Meta-Frontier與Group-Frontier - 資料包絡法介紹與文獻整理

第三章資料包絡法介紹與文獻整理

第八節 Meta-Frontier與Group-Frontier

如前所述，在一般實務經驗上，常使用生產前緣（production frontiers）

來評估廠商的效率層級。此類的前緣分析方法，是建立在各種的非隨機

（non-stochastic）及隨機（stochastic）假設上之非參數（non-parametric）或參數（parametric）的方法。當一個前緣的形式被決定好時，我們便可以使用Farrell（1957）所提出的效率射線衡量（radial measures of efficiency），

來與此前緣做比較分析，決定每間廠商的效率值。

前緣可以藉由廠商所使用的投入與生產的產出，可以是橫斷面或長期資料，而被決定。當技術效率（technical efficiencies）是在一個可比較的前緣上做衡量時，則當廠商面對不同的技術可能性（technological possibilities）

時，效率值便不會是只有唯一值。當所有的廠商是在涵蓋不同群體下做比較時（例如，廠商是來自不同的地理區域），此問題便會更為明顯。

Battese 與 Rao（2002），和 Battese、Rao 及 O’Donnell（2004），提供了一個當效率是藉由習慣上所使用的隨機前緣模型所衡量時，的一個概念性架構。雖然這些文獻提出了可行的跨群體比較分析的研究方法，但是他們卻沒有這些種類的比較上來檢驗他們的分析架構，也沒有驗證當在非參數

（non-parametric）或參數（parametric）模型的選擇下，該如何執行比較的動作。

D.S. Prasada Rao⁸（Feb. 2006⁹）使用個經的理論建立了Metafrontier的分析架構。他們定義Metafrontier是由一組未受限制（unrestricted）的技術集合所構成的一個界限。他們也定義Group Frontiers為多組受限制（restricted）

的技術集合所構成的多個界限，此處的限制為技術知識或其他物理、社會、

及（或）經濟環境特性所造成的落差。不管這些未受限制（unrestricted）與受限制（restricted）集合的屬性，Metafrontier將總是包絡Group Frontiers。

因此，Metafrontier 的概念與 Hayami 及 Ruttan （ 1971, p82 ）所提出的 Metaproduction函數的定義相似：Metaproduction函數可以被思考為一般所有可以想到的新古典生產函數的包絡。

一、基本分析架構

效率衡量根深柢固於生產理論與距離函數的概念。在此節，將藉由產出集合和產出距離函數來定義Metafrontier 和 Group Frontiers。然後，也將陳述產出距離函數（output distance functions）如何被使用來定義技術效率

（technical efficiencies）和技術差距比率（technology gap ratios）。

（一）、The Metafrontier

將 y 與 x 分別定義為非負的 M×1 向量與 N×1 向量。技術差距集合（the technology gap set）為對於任何一個廠商具有技術可行性之所有投入與產出的組合。形式上：

( )

{

^x ^y ^x ^y ^x ^y

}

T = , ： ≥0； ≥0；可以生產（22）

與此 Metatechnology 集合相關連的為投入和產出的集合。例如，產出的集 合被定義為任何的投入向量 x，如下：

( )

{

( )

^x ^y ^T

}

P = ： , ∈ （23）

這些產出集合的界限便為Metafrontier。

另外還有一些屬性常與生產技術相關連。例如，Färe 及 Primont（1995）

假設：

P.1 0∈P

( )

x ，靜止的（inactivity）；

P.2 假如^y^∈^P

( )

^x 則

^y

^* ⁼

^θ ^y

^∈

^P ( ) ^x

^∀⁰^<

^θ

^≤¹，弱可拋（weak disposability）；

P.3 ^P

( )

^x 是封閉且有界的集合；以及 P.4 ^P

( )

^x 是凸函數（convex）的集合。

此外，一般來說，投入函數也會被假設成具有凸性（convexity）及弱

在此處我們所重視的效率衡量方面，可以便利地使用 the output metadistance function 來描繪技術，定義如下：

( ) x y { ( ) y P ( ) x }

D

, =inf_θ

θ

>0：

θ

∈ （24）

此函數使得廠商可以在給定的投入向量下，擴張其產出向量來產生最大值。伴隨原理P.1 到 P.4，此定義可以被用來證明以下原理：

D.1

( )

x,y ∈T ⇔D

( )

x,y ≤1

D.2 D

( )

x,y ≤1，假如 y 包含於

^P ( ) ^x

之內；

D.3 D

( )

