線上合作擬題對國小六年級學生代數概念之影響

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(1)國立臺灣師範大學資訊教育研究所碩士論文指導教授：何榮桂. 博士. 線上合作擬題對國小六年級學生代數概念之影響. Effects of Using On-Line Cooperative Problem-Posing for the Sixth Grade in Elementary School on the Performance of Algebra Concept. 研究生：程景麟. 撰. 中華民國一百零二年一月.

(2) 線上合作擬題對國小六年級學生代數概念之影響程景麟. 摘要本研究旨在探討運用網路平台的合作環境，搭配「擬題活動」，對於學生代數學習成效和代數概念理解能力之影響，並探討學生在接受不同擬題教學活動之後，對其擬題能力之影響。. 本研究運用 Moodle 平台設計一線上數學擬題系統，在線上擬題活動中採用「合作擬題」和「個人擬題」兩種教學模式。受試者為新北市國小六年級兩個班學生，採不等組前後測設計，一班為實驗組，另一班為控制組，共 60 位學生。兩組學生分別接受「合作擬題」和「個人擬題」活動，並依所屬組別進行擬題、解題與回饋。在八週的擬題教學活動後，實施後測。本研究結果如下所述。 1.接受合作擬題教學的學生在代數概念成就測驗表現優於個人擬題教學之學生。. 2.接受合作擬題教學的學生擬題能力表現優於個人擬題教學之學生。. 3.接受合作擬題教學的學生在代數概念理解能力表現優於個人擬題教學之學生。. 關鍵字：代數概念、線上合作學習、擬題活動. i.

(3) Effects of Using On-Line Cooperative Problem-Posing for the Sixth Grade in Elementary School on the Performance of Algebra Concept Cheng, Ching-Lin. Abstract The purpose of this study was to investigate whether using an on-line cooperative environment accompany with problem posing activity could affect elementary school student’s ability and algebra concept. The study used Moodle to construct the on-line problem posing system. A quasi experimental non –control group designed was used in this study. The participants were 60 sixth grade students in Taipei City. There were two classes assigned to experimental group and control group. The experimental group received cooperative problem posing materials while control group received individual problem posing materials. After eight weeks practice, we conducted posttest. After the experiment, results of this study were concluded as following: 1. The experimental group demonstrated better performance in the posttest than the control group.. 2. The experimental group demonstrated better problem posing ability than the control group.. 3. The experimental group demonstrated better comprehensive ability of algebra concept than the control group.. Keywords: algebra concept, online cooperative learning, problem posing,. ii.

(4) 誌謝首先我要感謝我的父母，在我學習的過程中給我許多支持與鼓勵。提供我一個高枕無憂的學習環境，使我可以專心的在課業上學習。然後要感謝指導教授何榮桂老師，何老師一絲不苟的教學態度使我在撰寫論文時更加的仔細和注意。即使在事務繁忙之際也不忘在研究方法和論文上提供我寶貴的意見。另外也要感謝簡茂發老師以及郭靜姿老師在百忙之中來參加我的口試，以及在口試後所給予的寶貴意見，使我的研究更加完整。還要感謝 CAT 實驗室的同學鼎力相助，感謝永進學長、麗如學姊及文偉學長協助論文的進行，在研究過程中提供我題目的方向和許多參考文獻，以及實驗的受試者。同時在我論文進行過程中遇到挫折時指點我該有的方向，使我獲益良多。除此之外，還有佩樺、金粟、牧弦、鎮安、成婷及瑞鴻平時在實驗室所給予的幫助，使我在論文寫作過程中能更加順利，並且獲得更多的幫助。在研究所學習的過程中，給了我人生思考的方向，也讓我學習到嚴謹積極的處理態度。在待人處事上更加圓融，瞭解到遇到困難時應該要怎樣面對而不是逃避，才能在人生路途中嚐到甜美的果實。未來的路很長，會遇到很多不同的挑戰，經過這段時間的磨練後，相信在之後的人生旅途中，可以更加的順遂。最後要在對所有幫助我的朋友、同學與老師致上萬分的謝意，感謝你們的幫忙。. iii.

(5) 目次第一章. 緒論................................................................................................................ 1. 第一節研究背景與動機 ......................................................................................... 1 第二節研究目的 ..................................................................................................... 3 第三節研究問題 ..................................................................................................... 3 第二章文獻探討.......................................................................................................... 4 第一節數學擬題的意涵 ........................................................................................... 4 第二節線上合作學習的相關理論 ......................................................................... 11 第三節代數概念與錯誤類型的相關理論 ............................................................. 16 第四節合作擬題的相關研究 ................................................................................. 21 第三章第一節第二節第三節第四節. 研究方法...................................................................................................... 24 受試者 ......................................................................................................... 24 研究設計 ..................................................................................................... 25 研究工具 ..................................................................................................... 25 實施程序 ..................................................................................................... 35. 第四章結果與討論.................................................................................................... 37 第一節第二節第三節第四節. 代數概念成就測驗之分析結果 ................................................................. 37 擬題能力之分析結果 ................................................................................. 39 代數概念理解能力之分析結果 ................................................................. 41 綜合討論 ..................................................................................................... 46. 第五章結論與建議.................................................................................................... 49 第一節結論 ............................................................................................................. 49 第二節建議 ............................................................................................................. 50 參考文獻...................................................................................................................... 52 附錄一代數概念成就測驗試題................................................................................ 58 附錄二代數擬題教材................................................................................................ 62. iv.

(6) 表次表 2-1 擬題類型關係表 ................................................................................................ 7 表 2-2 梁淑坤(1997)擬題分類評量工具 ................................................................... 10 表 2-3 六年級代數概念分年細目表 ......................................................................... 18 表 3-1 正式施測之受試者人數 ................................................................................. 24 表 3-2 研究設計 ......................................................................................................... 25 表 3-3 擬題精緻性評量範例說明 ............................................................................. 26 表 3-4 擬題正確性評量範例說明 ............................................................................. 27 表 3-5 預試難度與鑑別度分析結果 ......................................................................... 28 表 3-6 代數概念和成就測驗雙向細目標 ................................................................. 29 表 4-1 代數概念成就測驗之組內迴歸係數同質性考驗摘要表 ............................. 37 表 4-2 代數概念成就測驗之描述統計(n=30) .......................................................... 38 表 4-3 代數概念成就測驗之共變數分析摘要表 ..................................................... 38 表 4-4 實驗組與控制組在擬題正確性得分之描述統計 ......................................... 39 表 4-5 實驗組與控制組擬題正確性之差異檢定(n=30) .......................................... 39 表 4-6 實驗組與控制組在擬題精緻性得分之描述統計 ......................................... 40 表 4-7 實驗組與控制組擬題精緻性之差異檢定(n=30) .......................................... 40 表 4-8 實驗組與控制組在等量的公理應用之描述統計(n=30) .............................. 41 表 4-9 等量公理的應用之共變數分析摘要表 ......................................................... 42 表 4-10 實驗組與控制組在能使用符號列式，並驗算其解之描述統計(n=30) .... 42 表 4-11 能使用符號列式，並驗算其解之共變數分析摘要表 ............................... 43 表 4-12 實驗組與控制組在能理解數量之間的關係之描述統計(n=30) ................ 43 表 4-13 能理解數量之間的關係之共變數分析摘要表 ........................................... 44 表 4-14 實驗組與控制組在能理解比例情境和幾何關係之描述統計(n=30) ........ 44 表 4-15 能理解比例情境和幾何關係之共變數分析摘要表 ................................... 45. v.

(7) 圖次圖 3-1 Moodle 平台登入畫面 .................................................................................... 30 圖 3-2 代數課程進入畫面 ......................................................................................... 31 圖 3-3 分組活動進入畫面 ......................................................................................... 31 圖 3-4 分組擬題活動區 .............................................................................................. 32 圖 3-5 合作擬題聊天室畫面 ...................................................................................... 33 圖 3-6 繳交擬題題目討論區畫面 .............................................................................. 34 圖 3-7 小組解題流程畫面 .......................................................................................... 34 圖 3-8 實施程序架構圖 .............................................................................................. 35. vi.

