國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所
國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文
指導教授：楊志堅 博士
國小六年級學生簡單機率概念發展與數
學學習成就及後設認知之關係
研究生：李啟鼎 撰
中
華
民
國
一
○
二
年
七
月
中文摘要
本研究旨在探討國小六年級學生簡單機率概念發展情形，並分析其與數學學 習成就及後設認知之關係，研究對象為國小六年級學生 210 名，其中男生 115 名， 女生 95 名。研究工具的設計根據劉秋木(1996)探討兒童機率概念的認知發展及 參考數學領域能力指標(教育部，2003)，自編簡單機率概念測驗試題，在研究對 象於國小數學課程結束前施以測驗，測驗的結果並就學生的機率概念發展情形、 性別、數學學習成就、後設認知能力等進行分析。研究結果發現：一、學生在機 率概念測驗試題的五個項目表現情形以樣本空間為最佳，其次依序為大數法則與 機率事件、機率比較、獨立事件。二、全體學生的性別與機率概念測驗總分 t 檢 定結果未有顯著差異；另分析高分組的學生則已達顯著差異，男生的表現明顯優 於女生；低分組的學生在性別上則未有顯著的差異。三、機率概念測驗總分與學 生的數學學習成就為中度的相關；樣本空間、機率事件、機率比較、大數法則等 四個項目與學生的數學學習成就呈現中度的相關，獨立事件與學生的數學學習成 就為低度相關。四、機率概念測驗總分與後設認知 t 檢定結果，兩者無顯著性差 異，且呈現中度相關；分析各別項目，機率事件與後設認知為中度相關；樣本空 間、機率比較、獨立事件、大數法則等四個項目與後設認知呈現低度的相關。五、 經由研究的結果，對於機率概念測驗試題的編製與國小機率概念課程的教學提出 具體的建議。 關鍵字：機率概念、數學學習成就、後設認知Abstract
This study aims to investigate the learning outcome of simple probability
concepts of six graders of elementary school, and to analyze its relationship with
mathematical learning achievement and metacognition. The research objects are 210
six graders (115 boys and 95 girls) in the elementary school. The testing tool is
according to Liu’s discussing about the kid’ s cognitive development about probability concepts in 1996 and the ability index in mathematics (Ministry of Education,
2003) .The researcher developed the simple probability concepts test, surveyed them
before graduation, and analyzed the difference in learning outcome of probability
concepts, gender, mathematical learning achievement and metacognition. The main
conclusions of the thesis are as follows: 1.There are differences in the results of the
five sub-concepts. The results in sequent are as follows: sample space > law of large
numbers > probability of events > probability comparisons > independent event. 2. For
all students tested, there’s no difference between gender and the solution of probability
questions in t-test. In high-scoring groups, boys are much better than girls. However, there’s no difference between boy’s and girl’s groups in low-scoring groups. 3. The result of probability concepts test and student mathematical learning achievement
achieves to mid-correlated. The four sub-concepts including sample space, probability
of events, probability comparisons, and law of large numbers is up to the
mid-correlated with student mathematical learning achievement. And Independent
event goes to low-correlated with student mathematical learning achievement. 4. The
result of the probability concepts test and metacognition t-test makes no difference and
goes mid-correlated. And if analyze all the concepts respectively, probability of events
probability comparisons, and law of large numbers is up to low-correlated with
metacognition. 5. According to the results and findings of this study, we provided
several suggestions in developing probability concepts tests and designing the respect
curriculum in elementary school.
目 錄
中文摘要………Ⅰ Abstract………Ⅱ 目錄………Ⅳ 表目錄………Ⅵ 圖目錄………Ⅶ 第一章 緒論 ………1 第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………2 第三節 名詞定義………3 第二章 文獻探討 ………5 第一節 機率的意義………5 第二節 兒童機率概念的發展………5 第三節 機率概念課程之探討………6 第四節 後設認知………8 第三章 研究設計 ………10 第一節 研究流程與架構………10 第二節 研究對象………11 第三節 研究工具發展………12 第四節 資料處理………20 第四章 研究結果 ………21 第一節 簡單機率概念測驗表現情形………21 第二節 學生性別與簡單機率概念測驗的差異………23 第三節 簡單機率概念測驗結果與數學學習成就之相關…………25第四節 簡單機率概念測驗與後設認知之表現情形 ………25 第五章 結論與建議………27 第一節 結論 ………27 第二節 研究限制 ………29 第三節 研究建議 ………30 參考文獻 ………32 附錄一 簡單機率概念測驗正試試題 ………34