x,y =1，假如 y 在

^P ( ) ^x

的界限上；

D.4

^{D ,} ( ) ^x ^y

是非遞減的、具有同質性的程度（homogenous）、與具有凸性的

y（convex in y）

。

當D

( )

x,y =1時，則觀察值（x,y）便可與 Metafrontier 做比較，決定其效率值。

（二）、Group Frontiers

我們也可以用次科技（sub-technologies）的概念來描述廠商群體的生產可能性（the production possibilities）。我們可以把所有廠商分為 K 群（K>1），並且透過假設資源、管理或其他環境的約束限制，以在整個Metatechnology 集合T 裡的技術可行投入產出組合之中，把現有的廠商分群。更確切地說，

( )

{ x y x y k x y }

T

^k = , ： ≥0； ≥0；第群的可以被用來生產（25）

群體別技術（group-specific technology）也可以藉由以下的群體別產出集合（group-specific output set）和群體別產出距離函數（group-specific technology distance functions）來做描述：

( ) ^x { ^y ( ) ^x ^y ^T } ^k ^K

P

^k = ： , ∈ ^k， =1,2,KK, （26）；以及

( ) ^x ^y { ( ) ^y ^P ( ) ^x } ^k ^K

D

^k , =inf_θ

θ

>0：

θ

∈ ^k ， =1,2,KK, （27）。

假如產出集合，

^P

( ) ^x

，

^k

=1,2,KK,

^K

，滿足群體別裡同等於P.1 到 P.4 的原理，則產出距離函數也會滿足群體別裡同等於 D.1 到 D.4 的原理。更重要的是，我們可以清楚地知道以下五點：

R.1 假如

( ) x

y

∈

T

^k∀

k

則

( )

x,y ∈T；

R.2 假如

( )

x,y ∈T則

( ) x

y

∈

T

^k，只有一些k 滿足；

R.3

^T

⁼

{ ^T

¹^∪

^T

² ^∪_K^∪

^T

}

^；

R.4

D

( ) x

y

≥

D ( ) x

y

∀

k

=1,2,K,

K

；

R.5

^P ( ) ^x

具有凸性並不一定代表

P

( ) x

，

k

=1,2,KK,

K

也具有凸性；反之亦然。

以上五點所要表達得就是

P

( ) x

，

k

=1,2,KK,

K

為

^P ( ) ^x

的子集合。可參考圖 3.04。圖 3.04 包含了三個群體，每個群體的廠商都是單一投入與單一產出。

第k 群的前緣以 k-k’表示（k=1,2,3），並且假設為凸函數的形式。假如此三

個群體代表的是所有的情況（亦即 K=3），則群體別前緣（group-specific frontiers ）便是所有任何一間廠商之投入產出組合的界線，亦即暗示 Metafrontier 為連結形式的非凸前緣，就如圖 3.04 中的 1-B-3’。然而，要是此三個群體並無法代表所有的情況，亦即還有其他可能的投入產出組合，

則我們便可以接受Metafrontier 為一個凸函數的形式，如圖 3.04 中的 M-M’

一樣。

圖 3.04 技術效率與技術差距比率

資料來源：D.S. Prasada Rao, “Metafrontier Frameworks for the Study of Firm-Level Efficiencies and Technology Gaps”, 2006 Productivity and Efficiency Seminar Taipei, 10^th March, 2006.

（三）、技術效率（technical efficiencies）和技術差距比率（technology gap

ratios）

如同先前所述，當觀察值（x,y）參考 Metafrontier 時，產生D

( )

x,y =1的 情形，則為技術有效率。更普通來說，觀察值（x,y）的技術效率（technical efficiencies）產出導向衡量，在參考 Metatechnology 的情況如下：

( )

x y D

( )

x y

TE , = , （28）

例如D

( )

x,y =0.6所代表的意思是，y 向量為廠商使用向量 x 所能生產的產出最大值之60%。

我們也可以參考第k 群的前緣來衡量技術效率（technical efficiencies）。

因此，參考第k 群技術的技術效率產出導向衡量的情形如下：

( ) x y D ( ) x y

TE

^k , = ^k , （29）

例如

^D

( ) ^x

^y

⁼⁰^.⁸所代表的意思是，y 向量為廠商運用第 k 群的技術來使用向 量 x 所能生產的產出最大值之 80%。

根據之前原理R.4 的觀點，第k群的產出距離函數（output distance function）

^D

( ) ^x

^y

的值，不小於產出距離函數（output distance function） ^{D ,}

( )

