數學探究式教學之探討

本研究進行的是探究式教學融入數學多元選修，故探討過去的數學探究式 教學研究是不可或缺的，研究者以「數學探究式教學」、「5E 探究式教學融入數 學課程」進行探討，從中探討數學探究式教學應注重的重點與目標，以期能夠 藉由文獻整理找到適合並有效的教學方式與教材。

壹、 數學探究式教學

一、探究在數學教育上的意義

Sherman（1996/2000）在「幹嘛學數學」一書中，指出美國國家數學教師委 員會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）所發表的「課程與評估 標準」、「數學教學標準」，這兩本書都鼓吹一種徹底的改革，不注重老師授課，

而強調學生自行發現；不注重例行計算，而朝向非例行性問題的解題和推理，

敦促老師應該持續強調「行」而不是「知」，數學觀念應該以一種「探究導向」

的態度，由學生發掘問題，而不是由老師提出問題再來敎（莊雅萍，2007）。 在課堂教學中更多地運用適切之探究、解題活動，以刺激學生思考，鼓勵 更多師生間的討論，互動，從而促進學生高層次思維和溝通能力的培養，乃數 學教學模式上的一個新趨勢（黃家鳴，2003）。

研究者非常贊同這些看法，在過去使用講述法上課時，學生的反應往往不 如預期，學習效果亦十分有限，但在讓學生相互討論，或是提到學生感興趣的 相關問題時，學生的反應都十分的熱絡，甚至能夠在題目概念與想法上舉一反 三。

二、從錯誤中學習的重要性

錯誤是學習的重要資源，教師讓學生知道自己所犯的錯誤，真正了解那是

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錯的，而不是因為教師說那是錯，學生就承認那是錯的。是故，教師了解那些 學生常犯的錯誤後，才有機會造成學生學習時的認知衝突。學理證明，經歷認 知衝突後的學習較有效且較穩固（林福來，1991）。

人們在學習過程中，錯誤常常是難以避免的。同時，錯誤的發生和糾正往 往是正確的先導。教師要不斷地預防和糾正學生學習中的錯誤，學生也在不斷 地糾正自己的錯誤中求進步。發生錯誤與改正錯誤充滿了整個教學過程（楊弢 亮，1992）。

在教學現場中，會讓學生印象深刻的部分，除了自己有興趣的部分或是積 極參與的課題外，不外乎就是自己曾犯過的錯誤了，尤其是在激烈的討論與驗 證後，印象更為深刻。而在傳統的教學模式中，通常無法花太多時間讓學生思 考與解釋，而在探究式教學模式中，學生便可以花大量時間了解自己不足之 處，也藉由和同學的討論、觀察同學的方法、教師給予回饋和修正等等方式，

都能夠修正自己的概念，進而內化成正確的重要想法。而這思考的過程，必會 在學習者的腦海中留下強烈的印象，在日後面對相似的觀念時，便會聯想到自 己曾有過的思考脈絡，進而產生進步。

三、充足的學習時間與師生互動

在學校的數學教育中，「數學」成了只剩符號的語言且賦予固定的結構，學生 學到的不外乎是複製一些規則或公式，不然就是一些數學運算的解題技巧，而 非真正的了解其內容。這種教學方式甚少注意到數學的普遍性和動態特性，一 下子就跳到形式化的層級，且幾乎沒有時間讓學生發展他們自己的模式

（model）。由此可知，在數學課室教學中更多地運用適切之探究、解題活動，

以刺激學生思考，鼓勵更多師生間的討論、互動，從而促進學生高層次思維和 溝通能力的培養，乃數學教學模式上的一個新趨勢（劉振梅，2005）。

傳統的教學模式對於學生來說，往往只是專心聆聽老師講解，也因為進度 的壓力，幾乎沒有額外的時間讓學生好好參與討論或是大量的時間思考並在課

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堂中練習。而在這樣的模式中，學習數學已開始淪為學習公式、學會解題與大 略的看懂概念和證明，對於核心的基礎概念，學生反而往往不甚在意，導致於 在學生發問時，教師時常可以發現到，學生所問的幾乎都是基礎概念。但在探 究式教學中，讓學生大量參與討論和發表，也讓學生先行自己摸索，更能夠加 深學生的印象，也能促使學生思考概念的核心重點，或是公式的來由，而不只 是將公式背起來並套用在題目中，思考的架構也會逐漸完備。

四、數學探究式教學的目的與影響

黃家鳴（2005）認為數學探究具有以下幾點目的：（1）提供學生機會主動參與 數學思考及數學之創製；（2）讓學生有機會享受數學 ；（3）讓學生建立個人之數 學經驗，從而減少對數學之誤解；（4）建立學生思考的信心 ；（5）減輕學生對犯 錯的憂慮，促進學生主動嘗試；（6）促進學生之數學概念理解；（7）提供另類之數 學課堂模式；（8）呈現數學作為一種可參與之活動而非只是被灌輸之一堆知識；

