直線方程式

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直線方程式

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108.03.21 ∼ 108.03.21

一堂高中數學課

1. ax + by = c

問一個直接的問題： 方程式 ax + by = c 是甚麼意思？ 或者找一個例子來看： 方程式 2x + 3y = 6 是甚麼意思？ 方程式中的 2, 3, 6 有甚麼意義呢？這三個數字和方程式 2x + 3y = 6 所表示的圖形有何關係呢？

2. 理解方程式

2x + 3y = 6

我們試著把 2x + 3y = 6 用中文讀一遍： 2x加上 3y 的値【恆是定值 6】。 這到底是甚麼意思？請讀者自己試著給個答案！

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我們不打算從斜率入手，就直接觀察 2x + 3y = 6，看看是不是可以得到一些簡易的結果。 假設 P (x0, y0)是滿足 2x + 3y = 6 的一個點坐標，即 2x0+ 3y0 = 6 (1) 現在我們從 P 點出發，如果 x 坐標增加 3，那麼 y 坐標【得減少 2】，即 2· 3 + 3 · (−2) = 0 (2) 如此增加的值和減少的值【相互抵銷】，則其和不會改變，依然維持是 6。如圖 1 所示：圖 1 彷上的觀察可得，當 x 坐標增加 3t 時，則 y 坐標【必須】減少 2t，以保持 2x + 3y 的值恆為 6， 於是因為畫出來的直角三角形都是相似形，所有滿足 2x + 3y = 6 的點，就會落在一條直線上， 如圖 2 所示：圖 2 【結論】：從 P 點出發，只要 x 坐標增加 3t，y 坐標減少 2t，那麼 2x + 3y = 6 恆成立，於是 P 點 的移動軌跡就是一條直線，同時 2x + 3y 的【參考三角形】是 (3,_{−2) 型的直角三角形。} 於是當我們看到 2x + 3y = 6 時，我們可以先找一個點滿足 2x + 3y = 6，例如：(3, 0)，然後 由 2x + 3y−−−−→ (3, −2) (3)

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圖 3

3. 再深入理解

2x + 3y = 6

雖然我們已經了解 2x + 3y = 6 的圖形是一條直線，也學會繪製 2x + 3y = 6 的圖形，但是， 老實說我們很不喜歡這一個方程式。因為，我們必須很費力的把 (2, 3) 轉化成 (3,_{−2)，於是，我} 們想問： (2, 3)這一個直角三角形和 2x + 3y = 6 的關係為何？ 如圖 4 所示：圖 4 你發現甚麼呢？ 原來 (2, 3) 這一個直角三角形表現了直線的【垂直方向】。 方程式使用定值來表現直線，我們看到的 (2, 3) 是垂直方向，雖然這是【轉了彎】，但是它有其 他便利的功能。 我們不妨將焦點放在 2x + 3y = c 的【直線群】，看看這些直線有哪些共同的特性？

4. 直線群

2x + 3y = c

我們知道直線 2x + 3y = c 有個【垂直方向的參考三角形 (2, 3)】，所以不管 c 是誰？這直線的 垂直方向就在 (2, 3) 的斜邊上，如圖 5 所示：

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圖 5 圖 5 中我們找了兩條特別的直線，一條是通過原點的 2x + 3y = 0，另一條是通過點 (2, 3) 的 2x + 3y = 13，從圖上可以很輕易地看到這兩條直線間的距離為√13，且 2x + 3y = c 所表示的 直線，都是和 2x + 3y = 0 平行。 研究一個問題：直線 2x + 3y = 6 的位置在哪裡？請你把它畫在圖 6 裡。 圖 6 再問一個問題：原點 (0, 0) 到直線 2x + 3y = 6 的最短距離為何？

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假設你解決了上述的問題，我們就有底下的結論。

5. 關於

ax + by = c

的結論

關於 ax + by = c，綜合上面的討論，我們有以下的結論： • ax + by = c 的圖形是一條直線，其方向可由參考三角形 (b,−a) 所表示。 • 直線 ax + by = c 的垂直方向可由參考三角形 (a, b) 所表示。 • 固定 a, b，而讓 c 變動，我們可以得到【一群平行線】。 • 原點 (0, 0) 與直線 L : ax + by = c 的最小距離為 √ c a2_{+ b}2(這裡的距離是有方向的)。記為 d(O, L) = √ c a2_{+ b}2 (4) • 兩平行線 L1 : ax + by = c1, L2 : ax + by = c2 之間的最小距離為 c1 − c2 √ a2_{+ b}2，記為 d(L1, L2) = c1− c2 √ a2 _{+ b}2 (5) • 設 L : ax + by = c，P (x0, y0)，則通過 P 且和 L 平行的直線方程式為 ax + by = ax0+ by0， 且點 P 到直線 L 的最短距離記為 d(P, L) = ax√0+ by0− c a2_{+ b}2 (6) 如圖 7 所示：圖 7

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6. 實例演練：

3x

− 4y = 10

我們用上面的結論畫出 3x− 4y = 10 的圖形。 (1) 首先畫出原點。 (2) 畫出參考三角形 (3,−4), (4, 3)。 (3) (3,−4) 是【垂直方向】，(4, 3) 才是直線方向。 (4) 畫出直線 3x− 4y = 0 與 3x − 4y = 25。 (5) 在直線 3x− 4y = 0 與 3x − 4y = 25 之間畫出直線 3x − 4y = 10，並得知原點到 3x− 4y = 10 的距離為 2。事實上是 5 ×10 25，也可以是公式 10 √ 32_{+ (}−4)2。如圖 8 所示：圖 8

7. 結語

我們花了很大的篇幅去說明直線方程式 ax + by = c 中 a, b, c 三數的意義，雖然看起來很複雜， 但是只要花時間弄懂其中的道理，對於直線方程式就已經理解一大半了。解釋直線方程式有【斜率法】與【向量法】。本文的作法接近向量法，但是比向量法原始，比斜率法清晰，唯獨需要讀者很有耐心的看完，並實例演練。 關於第 5 部分 ax + by = c 的結論，我們沒有解釋，因為，我們希望讀者自行解釋。 動手做，永遠是唯一的方法。多找些例子試試看喔！我們會有一篇完全使用向量的直線方程式的文章。