表目錄
表 2-1 國小機率概念課程發展過程的差異表………7 表 2-2 先備知識課程學習年級階段表………8 表 3-1 正式施測樣本人數分配表………12 表 3-2 預試測驗試題與機率概念分布表………13 表 3-3 簡單機率概念測驗內容效度雙向細目表………15 表 3-4 預試試題分析結果………16 表 3-5 正式試題內容分布表………17 表 3-6 正式試題項目分析結果………18 表 3-7 正式試題總分與五個測驗項目的難度(P2 值)鑑別度統計表 ……19 表 4-1 學生在機率概念測驗試題表現的描述性統計量………21 表 4-2 學生在機率概念測驗試題的五個項目之變異數分析摘要表………22 表 4-3 學生在機率測驗五個測驗項目的 LSD 事後比較分析摘要表………22 表 4-4 學生性別與測驗總分之獨立樣本 t 檢定摘要表………23 表 4-5 高分組的學生性別與測驗總分之獨立樣本 t 檢定摘要表…………24 表 4-6 低分組的學生性別與測驗總分之獨立樣本 t 檢定摘要表…………24 表 4-7 機率概念測驗分數與數學學習成就的皮爾森積差相關摘要表……25 表 4-8 機率概念測驗試題的後設認知表現描述性統計量表………25 表 4-9 機率概念測驗總分與後設認知總分之相依樣本 t 檢定摘要表……26 表 4-10 機率概念測驗與後設認知的五個項目之相關………26圖目錄
圖 3-1 國小六年級學生簡單機率概念發展研究流程圖………10
圖 3-2 研究架構圖………11
圖 3-3 簡單機率概念測驗編製架構圖………12
第一章 緒論
本研究旨在自編國小簡單機率概念測驗試題，經由學生在測驗後的結果，了 解國小六年級學生在簡單機率概念的表現情形，根據測驗的結果並就學生的性 別、數學學習成就、後設認知能力等進行分析。本章第一節闡述研究者之研究動 機，第二節為本研究之研究目的，第三節針對本研究所需之特定名詞加以定義。第一節 研究動機
國民小學六年級學生是否具備了簡單機率概念？在研究者任教的班級裡，在 課堂中經由觀察皆能發現學生在直觀上與主觀上都能應用簡單機率概念來解決 部分生活上的問題與困境，但其思考模式是否無誤、數學基本能力是否足夠、生 活經驗是否充分等，這些因素在在影響著學生們對機率概念的觀點，例如學校放 學時正巧遇到下雨，詢問未帶雨具者原因，部份學生直觀上會認為早上沒下雨， 下午應該也不會下雨；課堂中抽問學生回答問題，如果在男生和女生中各抽一 位，大部分的學生都能正確判斷被抽中機會的高低，但部分學生會未加思索男、 女生人數的不同而認為抽中的機會是一樣的。在教學過程諸多的事證中，可以發 現國小六年級學生對機率已有了初步的概念。 民國八十二年版的國民小學課程綱要中即有機率概念課程之教學，其內容為 「從遊戲中瞭解機率的初步概念」(教育部，1993)。民國九十二年版的九年一貫 課程綱要(教育部，2003)，九十七年版的九年一貫課程綱要(教育部，2008)，機 率概念的學習皆安排於國民中學階段，所以綜觀現行國民小學階段，在九年一貫 課程架構下已無機率概念之課程。 由於機率概念的使用需要有數學運算的基礎，所以機率概念的發展與學生的 數學能力有著密不可分的關係。蔡欣潔與葉啟村(2006)指出「點數」、「分數」、 「統計」、「比例」等數學概念有助於學童解決機率問題。分析九十二年課程綱要數學學習領域(教育部，2003)三至六年級能力指標，在機率概念中較常使用的 數學關係大部分分布於「數與量」主題軸中，其內容著墨於「數的運算」、「小 數」、「分數」、「比率」、「百分率」、「比與比值」等，所以在機率概念的建 構中，這些數學關係及知識概念的學習成果與兒童的機率發展儼然是值得探討的 一環。 在教師的教學過程中、學生的學習歷程中，我們常希望學生能明瞭本身的學 習歷程，也常藉由許多評量方式來讓親、師、生知道「學生自己學的是什麼？」、 「已學到了什麼程度？」，所以在機率概念的應用上，學生們是否了解自己面對 機率問題時的解決模式，是否能運用數學能力去思考生活中面臨的機率問題，這 一議題是值得了解與關注的。
第二節 研究目的
綜合研究動機所述，經由此研究瞭解學生在簡單機率概念測驗的表現情形， 並與性別、數學學習成就、後設認知等關係進行探討。本研究採用自編測驗工具 方式，以生活化的情境融入學生的生活經驗，內容包含了每位學生曾面臨過的機 率問題，依此原則，研究者設計了本份簡單機率概念測驗試題，強調學生利用已 有的數學先備知識進行解題，試題內容包含了「樣本空間」、「機率事件」、「機 率比較」、「大數法則」、「獨立事件」等五個項目，於施測同時並對受試者的 後設認知能力加以評定，最後並就學生的性別、數學學習成就、後設認知能力與 本研究「簡單機率概念」測驗結果進行分析，研究的具體目的分述如下： 一、編製一份適用於國小六年級學生施測之簡單機率概念測驗試題。 二、經由本研究的測驗，了解國小六年級學生在簡單機率概念測驗的試題表現情 形。 三、探討國小六年級學生在簡單機率概念測驗試題的表現是否存有性別之差異。 四、探討國小六年級學生在數學學習成就與簡單機率概念測驗結果間的關係。五、探討國小六年級學生在後設認知能力與簡單機率概念測驗的試題表現是否存 有差異及其五個項目的關係是為何? 六、根據研究結果，提出建議供教學或相關研究之參考。
第三節 名詞定義
壹、簡單機率概念 本研究定義之國小簡單機率概念，包含了樣本空間、機率事件、機率比較、 大數法則、獨立事件等五個項目，學生以所具備的數學能力、生活經驗在測驗中 能予以解題。 貳、後設認知 後設認知(metacognition)是個人對自己認知歷程的認知，每個人經由認知思維 從事認知活動時，能明確了解自己所學知識的性質與內容，也能了解如何進一步 支配知識，解決問題(張春興，1994)。 叁、信心評量法信心評量法(confidence rating method)是指受試者在解答試卷上的問題時，尚
未知道正確答案前，先針對自己作答的答案預估正確性，再將其預測的結果與實 際得分情形做比較，以評量其預測的正確性(李長柏，2001)。 肆、樣本空間 樣本空間(Sample space)是一個隨機實驗的所有可能結果(蔡聰明，1995)。例 如投擲一枚硬幣一次，觀測的結果包含正面與反面二種情形。 伍、機率事件 樣本空間的任一子集合稱為一個事件(event)。換句話說，一個事件是由實驗 的可能結果所組成的一個集合(朱蘊鑛，2009)。本研究定義的機率事件為以n(S) 表示樣本空間的元素個素，A表示一個事件，n(A)表示集合A的元素個數，當n(S) ＜∞時，事件A的機率為P(A)＝n(A)/ n(S)(韓燕言，2003）。例如投擲一枚十元
硬幣一次，樣本空間包含正、反面兩種情形，正面出現的機率為1/2。 陸、機率比較 機率比較(probability comparisons)係指比較不同的機率事件發生的可能性之 大小(白惠銣，2005)。例如擲筊杯一次，對於出現「二個正面」、「二個反面」、「一 個正面與一個反面」的三個結果，哪一個出現的機率比較大？ 柒、大數法則 大數法則為大量的試驗結果，趨近於某一數，例如：世界人口，男女人數趨 於平衡，各約占總人口人數的1/2(教育部，1993)。本研究定義之大數法則為在 機會均等的試驗中，試驗次數愈多，愈接近無限多次，則某一事件出現的次數會 愈趨近於某一定數(韓燕言，2003）。 捌、獨立事件 對任意事件 A 和 B，若 P（A∩B）＝P（A）•P（B）成立時，稱事件 A 與事件 B 獨立(楊珊珊，2005)。本研究定義之獨立事件(independent events)為當 已知事件 A 和事件 B 為互相獨立的，若已知其中之一發生了，並不會影響另一個 發生之機率(朱蘊鑛，2009）。例如籃球連續投籃二次，已知第一次投籃與第二次 投籃的結果為互相獨立的，則第一次投籃的結果不論進球或不進球，並不影響第 二次投籃進球的機率。