(8) 第一章. 緒論. 本章針對研究背景與動機、研究目的與研究問題分述如下。. 第一節研究背景與動機數學是一門應用廣泛且重要的學科，在各個知識領域皆占有一席之地。傳統的教學模式中，往往是由教師先提出問題，然後向學生解釋問題，接著由學生模仿解題。上述的學習過程中，學生被動的接收知識，然由於建構理論的興起，學習的過程不再只由教師主導，而是轉換為學生主動建立概念，培養數學思考的能力。Von Glasersfeld(1995)也認為：「知識不是被動的接受，而是經由感官或溝通等方式，由認識的個體主動建立。」以學生的生活經驗進行課程設計，統合學科知識及其應用性，使學生具有帶著走的「能力」，而非背不動的「書包」。九年一貫的課程改革，打破以往國中小學教材設計皆由中央集權的做法，教材設計權下放到各個學校以及從事教學活動的基層教師。九年一貫數學課程綱要，強調數學教學應生活化，亦即以學童的生活經驗為中心(吳宛儒、蔡鳳秋、楊德清，2005)，學校可以根據各校的特色作課程設計，教師也可以基於班級特色作教學設計。因此，學生可以將生活中的經驗納入學習活動，增加理解與獨立思考的能力。擬題和解題都是數學教育的重要教法，過去的教學注重在解題，而非將重點放在意義的理解。因此，學生解決算式形式的問題，沒甚麼困難，然一旦遇到應用問題，表現就不如預期。擬題能讓學生在自然方式下思考數學抽象概念，培養探究問題和解答未知概念的企圖，而不只著重於找到解答(Stoyanova, 2003)。梁淑坤(1994)認為擬題就是自己構思數學題目，或是按照所給予的條件再形成問題。 (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989)明確陳述：「學生應有一些經驗來察覺和形成自己的問題，並以此作為數學學習的重心」。同時 NCTM 1.

(9) (1991)也建議教師：「學生應有機會從已知的情境中形成問題，並藉由修正已知問題的條件來創造新的問題。」因此，在學生學習的過程中，擬題成為教學活動不可或缺的要素之一(English, 1997)。傳統以教師為中心的教學型態，學生往往被動接收知識，缺乏合作意識與同儕交往的技巧(盧秀琴、陽明達，2005)。隨著時代的演變，傳統的講述教學已無法滿足莘莘學子適應多元化的社會(林靜萍、楊昆原，2004)。黃詠仁(2001)指出合作學習可以促進學生的合作能力，包括知識和技能，正是多元化社會所需培養的能力。學生以小組合作的方式上課，提供師生及學生間互動的機會，增進彼此的情感，讓低成就學生能獲得同儕的協助，建立自信心，對學生的學習態度有正面的影響。隨著電腦科技的發展，數學教育的範疇也由過去強調課程組織架構的邏輯訓練，逐漸邁入一個以「學生為中心」的學習歷程和學習型態(陳沅、林宜樺、洪碧霞，2003)。運用資訊科技塑造一個數學學習情境，再輔以合作學習的策略，使學生從中思考與創新，建構知識及瞭解數學概念，不僅符合九年一貫課程的精神，也是未來的學習趨勢。九年一貫課程強調數學知識、演算能力、抽象能力和推理能力的培養，其中抽象能力始於能使用符號、圖形或其他方式來表達量化和邏輯關係，與代數的學習有很大的關聯。數學概念又包含理解與表達兩方面，能理解別人以書寫或圖形所要表達的數學資訊，是代數學習中必須具備的概念之一，也是未來資訊科技學習的基礎。有關如何在題目敘述中找出未知數、已知數及其之間的數量關係，並利用符號正確的表達題目訊息、達成數學溝通的能力，是代數教學的目標之一。教育部(2003)在九年一貫數學領域的基本理念中提到，學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演與對數學概念的理解。蕭宇欽(2006)指出，部分學生並非概念不足，而是不懂題意而答錯或是放棄作答。Kieran(1992)也提到，多數學生是靠記憶的方式來學習代數概念及技巧。數學概念的學習可透過各種方式來實行，因為概念的學習不只有一種方式，教師在進行教學時，可以運用學生舊有的經驗來引導出新的概念，將抽象的結構和學生的生活經驗做連結，再加上師生及學生同儕 2.

(10) 間的互動，概念因而建立(Behr, Lesh, Post & Silver,1983)。基於上述的研究動機，本研究建構一線上擬題系統，配合合作學習的活動策略，將相關研究者提出的代數概念融入擬題教學中。利用網路學習環境的優點，提供學習者便捷的合作機會，希望藉由同組組員合作機制的運作，減輕認知負荷量，提升學習成就和學生的學習動機。同時探討運用線上合作擬題的學習方式對學生代數概念的影響，期望本研究結果能作為日後代數教學的參考。. 第二節研究目的綜合上述的研究背景與動機，本研究之研究目的如下：一、設計線上合作擬題環境，配合合作學習的教學策略，應用擬題教學活動來了解學生對代數學習的成效。二、設計線上合作數學擬題教學策略。三、探討學生在使用「線上合作擬題」教學系統後，對學生代數概念理解能力的影響。. 第三節研究問題根據研究目的，本研究提出的研究問題如下：一、實施線上合作數學擬題教學對學生代數學習成就是否有顯著影響？二、實施線上合作數學擬題教學對學生擬題能力是否有顯著影響？三、實施線上合作數學擬題教學對學生代數概念理解能力是否有顯著影響？. 3.

(11) 第二章文獻探討. 第一節數學擬題的意涵一、擬題的定義擬題自 1980 年代以來，成了許多數學學者及數學教育學者所研究的方向 (Borba，1994；Leung & Silver，1997 ；Leung & Wu，2000； Silver & Cai，1993)。 NCTM 於 1989 頒布美國數學課程和評鑑標準，增加擬題活動於其中，因此擬題成為數學課程中不可或缺的活動之一。然而，擬題的定義是甚麼？梁淑坤（1994）對擬題（problem posing）所下的定義是：「自己想出一個數學題目來」，在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活情境把人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個新的題目。擬題可以發生在解題前，解題中，以及解題後。學生在擬題過程中，會思考自己所擬題目的概念為何，加深對數學概念的理解。美國學者 Silver(1994)認為擬題是從生活經驗或學習情境中，由教師給予學生特定的情境或題目，藉以產生創造出新的題目。澳大利亞的 Stovanova & Ellerton(1996)將擬題定義為學生根據過去的數學學習經驗，自行建構出有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。Dillon(1982)則認為，擬題是發生在解題之後，尋找題目的過程。完成擬題之後，接著進入解題的階段。解題能讓我們回顧擬題階段是否有題意不清或概念不符的情形，也是數學學習中重要的一環，因此擬題和解題是密不可分。Polya(1945)提出解題的四大步驟：1.理解問題、2.擬定計畫、3.執行計畫、 4.回顧解題。首先要理解題目的意義，接著擬定解題計畫，並執行。完成解題後再回顧剛才的過程是否符合題意。梁淑坤(1994)根據 Polya 的模式，以擬題取代「理解問題」成為擬題的四步驟：1.擬題、2.擬定計畫、3.執行計畫、4.回顧解題。擬題取代了理解問題，回顧階段由於題目是學生本身所擬，則引發學生再次擬題、計畫、執行和回顧的過程。透過不斷的循環回想，使得學生的概念愈加深刻，學 4.

(12) 生在解題過程中更能瞭解題目本身所含的意義與概念，在學習上也更有效果。由上述研究者對擬題所下的定義，可以得知擬題和過去的學習經驗有關，不侷限在課本的範例之中，而是一種生活化且具有「創造力」的活動。使學生將生活經驗與學習相結合，配合自己既有的觀念，創造新的知識。對教師而言，擬題教學可以幫助學生建構數學概念，產生解決問題的動機，除了解出正確答案之外，也建立了學生的自信心。學生可以依照不同的情境產生不同的問題，達到數學概念學習的應用性和完整性。本研究將擬題定義為：學生依據教師設計的題目中所給予的條件，運用自身的生活經驗，自行想出一個新的數學題目。透過新的題目條件的分析與修正後，再進行一次的解題活動。從學生的擬題活動中，可以檢視學生的概念是否完整以及正確，可以用來作為教學上的參考。. 二、擬題的類型根據以上擬題的定義，我們瞭解擬題的過程與本身所具備的先備知識和生活經驗有關。主要是使學生熟悉數學概念，將概念運用在情境之中。擬題會因目標與情境不同而產生不同的擬題類型，以下以各研究者提出的擬題方法進行探討，以作為本研究的擬題類型依據：坪田耕三（1987）提出七種擬題類型： (一)模仿法或類題法：學習某題目後，擬出和此題同類型的題目。 (二)算式法：提出一個公式，再擬出適用此公式的問題。 (三)原理法：給予四則運算法和通分等原理，再擬出和此相對的題目。 (四)訂正法：先出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的條件，或是做出矛盾而訂正的方法。 (五)實驗法：實驗或以具體東西操作，再以此實驗或事項為根基擬出問題。 (六)自由法：以自由的題材，做出自由型式的問題。 5.

