文本的理解，包括了文意理解與推理。 1.文意理解：指在長期記憶中，針對文本找出字音、字形，並分析語法，進而瞭解文意。 2.推理：依語意及文章的脈絡，並配合自身的生活經驗，來建構新知識。. 二、Swaby(1989)的觀點認為閱讀理解是一種將訊息的語法、句法與詞彙知識運用於短文閱讀情境的閱讀技能，讀者只要有應具備的技能，閱讀即能發生。所以閱讀技能的表現，是因讀者擁有的技能不同而有產生不同層次的理解，茲將不同層次的理解分述如下： (一)字義的理解(literal comprehension)：指讀者依字句中的語意，理解文章的主題與中心思想。回憶事實、細節、次序與指出字義都是相關的閱讀技能。 (二)推論的理解(inferential comprehension)：指讀者依文章中的訊息，並結合自身的經驗，去推論文章隱含的意義。推論中心思想、做適當的解釋、預測、比較、對照與找出因果關係都是相關的閱讀技能。 (三)評鑑的理解(evaluative comprehension)：指讀者對文章的訊息進而產生自己 30.

(44) 的觀點。價值判斷、決定主張、支持或拒絕某種意見都是相關的閱讀技能。 (四)批評的理解(critical comprehension)：指讀者對訊息的格式與內容進行分析。理解文章意思的邏輯性與一致性，區別文章字句的型式和語態都是相關的閱讀技能。. 三、Gagné、Yekovich 與 Yekovich(1993)依據訊息處理理論的觀點，將閱讀理解歷程分為以下四個階段: (一)解碼(decoding)：解碼是指將書寫文字符號辨識出來，從長期記憶檢索，使其產生意義的過程，這個歷程可分為配對(matching)與譯碼(recoding)。配對(matching)係指讀者所視其字，便知其義，在這個過程中，不需經由語音的線索而從長期記憶中提取出字中的意思，讀者解碼若已達自動化的，默讀者通常採取轉配對的歷程(湯治平，2001)；而譯碼(recoding)則是讀者在閱讀的過程中，讀者接收到字的訊息後，必須以字音為線索，才能從長期記憶中檢索出字義的過程，不認識的字通常採取譯碼的歷程(林建平， 1997)。 (二)字義理解(literal comprehension)：係指讀者從書面訊息中指認字面含義的歷程，其又可分為字義的接觸(lexical access)與文法的解析(parsing)。字義的接觸(lexical access)是指讀者對解碼的文字從個體的知識中選擇合適的意思，故字義的接觸為解碼的結果；在句子的結構與規則中有許多的有意義的字詞或片語，故針對其有意義的片語或字詞意之間而形成的組合命題進行分析，進而了解文句的過程即是文法解析(parsing)。在字義理解的過程之中，讀者只能獲取句子表面上的意思(李正聖，2006)。 (三)推論理解(inferential comprehension)：係指讀者對閱讀書面訊息有廣博、深入與統整的理解。推論的理論可分為三個部分，為統整(integration)、摘要 (summarization)與詳細論述(elaboration)。統整(integration)係指能相互連貫閱讀後後所形成的各項心理表徵，獲取文句間隱含的關係，以對文本內容 31.

(45) 更深入的瞭解；摘要(summarization)對閱讀後的訊息，其文本中概念進行歸納而成的大意，是一種對文本的鉅觀結構的理解；詳細論述(elaboration) 則是指讀者能將本身的經驗、知識、文本的訊息與概念結合，而產生新的經驗的過程，而藉由詳細論述的一個過程，增加了知識遷移的能力(黃瓊儀，1996) 。 (四)監控理解(comprehension monitoring)：監控本身就是一種後設認知的能力，故監控理解是指對閱讀過程的心理狀態來進行監控。讀者要能檢視自身是否瞭解文意，並依結果隨時進行調整而增加閱讀理解的一個過程，這個歷程包含了目標設定(goal setting)、選擇策略(strategy selection)、檢核目標 (goal checking)與修正(remediation)(陳怡琪，2011)。故在閱讀時，個體針對文本訊息設定所要理解或取得訊息的目標，並依此目前建立閱讀的策略，在這個過程中要隨時檢核目標的達成狀況，並依狀況隨時修正、調整與補救。. 四、Pearson & Johnson(1987)閱讀理解三層次論(董宜俐，2003): (一)表層文義的理解(textually explicit)：指讀者在閱讀時，能指出字彙的意義，並能理解字彙意義間串聯所形成的命題，為 Gagné 閱讀歷程中的「解碼 (decoding)」與「字面理解(literal comprehension)」兩個層次。 (二)深層文義的理解(textually implicit)：指讀者必須經由文章的提示與線索的推論，才能獲得問題的解答，為 Gagné 閱讀歷程中的「推論理解(inferential comprehension)」層次。 (三)涉入個人經驗的理解(scriptually implicit)：指讀者在閱讀時，必須加入讀者本身的經驗才理解，為 Gagné 閱讀歷程中推論理解的「詳細論述 (elaboration)」部分。. 32.