第二章 文獻探討
本章就本研究簡單機率概念發展與數學學習成就及後設認知之關係的相關 理論進行討論，第一節簡述機率的意義，第二節介紹兒童機率概念的發展，第三 節為機率概念課程的探討，第四節說明後設認知的意義。第一節 機率的意義
教育部國語辭典(http://dict.revised.moe.edu.tw/)對機率的解釋為「機會或可能 性的數值」，亦稱為「概率」、「或然率」。從人們的性別以及出生率、死亡率，各 項比賽的獲勝機率，到中央氣象局天氣預報的降雨機率，我們的生活都必須依賴 某一些數據來幫我們做判斷或抉擇。機率與我們的生活習習相關，因此若能善用 機率, 將有助於在隨機世界中, 更精準的做決策(黃文璋，2011)。 機率的解釋不一，但我們可以發現它是殊途同歸，依據蔡聰明(1995)的觀點 將機率詮釋為「機會均等說」、「公理化觀點」、「頻率說」、「邏輯關係說」、「機率 的主觀說」等五種代表性的意義。根據黃文璋(2011)的解釋，機率可以解釋為「古 典的機率」、「相對頻率」、「主觀機率」、「公理化」等四種意義。 根據上述機率的意義，每個人由於所學知識、主觀認知、切身經驗等，而有 了不同的觀點，但是我們會期望經由數學的方式來解決生活中所面對的機率問 題。第二節 兒童機率概念的發展
兒童的認知發展是指個體吸收知識時的認知方式與解決問題時的思維能 力，隨年齡之增長而改變的歷程(張春興，1994)。白惠銣(2004)的研究發現，國 民小學現階段正式課程中沒有納入機率概念的課程，但學童仍具備該學齡所應發 展的機率概念。兒童機率概念的正確發展，有助於解決自身生活中面對的問題情 境。在面對不確定的情況下，我們可以用機率的大小決定是否進行一件事，這不僅需要機率概念的理解，還需要運用機率的態度(劉秋木，1996)。所以兒童對機
率的態度，亦取決於兒童本身對機率概念發展的程度。
劉秋木(1996)探討Piaget & Inhelder(1975)對兒童機率概念發展的研究指出，
形式運思期階段(十一歲以上)的兒童已有排列組合的能力，有能力算出實驗的可 能結果，亦能以分數代表成功事件的機率，也具有大數法則的觀念。李重孝(2005) 在探討國小實施機率教學之可行性的研究指出，經過機率教學後，學生對機率問 題的正確解題思考是能對樣本空間進行有系統的組合及分析，並運用到如分數的 部分與整體概念來解題。李長柏(2001)的研究指出，未學機率前之國小六年級 男、女學童在簡單機率解題能力上的表現並沒有差異。根據上述觀點，國小六年 級階段的學生在認知發展上已進入形式運思期階段，他們對機率已具有了初步的 概念。
第三節 機率概念課程之探討
壹、課程發展 台灣近三十年來的課程發展歷經了四次的修訂，教育部(1975)於民國六十四 年公佈的課程標準中國民小學階段已有概率初步的介紹，內容以實驗機率和古典 機率為主，概率課程的教學並於六年級實施。民國八十二年修訂的國民小學課程 標準，於六年級的課程中也有機率概念的初步介紹，它是從遊戲中瞭解機率的初 步概念，內容包含了部分與全體的關係及大數法則等兩部份(教育部，1993)。綜 觀教育部(2001)民國九十年的九年一貫課程暫行綱要、教育部(2003)九十二年的 九年一貫課程綱要、教育部(2008)九十七年的九年一貫課程綱要，在國民小學階 段皆已無相關的機率課程。 比較民國八十二年公布的國民小學課程標準、民國九十年公布的九年一貫課 程暫行綱要及民國九十二年、九十七年的九年一貫課程綱要，對於國小機率概念 課程的規劃，其發展過程的差異彙整如下表2-1：表 2-1 國小機率概念課程發展過程的差異 課程版本 實施時間 課程內容 八十二年課程標準 六年級 (國小) 1.從遊戲中瞭解機率的初步概念。 2.包含了部分與全體的關係、大 數法則。 九十年九年一貫課程暫行綱 要 九年級 (國中) 1.能進行簡單的實驗，以瞭解機 率、抽樣的初步概念。 2.能嘗試使用電腦軟體進行實驗， 以瞭解機率、抽樣的意義。 九十二年九年一貫課程綱要 九年級 (國中) 1.能以具體情境介紹機率的概 念。 2.能進行簡單的實驗以了解抽 樣的不確定性、隨機性質等初 步概念。 九十七年九年一貫課程綱要 九年級 (國中) 1.以古典機率教學為主。 2.引入簡單統計機率概念。 資料來源：彙整自82年課程標準、89年九年一貫課程暫行綱要、92年及97年九年一 貫課程綱要，教育部，台北市。 探究教育部(2008)現行九年一貫課程綱要，數學學習領域第一階段至第三階 段(國小階段)在「統計與機率」主題軸中課程的規劃以統計為主，第四階段(國 中階段)課程規劃仍以統計為主，國中三年級起才正式接觸機率概念課程。 貳、機率概念先備知識課程與學習成就 先備知識是個人吸收新知識的基礎，在意義上，也就是認知心理學家所稱之 認知結構(張春興，1994）。就學習者而言，先備知識是學習新事物、新知識前所 需要的基本能力。根據蔡欣潔與葉啟村(2006)的研究指出，國小階段學生的「點 數」、「乘法」、「分數」、「統計」、「比例」之概念表現與機率概念整體表現呈正相 關。深究教育部(2003)九年一貫課程綱要數學學習領域可以發現，與機率概念有 關的先備知識大部分分布在「數與量」的主題軸中，以研究者任職之學校 100 學 年度六年級學生在三至六年級數學學習領域能力指標彙整說明其學習年級階段
如下表 2-2： 表 2-2 先備知識課程學習年級階段表 年級 先備知識課程 三年級 (97學年度) 數的運算、分數、小數。 四年級 (98學年度) 數的運算、分數、小數。 五年級 (99學年度) 數的運算、分數、小數、比率、百分率。 六年級 (100學年度) 數的運算、分數、小數、比與比值、成正比。 資料來源：彙整自教育部(2003)九年一貫課程綱要分年細目，教育部，台北市。 學習成就是包含許多心理特質的結果，更是強調學生在學習的整個歷程。劉 秋木(1996)指出一些研究者的發現，機率的成就與計算能力、獲得概念、閱讀理 解、語言技能，以及一般數學成就有正相關。教育部(2008)在九年一貫課程綱要 數學學習領域中指出，國民小學階段在數學學習領域所習得的數、量、形的知識， 皆屬確定的知識，但是生活有相當多的問題，牽涉到龐大的資料或甚至含有某種 不確定性。學生的數學學習成就是呈現整體性，學習過程是呈現連續性，學習成 果的評定並非只是片段的知識與技能，而是包含數學學習領域的各方面表現。
第四節 後設認知(metacognition)
