第二章 文獻探討
第一節 數學文字題解題歷程理論
第二章 文獻探討
本研究的目的在探討數學解題能力、問題表徵能力及中文閱讀理解能力的 關係，因此有必要針對數學解題理論、表徵理論及閱讀理論進行探究，並對相 關變項的實徵研究進行探討，故本章旨在探討與本研究相關的理論基礎與已進 行的實徵研究，並對相關文獻進行歸納與整理。本章可分為五節，第一節為數 學解題理論，第二節為表徵理論與數學解題，第三節為中文閱讀理解理論，第 四節為數學解題、問題表徵與閱讀相關實徵研究的探討，最後一節為總結。
第一節 數學文字題解題歷程理論
學生為解決生活中的數學問題，有一定的數學解題歷程，本節從數學文字 題的意義進行說明，並介紹相關數學解題理論及解題理論與本研究的關係，以 期對解題理論有脈絡性的瞭解。
壹、問題解決與數學文字題
什麼是問題解決？認知心理學家 Mayer(1992)認為問題有三種特徵，分別 為已知條件、目標與障礙。已知條件是指已知的情境為何，目標是指最終為達 到的狀態，障礙則是由已知到目標之間的路徑。所謂問題解決即是在符合已知 條件的狀態下，運用各種可能的方法解決障礙而到達目標的一種過程。Krulik 和 Rudnick(1980)認為問題解決是在問題的情境中，解題者以本身的舊經驗或 知識來從事解答的過程。張春興(1994)認為問題是否存在，與個人的主觀感受 有關，故問題即是個人有目的待追求，但未找到適合方法時感受到的困境。
Newell 與 Simon(1972)從問題空間(problem space)的角度來說明，指出問題空間
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量由以下幾個狀態(statement)所構成：(一)目標或目的；(二)初始的狀態，係指 即問題的內容；(三)中間的狀態，其包括達成其目標所有可能的路徑。每一條 可能解決問題的路徑由許多步驟所組成，經由這些步驟將能完成問題解決。
數學文字題是針對數學問題以文字及學科相關符號表徵的一種形式，其最 終的目的仍為問題解決，那究竟數學文字題的定義為何呢？
Mayer(1985)認為數學文字題是運用文字敘述問題的數學計算題型，學生在 解數學文字題時，除了要能熟悉數學計算的過程，更要能對數學文字題閱讀並 理解題目的語意，最後再整合文字題提供的條件來解決問題(林清山譯，1991)。
Cummins(1991)則認為文字題是指由用語文的形態來說明日常生活中的數學問 題情境。詹士宜(1992)指出數學文字題是結合數學知識與語文技巧的問題，日 常生活中的數學問題，非只是計算，更是許多問題解決的過程。
由上述得知，對數學文字題問題解決的過程即是解題，而數學解題即數學 被視為是一個解決問題的情境，個體在情境中運用到數學概念、原理及方法來 解決問題，也就是把數學解題視為達成特定教學目標而進行的活動(楊瑞智，
1994)。
數學文字題是利用文字及數學相關符號表徵數學問題的一種形式，它較一 般的計算題涉及更複雜的認知與運算歷程(Cummins, 1991)。解答數學文字題的 過程時，先必須瞭解問題的敘述，接著回憶相關問題的知識結構，並嘗試表徵 問題的模式，最後針對此模式進行推論，因此解題不僅是一個複雜的心智活動 (古明峰，1997)，也是一種語文能力與數學能力整合的綜合學習活動(Mayer, 1992)。
貳、數學解題的歷程模式
最早的數學解題歷程模式是由 Polya 在 1945 年所提出的瞭解問題、擬定解 題計畫、執行解題與驗證四步驟。往後的學者也都以此為基礎，提出相關的解 題歷程模式，茲分述如下：
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一、Polya 的解題歷程模式
Polya(1945)為指導學生解題技能，在「怎樣解題」(How to solve it)一書中，
指出解題的四個階段，分別為
(一)瞭解問題：能瞭解題意，除能指出問題所求，也能知道題目的已知條件與 未知條件。
(二)擬定解題計畫：依題目的訊息擬訂解題的方法或執行步驟。
(三)執行解題：依據擬訂的計畫，執行每一步驟。
(四)回顧驗證：回顧解題的過程，或者能思索用各種的方法解答或將此方法運 用到不同的問題情境中。
Polya(1945)認為這四個階段的解題歷程並非完全是直線式的思考，學生在 解題的過程中，此四個階段會交互進行，直到解決題目。Polya 是一位數學學 家，也是第一位提出解題歷程的學者，其對解題的看法給後續提出解題歷程的 學者相當大的啟示。
二、Kilpatrick 的解題歷程模式
Kilpatrick(1967)則針對八年級學生為對象，依 Polya 之歷程模式將問題設 計成檢核表，探討解非例行性文字題時所用的策略。經由原案(protcol)分析後，
調整檢核表並將解題歷程分成四個步驟：
(一)瞭解問題：辨認已知條件、畫圖與引入符號。
(二)擬定計畫：重新敘述問題與考慮相關問題。
(三)執行計畫：使用連續漸進策略與檢查解題步驟。
(四)檢討：檢查答案是否合理、檢查答案是否符合條件、回溯論証的步驟與使 用其他方法獲得答案。
Kilpatrick 認為解題者具備相關的數學知識、能組織表現與轉換問題的處 理過程與能選擇知識進行處理的控制系統是成功解題的重要關鍵。
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三、Schoenfeld 的後設認知解題歷程模式
Schoenfeld(1985)認為解題的歷程中需要考慮四個變項：
(一)資源(resources)：是指解題者有的相關數學知識，包括數學事實、定義、運 算的程序(procedural)與命題(propositional)的知識。
(二)捷思(heuristics)：是指解題者在解決數學問題時所使用的策略。
(三)控制(control)：認知的管理、執行與分配，係指認知與後設認知的部分，包 括計畫、監控與回顧的解題歷程。
(四)信念系統(belief system)：係指解題者對數學的觀點。
Schoenfeld(1985) 的研究發現解題歷程四個變項中，以控制居於最關鍵的 地位，故其從控制的觀點，進一步的將 Polya 數學解題歷程分為六個階段：1.