（9）提供獨特機會讓教師認識了解學生之數學思考 。

莊智偉（2007）以 28 位高中二年級數理資優班的學生為研究對象，探討數學 探究教學對後設認知的影響。研究結果發現數學探究教學除了對後設認知有顯 著性的影響外，研究對象的學習態度變得更加積極，學習方式由記憶式為主的 方式轉變成理解思考的方式，且人際關係的經營也變的更加圓融。

王雅玲（2008）以國中二年級學生為研究對象，探討實施探究教學對學生 的數學焦慮與解題歷程的影響，研究結果發現探究教學能提升學生學習數學的 信心，與減輕學生的數學焦慮。

由此可見對於學生來說，探究式教學對學生的影響頗為廣大，除了提升學 習興趣、動機與成效之外，也進而影響到學生們待人處事和人際關係的經營。

而其中，最重要的影響便是給予學生更多時間與機會思考，讓學習者更能夠理 解繁雜的數學概念，也能夠在過程中，使教師更明確的了解學生的迷思，以及 更有時間能夠做針對性的補強。故，研究者決定以此對學生有正面幫助的模式

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進行課程，期望能夠帶給學生正面的影響。

貳、 ５Ｅ探究式教學融入數學課程 一、藉由數學問題引起動機

Suchman（1964）認為一個人遇到困難或者是矛盾的情況時，會引起他的學 習動機，更會主動地觀察分析和這個問題有關的因素。在探究式教學的模式 下，學習者在教師引導，經歷實作、探索、解釋、交流和反思的探究歷程，更 懂得學會如何以批判思考來澄清研究的結果（施惠、張麗芬、陳京材，

2004）。

美國國家研究院（National Research Council, NRC）（1989）指出探究是數學 的核心，數學探究強調的是做數學（doing mathematics），而做數學的過程則包 含計算、演繹、尋找型與規律（pattern）、檢驗臆測以及做估算。NCTM

（1989）也提到「猜測和證明猜想的邏輯有效性是做數學的創造性活動」。

在美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 1989）所出版的「中小學數學課程及評量標準」（Curriculum and

Evaluation Standards for School Mathematics）四大綱目中，第一條就提出「數學即 問題解決」（Mathematics as Problem Solving），在1989年改進學校數學教育的建 議中，更提出了「解題活動應被視為學校數學教育的主要課題」。但是，若學 校數學教育只強調解題的程序性知識，不單會使學生思維僵化，缺少高層次思 考的能力，更會忽略教育歷程具有的多元價值。若能依數學概念建立的次序逐 步敎導學生，形成個體的創造活動，學生便能在自己心中建構出新的數學概念

（Skemp, 1978），也能從成功的解題經驗中建立學習數學的信心（林慧貞，

2011）。

郭諭陵（1993）指出典型的探究式教學是由學生心中產生疑問開始，提出

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假設或答案，經驗證後形成結論。Lee（2001）亦認為在數學探究式的課室裡，

任何事物皆由學生產生懷疑或問題產生，而促使學生使用工具或方法找答案。

由以上文獻可得知數學解題的重要性十分之高，讓學生在解題中學習是非 常重要的，故研究者便選擇以此方式進行「參與」的階段，利用題目作為引起 動機，引導學生思考。不過，在此需要非常小心，避免學生只在解題，並沒有 思考與缺乏互動的腦力激盪，教師應於「探索、解釋」階段在旁協助並適時拋 出疑問，或是點出一些重點，讓學生自行產生疑惑，便能夠促使學習者開始思 考並尋找各種方法解答，也能在此建立信心，進而建構出數學概念。

二、分組教學與討論的重要性

數學活動是以數學問題解決為核心，透過問題解決歷程來建構發展數學知 識， 而問題解決指的是一系列有目的的指向認知操作過程，是以思考為內涵、

以問題為目標定向的心理活動過程，是一種帶有創造性的高級心理活動，其核 心為思考與探索（傅海倫，1999）。

教學模式朝向以學生探究學習為主的方向調整，讓學生透過互動討論的活 動，經歷探究發現的過程，更加了解數學本質，培養探究的能力，並應用於解 決真實情境問題，滿足自我實現的需求，應可改善學生目前學習的缺乏現象

（莊智偉，2007）。

在教學現場，研究者發現到隨著學生性質的改變、資訊爆炸時代的來臨，

以及學生在上課的學習動機與參與度日漸下降時，在偶爾提出問題與學生腦力 激盪的過程中，發現到學生對於互動式的教學方式較有興趣，且經由討論過後 的概念，較能夠被學生內化，進而應用，故在探索階段便以小組討論的模式進 行。除此之外，在小組討論時，適時拋出一些學生常有的謬誤與迷思，讓學生 產生懷疑與疑惑，更能促使學生探究並尋找答案。

以及學生在上課的學習動機與參與度日漸下降時，在偶爾提出問題與學生腦力 激盪的過程中，發現到學生對於互動式的教學方式較有興趣，且經由討論過後 的概念，較能夠被學生內化，進而應用，故在探索階段便以小組討論的模式進 行。除此之外，在小組討論時，適時拋出一些學生常有的謬誤與迷思，讓學生 產生懷疑與疑惑，更能促使學生探究並尋找答案。