張春興(1994)指出後設認知為個人對自己認知歷程的認知，當個人經由認知 思維從事求知活動時，個人自己既能明確了解他所學知識的性質與內容，也能了 解如何支配知識，解決問題。劉秋木(1996)亦指出後設認知(metacognition)是 對一些認知歷程的監視、控制與組織。 後設認知模式以 Flavell(1981)及 Brown(1987)兩人的觀點最受重視(陳濱 興，2000)。Flavell (1981)的後設認知內涵可以分為對自己所學知識能明確了解的「後設認知知識」，以及求知活動中能對自己監控的心理歷程的「後設認知技 能」（張春興，1994）。 Brown(1987)的後設認知可區分為對自己認知資源的了解， 以及察覺與所處環境之間互動關係的「認知的知識」，與能監控、測驗、校正及 評量學習策略效果的「認知的調整」(李長柏，2001）。 研究中的研究對象於國民小學階段未曾進行過機率概念之課程教學，所以本 研究以 Brown(1987)對後設認知的界定來探討學生在面對機率問題與情境時，能 運用「認知的知識」來了解自己的認知與機率問題之間的關係，進而使用「認知 的調整」來找出最適當的解決途徑。 後設認知的評量，陳濱興(2000)論及四種方法，分別是晤談法、放聲思考法、 問卷調查法、信心評量法。杜錦龍(2009)另外提出回顧省思法、錯誤偵測法二種。 信心評量法為一種自我預測的評量且適合大量施測，於受試者完成評量或表現 後，在未獲知結果情況下，讓受試者針對自己所作的結果或表現進行預測，然後 就預測的結果與實際的結果進行比較，由預測的正確程度，評估學生後設認知的 能力(李長柏，2001）。由於信心評量法實施容易且適合大量施測，本研究是以信 心評量法作為後設認知的測量方式，用此方法來測量六年級學生簡單機率概念與 後設認知的關係。
第三章 研究設計
第一節 研究流程與架構
依據研究目的，本研究採用調查研究法並予以量化來探討國小六年級學生簡 單機率概念在性別間與學習成就及後設認知之關係，進行研究前先深究有關機率 概念、後設認知等相關研究文獻，並就國小六年級學生數學先備知識課程與內容 進行了解，經由與專家學者及資深教師之意見自編國小六年級簡單機率概念測驗 試題。完成試題編製之後先進行預試，根據預試測驗結果刪除及修正不良試題， 最後完成正式試題之編製，在正式施測後進行試題分析，並請研究者任職之學校 六年級老師於100學年度下學期課程結束後提供每位受試學生數學領域學習總成 績，最後就相關變項進行探討，本研究之研究流程如下圖3-1所示： 本研究相關文獻探討 確定研究題目、目的與架構 編製國小六年級簡單機率概念測驗試題 與數學領域專家及資深教師討論試題之適切性 進行預試 刪除不良試題與修正試題 正式施測 分析測驗結果 結論與建議 圖 3-1 國小六年級學生簡單機率概念發展研究流程圖本研究目的在了解簡單機率概念在國小六年級學生的發展情形，研究中心以 簡單機率概念為主，同時就學生性別、後設認知能力、數學學習成就等相關變項 進行探討，研究架構如下圖 3-2： 圖 3-2 研究架構圖
第二節 研究對象
本研究設計採取便利取樣，研究樣本以桃園縣某地區國小六年級的學生為研 究對象，基於研究考量，選擇六年級學生在於其生活經驗、認知發展已有一定的 基礎，數學學習領域等學習也已達完整階段，所以在完成完整的國小學習階段 後，於學生畢業前進行本研究的測驗。 研究中先以一個班 31 人(男生 17 人、女生 14 人)進行預試，預試完成後即 後設認知能力 數學學習成就 學生性別 簡單機率概念 1、國小六年級學生在簡單機率概念測驗的試題表現情形。 2、不同性別之國小六年級學生在簡單機率概念測驗的試題表現是否存有差 異。 3、探討數學學習成就與簡單機率概念測驗結果間的關係。 4、國小六年級學生在後設認知能力與簡單機率概念測驗的試題表現是否存 有差異及其五個項目間的關係。對七個班進行正式施測，七個班級人數包含男生 115 名，女生 95 名，合計有 210 名學生，施測樣本班級人數分配表如下表 3-1： 表 3-1 正式施測樣本人數分配表 班級 A 班 B 班 C 班 D 班 男生 17 17 17 16 女生 14 12 14 13 合計 31 29 31 29 班級 E 班 F 班 G 班 全體 男生 17 16 15 115 女生 12 14 16 95 合計 29 30 31 210
第三節 研究工具發展
壹、機率概念測驗試題編製 本研究簡單機率概念測驗試題的編製基礎，根據對機率的名詞定義、劉秋木 (1996)探討兒童機率概念的認知發展、參考數學學習領域課程能力指標(教育 部，2003)、研究者觀察學生數學能力與生活經驗等，作為本研究測驗編製的範 圍與依據，其架構圖如圖 3-3： 圖 3-3 簡單機率概念測驗編製架構圖 簡單機率概 念測驗試題 學生機率概念認知發展 機率的名詞定義 數學學習領域課程能力 指標 研究者觀察學生數學能 力與生活經驗在研究中簡單機率概念測驗試題可分為「樣本空間」、「機率事件」、「機率比 較」、「大數法則」、「獨立事件」等五個項目，簡單機率概念測驗架構圖如圖 3-4： 圖 3-4 簡單機率概念測驗架構圖 根據架構圖所述，研究者自編國小六年級學生「簡單機率概念測驗」，測驗 範圍以生活化、兒童經驗所及，並融入數學領域先備知識課程之觀念為主，其內 容可分為五個項目，預試測驗試題與機率概念分布如下表 3-2： 表 3-2 預試測驗試題與機率概念分布表 樣本 空間 機率 事件 機率 比較 大數 法則 獨立 事件 合計 擲硬幣 19 17 11 24 4 擲骰子 1、27 6 22、30 14 6 射飛鏢 18 7 16 3 籃球投籃 2 20 10 25 4 樸克牌 3 21 2 抽色球 4 23 8、29 13、15 6 性別 28 9 31 12 4 彩券 26 1 猜拳 5 32 2 合計 8 6 8 6 4 32 簡單機率概念 樣本空間 機率事件 機率比較 大數法則 獨立事件
貳、試題編製原則 測驗試題的編製依據劉秋木(1996)在國小數學科教學研究中闡述的「統計與 機率的教學」對兒童機率概念發展情形，融合數學學習領域四大主題軸等相關先 備知識課程，參考康軒版國小數學課本 2007 年至 2011 年版本第五至第十二冊單 元內容，編製國小簡單機率概念測驗試題，其原則有： 一、以生活化為主，為學生的生活經驗中常接觸到的機率問題或情境。 二、與數學學習領域課程相結合，學生能應用數學課程中所習得的先備知識概念 進行解題。 三、以機率概念為主題，題幹敘述淺顯易懂，解題過程避免煩瑣的計算。 四、答題選項設計盡量以學生在數學學習領域能力指標(教育部，2003)曾習得的 「數的運算」「分數」、「小數」、「比率」、「百分率」「比與比值」等 先備知識作為選答之參考。 五、測驗試題作答時間設計以一節課 40 分鐘為目的，在一節課時間內受試學生 都能完成測驗試題。 六、為了解學生後設認知情形，於每題解答完成後同時勾選是否「答對」或「答 錯」的後設認知選項。 叁、計分方式 一、簡單機率概念測驗試題計分： 採二元計分，在預試與正式施測中，每答對一題皆得到 1 分，未答或答錯之 題目得 0 分。 二、後設認知計分： 採二元計分，並對選答結果與簡單機率概念測驗實際正確答案進行分析，得 分依據如下： (一)機率概念試題「答對」、後設認知選項勾選「答對」者得 1 分。 (二)機率概念試題「答錯」、後設認知選項勾選「答錯」者得 1 分。
(三)機率概念試題「答對」、後設認知選項勾選「答錯」者得 0 分。 (四)機率概念試題「答錯」、後設認知選項勾選「答對」者得 0 分。 三、數學學習成就計分： 以受試學生在學校所計算之數學學習領域畢業總成績為先備知識概念學習 成果。 肆、測驗之效度 本研究簡單機率概念測驗以「樣本空間」、「機率事件」、「機率比較」、 「大數法則」、「獨立事件」等五個項目為主題，參考張春興(1994)雙項細目表 的設計，經由製作簡單機率概念測驗雙向細目表如表 3-3，進行內容效度之考驗。 表 3-3 簡單機率概念測驗內容效度雙向細目表 機率 概念 認 知 目 標 知 識 理 解 應 用 分 析 綜 合 評鑑 合 計 樣本 空間 2 3、4 5 1 19、27 28 8 機率 事件 17 18 20 21 6 23 6 機率 比較 7 22 9 11 8、29 10、30 8 大數 法則 24 15 16 31 13 14 6 獨立 事件 12 32 26 25 4 合計 5 5 4 5 7 6 32 測驗之專家效度則請本校四位任教國小數學科目及曾擔任高年級之資深教 師做為諮詢之參考，請其審定本測驗試題的內容、試題取樣是否切合簡單機率概 念，試題範圍是否與學生經驗和能力、先備知識之教材內容相結合，藉此以增加 本測驗之專家效度。
