《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题 1．已知抛物线C y x
:
2
3 10
x
，将抛物线 C 平移得到抛物线C
．若两条抛物线 C、C
关于直线 x＝1 对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）． A．将抛物线 C 向右平移5
2
个单位 B．将抛物线 C 向右平移 3 个单位 C．将抛的线 C 向右平移 5 个单位 D．将抛物线 C 向右平移 6 个单位 2．已知二次函数y ax bx c
2
的图象如图所示，则下列 5 个代数式：ac，a+b+c， 4a-2b+c，2a+b，2a-b 中，其值大于 0 的个数为( )． A．2 B．3 C．4 D．5 3．二次函数y ax bx c
2
的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A．a
0
B．abc＞0 C．a+b+c＞0 D．b
2
4
ac
0
4．在平面直角坐标系中，将抛物线
y x
2
2
x
3
绕着它与 y 轴的交点旋转 180°，所得抛物线的解析式 是( )A．
y
(
x
1)
2
2
B．y
( 1)
x
2
4
C．y
( 1)
x
2
2
D．y
(
x
1)
2
4
5．如图所示，半圆 O 的直径 AB＝4，与半圆 O 内切的动圆 O1与 AB 切于点 M，设⊙O1的半径为 y，AM＝x，
则 y 关于 x 的函数关系式是( )． A．
1
24
y
x
x
B．1
24
y
x
x
C．1
24
y
x
x
D．1
24
y
x
x
第 5 题 第 6 题 6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)； 小明说：a＝1，c=3；小颖说：抛物线被 x 轴截得的线段长为 2．你认为四人的说法中，正确的有( )． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．已知一次函数y ax b
的图象过点(-2，1)，则关于抛物线y ax bx
2
3
的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线 x＝l；③当 a＜0 时，其顶点的纵坐标的最小值为 3． 其中所有正确叙述的有( )． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个8．（2016•梧州）如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、 B（1，0），直线 x=﹣0.5 与此抛物线交于点 C，与 x 轴交于点 M，在直线上取点 D，使 MD=MC，连接 AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论： ①a﹣b=0； ②当﹣2＜x＜1 时，y＞0； ③四边形 ACBD 是菱形； ④9a﹣3b+c＞0 你认为其中正确的是（ ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 9．由抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的抛物线的解析式为 . 10．已知一元二次方程
x bx
2
3 0
的一根为-3．在二次函数 y=x2 +bx-3 的图象上有三点4 ,
15
y
、 25 ,
4
y
、1 ,
6
y
3
，y1、y2、y3、的大小关系是 .11．如图所示，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线
1
21
2
y
x
上运动，当⊙P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为________． 第 11 题 第 13 题 12．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线 y=﹣2x2相同，试写 出这个函数解析式 ． 13．已知二次函数y ax bx c
2
(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b 同号；②当 x＝1 和 x＝3 时，函数值相等；③4a+b＝0；④当 y＝-2 时，x 的值只能取 0，其中正确的有 .（填序号） 14．已知抛物线的顶点为1
,
25
2
4
，与 x 轴交于 A、B 两点，在 x 轴下方与 x 轴距离为 4 的点 M 在抛物线 上，且S
△AMB
10
，则点 M 的坐标为 ． 15．已知二次函数y ax bx c
2
(a≠0)的图象如图所示，有下列 5 个结论： ①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l 的实数)． 其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．第 15 题 第 16 题 16．如图所示，抛物线
y
1
x
22
向右平移 1 个单位得到抛物线 y2．回答下列问题： (1)抛物线 y2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积 S＝________． (3)若再将抛物线 y2绕原点 O 旋转 180°得到抛物线 y3，则抛物线 y3的开口方向________， 顶点坐标________． 三、解答题 17．（2015•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元．若一次性购买不超过 10 件时，售价不变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元．已知该 服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？ 18．如图所示，已知经过原点的抛物线y
2
x
2
4
x
与 x 轴的另一交点为 A，现将它向右平移 m(m＞0) 个单位，所得抛物线与 x 轴交于 C、D 两点，与原抛物线交于点 P． (1)求点 A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)； (2)在 x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含 m 的式子表 示)；若不存在，请说明理由； (3)设△PCD 的面积为 S，求 S 关于 m 的关系式．19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标． 20. （2016•菏泽）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B（﹣2，6），C（2，2）两点． （1）试求抛物线的解析式； （2）记抛物线顶点为 D，求△BCD 的面积； （3）若直线 y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， 求b 的取值范围．
