學童角測量時的困難之處

國內對角測量的研究較缺乏，但對學童角概念的研究卻不少，而量角器的使用方 法是角概念的其中之一，希望由角概念的研究找出學童對角度量測的困難處。

壹、學童角相關困難處之研究

李金葉（2007）將國內學者進行學童角概念的研究，詳細的整理如表2-1。由表中 可找出四年級學童使用量角器有36％看量角器內線來報讀刻度、一半的學生會畫出指 定度數的角（黃金泉，2003）。而五年級學童在「畫給定度數的優角」（180度至360 度間的角）、「實測優角的角度」、「估測銳角、鈍角的角度」、「辨認鐘面兩針的 夾角與分針旋轉的角度」等項目的概念或能力表現極需再加強，原因大都是操作量角 器欠熟練，缺少估測角度經驗等因素所形成的（賴文正，2005）。

表 2- 1. 國內學者對角概念的相關研究

賴文正（2005）

Fuys, Geddes, & Tisler (1988)與劉湘川等人（1993）的研究指出學童會認 為三角形就是角。謝貞秀、張英傑（2003）的研究則指出高達62.5％的三、

概念與實測極需加強。王慈莉（2005）發現三年級的學童在角度接近於平角 時，辨認是角或非角會產生較大的困難。

（三）角的大小比較受外在特徵影響：

Piaget, Inhelder, & Szeminska (1960)、Close(1982)及 Mitchelmore(1989) 等人的研究發現部分學童會以角的兩邊長度判斷角度的大小。陳錦傳（1995）

對四、六年級的學童研究，發現角的邊長長短，會影響學童角度的大小比較 判斷。謝貞秀、張英傑（2003）發現三、四年級學童對邊長較短的角辨識率 較低。

（四）角的大小比較受方位影響：

Piaget et al. (1960) 認為學童要先具有角的保留概念，才能將角度相同但 擺放方向不同的角視作相同。Close (1982) 發現學童在測量有一邊是水平的 角時，比較不容易出錯。Mitchelmore(1989) 發現約50-60﹪的11歲學童認為 一邊水平加一邊垂直的角才是直角。陳錦傳（1995）對四、六年級的學童研 究，發現角的方位，會影響學童角度的大小比較判斷。黃金泉（2003）發現 四年級學童具有角方向改變的保留概念者約55％。謝貞秀、張英傑（2003）

發現三、四年級學童，當直角兩邊如果不是水平或垂直，則有25％的學童認 為是鈍角。王慈莉（2005）發現約24％的三年級學童認為直角要有水平邊。

（五）量角器操作表現：黃金泉（2003）並且發現四年級學童測量角度時，有36％

的人習慣以量角器內刻度來報讀度數，顯示對量角器的刻度意義並不了解。

賴文正（2005）發現19％的五年級學童會將鈍角畫成互補的銳角。李金葉

（2007）覺得學童在操作量角器上常見的問題有：1.不知道要將量角器的0 度線對齊角的一邊，或是認為量角器的0度線必須水平擺放。2.不知道要將量 角器的中心點對齊角的頂點。3.認為量角器的90度線必須是垂直向上的。4.

90度線對準被角的一邊，導致答不出鈍角角度或答錯銳角角度。5.不會判讀

量角器上沒有標明數字的刻度。6.面對「鈍角或非水平方位」的角圖形時，

較容易發生讀錯刻度的現象。

參、97 九年一貫課程綱要加入量角能力指標

97 課程綱要（100 年實施）（教育部，2009）的數學學習領域將九年國民教育區 分為四個階段：第一階段為國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段 為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級。而現行 92 課程綱要(教育部，2006) 的數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級（國小一至三年 級），階段二為四、五年級（國小四、五年級），階段三為六、七年級（國小六年級、

國中一年級），階段四為八、九年級（國中一、二年級）。雖然兩者階段分法不同，但 都將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等 五大主題。