伍、預試之信度與試題分析 一、本研究測驗信度採用Cronbach’s α 係數檢視測驗的內部一致性，預試以六年 級一個班 31 名學生進行施測，測驗結果經由統計 α 值為.774，顯示測驗的 信度相當的高。 二、預試的結果經由試題分析計算各題的難度、鑑別度，其後刪除難度偏難與偏 易、鑑別度偏低之試題，總計在 32 題預試題目中刪除不良試題(試題 2、4、 5、9、10、15、17、32)共 8 題，其中第 7 題由於考量機率比較只需分配五 題，雖然它的鑑別度已達 0.33 為良好試題，但仍予以刪除，所以預試試題 合計刪除 9 題。修改試題(試題 3、19)共 2 題，其中樣本空間第 19 題，雖然 試題難度偏易、鑑別度偏低，但考量擲硬幣是為機率與樣本空間教學最常使 用之方法，所以在修改試題後仍予以保留，預試試題分析結果如下表 3-4： 表 3-4 預試試題分析結果 信度 Cronbach’s α＝.774 題 號 難 度 鑑別度 試題分析結果 P1(通過率) P2（ 2 L H P P ） D＝P H－PL 1 0.94 0.89 0.25 2 0.81 0.78 -0.18 刪除 3 0.87 0.83 0.15 修改試題 4 1.00 1.00 0.00 刪除 5 0.97 0.94 0.13 刪除 6 0.58 0.61 0.88 7 0.61 0.56 0.33 刪除 8 0.81 0.72 0.63 9 0.87 0.89 0.03 刪除 10 0.65 0.72 -0.28 刪除 11 0.52 0.61 0.43 12 0.84 0.72 0.40 13 0.52 0.50 0.68 14 0.42 0.50 0.90 15 0.68 0.67 0.08 刪除
16 0.68 0.67 0.30 17 0.97 1.00 0.00 刪除 18 0.81 0.78 0.50 19 0.81 0.78 0.05 修改試題 20 0.87 0.83 0.38 21 0.68 0.56 0.55 22 0.68 0.67 0.53 23 0.71 0.67 0.75 24 0.90 0.83 0.38 25 0.84 0.83 0.38 26 0.45 0.50 0.45 27 0.74 0.67 0.53 28 0.58 0.44 0.35 29 0.48 0.61 0.43 30 0.52 0.39 0.70 31 0.81 0.83 0.38 32 0.87 0.94 0.13 刪除 重新編排之正試試題在樣本空間、機率事件、機率比較、大數法則等四個項 目各有 5 題，獨立事件 3 題，合計 23 題成為本研究的國小簡單機率概念測驗正 試試題(附錄一)，重新編排後正試試題內容分布情形如下表 3-5： 表 3-5 正式試題內容分布表 樣本 空間 機率 事件 機率 比較 大數 法則 獨立 事件 合計 擲硬幣 19 11 7 3 擲骰子 1、9 6 2、17 14 6 射飛鏢 18 16 2 籃球投籃 4 22 2 樸克牌 3 20 2 抽色球 5 8、10 13 4 性別 21 15 12 3 彩券 23 1 合計 5 5 5 5 3 23
陸、正式試題之信度與試題分析 本研究於民國 101 年 5 月 21 日至 25 日進行六年級 7 個班的正式施測，選擇 此時段目的是在於六年級學生完整的學習課程即將結束之前進行，並於 6 月初畢 業考後請七個班的導師提供施測學生六年來的數學領域學習總成績。 在正式施測 210 名學生後，簡單機率概念測驗結果的Cronbach’s α 值 為.769，顯示測驗的信度相當的高，各試題的通過率介於 0.31~0.88，難度(P2 值)介於 0.35~0.86，鑑別度除試題第 1 題、第 23 題外，其範圍介於 0.22~0.70， 試題的通過率、難度、鑑別度等項目分析如表 3-6： 表 3-6 正式試題項目分析結果 信度 Cronbach’s α＝.769 題 號 難度 鑑別度 P1(通過率) P2（ 2 L H P P ） D＝PH－PL 1 0.88 0.86 0.19 2 0.50 0.51 0.55 3 0.79 0.75 0.46 4 0.73 0.74 0.51 5 0.55 0.59 0.50 6 0.54 0.55 0.70 7 0.79 0.76 0.42 8 0.75 0.66 0.58 9 0.66 0.65 0.50 10 0.39 0.45 0.62 11 0.31 0.35 0.46 12 0.72 0.66 0.43 13 0.62 0.59 0.68 14 0.32 0.40 0.54 15 0.60 0.58 0.66 16 0.60 0.56 0.59 17 0.62 0.56 0.37 18 0.60 0.56 0.66 19 0.45 0.42 0.25
20 0.45 0.45 0.56 21 0.50 0.49 0.40 22 0.55 0.55 0.22 23 0.34 0.37 0.19 正式試題的五個測驗項目中，樣本空間的難度(P2值)介於0.42~0.86、鑑別 度為0.19~0.50；機率事件的難度(P2值)介於0.45~0.74、鑑別度為0.50~0.70， 機率比較的難度(P2值)介於0.35~0.66、鑑別度為0.37~0.62；大數法則的難度(P2 值)介於0.40~0.76、鑑別度為0.42~0.68；獨立事件的難度(P2值)介於 0.37~0.66、鑑別度為0.19~0.43。整體而言，測驗的結果經由難度與鑑別度分析， 本研究使用之自編簡單機率概念測驗試題，難度(P2值)適中，鑑別度偏高，測驗 項目的難度(P2值)、鑑別度統計表如表3-7： 表 3-7 正式試題總分與五個測驗項目的難度(P2 值)、鑑別度統計表 項目 題號 題數 難度(P2 值) 鑑別度 總 分 1 ~ 23 23 0.35~0.86 0.19~0.70 樣本空間 1、3、9、19、21 5 0.42~0.86 0.19~0.50 機率事件 4、5、6、18、20 5 0.45~0.74 0.50~0.70 機率比較 2、8、10、11、17 5 0.35~0.66 0.37~0.62 大數法則 7、13、14、15、16 5 0.40~0.76 0.42~0.68 獨立事件 12、22、23 3 0.37~0.66 0.19~0.43 簡單機率概念正式施測時，本研究使用信心評量法，同時針對後設認知部分 請受試學生勾選作答，依據給分評定標準並採用二元計分方式，紀錄受試者答題 結果。在正式施測的210名學生，後設認知統計的結果Cronbach’s α值為.558， 介於.50至.70之間，顯示學生在後設認知評定的信度是常見、可以接受的範圍。
第四節 資料處理
本研究目的在探討國小六年級學生對簡單機率概念的表現情形，並經由自編 簡單機率概念測驗來了解學生性別、學習成就、後設認知等關係，研究資料以統 計套裝軟體 SPSS 12.0 中文版進行分析，本研究資料分析方法如下： 一、以項目分析探討簡單機率概念測驗的信度、難度、鑑別度。 二、以相依樣本單因子變異數分析探討六年級學生在樣本空間、機率事件、機率 比較、獨立事件、大數法則等五個項目的表現情形。 三、以獨立樣本 t 檢定探討簡單機率概念測驗是否存在性別差異。 四、以皮爾森積差相關探討簡單機率概念測驗結果與數學學習成就之間的相關。 五、以相依樣本 t 檢定探討簡單機率概念測驗與後設認知能力上是否存有差異。 六、以皮爾森積差相關探討簡單機率概念測驗五個項目與後設認知的五個項目之 關係。第四章 研究結果