(13) (七)題材法：根據給予的題材來擬出問題。 Stovanova & Ellerton(1996)將擬題分為三種類型： (一)結構情境(structure)：由教科書或是教師的佈題中，給予特定的問題、情境，和條件，擬出新的題目。 (二)半結構情境(semi-structure)：擬題者利用已有的先備知識和運算解題技巧，自行建構與題目關係的連結，完成擬題。 (三)自由情境(free)：擬題者在未給予任何條件或問題之下，自由發揮擬出題目。也由於此種自由的方式，學生需有完整的數學概念，才能使擬出的題目不會有資訊過剩或條件不足的情況。梁淑坤(1997)依據教育部公佈之國小數學課程標準所訂定的內容，編製了一套擬題評量工具。其中呈現的擬題類型共分為六大類，分別於底下說明： (一)算式類：給予學生一個數學算式，讓學生根據此算式擬出題目。例如：請以算式＂59-43＂為題目，擬出一個和買賣交易有關的題目，單位以元來表示。 (二)文字類：在原題目中有一段敘述，學生依據此敘述所給的條件，擬出題目。例如：有一段敘述「小明有 5 元、小華有 10 元」，學生再依此敘述所給的條件完成一完整的題目。 (三)圖表類：給予一圖形或表格，學生依據圖表內容擬出相關的題目。例如：. 根據右圖，擬出一個有關等腰三角形的題目。 (四)解法類：給定一種數學運算方法，如「加法」或「乘法」，讓學生擬出和此運算方法相關的題目。 (五)答案類：給予學生一特定答案或解題過程，要求學生擬出和此答案或解題過程相同的題目。例如：請擬出答案為 45 塊錢的題目來。 (六)題目類：先給予學生一個題目，要求學生先解出答案，再根據此題目擬出一個新的題目來。此題目可以是模仿的題目也可以是概念的延伸。 6.

(14) Silver(1994)對擬題的分類主要分為兩種： (一) 從已給定的題目中，再產生新的題目：這類型的擬題會使學生有參考的數學範例或規則，使學生能學習到更深的數學概念。 (二) 從情境或經驗中再創造出新類型的題目：此類型容易呈現學生已有的數學概念，和學生的先備知識或迷思概念有關，屬於教學活動的開端。根據上述研究者對於擬題所做之擬題類型分類，可歸納成如表 2-1：表2-1 擬題類型關係表研究者. 結構擬題. 半結構擬題. 自由擬題. 坪田耕三. 模仿法或類題. 算式法. 自由法. （1987）. 法. 原理法訂正法實驗法題材法. Silver(1994). Stovanova &. 從已給的題目. 從情境或經驗. 再產生新的題. 中再創造出新. 目. 類型的題目. 結構情境擬題. 半結構情境擬題. Ellerton(1996) 梁淑坤(1997). 題目類. 文字類算式類圖表類解法類答案類. 7. 自由情境擬題.

(15) 綜合以上所述，擬題的類型有許多不同的呈現方式，但並非每一種都適合數學單元的教學，必須配合現有的教材產生適合的擬題素材。Stovanova & Ellerton(1996)的結構情境擬題適用於具體的思考階段，因為已有教師所給予的題目，再根據題目擬出新的問題來。半結構情境擬題適用於具體思考階段過渡到抽象思考階段，而自由情境擬題則適合抽象思考階段。在擬題活動時，適合以結構化的素材引導學生進入擬題的活動，再由半結構的素材來培養學生抽象思考的概念。等學生培養擬題能力的深度和廣度後，再引入抽象思考的自由擬題素材，以發揮學生的創造力與想像力。本研究所探討的「代數」單元應用範圍相當廣泛，學生則是第一次接觸到擬題的概念。考量學生對擬題較不熟悉，因此使用 Stovanova & Ellerton 的「結構情境」擬題為引導，培養學生對擬題的瞭解。在「結構情境」中，先由教師給予學生一完整的情境、和問題，學生再根據此題目擬出新的題目。等學生了解擬題的意涵之後，再以 Stovanova & Ellerton 的「半結構情境」的擬題方式，循序漸進的培養學生抽象思考概念。在「半結構情境」的環境中，學生針對教師給予的條件擬出符合的題目，在此情境中教師不會給予學生全部的條件，只會給予部分的條件和限制，和梁淑坤(1997)的文字類、算式類、圖表類、解法類、答案類這些擬題類型相同，讓學生能根據題目的部分條件來做為擬題的依據。Stovanova & Ellerton 的「自由情境」擬題和坪田耕三（1987）的自由法擬題類型相似，都屬於「已知和目標都未定義」的情況，屬於完全抽象的思考階段。對於國小六年級學生而言，其學習歷程正是由具體思考階段過渡到抽象思考階段，完全抽象思考的「自由擬題」情境較不適用於此階段的學生。如前所述，此擬題類型較難達成教學目標，因此不列入本研究的擬題類型之中。本研究以「結構情境」擬題和「半結構情境」擬題為學生主要擬題類型依據，用以探討學生的擬題能力及代數概念理解能力之影響。. 8.

(16) 三、擬題能力的評量方法評量是數學教育中不可或缺的一部分，學生的學習成效便是由評量所得知，目的在於提供學生有效的回饋，作為後續課程的發展指標。擬題能力可視為數學創造力的一種表現方式，此種數學創造力使得擬題可以促進思考能力與建構自我本身的學習鷹架(鍾雅琴，2002)，這也是數學教育希望培養的能力之一。以下則以相關研究者對於擬題評量觀點進行說明：. 徐文鈺(1996)將數學擬題依 Torrance 創造力測驗的幾個向度分為流暢性、變通性、精緻性、獨特性等四個向度來評估。 (一)流暢性：指學生擬題題目的正確性及是否符合數學邏輯，是擬題能力最基本的評估標準。 (二)變通性：除了擬題的數量與正確性之外，擬題的題型也是需要考量的重點，同時也是創造力的指標之一。能隨著題目情境去作調整，則代表變通的能力愈高。 (三)精緻性：題目解題所需的步驟也是評估擬題能力的關鍵之一，由擬題的複雜度和解題步驟可以了解到學生在擬題時用到多少數學基模，便可以作為精緻性的評估標準。 (四)獨特性：題目的特殊程度可以視為創造力的一種特徵，然而特殊性的前提在於題目解題結果是合理可行，並和其他同學的擬題題目相比有獨創性的特徵。. Silver & Cai(2005)認為學生擬題之標準包含下列三種： (一)擬題之數量：指學生擬題題目的數量，能夠擬出多樣且正確的題目。 (二)創造力：除了題目數量之外，能夠創造出與其他同學不同擬題類型的題目，也是觀察學生擬題成效的面向之一。 (三)複雜度：擬題所需解題的步驟和語意關係。. 9.

(17) 學者梁淑坤(1997)發展出一套擬題評量工具，並在 1999 年提出修訂，將擬題分為五類，如表 2-2 所示：表2-2 梁淑坤(1997)擬題分類評量工具題目分類. 非題目類. 題目類非數學. 評分. 1. 2. 不可行. 3. 可行的資料不足. 資料適中. 資料超過. 4. 5. 5. 學生擬題作品中，可先分成兩大類，若擬題的敘述不能成為一個題目則屬於第一類(非題目類)，給 1 分，可成為題目者，則屬於第二類(題目類)。接著在題目類中，分成非數學題目給 2 分，不可行的題目給 3 分。接著再分成可行的題目，從可行的題目中分成資料不足給 4 分，資料適中給 5 分，資料超過給 5 分。資料適中和資料超過皆是一個完整的題目，因此皆給 5 分。. 綜合上述研究者對於擬題評量的看法，可以得知研究者以擬題的正確性為優先考量因素，再進而以學生擬題所需的解題步驟和獨特性作為評量的依據。不能只用擬題題目數量的多寡來評量學生學習的成效，同時還需考慮學生對於情境的分析和解題歷程的想法，作為一個完整擬題活動所需的評量方法。因此，本研究綜合上述研究者對於擬題的評量方式，針對學生擬題題目的「正確性」與「精緻性」進行評估。. 10.