前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以大寫字母 N、S、

A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，

分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示 該細項下指標的序號。研究者將國小階段中與角度有關能力指標整理如表 2-2 和表 2-3，由表中可看出增加了量角的能力指標，顯示對角度量測的重視，學童在第二階段

（國小三、四年級）就要學會量角器的實測。

表 2- 2. 92 課程綱要中與角度有關的能力指標 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。

S-2-05 能理解旋轉角的意義。

S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。

表 2- 3. 97 課程綱要中與角度有關的能力指標 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。

S-2-07 能理解旋轉角的意義。

*N-2-20 能使用量角器進行角度之實測，認識度的單位，並能做角度之比較與計算。

S-3-04 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。

*為 97 課程綱要新增的能力指標，與 92 課程綱要不同。

另外在數學領域中提供了分年細目以供教師、教科書編者與審定者使用，97 課程 綱要中的分年細目與 92 課程綱要一樣。分年細目以三碼編排，其中第一碼表示年級，

分別以 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 表示第一到九年級（七至九年級為國中一至三年 級）；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」

和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下細目的序 號。研究者將國小階段中與角度有關分年細目整理如表 2-4，希望藉由此分年細目找 出學童角度量測時相關能力。

表 2- 4. 92 課程綱要中與角度有關的分年細目

分年細目 內容 相關

能力指標 2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。 S-1-03

說明：

●例：指出課桌的角、直線與平面的所在，並能使用「角」、「直 線」與「平面」的名詞與人溝通。

● 應進行在簡單立體形體中（參見 1-s-02），認識「角」、「邊」

與「平面」的教學活動。

3-s-04 能認識角，並比較角的大小。（同 3-n-17）

N-1-14 N-1-15 S-1-03

說明： ●量的教學請參見（附錄一）中「量與實測」的主題說明。

4-s-04 能認識「度」的角度單位，使用量角器實測角度或畫出指定 的角。（同 4-n-14）

N-1-16 S-2-05

說明：

●要注意學童以為度數隨角的邊長增加而增加的常犯錯誤（這是與 面積混淆所產生的錯誤）。

●學童在學習使用量角器時，經常有無法對準中心及角的一邊未對 齊 0 度線的問題，教師應仔細檢查。

●學童初步熟悉 30 度、45 度、60 度、90 度、120 度、135 度、150 度、180 度的角度即可。在做角度估測時，不應要求太嚴格。

4-s-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-05

說明： ●認識順時針、逆時針的意義。

●認識旋轉角度是沿著順時針或逆時針方向轉動的角度。

5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。 S-2-03 說明： ● 以測量、剪裁等方式進行。

5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形。 S-2-03 S-2-05 說明： 無

6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並

認識比例尺。 S-3-02

說明：

●從影印機的縮小放大（如 50％），利用實測，知道任兩點之間的 距離也以相同的比例縮小放大（如變成一半），但是角度沒有變化

（而面積卻變成原來的 12 ×12＝14）。如果將圖形放大成 3 倍，角 度不變，長度變 3 倍，但面積變成 3 ×3＝9 倍。

● 能利用平行四邊形、三角形與梯形的面積公式，說明面積變化 的事實。

● 介紹地圖的使用，認識比例尺，並經由地圖的實測來計算距離。

肆、小結

由上面的研究，研究者發現因為量角器有內外兩種刻度，學童會因此判斷錯誤，

顯示學童對於量角器中的度數意義不了解，且銳角鈍角分不清楚（賴文正，2005）。

而學童使用量角器測量角度比使用量角器畫角度更常出現問題（黃金泉，2003），可 以知道學童畫角度是水平角、單一角，而測角度就不一定是水平角、單一角，顯示學 童對量角器的操作仍不熟練，且認為角一定是水平，沒有角的保留概念。研究者以「角 的保留概念、銳角與鈍角」、「量角器中的度數意義與操作」、「量角器測量角度」、「量 角器畫角度」來設計教材。