根據簡單機率概念的測驗結果，本研究結果分為四節探討。第一節：六年級 學生在簡單機率概念測驗表現情形；第二節：學生性別與簡單機率概念發展的差 異；第三節：簡單機率概念測驗結果與學生數學學習成就之關係；第四節、簡單 機率概念測驗結果與後設認知之關係。第一節 簡單機率概念測驗表現情形
依據研究設計，受試者在簡單機率概念測驗試題的五個項目樣本空間、機率 事件、機率比較、大數法則、獨立事件等表現情形的描述性統計如下表 4-1： 表 4-1 學生在機率概念測驗試題表現的描述性統計量 項目 題號 題數 平均數 標準差 個數 總 分 1 ~ 23 23 13.27 4.39 210 樣本空間 1、3、9、19、21 5 3.28 1.25 210 機率事件 4、5、6、18、20 5 2.87 1.54 210 機率比較 2、8、10、11、17 5 2.58 1.35 210 大數法則 7、13、14、15、16 5 2.93 1.42 210 獨立事件 12、22、23 3 1.61 0.93 210 在機率概念測驗試題表現上，有效樣本為 210 個，測驗總分的平均數為 13.27，五個項目的表現分別為樣本空間的平均數為 3.28，機率事件的平均數為 2.87，機率比較的平均數為 2.58，大數法則的平均數為 2.93，獨立事件的平均 數為 1.61；五個測驗項目的標準差分別為 1.25、1.54、1.35、1.42、0.93。 簡單機率概念測驗試題的五個項目學習結果比較採相依樣本單因子變異數 分析，測驗結果摘要表如表 4-2：表 4-2 學生在機率概念測驗試題的五個項目之變異數分析摘要表 變異來源 SS df MS F 組間 335.461 4 83.865 70.130*** 組內(誤差) 受試者間 806.613 209 3.859 殘差 999.739 836 1.196 全體 2141.813 1049 註1：*p<.05，**p<.01，***p<.001 在學生機率概念測驗試題的五個項目之變異數分析摘要表(表 4-1-2)得知， 學生在五個測驗項目檢定 F 值為 70.130，P=.000＜.05，已達顯著水準，表示受 試學生在五個測驗項目上有顯著的差異，以 LSD 法進行事後比較，摘要表如表 4-3： 表 4-3 學生在機率測驗五個測驗項目的 LSD 法事後比較分析摘要表
機率概念(I) 機率概念(J) 平均數的差異(I－J) 標準誤 顯著性(a) 樣本空間 機率事件 .410* .112 .000 樣本空間 機率比較 .700* .103 .000 樣本空間 大數法則 .343* .107 .002 樣本空間 獨立事件 1.662* .096 .000 機率事件 機率比較 .290* .107 .007 機率事件 大數法則 -.067 .101 .509 機率事件 獨立事件 1.252* .125 .000 機率比較 大數法則 -.357* .100 .000 機率比較 獨立事件 .962* .107 .000 大數法則 獨立事件 1.319* .108 .000 以 LSD 法進行事後比較後顯示，樣本空間與其它四個項目的平均數差異已達 顯著水準，樣本空間的平均數(3.28)顯著高於其它四個項目的平均數；機率事件 與機率比較、獨立事件項目的平均數差異已達顯著水準，機率事件的平均數(2.87)
顯著高於機率比較的平均數(2.58)、獨立事件的平均數(1.61)；機率比較與獨立 事件的平均數差異已達顯著水準，機率比較的平均數(2.58)顯著高於獨立事件的 平均數(1.61)；大數法則與獨立事件的平均數差異已達顯著水準，大數法則的平 均數(2.93)顯著高於獨立事件的平均數(1.61)。
第二節 學生性別與簡單機率概念測驗的差異
壹、全體學生的性別與機率概念測驗結果的檢定 本研究中的男生共計有 115 人、女生共計有 95 人，以獨立樣本 t 檢定，分 析不同性別與測驗總分上是否有差異，其結果如下表 4-4： 表 4-4 學生性別與測驗總分之獨立樣本 t 檢定摘要表 向度名稱 人數 平均數 標準差 t 值 男生 115 13.42 4.68 .546 女生 95 13.08 4.03 *p<.05，**p<.01，***p<.001 機率概念試題測驗中，男生的平均數為 13.42、女生的平均數為 13.08，以 獨立樣本 t 檢定 t 值＝.546，p＝.586＞.05，結果未達顯著水準，男、女性別在 測驗總分的平均數上並未有顯著的差異。 貳、高分組學生的性別與機率概念測驗結果的檢定 在學生的性別中，分別以男、女生在測驗總分的前 27％界定為高分組，高分 組男生的決斷分數為 17 分，共計有 31 人；高分組女生的決斷分數為 16 分，共 計有 32 人，以獨立樣本 t 檢定，分析不同性別與高分組測驗總分之間是否有差 異，結果如下表 4-5：表 4-5 高分組的學生性別與測驗總分之獨立樣本 t 檢定摘要表 向度名稱 人數 平均數 標準差 t 值 男生 31 19.32 1.60 4.891*** 女生 32 17.38 1.56 *p<.05，**p<.01，***p<.001 在高分組中，男生的測驗平均數為 19.32，女生的測驗平均數為 17.38，以 獨立樣本 t 檢定 t 值＝4.891，p＝.000＜.05，已達顯著水準，高分組的男生與 女性在測驗總分上已有顯著的差異，男生測驗的平均數(M＝19.32)確實大於女生 的測驗平均數(M＝17.38)。 叁、低分組學生的性別與機率概念測驗結果的檢定 在學生的性別中，分別以男生、女生在測驗總分的後 27％界定為低分組，低 分組男生的決斷分數為 10 分，共計有 30 人；低分組女生的決斷分數為 10 分， 共計有 27 人，以獨立樣本 t 檢定，分析低分組中不同的性別與測驗總分之間是 否有差異，結果如下表 4-6： 表 4-6 低分組的學生性別與測驗總分之獨立樣本 t 檢定摘要表 向度名稱 人數 平均數 標準差 t 值 男生 30 7.60 2.18 -.624 女生 27 7.93 1.71 *p<.05，**p<.01，***p<.001 在低分組中，男生的測驗平均數為 7.60，女生的測驗平均數為 7.93，以獨 立樣本 t 檢定的結果，t 值＝-.624，p＝.535＞.05，未達顯著水準，結果顯示低 分組的男生與女生在測驗總分的平均數上並未有顯著差異。
第三節 簡單機率概念測驗結果與數學學習成就之相關
本研究機率概念測驗分為五個項目，在學生施測後進行測驗總分的計算，同 時計算五個項目各別的分數，將各別分數與總分和受試學生數學學習成就總成績 利用皮爾森積差相關來分析，其結果如表 4-7： 表 4-7 機率概念測驗分數與數學學習成就的皮爾森積差相關摘要表 數學學習成就 機率概念測驗總分 .626(**) 樣本空間 .434(**) 機率事件 .524(**) 機率比較 .471(**) 大數法則 .450(**) 獨立事件 .135 *p<.05，**p<.01，***p<.001 機率概念測驗總分與數學學習成就相關係數為.626 屬於中度相關；在樣本空 間、機率事件、機率比較、大數法則等項目與數學學習成就的相關係數介於.434 至.524，四個項目與數學學習成就屬於中度相關；獨立事件與數學學習成就的相 關係數為.135，顯示兩者之間是為低度相關。第四節 簡單機率概念測驗與後設認知之表現情形
