角相關的理論與研究

在設計教材前，必須了解學童的角概念發展，才能設計教學流程與教材，也才能 在教學中對學童有適當的引導，學童才能得到正確的觀念。本節介紹角相關的理論與 研究。

壹、皮亞傑角概念發展階段

Piaget et al. (1960) 以「角圖形的仿畫」、「鈍角三角形的仿畫」、「三角形的內 角度數和」三種作業研究兒童角的概念發展階段：

（一）階段Ⅰ（4-5歲）至階段ⅡA（6歲）：

這兩階段的兒童僅能藉由視覺估測來畫圖形，無法運用工具測量，也無法 知覺角的存在。

（二）階段ⅡB（6-7歲）：

此階段的兒童能做長度測量，但不會做角度測量，而以視覺判斷線段的斜 度。

（三）階段ⅢA（7-9歲）：

此階段的兒童能做長度測量，並且在複製角時可以平移直尺以維持線段的 斜度，仍無法覺察角的存在。

（四）段ⅢB（9-9.5歲）：

此階段的兒童能利用直角當作參考角，以線性測量的方式，找出斜度與垂 直底邊的高。

（五）階段Ⅳ（大於9.5歲）:

此階段的兒童能擺脫圖形本身的干擾，做出補助線和外高，並能將角的概 念普遍化。

由上述研究結果可知，兒童隨著年齡的增加，約到十歲以後才漸漸對角的存在及 角的概念有所理解，也才能做角度測量。兒童角的概念發展順序依次是：「無法知覺角 的存在」、「以視覺判斷線段的斜度」、「利用視覺以外的方式來知覺角度」、「正確利用 測量工具」。

貳、Van Hiele 幾何思考理論

（一）五階段幾何思考層次

荷蘭數學教育家Van Hiele（1986）將學習幾何的過程區分成五個思考層次，分別 是視覺（ Visualization ）、分析（ Analysis ) 、非型式演譯（ Infromal

Deduction ) 、型式演譯（ Formal Deduction ) 以及嚴密性（ Rigor ）。兒童經由 適當的教導與學習能從最基本的視覺階段，觀察圖形的形狀，最後可到達最高的嚴密 性的層次，包含抽象的思考與歸納，以下來介紹各個層次的要點：

第一層次（ Levell ) ：視覺/辨識( Visualization / Recognition )

這個層次的兒童，藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓來辨認 圖形，但不能利用圖形的性質或組成要素來加以分析。譬如從生活經驗中知道長方形 就是瘦瘦長長的，方方正正的就叫做正方形，圓圓的東西就是圓形，像門的形狀就是 長方形，像太陽的形狀及像盤子的形狀都是圓形；又如◇看起來是歪的，不是方方正 的，兒童就認為這不是正方形；此層次兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大，只 要在圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形看成正方形，或將橢圓形看成圓形。

此層次的兒童可以透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可以辨別圖形之異同，他們 可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。例如 長方形和正方形兩者有相像的部份，如直直的邊，方方的角，但兒童不能了解長方形 與正方形均有四個直角或他們的對邊是平行的。又例如兒童知道直角三角形有三個

角，但是不知道其中有一個角是直角。教師應多提供各種機會，讓兒童透過實際的操 作，使其視覺感官進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造形等活動，來獲得幾何圖 形的正確概念。這個層次的兒童能根據圖形的外表，來識別、操弄圖形（Shape）（例：

正方形，三角形），和其它幾何構形要素（Configurations）（例：線，角，網狀格子）。

第二層次（ Level2 )：描述/分析( Descriptive / Analytic )

這個層次的兒童已經有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖形的 構成要素（頂點、邊、角），這些要素可用來形成形狀分類的概念化過程，即可以從完 整圖形來辨認部份要素，亦可從部份辨認整體。例如，不但能了解角的度量意義，且 能利用角的大小將三角形分成銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。又例如，能夠 察覺到圓形沒有邊，三角形有三個邊，長方形有四個邊，四個角，而且四個角均是直 角，正方形有四個邊，而且每邊都相等，五個邊圍成的多邊形是五邊形。但無法說明 這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有 何關係，兒童不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩個圖形邊長不 相等時，面積可能相等，此層次的兒童尚無法經由推理而知悉其道理何在。這個層次 的兒童藉由構成要素的名稱，和構成要素之間的關係來分析圖形。同時，依其經驗建 立同一類圖形所具之特性，並且運用圖形之特性來解題。

第三層次（ LeveI3 ) ：抽象化/非形式演繹( Abstract / Informal deduction ) 在這個層次的兒童，不但能夠了解、掌握、運用組成圖形的各種要素，並且能建 立圖形屬性的內在關係（即構成要素間關係的非形式演譯）以及各圖形之間的包含關 係。例如三角形不會同時擁有二個鈍角，也能透過演譯的方式了解任何直角三角形中 的兩銳角和是90度。。又例如一個四邊形如果相對的邊均平行必為平行四邊形；正方 形是長方形的一種，當長方形四邊皆等長時就是正方形。兒童能夠根據圖形的屬性，