(18) 第二節線上合作學習的相關理論一、合作學習的定義自 18 世紀開始，英國已開始廣泛地使用合作學習作為學生學習的方法，於 1875 起，Parker 在美國提倡用「合作」作為教學的方式。二十世紀初，John Dewey 於芝加哥大學實驗學校的教學方法計畫中，亦力促合作學習的使用(游惠音，1996)。 John Dewey 認為學習的重點不在於教師的課程講述，而是在學生身上，學生不應該只有被動的接收知識，而是主動探究知識，強調積極學習的自主性。由上述可知，合作學習已成為教學上不可或缺的學習模式之一，以下探討各研究者對合作學習的定義。 Vygotsky(1978)指出知識概念的獲取來自於個體與外界的互動，透過溝通，個體可以重建新的意義，互動的教學過程對於學習效率和思考能力培養具有相當重要的意義。Slavin(1995)定義合作學習是一種有結構有系統的教學策略，在合作學習中老師將不同能力、性別、種族背景的學生分類於小組中一起學習，適用於大部分的學科及年級。Nattiv(1994)認為合作學習是一種教學方式，學生以小組的方式一起工作，每位成員都為個別的學習負責，其成員在成就、性別、種族上可能是異質或同質。國內學者黃政傑、林佩璇(1996)認為合作學習是一種有結構有系統的學習方式，可運用在不同年級與學科。以異質分組的方式，鼓勵學生在學習過程中藉由與他人討論、觀摩、交換意見的方式提升個人的學習成效，並達到團體的目標。林生傳(1998)則指出合作學習是結合教育學、社會心理學等的一種分組教學設計，主要是利用小組成員間的互相支持與分工合作，去進行學習，並利用小組間的競賽與分享，增進學習成效，目的在使學習活動成為共同合作的目標，所有的成員都能夠一同學習與成長。由上述研究者對「合作學習」所下的定義，可以得知合作學習是一種學習的策略。傳統以教師為中心，學生只能被動的參與學習和背誦教科書上的資料，缺 11.

(19) 乏主動學習的動機和積極學習的態度。經由合作學習的過程，學生透過小組間的討論與互動，學習由原本的單打獨鬥到共同創造和分享。學生經由合作的過程將知識融會貫通，並接受同儕的協助，修正原本自身的概念，進而達成學習的目標。綜上所述，本研究將合作學習定義為：學生透過異質分組的方式，在能力不同的小組中互相溝通與合作，互相激勵與思考，共同達成學習的目標，並透過組間的競賽，來增進學習成效的一種策略。. 二、合作學習的方法有許多研究者提出有關合作學習的方法，例如學生小組成就區分法(Student’s Team Achievement Division，STAD)、拼圖法(Jigsaw)、小組遊戲競賽法 (Team-Games-Tournament，TGT)、團體探究法(Group Investigation，G-I)、配對式合作法(Dyadic Cooperative Learning，DCL)，都是屬於合作學習的方法。針對以上合作學習方法分別敘述如下： (一) 小組成就區分法(STAD)：是合作學習最基本也最容易實施的一種方法，適用於各種學科。特色是給予學生立即性的回饋，採組間競賽，互相觀摩。實施程序包括五個步驟：1. 全班授課，由教師給予教材內容；2. 分組學習，教師依學生能力進行異質分組；3. 實施測驗，藉由小考評鑑學習成果；4. 計算個人進步分數，根據測驗成績計算學生進步的分數，了解學生進步情形。 5. 小組表揚，若小組的成就超過預先設定的目標，則適時給予獎勵。 (二) 拼圖法(Jigsaw)：以學生每組六個人的方式，分別針對教學教材進行學習。首先，教師先將教學教材分成幾個部分，分別分配給小組成員。各成員先研讀自己的部分，之後再將各組研讀相同教材的組員匯集成一組稱為「專家小組」，分別分享自己的看法，互相砥礪切磋，了解教材更細節的部份。最後，再回到小組教自己的組員，完成整體教材的研讀。 (三) 小組遊戲競賽法(TGT)：和小組成就區分法的學習過程大致相同，也是強調 12.

(20) 小組間的學業成就競賽，只是以學科遊戲競賽方式代替小考。競賽時每一位學生和其他組同一程度的學生進行比賽，並以每位成員的得分累積為團隊分數。其教學步驟為：1. 全班授課；2. 分組學習；3. 學科遊戲；4. 競賽；5. 評量；6. 小組表揚。 (四) 團體探究法(G-I)：將教學單元分為數個主題，請學生依自己對單元主題的興趣進行分組。分組後，首先進行主題的分工，小組成員各自研讀自己分配到的部分，之後將自己的研讀結果和組員分享，最後由各組上台報告和全班分享結果。其教學步驟為 1. 確認主題；2. 分配主題工作；3. 實施研究； 4. 小組成員討論；5. 各組上台報告；6. 教師評量。 (五) 配對式合作法(DCL)：自 1980 年後，「夥伴學習」partner learning 被認為是一種可以有效促進學生學習的方法。Dansereau(1988)提出，認為由學習者使用自己的方式來達成合作學習的目標，此種學習方式比較無效果，因此提出配對式合作學習，希望以兩人一組，透過明確的認知互動過程，使學習者達成共同學習目標。McNell(1994)說明了「夥伴學習」是一種有效的個別化教學例子，有共同學習目標的學生，能夠藉由同儕的協助，較容易達成學習的目標。上述的合作學習方法中，學生小組成就區分法和小組遊戲競賽法適合的組員人數大約三到四人，拼圖法和團體探究法適合六人以上的組別。配對式合作學習則是以兩人為一組的方式。本研究採用的合作學習方法為「配對式合作學習」，以兩人為一組，透過互相討論與分享，共同達成學習目標。「配對式合作學習」的特色與流程為以下所述： (一)特色：以兩人一組的方式，進行討論。由於組內的人數不多，因此在討論的過程中每位組員都能夠參與到討論，不會只有其中一兩位同學在發言，教師容易掌握學生的學習狀況。. 13.

(21) (二)流程：在教學過程中，組內成員輪流當小老師與學生。小老師主要的目的在於要主動提出問題並和組員討論自己所提出的問題。首先教師先指定其中一位同學做小老師，之後小老師和成員在學習中互相提問，檢核答案與訂正答案。運用同儕間互相幫助，分享彼此學習經驗。當一個活動結束後則換另一位組員當小老師，同樣主動提出自己的看法，和成員分享。. 三、線上學習的定義 Khan(1997)將線上教學定義為，利用網際網路的屬性及資源，以多媒體為基礎的教學流程，建立一個有意義的學習環境，主要希望提升學生的學習態度，並加強學生主動學習的動機。Rosenberg(2001)認為網路學習是利用網際網路的技術傳遞知識與增進績效的解決方案，必須具備下列三個基本要件：1.網路化：能及時獲取最新資訊、傳遞、分享與儲存知識。2.應用電腦及網路技術：能夠正確快速的將學習方案傳遞給使用者。3.屬於遠距教學的一種：包含傳統學習以外的方式，學習不再只是在傳統的教室，可以不受限在任何環境中。近年來，網際網路技術的成熟，以及豐富的教材內容，與傳統教學相比，有相當大的差異。網路將原本傳統在教室的學習延伸到課堂外，拓展了學生的學習方式和領域，同時也提供各種溝通方式(同步及非同步的一對一互動，一對多互動，及多對多互動)及內容型態(圖形、文字、視訊等多媒體)的特性，為學校教育創造許多的可能(魏來成，民 88)。洪明洲(1999)認為一個線上教學應包含四點屬性： 1.非同步：教師與學生不需在同一時間或地點進行溝通。2.多方向：教師與學生可以以個體或合作方式進行雙向溝通。3.個別化：學生可依據自身需要選擇合適之教材來學習。4.自動記錄：網路上的學習行為或溝通都會留下記錄，以利之後的查詢與追蹤。. 14.

(22) 網路學習和傳統學習最大的不同在於教師與學生間並非直接面對面學習，而是透過網路上的虛擬環境進行互動。利用網路的便利性與即時性，提供即時回饋與評量，使學生能立即得到同儕的看法與建議，學生與教師也能彼此分享學習經驗與解決問題的方法，教師在網路環境中會有更多元的角色呈現。因此，線上學習可以免除傳統教室時空的限制，可以隨時隨地的學習環境正符合現今的教育精神。. 四、線上合作學習的要素 Johnson 和 Johnson(1986)提出線上合作學習，希望透過網路的多樣性和立即性提升學習者學習的動機，並增進彼此的互動關係。Riel(1989)、Riel & Levin(1990) 認為網路合作學習必須具備以下三個條件：1.有一群參與者且同意完成一項任務，參與者之間有多對多的互動關係。2.除了有容易使用的網路工具外，還必須提供使用網路系統的誘因，例如獎賞或群組競賽。3.需有領導或協調者，以監督及協助群組互動。關於網路教材的設計方面，孫春在(民 86)提出四項建構教學的目標，合稱為 ASIA 原則，分述如下： (一)主動學習(Active Learning)：由學生主動發掘問題，進行思考。透過研究討論，激發學生自己產生自我建構的知識。 (二)模擬學習(Simulative Learning)：在教材中提出模擬教學工具的實驗，除了由學生自己操作外，同時鼓勵學生自行設計實驗並驗證其結果。 (三)互動學習(Interactive Learning)：學生自己蒐集有關課程的素材，透過連結放置在網路上，藉由虛擬社群的互動與討論，建立有用的知識。 (四)累積學習(Accumulative Learning)：鼓勵互相觀摩成品與評論，同時提高自己本身不足的知識，並回顧自己過去的學習歷程，來激勵自己未來的學習。. 綜合來說，線上合作學習的目的在於運用網路空間不限時空或地點，相較於 15.