壹、機率概念測驗試題的後設認知表現描述性統計量 在機率測驗的後設認知表現上亦分為五個項目，分別是樣本空間、機率事 件、機率比較、大數法則、獨立事件，其描述性統計量如表 4-8： 表 4-8 機率概念測驗試題的後設認知表現描述性統計量表 項目 題數 平均數 標準差 個數 總 分 23 13.71 3.40 210 樣本空間 5 3.20 1.23 210機率事件 5 3.24 1.24 210 機率比較 5 2.89 1.24 210 大數法則 5 2.85 1.32 210 獨立事件 3 1.53 0.91 210 貳、機率概念測驗總分與後設認知總分之檢定 為探討學生在機率概念測驗與後設認知表現上是否存有差異，研究中以機率 概念施測總分與後設認知總分進行相依樣本 t 檢定，分析之摘要表如表 4-9： 表 4-9 機率概念測驗總分與後設認知總分之相依樣本 t 檢定摘要表 向度名稱 人數 平均數 標準差 t 值 機率概念測驗總分 210 13.27 4.39 -1.497 後設認知總分 210 13.71 3.40 *p<.05，**p<.01，***p<.001 由上表得知，機率概念測驗總分的平均數為 13.27，後設認知總分平均數為 13.71， t 值＝-1.497，p 值＝.136＞.05，結果未達顯著水準，兩者之間並無顯 著的差異。 叁、機率概念測驗五個項目與後設認知五個項目之關係 本研究除了探討學生在機率概念測驗表現情形外，另針對學生在後設認知的 五個項目與機率概念測驗的五個項目進行相關分析，表 4-10 為以皮爾森積差相 關進行總分與五個項目的分析結果。 表 4-10 機率概念測驗與後設認知的五個項目之相關 皮爾森積差相關 機率概念測驗總分-後設認知總分 .404 ** 樣本空間（測驗總分-後設認知） .275 ** 機率事件（測驗總分-後設認知） .408 ** 機率比較（測驗總分-後設認知） .329 **
大數法則（測驗總分-後設認知） .196 ** 獨立事件（測驗總分-後設認知） .376 ** 由上表得知機率概念測驗總分與後設認知總分之相關為.404，是為中度之相 關；機率事件在測驗總分與後設認知之相關為.408，是為中度之相關；機率比較、 樣本空間、獨立事件、大數法則等四個項目在測驗總分與後設認知之相關為.196 至.376，顯示其為低度相關。
第五章 結論與建議
本研究在經過研究方法與設計、研究對象進行施測、資料進行分析等步驟以 求研究結果，最後將進行本研究的結論與建議。本章分為三節，第一節針對第四 章的研究結果予以結論，第二節為本研究的研究限制，第三節為提出研究建議。第一節 結 論
壹、簡單機率概念測驗試題的表現情形 在研究設計中，簡單機率概念測驗分為五個項目，五個項目的平均數表現情 形依序為樣本空間(3.28)、機率事件(2.87)、機率比較(2.58)、大數法則(2.93)、 獨立事件(1.61)，整體受試者的平均數(通過率)為 13.27。 以相依樣本變異數分析進行五個項目的平均數差異分析與事後比較，在個別 項目上的表現情形為： 一、樣本空間(M=3.28)的表現，較其它四個項目的表現為最優。 二、機率事件(M=2.87)的表現較機率比較(M=2.58)、獨立事件(M=1.61)的表現為 佳。 三、機率比較(M=2.58)的表現較獨立事件(M=1.61)的表現為佳。 四、大數法則(M=2.93)的表現明顯優於機率比較(M=2.58)、獨立事件(M=1.61)的表現。 五、整體而言，五個項目的表情形依序為樣本空間＞大數法則、機率事件＞機率 比較＞獨立事件。 貳、學生性別與簡單機率概念測驗結果的差異 一、全體學生的性別與機率概念測驗結果： 研究中以獨立樣本 t 檢定分析男生 115 人、女生 95 人在簡單機率概念測驗 總分上的差異，男生的平均數為 13.42、女生的平均數為 13.08，t 檢定結果顯示 男、女生的性別在機率測驗總分的平均數上並未有顯著差異。 二、高分組學生的性別與機率概念測驗結果： 高分組的男生共計有 31 人，在機率測驗的平均數為 19.32；高分組的女生共 計有 32 人，在機率測驗的平均數為 17.38，以獨立樣本 t 檢定結果顯示，高分組 的男生與女生在測驗總分上已有顯著差異，男生的測驗平均數(M＝19.32)確實大 於女生的測驗平均數(M＝17.38)。 三、低分組學生的性別與機率概念測驗結果： 低分組男生的共計有 30 人，在機率測驗的平均數為 7.60；低分組的女生共 計有 27 人，在機率測驗的平均數為 7.93，以獨立樣本 t 檢定結果顯示，低分組 的男生與女性在測驗總分的平均數上未有顯著差異。 叁、簡單機率概念測驗結果與數學學習成就之相關 本研究探討簡單機率概念測驗總分及測驗的五個項目與學生在數學的學習 成就間的關係，以皮爾森積差相關進行兩變項的分析，結果顯示如下： 一、機率概念測驗總分與數學學習成就兩變項間的相關係數為.626，呈現中度的 正相關。 二、樣本空間、機率事件、機率比較、大數法則等四個項目的測驗總分與數學學 習成就間的相關係數分別為.434、 .524、 .471、.450，結果皆呈現中度的
正相關。 三、獨立事件測驗總分與數學學習成就的相關係數為.135，呈現低度的正相關。 肆、簡單機率概念測驗總分與後設認知之表現情形 研究設計中，機率概念分為五個項目，依據測驗試題的答題結果，以信心評 量法對受試學生進行後設認知考驗，首先以相依樣本 t 檢定分析機率概念測驗總 分與後設認知總分之差異，機率概念測驗總分的平均數為 13.27，後設認知總分 平均數為 13.71，以相依樣本 t 檢定分析，結果未達顯著水準，兩變項平均數並 無顯著差異。 簡單機率概念測驗總分及測驗的五個項目與學生在答題的後設認知能力間 的關係，以皮爾森積差相關分別進行兩變項的分析，結果顯示如下： 一、機率概念測驗總分與後設認知能力總分兩變項間的相關係數為.404，兩者呈 現中度的正相關。 二、機率事件項目測驗分數與後設認知分數兩變項間的相關係數為.408，兩者呈 現中度的正相關。 三、樣本空間、機率比較、獨立事件、大數法則等項目的測驗分數與後設認知分 數兩變項間的相關係數分別為.275、 .329、 .376、 .196，兩者皆呈現低 度的正相關。
第二節 研究限制
壹、本研究對象採便利取樣，研究樣本為桃園縣某地區學校六年級的學生，研究 結果的解釋應考慮樣本的特質與學校所處區域。 貳、現行的九年一貫課程教育理念雖然強調學生學習的是帶的走的能力，但學習 成就之先備知識仍會因所處之地域性、學生特質、教科書版本、學校文化與 風氣等諸多因素而造成差異，學習成就與先備知識之選擇宜謹慎加以界定。第三節 研究建議
綜合研究者的研究過程與結果，針對簡單機率概念測驗試題編製、機率概念 課程的教學等二個部分提出建議，以期提供日後研究及教學的參考。 壹、簡單機率概念測驗試題編製 測驗的目的在於衡量學生所學習到的概念或能力的程度，也就是能真正測量 到學生所具有之特質。由於本研究的研究對象並未正式接觸機率課程，所以在研 究前對學生的機率概念能力無法確實掌握，只能片段的與學生訪談及互動中、相 關兒童機率文獻裡，界定出其應具有之能力範圍，其目的在了解學生的機率概念 程度，讓試題編製的難易度符合學生的能力。 研究者的測驗試題編製方式參考學生在校的期中、期末評量方式命題，以選 擇題為主，採二元計分，內容生活化、能融入學生生活經驗與情境為目的，題目 敘述雖以機率概念為主，但思考與解題過程應使用學生曾習得的先備知識，建議 在理解與推理上，能排除煩瑣的計算，以避免受試學生在解題過程中遇到挫折而 失去解題的耐心。 貳、機率概念課程的教學 從民國 91 年全面實施九年一貫課程迄今，將近 10 年的時間裡，國民小學的 數學領域課程已無機率概念的課程教學，在本研究中可以發現學生已具有簡單機 率概念的能力，所以在數學課程的教學上，可以利用先備知識概念來探討機率事 件的問題，例如「比」為兩個量之間的比較關係，分數的等分、部分整體關係等， 皆可以用來表達或解決機率的方式。 在先備知識的架構下，研究者經由研究發現學生對於簡單的機率概念是可以 理解、可以分析、可以計算的，有時在與學生的對話中，也可以察覺學生已經在 使用簡單的機率概念解決日常的生活問題，但卻不知自己已經在使用此概念，在 本研究結果中可以驗證，機率概念五個項目的表現情形與後設認知的關係上呈現中、低度的正相關，基於此，研究者建議，在課程的設計與教學中，應適度的融