來辨認圖的分類，所以族群的分類也能夠了解，因而定義更會顯示出其有意義性，非 型式的演譯才能被了解。例如正方形是對邊平行、角為直角的四邊形；任何三角形的

一個外角等於其相對二內角的和， n多邊形的內角和為 ( n-2 ) 180° 。但是這個層 次的兒童不太能了解整體定義或公設的角色，具體獲得的結論往往先是經由定義演譯 而來，再經由形式的證明，但是學生較看不到邏輯次序可被改變，也不能了解如何從 一個不同的或不熟悉的情境中去建構或證明，例如任何一 n 多邊形其外角和為 360

°。這層次的兒裡開始建構不同類型圖形之間的關係，使用公式，表示和使用定義，整 理先前發現的性質，給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。

第四層次（ LeveI4 )：型式演譯（ Formal Deduction )

這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道 證明的方法不只一種，其充分或必要條件的內在關係亦能理解，正逆命題之問的差異 性亦可發現，而未被定義的語彙，公設，假說，定義，定理及證明也被理解。換言之，

學生不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具 備的充分或必要條件。例如：「等腰三角形底邊的垂直平分線必通過三角形的頂點」， 能確切說出此題目已知條件是什麼，要證明的又是什麼？但不需完成證明過程。又如 不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理，即兩股的平方和等於第三邊的平方；

可以知道菱形也是長方形，又是正方形；正五邊形邊長均相等，但邊長均相等的五邊 形卻不一定是正五邊形；使用許多技巧證明對稱、旋轉、座標平移、轉移、向量、或 能用邏輯思考去思考、分析問題。這個層次的學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何 的性質。

第五層次（ LeveI5 ) ：嚴密性（ Rigor )

這個層次是屬於最高層次，這個層次的學習者能進行各種不同公設系統，並且在 不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較，包括非歐幾何（non-Euclidean Geometry）不同系統問的比較，同時能夠了解抽象推理幾何概念。一般人是很難達到 這個層次，即便是數學專業者亦不易達成。

（二）幾何思考層次的特性

在五個幾何思考層次中，從豐富直觀與洞察分析到推理思考外，Crowley（1987）

由 Van Hiele 的研究還確認了一些原則與特性，對教學模式的決定提供一些引導的方 向，對教育工作者特別有意義：

1.次序性（ Sequential ) ：

每個人的層次發展均是循序漸進的，任一個特定層次若要成功的發展，他必須擁有 前一層次的各項概念與思考策略。

2.增強性或加深加廣性（ Advancement ) ：

從一個層次到另一個層次是經由教導，並非因其年齡的成長就能有所發展，所以沒 有任何一種教學方法能讓學生跳過某一個層次而直接達到下一個層次；有些方法或 許能增強過程發展，但是也有一些反而會阻礙各層次間的轉換， Van Hlele 指出，

如果想要教導優良學生超過他實際層次其他能力，就要隨時注意學生的學習狀況，

譬如能訓練學生分數的計算而不告訴他們實際分數計算的涵義，當討論主題已經降 到較低層次而學生仍不能了解，即表示學生成熟度不夠，學習就無法發生，此時不 宜強迫灌輸。

3.內因性與外因性（ Intrinsic and Extrinsic ）：

在某一個層次的應有的目標變成下一層次研究的目標，例如，在某一層次，只有圖 形的外在形狀被接受，但卻要到下一層次才被分析研究。例如在第一層次中，學生 將長方形與正方形看作兩個完全不同的圖形，此即為外因性，接著當其長方形與正 方形的定義逐漸發展成熟，到了第二層次而能透過分析或歸納了解正方形為長方形 之一，學生經由內蘊化後形成之幾何概念較完備，此即為內因性。外因性是表面上 的差異，內因性是透過分析歸納後的概念理解。

4.語言專屬性（ Linguistics )：

每一層次都有自己獨特的語言符號和這些符號的關連系統，所以，在某一層次是正 確的符號語言，可能到了另一層次就必須被修正，例如：一圖形可能有多種名稱，

如正方形，可稱為長方形，亦可稱為平行四邊形，在第二層次的學生可能無法將上 述概念化，但到了第三層次就能理解其間的關連性。又如一年級的學童是透過視覺 觀察實物的形狀，他很難用數學語言描述，故可以允許他使用他所熟悉的語言描述，

例如將圓柱說成奶粉罐，圓錐說成甜筒的形狀等。

例如將圓柱說成奶粉罐，圓錐說成甜筒的形狀等。