(23) 傳統教室教學更有彈性。資料易於傳播的特性促進使用者積極主動的發掘知識，群組間互動和師生互動是合作學習的主要核心價值，學習者利用網路即時便利的特性整合教師與同儕間的觀點，提高個人績效，並以達到全體目標為最高原則。但教學的重點在於學習者是否能接受此種教學模式，如果單純使用線上合作學習可能會造成學習小組成員沒有實際面對面，反而有疏離感。而且合作學習技巧並非與生俱來，因此線上學習也有其限制所在。有鑑於此，教學者須發揮教學專業，搭配網路科技，在分組前考量學習者各種不同的學習行為，進而設計有效的操作策略來進行線上合作學習。. 第三節代數概念與錯誤類型的相關理論一、代數的定義與概念代數的起源可以追溯到古巴比倫時期，當時他們已能列出含有未知數的方程式並求其解。代數(algebra)源於阿拉伯語單字「ai-jabr」，意指移項和合併同類項之計算，和等號兩邊做四則運算移項的概念相同。代數(algeba)是數學內容的一個分支，藉由數字、變數和符號所組成的數學系統，概念是由數、和文字符號及符號表徵三個子概念組成的結構(廖瓊菁，2000)。 Usiskin(1988)指出代數具有四種概念，分別為： (一) 代數可以被當作是已經歸納好的算術。 (二) 代數可以被當作是解決某特定問題的步驟。 (三) 代數可以當作數量關係之間的研究。 (四) 代數是一種數學結構。 Kaput(1994)將代數思考定義為包含樣式與規則的建構，與思考的歸納，以及主動的探索與預測。代數包含許多概念，由變數、函數和等號所組成，以及把文字情境轉換成數學方程式等(Kieran，1989)。Herbert 與 Brown(1997)認為代數思考階段是使用符號來：1.從情境中萃取資訊；2.運用數學公式表達資訊；3.解釋與 16.

(24) 應用數學發現。Linchevski(1995)認為對代數教學而言，代數概念是學生在數學學習上的一個關鍵點，也是由算術轉變成代數的重要時刻。使用文字符號來說明算術中的數學概念是往後學生學習更高深數學的基礎。因此國小的代數教材主要的任務就是培養學生代數的基礎概念，為未來的學習打下良好的基礎。根據上述研究者對代數概念的看法，可以發現代數的意義是使用文字符號來表達在數學解題歷程中未知數的概念。讓學生透過歸納、分析和推理來解決變數之間存在的關係，也可以說代數是一種語言，用來表達真實世界的情境描述。數學學習目的除了解題之外，更重要的是要懂得如何表達題意和溝通，利用已知的條件和題目所給予的數量關係列出簡短的代數式，並求未知數的解，是代數教學中相當重要的概念。因此除了學生本身所具備的先備知識外，還需要教師適時的提供解說和引導，才能使學生正確地掌握代數的學習。. 二、九年一貫課程中之代數領域教育部根據行政院核定的「教育改革行動方案」來進行國民教育階段課程之革新，故以九年一貫課程的規劃與實施為首要任務。數學領域包含數、量、形等基本概念認知。同時具備運算能力及組織能力，且能應用在日常生活中和瞭解推理與解題的思考過程。能與他人溝通數學內涵的能力，同時與其他領域做適當的連結(教育部，2003)。九年一貫數學領域共分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將內容分為五大主題：數與量、圖形與空間、代數、統計與機率、連結。九年一貫課程綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然因多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。本研究主要探討國小六年級學生對代數概念的理解，因此以六年級代數概念分年細目表為主，如表 2-3 所示： 17.

(25) 表2-3 六年級代數概念分年細目表分年細目指標. 內容. 對照指標. 6-a-01. 能理解等量公理。. A-3-02. 6-a-02. 能使用未知數符號，將具 A-3-03 體情境中的問題列成兩 A-3-04 步驟的算式題，並嘗試解 A-3-06 題及驗算其解。. 6-a-03. 能利用常用的數量關 N-3-14 係，列出恰當的算式，進 A-3-03 行解題，並檢驗解的合理 A-3-04 性。（同 6-n-10）. A-3-05 A-3-06. 6-a-04. 能在比例的情境或幾何 A-3-07 公式中，透過列表的方式認識變數。. 6-a-05. 能用中文簡記式表示圓 S-3-04 面積、圓周長與柱體的體 S-3-06. 積公式。. 在九年一貫課程中，數學的學習目標著重在培養學生抽象、推理、溝通和解題的能力。每個階段概念的學習都是循序漸進，每個階段概念的建立都是為下一階段的學習做準備。其中分年細目表的概念指標明確顯示每個年級階段的教學目標，讓教師可以掌握教材進度與重點，有條理和有系統的方式進行教學。. 18.

(26) 本研究以九年一貫數學課程代數領域六年級之分年細目表作為學生數學概念學習的依據，探討學生在接受線上合作擬題課程教學之後，對代數概念的理解情形。其中代數概念包含 1.「等量公理的應用」。2.「能使用未知數符號，將具體情境的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解」簡稱「能使用符號列式，並驗算其解」。3.「能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性」簡稱「能理解數量之間的關係」。4.「能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。」簡稱「能理解比例情境和幾何關係」。此代數內涵將作為研究者評量代數概念內容的參考與支持。. 三、國小學童學習代數之問題 Van Amerom(2003)認為，學生在代數學習上的困難之處主要來自於代數和算數本質上的不同，等號的意義在算數和代數中有所不同。Kieran(2004)也指出國小數學通常將等號視為一個分隔的符號，或者當作從左至右計算的方向符號，因此學生從算術階段過渡到代數需做許多調整。等號對於學習代數的學生來說，是一個需要釐清觀念的重要部分。陳嘉皇(2008)的研究指出大部分學生將等號視為運算式的概念，少部分學生視為關係的解釋。給予學生更多的等價概念可以提升學生對等號意義的理解。由上述可知，影響學生在國小代數學成就方面可歸納出兩個主要的狀況，分別是「等號的使用」與「未知數概念」的理解。 Simon(1980)在研究中發現學生缺乏使用文字來表示未知數，對於代數和算術之間的關係概念也不足。當題目取材自真實情境中，學生似乎不能以真實世界的狀況來思考，而只是當作一種機械式的轉譯文字到代數符號而已。林碧珍（1990）在比較學生解文字題能力和基本計算能力後，發現解文字題的能力比基本計算能力差，其中低程度的學生勉強會朗讀題目，但無法了解題意，因此沒有任何解題計劃，缺乏整體概念性的理解。林清山、張景媛(1994)認為學生在解代數應用問題所產生的問題歸納分為下 19.

(27) 列四種：（一）題意轉譯的錯誤概念：學生對於題目的關鍵詞的詞義無法充分理解，學生對於題目中哪些是無用的資訊無法辨別。（二）問題整合的錯誤概念：學生缺乏基本的數學概念，無法瞭解計算出來的答案是否合理。學生不會做假設的應用，單純套用固定的模式而不隨問題的變化而加以改變其解題方法。（三）解題計劃及監控的錯誤概念：學生未能理解已知條件與未知條件之間的關係，以致假設與列式不符；學生通常以為一個題目只有一個解法，無法對於不同試題採取不同的解題策略。（四）解題執行的錯誤概念：解方程式過程會產生移項的錯誤，移項的錯誤大多是因為缺乏等號兩邊等值的概念，學生在使用消去法時容易產生正負混淆的情形。. 由上述研究者的研究可以發現學生在國小階段代數的學習基礎相當重要，從算術轉換成代數，等號的意義往往是學生學習代數的困難之一。代數概念包括運用變數與函數的觀念，因此未知數和變數概念的引導教學更顯得重要。學生在學習代數時要避免死記公式，教師盡量以生活化的情境配合學生的抽象思考來增進學習理解能力。在本研究中，希望透過線上合作擬題的過程，促進學生之間的知識分享，同時透過擬題練習建立自身的學習概念。學生會因同儕提出不同的觀點而影響自已原本的思考邏輯，但也同樣可以藉由不斷的溝通與分享來釐清自己的迷思概念，對於數學概念理解會有更深一層的幫助。. 20.