閱讀(read)：解題者對問題閱讀；2.分析(analysis)：解題者簡化或重述題目，以 促瞭解問題；3.探索(exploration)：尋找出已知條件、未知條件與問題目標彼此 間的關係；4.計畫(planning)：解題者擬定解題計畫，並評估計畫的適當性；5.
執行(implement)：執行計畫並檢視執行狀況；6.驗證(verify)：受試者對解題過 程與結果的檢視(邱上真、王惠川、朱婉艷、沈明錦，1992)。
四、Garofalo 與 Lester 的「認知-後設認知」數學解題歷程模式
Lester (1980)認為會影響數學解題的因子包括以下(劉湘川、許天維、林原 宏，1993)：
(一)問題本身：即問題的本質，如問題的內容、結構、格式等。
(二)解題者：解題者本身的不同特徵，如解題的經驗、知識或信念等。
(三)解題歷程：如題解的訊息處理、表徵與策略等 (四)解題環境：如教學方式或解題的限制等。
Garofalo 與 Lester(1985)修正 Polya 的解題歷程模式，並加入 Flavell 所提的
「後設記憶」概念，提出「認知-後設認知」的解題歷程模式包括了定向
(orientation)、組織(organization)、執行(execution)、驗證(verification)四個階段，
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茲將其說明如下：
(一)定向：評估並瞭解問題。
(二)組織：擬定解題計畫並選擇解題策略。
(三)執行：監控解題行為並配合計畫。
(四)驗證：評鑑定向、組織及執行歷程是否正確與合理。
以上四類認知成分受三類後設認知成分所影響，即 Flavell(1976)所提的後 設認知知識的個人(person)、工作(task)與策略(strategy)三個後設認知成分影響。
Lester 的解題歷程模式與 Schoenfeld 的模式相似，都是除了重視解題的認 知歷程外，亦特別強調後設認知的重要性，即覺知並監控自己的解題歷程在整 個解題歷程中佔有關鍵性的地位(引自邱上真、詹士宜、王惠川、吳建志，1995，
頁 5)。
五、Mayer 的數學解題成份論
Mayer(1992)從認知心理學的角度探討解題的歷程，他從表徵的觀點，探討 如何將問題敘述轉換成數學運算敘述，而將數學解題歷程分為問題表徵
(problem representation)及問題解決(problem solution)兩個階段，而每個階段又 分為兩個成份，分述如下並將其解題歷程以實例說明(如表 2-1)：
(一)問題表徵(problem representation)：係指解題者對問題的文字表徵轉換成內 在心理表徵的過程，又可分為以下兩個成份：
1.問題轉譯(problem translation)：解題者必須將題目中的陳述句譯成能理解的內 在表徵，進而去理解句子之間的關係。在此階段，解題者必需有良好的「語 言知識」及「語意或事實的知識」才能對數學問題的陳述句做轉譯的動作。
2.問題整合(problem integration)：問題中的陳述句在解題者具有「基模知識」
的狀況下，將有問題的相關訊息予以整合成一致的表徵，如對問題的類型、
有關及無關的資料、決定解答問題所需的資料或用圖示畫圖的方式來表示問 題，予以整合成解題者對問題的心理表徵過程。
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(二)問題解決(problem solution)：即從上述心理表徵進行到最後答案的過程，在 問題解決階段也包括了兩個成份：
1.解題計畫與監控(solution planning and monitoring)：在理解題目的意義後，解 題者能針對題目擬定次目標，並依數學語句或方程式來表示問題，同時針對 問題列出可能的結論與想出監控解題的計畫，本階段所需要的是「策略的知 識」。
2.解題執行(solution execution)：係指解題者能正確和有效的執行解題計畫和算 出答案，在本階段需要「程序性的知識」。
由上述 Mayer(1992)所提出的解題模式中，可以分為兩個階段，四個成份，
而上述的四個成份中又可以分成解題的五種知識，且 Mayer 認為解題的五種知 識中，若解題者欠缺任何一種，很可能就無法成功的完成解題。茲將解題的五 種知識及其對解題的重要性說明如下(王瑋樺，2001)：
(一)語言的知識(linguistic knowledge)：轉譯問題中的敘述的知識，是英文或其 他語言的能力。此類知識可以讓解題者針對句子加以釋意或改述，並能理 解句子中的關係語句。
(二)語意或事實的知識(semantic knowledge)：有關於現實世界的知識，如一公 尺等於一百公分。
(三)基模的知識(schematic knowledge)：能將問題訊息組織成「有意義」整體與 對熟悉問題型態指出相關性。如對問題的結構做分類，如能對加減法應用 問題分類成「合併型」、「改變型」與「比較型」。
(四)策略性的知識(strategic knowledge)：有關於執行的知識，能檢視問題解答 或者利用計畫對問題擬定解題的步驟。
(五)程序性的知識(procedural knowledge)：如何進行運算以接近問題答案的知 識。
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表 2-1
Mayer 的數學解題四成份與例子說明
例題：地磚是以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 0.72 元，若
例題：地磚是以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 0.72 元，若