^x ^y

的值。這是Metafrontier包絡Group Frontiers的另外一種解釋方式。當第k群的距離函數與Metadistance Function的嚴謹不等式出現時，我們可以得到

group-k frontier和metafrontier之間差距（gap）的衡量方法。具體來說，第k 群的技術差距比率（technology gap ratio）¹⁰定義如下：

( ) ( )

使用之前所使用的數學例子，觀察值（x,y）參考 metafrontier 所求出的 技術效率（technical efficiency）值為 0.6，而參考 group-k frontier 所求出的效率值為0.8，因此，技術差距比率（technology gap ratio）為 0.75（=0.6/0.8）。這意味著，所給定的投入向量，透過第 k 群的廠商所能生產的最大產出，

是使用metatechnology 的廠商（所有廠商，包含第 k 群的廠商）所能生產的最大值的75%。

方程式（31）提供了一個技術效率的分解，使得我們可以方便地瞭解第k 群的投入產出組合，在參考 metatechnology 時的效率得分結構：

( ) ^x ^y ^TE ( ) ^x ^y ^TGR ( ) ^x ^y

TE

, = ^k , × ^k , （31）

這顯示了參考metafrontier的技術效率（technical efficiency）衡量 ¹¹，可以被分解為參考第k群的技術效率（technical efficiency）衡量 ¹²，與group-k frontier 及metafrontier之間的差距（gap）¹³。效率改善的政策和計畫常常是以其他

10 Battese、Rao 和 O’Donnell 將此衡量方法定義為「technology gap ratio」。然而，（technology gap）ratio

廠商為參考對象 ¹⁴，或是其他廠商的經營環境特徵 ¹⁵。方程式（31）所提供的分解非常有用，因為這允許政策制訂者可以更容易地運作這些不同種類計畫的潛在收益。

二、Meta-frontiers 在 Malmquist Productivity Index 的應用

Meta-frontier 也可以應用在 Malmquist Productivity Index 的動態分析觀點，稱之為Meta-frontier Malmquist Productivity Index，簡稱 MMPI，可以用來衡量生產力改變、技術效率改變、技術改變和技術差距比率。

（一）、Group Frontiers 和 Meta-frontiers

為了更瞭解Meta-frontier 的概念，可以參考圖 3.05，描繪了兩條前緣，

分別為 meta-frontier 和第 k 群的 group frontier（k=1,2,…,k）。符號「*」和

「k」代表的是分別參考 meta-frontier 和第 k 群 group frontier 的代表符號。

所以，我們現在可以更具體的定義第k 群的技術差距比率（technology gap ratio，TGR）如下：

( ) ( )

此比率值的範圍為介於零到一之間。因此，如之前例子的TGR 值等於 0.75 所代表得就是，k 區域的投入產出組合

( x ,

y

)

所表現出來的成果是藉由 meta-technology 所表現的 75%。

圖 3.05 Meta-Frontier 和 Group-Frontier

資料來源：D.S. Prasada Rao, “Metafrontier Frameworks for the Study of Firm-Level Efficiencies and Technology Gaps”, 2006 Productivity and Efficiency Seminar Taipei, 10^th March, 2006.

（二）、Meta-frontiers 和 Malmquist Productivity Index

此處以動態分析的設定來延伸 meta-frontiers 和 TGR 的架構。圖 3.06 描繪了第 t 期與第 t+1 期的 Meta-frontier（M）和第 k 群的 group frontier

（k=1,2,…k）。在此例，group frontier 和 meta-frontier 是隨著時間移動的。

點A^*代表的是第t 期的投入產出組合，點 C^*則是代表相同決策單位的第t+1 期投入產出組合。因此現在可以定義在兩期時間的TE^*和TE^k，分別為參考 meta-frontier 和第 k1群 group frontier 的技術效率（technical efficiency）：

期間t Productivity Index（MMPI）。

圖 3.06 兩時間區段之 Meta-Frontier 模型

資料來源：D.S. Prasada Rao, “Metafrontier Frameworks for the Study of Firm-Level Efficiencies and Technology Gaps”, 2006 Productivity and Efficiency Seminar Taipei, 10^th March, 2006.