(28) 第四節合作擬題的相關研究本研究探討線上合作擬題的教學方式對學生代數概念的影響，另一方面，也可以了解不同的擬題教學方式對學生擬題能力是否會造成差異。近十年來擬題在國內外都有許多相關研究，針對此相關研究分別說明如下。. Borba(1994)以 200 位 8 年級的學生為受試者，在九個星期的擬題活動中，學生分為不同的小組，每一小組須選定一個主題，並且擬出一個題目，小組成員要一起合作並解決自己所擬出的題目。研究發現許多學生透過擬題活動可以感受到自己有學習的自主權，同時可以選擇自己有興趣的題材。研究者並發現，在小組擬題過程中，教師須適時給予指導，讓學生能夠了解如何分工合作完成擬題的活動。 Silver，Mamona-Downs，Leung & Kenney(1996)以 53 位中學老師和 28 位職前教師分別以個別擬題和合作擬題的方式進行研究，研究發現合作擬題組具有較高的擬題能力，合作擬題組比個別擬題組所擬的題目也比較多，同時也發現學生的擬題能力可以影響將來教師在教學時的佈題方向。周幸儀(2002)探討透過合作擬題教學法後，學生的學習歷程。以國小二年級為研究對象，以擬題教學對學生的數學概念和擬題能力與解題能力效果進行評估。結果發現，透過擬題教學活動的實施，學生在解題時會思考題目所給予的深層意義，進而修正自己原本不足的知識。使得學生在數學概念和解題能力與擬題能力皆有明顯的進步，由此顯示使用合作擬題教學對學生是有幫助的。徐文鈺(1996)以國小五年級為研究對象，將學生分為合作擬題組、個別擬題組及控制組三組。研究結果發現合作擬題組在分數概念的表徵轉換能力、分數解題能力、分數擬題能力的精緻性、獨特性、流暢性均優於其他兩組。合作擬題組的擬題變通性優於控制組，但與個別擬題組並沒有差異。因此，使用合作學習的方式對學生而言效果會優於個別學習，透過分享與討論可以增進同儕間互相砥礪 21.

(29) 和進步的空間。劉芳妃(1998)以國中一年級學生為研究對象，探討學生在合作擬題教學後的擬題能力和情意層面。教師先講解教材上的例題，再由教師將學生分組進行合作擬題。結果發現，合作擬題活動可以提供學生數學概念溝通的機會，並培養學生的判斷能力。同時發現學生擬題內容來源多出自生活情境或教科書，學生在合作擬題時傾向用困難的擬題或奇特的題目來考倒同學。小組的合作溝通技巧會影響學生在合作擬題時的學習品質。莊美蘭(2003)以國中一年級學生為研究對象，探討合作擬題和個別擬題的差異。教學共分為七個單元，前面四個單元進行合作擬題，後面三個單元進行個人擬題。研究結果發現，合作擬題的優點是可以透過同儕的互動，提供討論的機會，並促進小組的學習。個別擬題則可以激發個人擬題的創意與實力，發現自己數學概念錯誤的地方。透過小組合作的機會可以讓學生增加數學觀念與思考能力，並經由同儕的力量提升低成就學生的學習注意力與課堂活動參與感。鍾雅琴(2002)探討利用合作擬題的教學方式，對國小五年級資優班和普通班學生分數概念、擬題能力和解題能力的影響。研究結果發現：1.合作擬題能增進學生對分數概念表徵轉換的學習。2.合作擬題教學方式對於分數解題能力的效果，合作擬題組優於個人擬題組。3.合作擬題的教學方式，對於學生的擬題能力，其效果實驗組優於控制組。4.在認知部份：大部分學生均認為合作擬題教學策略對於數學的學習有幫助；在情意部份：學生均認為合作擬題教學策略能有效激發想像力和抽象思考概念，對於解題能力提升有很大的幫助。方文鋒(2009)探討合作擬題教學對國一學生在一元一次方程式解題和擬題能力之影響。將學生分為合作擬題與傳統教學兩組，合作擬題組使用結構化擬題類型和半結構化擬題類型進行教學。研究結果發現，接受合作擬題教學的學生其單元學習成效優於傳統教學的學生。學生在結構擬題類型的擬題能力實驗組優於控制組的學生；在非結構擬題類型的擬題能力實驗組也優於控制組的學生。研究結果也顯示，合作擬題教學對於學生數學學習成效、概念保留和學習態度皆有正面 22.

(30) 影響。吳柏儀(2009)運用不同型態線上合作擬題解題系統探討對國小五年級學生小數除法學習成就及態度的影響。分為合作擬題解題適性教學組、合作擬題解題目標設定組和合作擬題解題組學生，三組皆使用線上擬題系統。研究結果顯示合作擬題適性教學對五年級學生的小數除法學習成效有明顯提升效果。在學習動機上，也有所提升，學生對於數學解題更具有信心。在擬題方面，學生擬題成功率達 71.9%，顯示學生具有完整的擬題能力。擬題的過程會受到先前所學的知識概念所影響，並在擬題的題目中顯示出自己本身的學習概念。綜合以上擬題教學活動的相關研究可以瞭解到，在數學教育方面，擬題教學已經愈來愈受到學者和教育研究者的重視，擬題成為數學課堂不可或缺的要素之一。擬題對於學生在數學學習成效而言是有效的，且合作擬題之效果優於個人擬題。然而，上述的研究皆以課堂合作擬題的方式來作為數學單元教學的方法，並未針對使用資訊科技輔助合作擬題教學對於學生數學的學習成效之影響作探討。因此，本研究使用 Moodle 平台建立一線上擬題系統，希望透過線上合作擬題的教學方式，來瞭解學生的代數概念理解能力和擬題能力是否因擬題教學方式的不同而有所差異。. 23.

(31) 第三章. 研究方法. 本章共分為四節，第一節為受試者，說明本研究選取之研究對象；第二節為研究設計，說明設計內容；第三節為研究工具，針對本研究使用之工具詳細列出並解說；第四節則是實驗程序，說明實驗的流程。. 第一節受試者一、預試「代數概念成就測驗」以新北市某國小六年級已學過代數單元「怎樣解題」單元的學生為受試者，共 110 位。用以瞭解此份試題對於受試者而言是否有模糊不清之處或題意是否清晰，用以修正作為正式施測試題之依據，如附錄一所示。. 二、正式施測本研究之受試者為新北市某國小六年級學生兩個班級，一班為實驗組，一班為控制組，每班 30 人，總共 60 人，學生皆具備資訊課程經驗。受試者之性別與人數分布如表 3-1。. 表3-1 正式施測之受試者人數性別. 男. 女. 合計. 實驗組. 16. 14. 30. 控制組. 16. 14. 30. 合計. 32. 28. 60. 組別. 24.

(32) 第二節研究設計本研究主要探討線上合作擬題對國小六年級學生代數概念的影響，學生經過此一實驗處理，對於代數的學習成效是否有影響。因此，本研究使用準實驗不等組前後測設計。實驗組及控制組之受試者皆以段考成績作為前測，實驗組使用合作擬題教學模式，控制組使用個人擬題教學模式。教學時間為八週，每週兩節課，每節四十分鐘。實驗結束後，兩組進行代數概念成就測驗，用以瞭解線上合作擬題對於學生學習成效以及代數概念理解能力是否有顯著影響。研究設計如表 3-2 所示。. 表3-2 研究設計組別. 前測. 實驗處理. 後測. 實驗組. 段考數學科成績. 合作擬題. 代數概念成就測驗. 控制組. 段考數學科成績. 個人擬題. 代數概念成就測驗. 第三節研究工具本研究所使用之研究工具包含擬題教材、擬題評量工具、代數概念成就測驗，和線上合作擬題系統。. 一、擬題教材本研究擬題教材的編製係研究者根據現行國民小學翰林版六年級下學期數學課本與教師手冊編製，擬題教材分為結構擬題和半結構擬題兩種類型，如附錄二所示。 25.

(33) 二、擬題能力評量工具本研究擬題能力評量分為兩個項目，分別為精緻性與正確性。學生擬題的過程中，由教師先給予擬題教材，經過學生在線上合作討論、擬題、和解題後，教師針對學生所擬之題目進行評量。擬題精緻性以學生擬題所需解題的步驟為評分依據，一步驟解題得 1 分，兩步驟則得 2 分，依此類推。擬題正確性評量方式，以學者梁淑坤(1997)發展出的評量工具，如表 2-2 所示：將學生擬題作品分為 5 類，以「1」至「5」為評分編碼。分類數字「1」至「5」為「次序量尺(ordinal)」，亦即得到「4」並不是「2」的兩倍，但是編碼數字「1」至「5」仍可作為擬題好壞程度的評比。表 3-3 為學生擬題精緻性評量之範例說明。表 3-4 則為學生擬題正確性評量之範例說明。. 表3-3 擬題精緻性評量範例說明解題步驟(評分). 範例. 1 步驟解題(1 分) 做 1 瓶綜合果汁需要 2 杯蘋果汁，請問 8 瓶綜合果汁需要幾杯瓶果汁？ 2 步驟解題(2 分) 小恩恩買了 5 個蛋糕，還有 1 杯 20 元的珍珠奶茶，總共花了 120 元。請問一個蛋糕多少元？ 3 步驟解題(3 分) 有 5 個小孩，有人吃 2 顆糖，有人吃 3 顆糖，共吃了 14 顆，吃兩顆糖的有幾個小孩？. 26.

