教材相關研究

第三節 教材相關研究

本研究之教學單元涵蓋了體積與表面積兩方面教學。本節分別針對體 積、表面積兩部分教材進行分析、研究，茲將相關研究陳述如下：

壹、體積

人們透過自身體驗以及周遭成人的灌輸的交互影響，建立一個信念，

即在人的環境中的物質，一定佔有空間而且具有重（質）量。科學的教育 進一步把這個信念強化，且賦予數量以描述其大小。將物質例如黏土或細 沙做無空隙的堆積使其形狀大小和另一物體完全相同，這就是體積的複 製。體積的複製是體積的單位數量描述的基礎（周筱亭、黃敏晃，2002）。

一、體積的定義

維基百科（wikipedia）將體積解釋為：物件佔有多少空間的量。一件 固體物件的體積是一個數值用以形容該物件在三維空間所佔有的空間。而 就數學而言，體積是以積分的方式來加以定義，即將某物件切割成大量的 小正方體把所有這些小立體的體積加起來而求得的。

譚寧君（1996）解釋體積是指物體所佔空間的大小、為三維空間的量，

透過視覺知道含有長、有寬、有高、有厚等，或透過肢體比出物體佔有空 間的量。可透過堆積活動，複製一個全等的物件，以描述原物件的體積，

故其亦是有範圍的，且是緊密排列的。

體積亦可定義為空間的度量。則可舉下面兩個例子：（一）用手在一 個盒子或碗櫥內部四處觸摸，以指出其內部空間的度量。（二）用手按一 個盒子、積木或球的表面觸摸一周，以指出該物體所佔有之空間的度量（李 惠貞譯，1981）。

Linda、Margaret 和 Olwen（1984）則將體積的意義加以細分，認為體 積應包含下列四個不同層面的意義（引自譚寧君，1996）：(1)外體積（external volume）－即透過視覺，知覺到的物體空間的大小，不論其為實心或空心，

如皮球、積木或空箱子。(2)內體積（internal volume）－即物件內部空間

大小，此乃指空心物件的內部容積，一般指的是裝載固體的小個物，如盒 子內可裝 10 個白色小積木，表示盒子的容積是 10 立方分分。(3)排他性體 積（displace volume）－即物件體積的大小是透過排出的液量表示原物件 的體積，如：石頭的體積，可透過將其擲入滿水位的水缸內，流出的液體 體積即表示石頭的體積。(4)液積與容量（liquid volume and capacity）－液 積表示液體所占有空間的量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的最 大裝載量，一般表示裝載液體的量。

二、體積的迷思概念

迷思概念是由學習者自己建構出來，一種針對自己經驗產生合理的解 釋與瞭解的想法或法則。但這套自我建構出的知識概念卻是一種不周全的 解釋，常常是片段的、不完整的、有缺陷的，甚至是錯誤的想法，學習者 可能忽略許多應考慮的因素。雖說其概念獲許能解決當前的問題，未必完 全不對，但是就長期發展看來，對學童往後之學習必定會有所影響。在過 去的研究中，顯示國小學童在「體積」的學習上有一些共同的迷思概念，

何健誼（2002）在「直觀法則對 K－6 年級學童在體積概念學習上的影響」

中分析學童現行的體積概念，歸納出以下的迷思概念：

1. 對看不見的物體就認為是沒體積。

2. 認為沒有固定形狀的物體，如液態的水、地上的水，都是沒有體積 的。但是在杯子裡的水因為有杯子的形狀，所以有體積。

3. 外型正正方方、具有完整外型的物體才有體，如正方體、長方體。

圓形及有洞或是中空的物是沒有體積的。

4. 固體才有體積，液體及氣體都是沒有體積的。

5. 重量就是體積，空氣沒有重量所以沒有體積。

6. 把面積、表面積以及體積混淆在一起。

7. 可以計算出體積的物體（如標出長、寬、高）才有體積，無法計算 出體積的物體（沒有標出長、寬、高）就是沒有體積。

8. 對體積概念的了解不夠透徹，對於不規則形體的物體只是僵化地想 以公式來求出物體的體積。

三、學童常發生之學習困難

譚寧君（1996）在「面積與體積的教材分析」中指出，學童在體積概 念學習上常有以下的困難：(1)缺乏對被測量量的認識。(2)保留性的不足。

(3)兒童對體積的了解是建立在視覺的知覺上，而不是在堆疊的活動上。(4) 一維、二維、三維單位量轉換的混淆。(5)體積的點數受空間能力的影響。

(6)估測能力的不足。(7)重視公式的記憶，輕忽概念的了解。

沈佑霖（2003）在「國小六年級學童體積概念之研究」中，從多方面 探討學童進行體積概念解題產生之問題。其指出學童對體積基礎概念解題 時可能產生的困難有：(1)缺乏對立體圖形的堆疊結構之基本認知，憑猜測 方式解釋圖形結構。(2)具備體積可分割性，缺乏體積可加性，而無法瞭解 分割後的總體積不變之保留概念。對體積測量概念解題時可能產生的困難 有：(1)學童面對體積問題時，不管外型變化，容易固著在體積公式（長×