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】 2 2
3
49
:
3 10
2
4
C y x
x
x
， ∴ 其顶点坐标为3
,
49
2
4
，设C
顶点坐标为 049
,
4
x
，由题意得 03
2
1
2
x
， ∴ 07
2
x
，∴C
的解析式为 27
49
2
4
y
x
． 由 23
49
2
4
y
x
到 27
49
2
4
y
x
需向右平移 5 个单位，因此选 C． 2.【答案】A； 【解析】由图象知，a＜0，c＜0，0
1
2
b
a
， ∴ b＞0，ac＞0，∴ 2a-b＜0． 又对称轴1
2
b
a
，即 2a+b＜0． 当 x＝1 时，a+b+c＞0；当 x＝-2 时，4a-2b+c＜0． 综上知选 A． 3.【答案】C； 【解析】由抛物线开口向下知 a＜0，由图象知 c＞0，0
2
b
a
，b＜0，即 abc＞0，又抛物线与 x 轴有 两个交点，所以b
2
4
ac
0
． 4.【答案】B； 【解析】抛物线y x
2
2
x
3 (
x
1)
2
2
，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转 180°后坐标为(1，4)， 开口向下． ∴ 旋转后的抛物线解析式为y
( 1)
x
2
4
． 5.【答案】B；【解析】连接 O1M、O1O，易知两圆切点在直线 OO1上，线段 OO1＝OA-y＝2-y，O1M＝y，OM＝OA-AM＝2-x．
由勾股定理得(2-y)2 ＝y2 +(2-x)2 ，故
1
24
y
x
x
． 6.【答案】C； 【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为 x＝2；由小彬的条件，抛物线 过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线 x＝2；由小明的条件 a＝1，c=3,得到关系式 为y x bx
2
3
，过点(1，0)得 b＝-4，对称轴为4
2
2 1
x
；由小颖的条件抛物线被 x 轴截得的线段长为 2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴不是 x＝2．所以小颖说的不对.故选 C. 7．【答案】C； 【解析】①若过定点(2，1)，则有
4
a
2
b
3 1
．整理、化简，得-2a+b＝1，与题设隐含条件相符； ②若对称轴是直线 x＝1，这时1
2
b
a
，2a-b＝0，与题设隐含条件不相符； ③当 a＜0 时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为 2 24
3 ( )
3
4
4
a
b
b
y
a
a
． 由于b
20
，a
0
．∴ 20
4
b
a
．∴y
最小
3
． 综合以上分析，正确叙述的个数为 2，应选 C． 8.【答案】D．【解析】①∵抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0），
∴该抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣0.5， ∴a=b，a﹣b=0，①正确； ②∵抛物线开口向下，且抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0）， ∴当﹣2＜x＜1 时，y＞0，②正确； ③∵点 A、B 关于 x=0.5 对称， ∴AM=BM， 又∵MC=MD，且 CD⊥AB， ∴四边形ACBD 是菱形，③正确； ④当 x=﹣3 时，y＜0， 即y=9a﹣3b+c＜0，④错误． 综上可知：正确的结论为①②③． 故选D． 二、填空题 9．【答案】y＝(x+2)2 -3； 【解析】y＝x2 的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2 +3 的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移 2 个单位，再向 下平移 3 个单位可得(-2，-3)，即将抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 得到抛物线 y＝(x+2)2 -3． 10．【答案】y1＜y2＜y3.
【解析】设 x2 +bx-3＝0 的另一根为 x2，则
3
23
c
x
a
，∴ x2＝1， ∴ 抛物线的对称轴为3 1
1
2
x
，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大， 所以 y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出 b＝2，分别求出 y1，y2，y3的值再比较大小．11．【答案】
( 6,2)
或( 6,2)
； 【解析】当⊙P 与 x 轴相切时，圆心 P 的纵坐标为 2，将 y＝21
21
2
y
x
得x
26
，所以x
6
， 从而圆心 P 的坐标为( 6,2)
或( 6,2)
． 12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1 或 y=2（x﹣2）2+1；【解析】图象顶点坐标为（2，1） 可以设函数解析式是 y=a（x﹣2）2+1 又∵形状与抛物线 y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同 则|a|=2 因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1 或 y=2（x﹣2）2+1. 13．【答案】②③； 【解析】由图象知，抛物线与 x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为
1 5 2
2
x
， 则2
2
b
a
，∴ 4a+b＝0，故③是正确的； 又∵ 抛物线开口向上，∴ a＞0，b＝-4a＜0， ∴ ①是错误的；又∵1 3 2
2
，即 x＝1 和 x＝3 关于对称轴 x＝2 对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当 y＝-2 时，x 的值可取 0 或 4． ∴ ④是错误的． 14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)； 【解析】∵1 | | | 4| 10
2
AMBS
△
AB
，∴ |AB|＝5． 又∵ 抛物线的对称轴为直线1
2
x
，∴ A、B 两点的坐标为(2，0)和(3，0)． 设抛物线的解析式为y ax bx c
2
，则4
2
0
9
3
0
1
1
25
4
2
4
a
b c
a
b c
a
b c
解得1,
1,
6.