(34) 表3-4 擬題正確性評量範例說明類別(評分). 範例. 非題目(1 分). 快樂國小學生有 500 人，老師有 30 人。（只是敘述的語句，並不是題目。）. 非數學(2 分). 為什麼排水速率>進水速率？（雖有提問，但不能算是數學題目。）. 不可行(3 分). 1 輛遊覽車可坐 40 人，3.5 輛遊覽車可坐多少人？（遊覽車不會有小數，故為不合數學邏輯的題目。）. 資料不足(4 分). 哥哥 1 分鐘可寫 45 個字，請問哥哥今天寫了多少個字？（缺少哥哥寫字時間的資料。）. 資料適中(5 分). 姊姊的皮包裡有 20 元和 50 元硬幣共 21 枚，共 810 元。20 元的有幾枚？. 資料超過(5 分). 操場的跑道有 400 公尺，小明 100 公尺跑 12 秒，小玲 100 公尺跑 15 秒有，小信 100 公尺跑 18 秒，若小玲小明同時同地起跑，請問 30 秒後小玲落後小明幾公尺？（小信 100 公尺跑 18 秒是無用的資料. 三、代數概念成就測驗研究者參考國小代數單元教材所編製之紙筆測驗，主要了解受試者對代數概念之瞭解程度，此測驗分為選擇和應用兩部分。針對代數概念成就測驗先進行預試，預試受試者為某國小六年級學生，在正式施測前已學過代數單元，共計 110 名。施測結果進行信度分析，計算的值為.81，顯示有良好的內部一致性。在難度及鑑別度方面依照古典測驗理論，難度為所有受試者中答對該題者佔答題總人數的百分比，達對百分比越高，代表試題難度越低；達對百分比越低，則代表試題難度越高。鑑別度越高，則表示該題與測驗總分的一致性越高。修訂後試題難度與鑑別度如表 3-5 所示。 27.

(35) 表3-5 預試難度與鑑別度分析結果. 題號. 難度. 鑑別度. 選擇題 1. .83. .37. 選擇題 2. .51. .25. 選擇題 3. .38. .37. 選擇題 4. .77. .51. 選擇題 5. .73. .41. 選擇題 6. .75. .31. 選擇題 7. .55. .63. 選擇題 8. .71. .63. 應用題 1. .85. .27. 應用題 2. .52. .67. 應用題 3. .60. .77. 應用題 4. .65. .77. 應用題 5. .58. .64. 應用題 6. .39. .43. 平均. .63. .49. 代數概念成就測驗依九年一貫數學課程代數領域六年級之分年細目表作為學生數學概念學習的依據，其中代數概念包含 1.「等量公理的應用」。2.「能使用未知數符號，將具體情境的問題列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解」簡稱「能使用符號列式，並驗算其解」。 3.「能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性」 28.

(36) 簡稱「能理解數量之間的關係」。4.「能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。」簡稱「能理解比例情境和幾何關係」。其中代數概念和成就測驗之雙向細目表如表 3-6 所示。表3-6 代數概念和成就測驗雙向細目標項目. 等量公理的應. 能使用符號列. 能理解數量之. 能理解比例情. 用。. 式，並驗算其. 間的關係。. 境和幾何關. 題號. 選擇題 1. 解。. 係。.  . 選擇題 2. . 選擇題 3 選擇題 4. . 選擇題 5. . 選擇題 6. . 選擇題 7. . 選擇題 8. . 應用題 1. . 應用題 2.  . 應用題 3 . 應用題 4 應用題 5. . 應用題 6. . 總分. 15. 35. 20. 29. 30.

(37) 四、線上合作擬題系統本研究所建構的系統是以 Moodle 為基礎，由 Moodle 所提供的 wiki 和聊天室以及討論區所組成。由於 Moodle 是以社會主義架構為基礎，希望能藉由群體討論和溝通的結果來獲得知識，並分享學習的歷程。因此，本研究將擬題教材放置在 Moodle 平台所編輯的網頁上，實驗組使用合作擬題教學模式，控制組則是使用個人擬題教學模式。實驗課程內容以國小六年級代數單元進行編制，使用 Moodle 模組作為輔助教學內容，系統說明如圖 3-1 至圖 3-7 所示。 1. 系統登入畫面首先學生各自擁有自己的帳號與密碼，取得進入 Moodle 平台的憑證。. 圖 3-1 Moodle 平台登入畫面. 30.

(38) 2. 登入系統後，學生會看到四個代數單元的課程。. 圖 3-2 代數課程進入畫面 3. 進入課程後，自動分配到各自合作的組別。其中，系統功能分為 wiki 擬題練習區，與合作討論區。. 圖 3-3 分組活動進入畫面. 31.

(39) 4. 進入 Moodle 平台內的 wiki 編輯模組，此時教材至於上方，學生則在下方的擬題區作擬題的練習。. 圖 3-4 分組擬題活動區 5. 在擬題的過程可以和自己組員討論擬題的題目，分享自己擬題的過程和經驗，此時組員可以利用聊天室的功能作彼此溝通的橋樑。(續下頁). 32.

(40) 圖 3-5 合作擬題聊天室畫面 6. 學生擬完題目之後，將自己組別所擬的題目上傳至討論區，和同學分享。 (續下頁). 33.

(41) 圖 3-6 繳交擬題題目討論區畫面 7. 最後，進行各組擬題題目的解題活動，每一組對其他組別所擬的題目給予回饋. 圖 3-7 小組解題流程畫面 34.

(42) 第四節實施程序本研究實施程序架構圖如圖 3-8 所示. 一般教室進行代數單元教學. 一般教室教師示範擬題. 以 Moodle 平台進行教學控制組. 實驗組. 合作擬題活動. ). 個人擬題活動. ). 發表擬題. 發表擬題. 個別解題. 小組合作解題 (). (). 發表解題策略. 發表解題策略. 研究者進行評估. 後測 (代數概念成就測驗). 圖 3-8 實施程序架構圖 35.

(43) 以班級為單位，六年級學生第一次段考作為前測成績，實驗組與控制組皆使用結構擬題教材和半結構擬題教材進行教學。實驗組與控制組皆於電腦教室上課，實驗組使用合作擬題教學，控制組則使用個人擬題進行教學。根據實驗流程，將實驗流程分別敘述如下： (一)擬題教學：學生尚未有擬題經驗，首先兩組學生都會在教室內進行擬題教學，讓學生知道如何擬題並具有擬題的觀念，同時了解擬出一道完整題目所需具備的條件。. (二)實施授課：實驗組和控制組皆接受八週的教學，每週兩節課，每節四十分鐘。兩組學生皆使用 Moodle 線上擬題平台，實驗組使用具有合作分享的擬題平台，控制組則為個人擬題平台。在擬題完成後，實驗組進行合作解題，控制組則進行個人解題。. (三)後測：教學結束之後，對實驗組與控制組進行「代數概念成就測驗」，取得學生後測測驗成績。. 研究者收集兩組學生後測資料後，使用 SPSS 統計分析軟體進行共變數分析，比較前測與後測成績之差異，以了解學生接收不同教學模式之後，對學生代數學習成效及代數概念理解能力之影響。同時比較在兩組不同教學模式下，擬題能力的差異。. 36.

(44) 第四章結果與討論本研究目的在探討線上合作擬題教學對國小六年級學生代數概念的影響。本研究之測驗工具，依九年一貫代數概念指標可分為「等量公理的應用」、「未知數符號列式」、「數量關係」、「幾何和比例關係」四個向度。同時評估學生擬題能力，以及經過不同類型的擬題活動之後，對於學生代數學習成效的影響。本章共分為四節，第一節為合作擬題教學活動對學生代數學習成效的影響，呈現受試者在教學之後測驗的結果；第二節為分析在教學之後受試者擬題能力的表現；第三節為分析學生在代數概念理解能力的解題表現；第四節為綜合討論。. 第一節代數概念成就測驗之分析結果本研究探討合作擬題教學對受試者代數學習成效之影響，在統計上使用共變數分析。實驗組與控制組，以前測作為共變項，實驗處理為自變項，代數概念成就測驗為依變項，進行共變數分析。採用單因子共變數分析前，先進行組內迴歸係數同質性考驗，以擬題教學類型為自變項，受試者段考數學成績為共變項，代數成就測驗為依變項，結果如表 4-1 所示。表4-1 代數概念成就測驗之組內迴歸係數同質性考驗摘要表變異來源. SS. Df. MS. F. 組間. 121.59. 1. 121.59. 1.89. 誤差. 3594.64. 56. 64.19. *p < .05 由表 4-1 之組內迴歸係數同質性摘要表之結果可得知 F(1,56)  1.89 ，p>.05，未達顯著水準，表示兩組回歸線的斜率相同，符合共變數組內迴歸係數同質性假設，可繼續進行分析。 37.