寬×高）三數相乘的思考模式。(2)有些學童對一個沒有明確標明邊長的立 方體，無法使用其他策略（如：格子點點數）找到邊長，而常自己估測長 度作答。(3)立體圖形中，空間對應的等長長度，題目中無法一一標示，學 童常因找不到長度而影響後續步驟的作答。(4)立體空間圖形畫成二維平面

空間的圖形，這空間與平面之間的轉換，在三維立體物體上的直角與邊長 位置的轉換，造成學童解題時的盲點。對體積估測概念解題時可能產生的 困難為：有些學童處理非正確數值的長度作為單位量來估算其他物體時，

學童因為沒有長度比例放大、縮小的概念，而常留於自己憑直覺或目測約 略猜測估計之弊。對體積解題應用解題時可能產生的困難有：(1)對體積

「高」相關問題的概念模糊，認為斜圓柱體的高大於等高直圓柱體的高，

肇因於觀念的不瞭解，造成體積求答時的錯誤。(2)部分學童使用「總容器 容積÷單位立方體體積」的解題策略解決所有「容器內排入單位立方體求 個數」的問題，但若要處理容器邊長無法完整排入單位立方體時，會造成 解題方式與實體操作上的解題衝突。

四、體積教學相關研究

譚寧君（1999）認為加強培養國小教師對學生錯誤類型分析的能力與 習慣，能促進國小教師對專業能力的發展，如提供易造成兒童迷思概念的 題型，鼓勵其與兒童進行晤談，以瞭解兒童的解題類型。

Nickson（2000）指出，孩子早就已經對於圖形與空間形成一些概念，

這些概念的某些部分相當具有個別性，並且可能違反數學原則，或者根本 就是錯誤的。但教師需要區辨出孩子空間上的前置概念，才能從中延伸或 幫助他們釐清迷思概念，為健全的概念建立基礎。此外，教具的運用有助 於其空間概念的發展，因為各種操弄物體的經驗都會幫助他們建立一個訊 息紀錄庫（repertoire），以協助他們解釋未來擴展時所面臨的新經驗。

林慈容（2001）指出為了讓兒童體會同一體積可由不同單位量堆疊而 成，教學時應藉由不同情境的佈題讓兒童經驗此概念。例如體積教學時，

教師可提供一個如 40 立方公分的物體，讓學童自行選擇合適的不同單位

量去堆出此物體；也可以將單位數固定，問學童此時不同單位量堆疊出的 體積分別為多少？或是以單位量為 2、3、5 立方公分，單位數不超過 10 的方式問學童可以組合出多少種立方體等。透過單位量固定但單位數不同 或單位數固定而單位量不同及單位量與單位數搭配組合等多元具體活動 來讓兒童思考及解題，學童才易瞭解此概念。

沈佑霖（2003）指出建立學童體積基礎概念時，應提供實體讓學童實 際操作，經由堆疊、合成建立對體積定義的瞭解，並經由普遍單位量的認 識和實際測量來達成量感的培養，在累積足夠實際測量的經驗和量感，加 強估測的練習，並適時比較修正估測與實測所得數值之差距，即時的修 正，讓學童建立自我的量感和估測能力。

林芳姬（2004）對體積教學提出以下兩點建議：(1)提供具體物讓學童 實際操作。建立學童體積概念時，應提供具體物讓學童實際操作，經由堆 疊建立對體積意義的了解，因為這些實際的東西具有可以觸摸的性質，能 幫助學童建立心像，有助於他們發展概念，進行有意義的學習。尤其在教 導體積的空間概念方面，透過具體物操作的確是可以得到正向的教學效果 的，如果學童在國小階段沒有將空間技能和概念學好的話，他在這方面所 發生的問題將一直延續到往後的學習生涯。(2)讓學童自行歸納出規則。教 師在介紹長方體體積公式時，應先讓學童了解體積是由 1 立方公分、1 立 方公尺等普遍單位進行堆疊為一排有數個，有數排，有數層的形體，讓學 童了解體積的意義後，再透過實際操作，建立長、寬、高堆疊長方體體積 的概念。而後再透過教師的引導，讓學童共同歸納出長方體體積公式為長

×寬×高或者為底面積×高。

五、對本研究的啟發

知識是由學童自己建構而成的，在學習的過程中，難免會有迷思概念 的產生。對教師而言，如何傳達正確的觀念、幫助學童排除迷思概念的困 惑是一重要課題。然而於實際教學上這卻具有相當的難度。就體積教學來 說，傳統教學中教師常需要一邊操作教具，一邊進行觀念的講解，因而難 免有所分心。而學童的迷思概念卻可能因為接收到不完整的教學訊息，加 上學童自行理解、建構而成，往往並非全盤錯誤，反而是能靠其解決些許 問題。對一個分心於教學與操作上的教師，還要其時常觀察注意學童是否

知識是由學童自己建構而成的，在學習的過程中，難免會有迷思概念 的產生。對教師而言，如何傳達正確的觀念、幫助學童排除迷思概念的困 惑是一重要課題。然而於實際教學上這卻具有相當的難度。就體積教學來 說，傳統教學中教師常需要一邊操作教具，一邊進行觀念的講解，因而難 免有所分心。而學童的迷思概念卻可能因為接收到不完整的教學訊息，加 上學童自行理解、建構而成，往往並非全盤錯誤，反而是能靠其解決些許 問題。對一個分心於教學與操作上的教師，還要其時常觀察注意學童是否