參考文獻
白惠銣(2005)。國小六年級學童機率概念的試題編製與分析之研究。國立台中師 範學院數學教育學系碩士論文。 朱蘊鑛(譯)(2009)。機率論。台北市：臺灣培生教育。(Sheldon Ross，2009)。 李長柏(2002)。國小數學簡單機率解題實作評量與後設認知之相關研究。國立台 中師範學院教育測驗統計研究所碩士論文。 李重孝(2005)。探討國小機率教學之可行性…以六年級為例。國立台北師範學院 數學教育研究所碩士論文。 杜錦龍(2009)。以後設認知策略經由等值分數進行異分母分數加減的學習歷程及 成效探究。國立台南大學數學教育學系教學碩士論文。 張春興（1994）。教育心理學。台北市：東華書局。 康軒文教（2007）。國小數學第五冊。台北縣：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2008）。國小數學第六冊。台北縣：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2008）。國小學數第七冊。台北縣：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2009）。國小數學第八冊。台北縣：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2009）。國小數學第九冊。台北縣：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2010）。國小數學第十冊。台北縣：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2010）。國小數學第十一冊。新北市：康軒文教事業股份有限公司。 康軒文教（2011）。國小數學第十二冊。新北市：康軒文教事業股份有限公司。 陳濱興（2000）。國小數學解題實作評量與後設認知之相關研究。國立台中師範 學院教育測驗統計研究所碩士論文。 教育部（1993）。國民小學課程標準。台北市：教育部。 教育部（2001）。國民中小學九年一貫課程暫行綱要。台北市：教育部。 教育部（2003）。國民中小學九年一貫課程綱要。台北市：教育部。 教育部(2008)。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。台北市：教育部。 黃文璋(2011)。認識機率。數學傳播季刊，35（2），32-44。 楊珊珊(2005)。國小五年級兒童學習機率概念之探討。國立台中師範學院數學 教育學系碩士論文。蔡欣潔、葉啟村（2006）。國小高年級學童機率概念與其學習前數學概念之關聯 性研究。國立臺南大學「教育研究學報」，40（1），51-73。 蔡聰明（1995）。什麼是機率與機率法則? 。數學傳播季刊，19（1），1-16。 劉秋木（1996）。國小數學科教學研究。台北市：五南。 韓燕言（2003）。國小六年級學生機率初步概念學習表現之研究。國立台中師範 學院數學教育學系研究所碩士論文。
附錄一 簡單機率概念測驗試題
國小六年級簡單機率概念測驗試題
六年 班 座號 性別：□
男□
女（請打） 1、（ ）投擲一粒均勻材質的骰子（如右圖），出現點數是偶數的情形有幾種？ ①1 ②2 ③3 ④ 6 種。□
答對□
答錯 2、（ ）投擲一粒均勻的骰子，出現點數 1 的機率和點數 6 的機率，哪一個比 較高？ ①1 點 ② 6 點 ③一樣高④無法比較。□
答對□
答錯3、（ ）一副撲克牌有 52 張（如右圖），有黑桃、紅心、方塊、梅花四種 花色，每種花色有 A、2、…、Q、K 等 13 張，在不看牌的情況下 隨便抽出一張，可能出現的結果有幾種？ ①1 ②4 ③13 ④52 種。
□
答對□
答錯 4、（ ）尼克隊的林書豪在對洛杉磯湖人隊的比賽中，總共投了 16 球，其中進了 12 球，他在這場比賽中的進球率是多少？ ①12 ② 75％ ③ 12 16 ④ 七成。□
答對□
答錯 5、（ ）箱子裡有 4 顆白球、6 顆紅球，從箱子抽出一球，抽中白球的機率是多少？ ①0.4 ②0.6 ③4 6 ④ 3 2。□
答對□
答錯 6、（ ）投擲一粒均勻的骰子，出現點數比 4 小（不包括 4）的機率是多少？ ①3 ② 40％ ③4 6 ④ 1 2 。□
答對□
答錯 各位小朋友你們好： 這是為了解國小六年級學生機率概念發展情況所進行之研究，本測驗試題以 機率概念為主，但在思考運作與解題過程請以過去學習的「小數」、「分數」「比 與比例」等方式做答，作答完成後請同時在□
勾選你認為是否會答對或答錯。 例：（ ）投擲一枚 10 元硬幣一次，可能出現的情形有幾種？①1 ②2 ③3 ④ 4 種□
答對□
答錯 解答： ② 2 種 投擲一枚 10 硬幣一次，可能出現正面，也可能出現反面，所以 可能出現 2 種情況。7、（ ）投擲一枚 10 元硬幣 1000 次，出現「正面」的次數中，哪個選項比較合理？ ①100 ②200 ③500 ④ 1000 次。
□
答對□
答錯 8、（ ）甲箱子有 5 顆白球、3 顆紅球，乙箱子有 6 顆白球、7 顆紅球，如果想要 從甲、乙二個箱子中抽出一個白球，哪一個抽中的機會比較大？ ①甲 ②乙 ③一樣大 ④無法比較。□
答對□
答錯9、（ ）投擲二粒均勻材質的骰子，所出現點數的情形有幾種？ ①2 ②6 ③8 ④ 36 種 。
□
答對□
答錯10、（ ）甲箱子有 3 顆白球、2 顆紅球，乙箱子有 5 顆白球、5 顆紅球，從甲、乙 二個箱子中各抽一球，抽中白球的機會相差多少？ ① 2 1 ②25％ ③ 10 1 ④ 15 2 。
□
答對□
答錯 11、（ ）同時投擲二枚 10 元硬幣一次，出現一正一反（包括「正面、反面」和「反 面、正面」）的機率比出現「正面、正面」高出多少？ ①0.25 ② 50％ ③1 ④2 。□
答對□
答錯 12、（ ）媽媽每一胎生出男生、女生的機會都是 2 1 ，假如媽媽第一胎生的是男生， 第二胎生的會是？ ①女生 ②男生 ③都有可能 ④不能判斷。□
答對□
答錯 13、（ ）不透明的箱子裡有 1 顆白球、2 顆紅球、3 顆綠球，反覆的抽取了 600 次 （每次抽完後放回箱子裡），抽中綠球的次數哪一個選項比較合理？ ①3 ②104 ③296 ④588 次。□
答對□
答錯 14、（ ）請問一粒均勻的骰子大約要投擲幾次？出現 1 點的次數和 6 點的次數加 起來才會接近 200 次。 ①100 ②200 ③400 ④600 次。□
答對□
答錯 15、（ ）六年七班有 30 位小朋友，男生 10 位、女生 20 位，老師用號碼球在不看 的情形下抽了 600 次，抽中男生的次數哪個選項會比較合理？ ①99 ②188 ③333 ④ 407。□
答對□
答錯 16、（ ）假設右圖是旋轉中的鏢靶，射一枝飛鏢且射中鏢靶內的情況下射了 600 次，將射中顏色的次數（依序為紅：綠色）化為最簡單整數 比，應該會接近哪個選項？ ①1：2 ②3：2 ③2：1 ④ 4：1 。