(45) 表 4-2 為實驗組與控制組在代數概念成就測驗之描述統計及調整後平均數與標準差。表4-2 代數概念成就測驗之描述統計(n=30) 原始分數. 調整後分數. 組別平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 實驗組. 84.67. 8.50. 84.35. 1.46. 控制組. 77.92. 10.31. 71.49. 1.46. 以受試者段考數學成績為共變項，擬題教學類型為自變項，代數概念成就測驗為依變項，進行共變數分析，結果如表 4-3。表4-3 代數概念成就測驗之共變數分析摘要表來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 1564.39. 1. 1564.39. 24.66**. 組別. 2471.67. 1. 2471.67. 38.96**. 誤差. 3616.44. 57. 63.45. *p < .05. **p < .01. 由表 4-3 代數概念成就測驗之共變數分析摘要表之結果得知 F(1,57)  38.96 ，達顯著水準。即實驗組在經過合作擬題教學之後，學習成效優於控制組，顯示使用線上合作擬題教學對受試者在代數單元的學習上有顯著成效。. 38.

(46) 第二節擬題能力之分析結果本部份主要探討在進行八週的擬題活動之後，受試者擬題能力之實驗成效。本研究之擬題類型採用「結構化」與「半結構化」兩種擬題類型。本研究「擬題正確性」以梁淑坤(1997)提出的擬題評量標準為評分依據，如表 2-2。每題擬題評分最高 5 分，最低 1 分，共 22 題，總分為 110 分。「擬題精緻性」則以學生擬題所需解題的步驟為評分依據，一步驟解題則得一分，兩步驟則得兩分，依此類推。表 4-4 為兩組學生在擬題正確性得分之描述統計，結果顯示合作擬題組之平均數高於個人擬題組。接著為探討兩組學生在擬題正確性得分是否有差異，透過. t 檢定比較二組的平均分數，結果如表 4-5 所示。. 表4-4 實驗組與控制組在擬題正確性得分之描述統計組別. 平均數. 標準差. 最低. 最高. 合作擬題組. 92.43. 4.59. 86. 104. 個人擬題組. 84.97. 6.01. 76. 100. 表4-5 實驗組與控制組擬題正確性之差異檢定(n=30) Levene檢定假設變異數相等. F. 顯著性. 1.46. 0.23. 不假設變異數相等 *p < .05. 自由度. t值. 58. 5.41**. 54.23. 5.41**. **p < .01. 由表 4-5 可以得知，經由 Levene 檢定 F  1.46 ，未達顯著水準，顯示合作擬擬題組與個人擬題組變異數同質。因此，擬題正確性的 t 值為 5.41，達顯著水準，顯示兩組學生經由不同擬題教學模式後，擬題能力有顯著差異，表示合作擬 39.

(47) 題教學方式對學生在擬題的正確性是有幫助的。表 4-6 為兩組學生在擬題精緻性得分之描述統計，結果顯示合作擬題組之平均數高於個人擬題組。接著為探討兩組學生在擬題精緻性得分是否有差異，乃透過 t 檢定比較二組的平均分數，結果如表 4-7 所示。. 表4-6 實驗組與控制組在擬題精緻性得分之描述統計組別. 平均數. 標準差. 最低. 最高. 合作擬題組. 27.90. 4.05. 21. 38. 個人擬題組. 22.80. 3.27. 14. 27. 表4-7 實驗組與控制組擬題精緻性之差異檢定(n=30) Levene檢定假設變異數相等. F. 顯著性. 1.48. 0.23. 不假設變異數相等 *p < .05. 自由度. t值. 58. 5.36**. 55.58. 5.36**. **p < .01. 由表 4-7 可以得知，經由 Levene 檢定 F  1.48 ，未達顯著水準，顯示合作擬擬題組與個人擬題組變異數同質。因此，合作擬題組與個人擬題組在擬題精緻性評分 t 值為 5.36，達顯著水準，顯示兩組學生經由不同擬題教學模式後，擬題精緻性有顯著差異，表示合作擬題之教學方式對於學生在擬題的精緻性是有幫助的。. 40.

(48) 第三節代數概念理解能力之分析結果本研究目的是透過研究者自編六年級代數概念測驗試題，探討線上合作擬題教學對國小六年級學生代數概念理解能力之影響。本研究代數概念依照九年一貫綱要六年級代數領域分為：(一)等量公理的應用，(二)能使用符號列式，並驗算其解，(三)數量關係，(四)能理解比例情境和幾何關係。茲分別探討兩組學生在四個代數概念領域之學習成效。. (一)等量公理的應用實驗組與控制組在等量公理的應用之描述統計如表 4-8 所示，代數概念成就測驗之等量公理應用滿分為 15 分，如表 3-6。為了解兩組學生在等量公理應用概念的學習成效是否有差異，在統計上進行共變數分析，如表 4-9 所示。由表 4-9 的結果得知 F(1,57)  4.15 ，達顯著水準，可知受試者在等量公理概念的學習成效會因擬題教學方法的不同而有所差異。. 表4-8 實驗組與控制組在等量的公理應用之描述統計(n=30) 原始分數. 調整後分數. 組別平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 實驗組. 13.17. 2.45. 13.14. 0.50. 控制組. 11.67. 3.03. 11.69. 0.50. 41.

(49) 表4-9 等量公理的應用之共變數分析摘要表來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 10.72. 1. 10.72. 1.42. 組別. 31.29. 1. 31.29. 4.15*. 誤差. 430.11. 57. 7.55. *p < .05. **p < .01. (二)能使用符號列式，並驗算其解實驗組與控制組在「能使用符號列式，並驗算其解」之描述統計如表 4-10 所示，代數概念成就測驗之「能使用符號列式，並驗算其解」滿分為 35 分，如表 3-6。為了解兩組學生在「能使用符號列式，並驗算其解」概念的學習成效是否有差異，在統計上進行共變數分析，如表 4-11 所示。由表 4-11 的結果得知. F(1,57)  7.27 ，達顯著水準，可知受試者在「能使用符號列式，並驗算其解」概念的學習成效會因擬題教學方法的不同而有所差異。. 表4-10 實驗組與控制組在能使用符號列式，並驗算其解之描述統計(n=30) 原始分數. 調整後分數. 組別平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 實驗組. 29.50. 4.97. 29.41. 1.00. 控制組. 25.50. 6.20. 25.59. 1.00. 42.

(50) 表4-11 能使用符號列式，並驗算其解之共變數分析摘要表來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 128.10. 1. 128.10. 4.28*. 組別. 217.73. 1. 217.73. 7.27**. 誤差. 1706.90. 57. 29.95. *p < .05. **p < .01. (三)能理解數量之間的關係實驗組與控制組在「能理解數量之間的關係」之描述統計如表 4-12 所示，代數概念成就測驗之「能理解數量之間的關係」滿分為 20 分，如表 3-6。為了解兩組學生在「能理解數量之間的關係」概念的學習成效是否有差異，在統計上進行共變數分析，如表 4-13 所示。由表 4-13 結果得知 F(1,57)  9.48 ，達顯著水準，可知受試者在「能理解數量之間的關係」概念的學習成效會因擬題教學方法的不同而有所差異。. 表4-12 實驗組與控制組在能理解數量之間的關係之描述統計(n=30) 原始分數. 調整後分數. 組別平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 實驗組. 16.33. 3.70. 16.29. 0.74. 控制組. 13.00. 4.47. 13.05. 0.74. 43.

(51) 表4-13 能理解數量之間的關係之共變數分析摘要表來源. SS. df. MS. F. 共變數（前測）. 33.11. 1. 33.11. 2.00. 組別. 156.90. 1. 156.90. 9.48**. 誤差. 943.56. 57. 16.55. *p < .05. **p < .01. (四)能理解比例情境和幾何關係實驗組與控制組在「能理解比例情境和幾何關係」之描述統計如表 4-14 所示，代數概念成就測驗之「能理解比例情境和幾何關係」滿分為 30 分，如表 3-6。為了解兩組學生在「能理解比例情境和幾何關係」概念的學習成效是否有差異，在統計上進行共變數分析，如表 4-15 所示。由表 4-15 結果得知 F(1,57)  7.22 ，達顯著水準，可知受試者在「能理解比例情境和幾何關係概念」的學習成效會因擬題教學方法的不同而有所差異。. 表4-14 實驗組與控制組在能理解比例情境和幾何關係之描述統計(n=30) 原始分數. 調整後分數. 組別平均數. 標準差. 平均數. 標準差. 實驗組. 25.67. 6.79. 25.51. 1.15. 控制組. 21.00. 6.62. 21.16. 1.15. 44.