a
b
c
∴ 抛物线的解析式为y x
2
x
6
． 当 y＝-4 时，
4
x
2
x
6
，∴x
2
x
2 0
，∴ x1＝-2，x2＝-1． ∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)． 15．【答案】③④⑤； 【解析】由题意可知 a＜0，c＞0，0
2
b
a
，即 b＞0，∴ abc＜0．由图象知 x＝2 在抛物线与 x 轴 两个交点之间，当 x＝-1 时，a-b+c＜0，∴ b＞a+c．当 x＝2 时，4a+2b+c＞0．又由对称性 知 9a+3b+c＜0，且1
2
b
a
，∴9
3
0
2
b
b c
，∴ 2c＜3b．当 x＝1 时，y
最大
a b c
， 而 m≠1，当x m
时，y am bm c
1
2
，由y
最大
y
1知a b c am bm c
2
， ∴a b am bm m am b
2
(
)
，故③④⑤正确． 16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)； 【解析】抛物线y
1
x
22
向右平移 1 个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分 面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线 y2绕原点 O 旋转 180°，则抛物线 y2的顶点与点(1，2)关于原点对称． 三、解答题 17.【答案与解析】 解：（1）y= ， （2）在 0≤x≤10 时，y=100x，当 x=10 时，y 有最大值 1000； 10＜x≤30 时，y=﹣3x2+130x， 当 x=21 时，y 取得最大值， ∵x 为整数，根据抛物线的对称性得 x=22 时，y 有最大值 1408． ∵1408＞1000， ∴顾客一次购买 22 件时，该网站从中获利最多． 18.【答案与解析】 (1)先令
2
x
2
4
x
0
，得 x1＝0，x2＝2． ∴ 点 A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形． (2)存在 OC＝AD＝m，OA＝CD＝2． (3)当 0＜m＜2 时，如图所示，作 PH⊥x 轴于 H，设P x y
( , )
P P ． ∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝2-m， ∴2
2
2
AC
m
CH
．∴2
2
2
2
Pm m
x
OH m
． 把2
2
Pm
x
代入y
2
x
2
4
x
，得1
22
2
Py
m
． ∵ CD＝OA＝2，∴1
1
2
1
22
1
22(0
2)
2
2
2
2
S
CD HP
m
m
m
． 当 m＞2 时，如图所示，作 PH⊥x 轴于 H，设P x y
( , )
P P ． ∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝m-2．∴2
2
m
AH
． ∴2
2
2
2
2
Pm
m
x
OH
． 把2
2
Pm
x
代入y
2
x
2
4
x
，得1
22
2
Py
m
． ∵ CD＝OA＝2，∴1
1
2 (
)
1
22(
2)
2
2
P2
S
CD HP
y
m
m
． 19.【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为
y ax bx c
2
(a≠0)． ∵ 抛物线经过点 A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)， ∴16
4
0,
4,
4
2
0,
a
b c
c
a
b c
解得1 ,
2
1,
4.
a
b
c
∴ 抛物线的解析式为1
24
2
y
x
x
． (2)过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D． 设 M 点的坐标为(m，n)，则 AD＝m+4，MD
n
，1
24
2
n
m m
． ∴S S
△AMD
S
梯形DMBO
S
△ABO1
(
4)( )
1
(
4)(
)
1
4 4
2
m
n
2
n
m
2
2
n
2
m
8
21
2
4
2
8
2
m m
m
24 ( 4
0)
m
m
m
． ∴ 当m
2
时，S
最大值
4
． (3)满足题意的 Q 点的坐标有四个， 分别是：(-4，4)、(4，-4)、( 2 2 5,2 2 5)
、( 2 2 5,2 2 5)
． 20.【答案与解析】 解：（1）由题意 解得 ， ∴抛物线解析式为y= x2﹣x+2． （2）∵y= x2﹣x+2= （x﹣1）2+ ． ∴顶点坐标（1， ）， ∵直线BC 为 y=﹣x+4，∴对称轴与 BC 的交点 H（1，3）， ∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= •3+ •1=3．（3）由 消去y 得到 x2﹣x+4﹣2b=0， 当△=0 时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0， ∴b= ， 当直线y=﹣ x+b 经过点 C 时，b=3， 当直线y=﹣ x+b 经过点 B 时，b=5， ∵直线y=﹣ x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、C）部分有两个交点， ∴ ＜b≤3．