MPI 最早是由 Caves、Christensen 與 Diewert（1982）所首先介紹（可

MPI 可以分解為技術效率改變（technical efficiency change，TECt,t+1）與技術改變（technical change，TC_t,t+1）（Grosskopf，2003）：

( ) ( )

公式（40）與（41）顯示了以距離函數評估的 MPI 定義式，投入產出

的觀察值與其他期間 t 或 t+1 的技術相比較，而且有時候 MPI 會被參考為一個技術指數（a technology index）。MPI 在 group specific technology/frontier

（GMPI）與 metatechnology/meta-frontier（MMPI）兩種情況時，也可以容易地被定義出來。因此，延伸公式（41），參考M_t^k_,_t₊₁

(

x_t,y_t,x_t₊₁,y_t₊₁

)

來表示 GMPI，參考M_t^*_,_t₊₁

(

x_t,y_t,x_t₊₁,y_t₊₁

)

來表示 MMPI，以區分 group-frontier 指標和 meta-frontier 指標。

從圖3.06，我們可以注意到技術效率改變（technical efficiency change）

如下：

此外，我們也可以發現來自 group-frontier 和 meta-frontier 技術效率改變

（technical efficiency change）之間差異的衡量定義式：

（三）、一些 MMPI 的有用分解

1. 技術效率改變（technical efficiency change）的分解

( ) TEC TGR

TEC

參考自MMPI 的技術效率改變（technical efficiency change）可以被表達成以下兩項的乘積：

(1). 參考第 k 群 group frontier 的技術效率改變（technical efficiency change），與

(2). 個別生產實體從第 t 期到第 t+1 期的相對技術差距改變（relative technological gap change），各期的投入產出組合均在各期被評估

（參考方程式(38)）。

因此，假如group frontier和meta-frontier之間的差距（gap）是遞減的 ¹⁶，

則相對技術差距（relative technological gap）將會小於 1。所以，參考 meta-frontier的技術效率改變（technical efficiency change）程度將小於參考 group frontier的技術效率改變（technical efficiency change）程度。

2. 技術改變（technical change）的分解

[

, 1

]

其中

TGR TGR

（49）

參考meta-frontier 的技術改變（technical change）可以分解為兩個部分：

(1). 參考第 k 群 group frontier 的技術改變（technical change），與 (2). 相對技術差距改變（relative technological gap change）的倒數。

假如TGR 從第 t 期到第 t+1 期是遞減的，則

[

, 1

]

¹ 是說，藉由 meta-frontier 所衡量的技術改變（technical change），將小於藉由group frontier 所衡量的技術改變（technical change）。就直覺判斷來說，

這代表當TGR 遞減時，group frontier 往外移動的速率會快於 meta-frontier，

因此meta-frontier 所導致的生產力改變（productivity change），將會比group frontier 所導致的生產力改變（productivity change），產生更大的效率改變

在文檔中國立宜蘭大學經營管理研究所碩士論文 Graduate Institute of Management National Ilan University Master Thesis (頁 94-109)

Meta-Frontier與Group-Frontier

第三章 資料包絡法介紹與文獻整理

第八節 Meta-Frontier與Group-Frontier

( )

{

}

( )

{

( )

}

( )

( )

y

θ y

P ( ) x

θ

( )

( )

( ) x y { ( ) y P ( ) x }

D

θ

θ

( )

( )

( )

P ( ) x

( )

P ( ) x

D , ( ) x y

y（convex in y）

( )

( )

{ x y x y k x y }

T

( ) x { y ( ) x y T } k K

P

( ) x y { ( ) y P ( ) x } k K

D

θ

θ

P

( ) x

k

K

( ) x

y

T

k

( )

( )

( ) x

y

T

T

{ T

T

T

}

D

( ) x

y

D ( ) x

y

k

K

P ( ) x

P

( ) x

k

K

P

( ) x

k

K

P ( ) x

ratios）

( )

( )

( )

( )

第三章資料包絡法介紹與文獻整理

^y

^θ ^y

^P ( ) ^x

^θ

^P ( ) ^x

^P ( ) ^x

^{D ,} ( ) ^x ^y

( ) ^x { ^y ( ) ^x ^y ^T } ^k ^K

( ) ^x ^y { ( ) ^y ^P ( ) ^x } ^k ^K

^P

( ) ^x

^k

^K

^T

{ ^T

^T

^T

^P ( ) ^x

^P ( ) ^x

^D

( ) ^x

^y

^D

( ) ^x

^y

( ) ^x ^y ^TE ( ) ^x ^y ^TGR ( ) ^x ^y