國小數學領域五年級量與實測能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用

國立台中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文

指導教授：郭伯臣 博士

國小數學領域五年級量與實測能力指標之電腦

適性測驗編製及動畫補救教學之應用

研究生：陳秀郁 撰

中 華 民 國 九 十 五 年 八 月

摘要

本研究的主要目的在建立一套以國小五年級數學領域「量與實測」能力指標 為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時包含以專家知識結構為基礎的電腦補 救教學動畫系統。除了可以診斷出學生在能力指標的學習成效，也可以讓學生進 行自我學習，以此模式反覆練習達到熟練的程度。 本研究首先分析五年級數學課程內容，以此建立每一個能力指標的知識結 構，並依此結構進行命題。接著進行紙筆測驗，並於完成後，依據試題順序理論 和語意結構理論，建立電腦適性診斷測驗的施測流程。最後進行電腦適性診斷測 驗並評估電腦補救教學的成效。 本研究發現： (1)適性測驗施測的平均施測題數是 55 題，平均可以節省 16 題。 (2)經過電腦化補救教學後，學生的平均分數有進步，達到顯著差異。 所以，本研究所提出之適性診斷測驗和補救教學系統，確實可達到「因材施 測」與「因材施教」的效果。 關鍵字：量與實測、電腦適性診斷測驗、補救教學、試題順序理論、語意結構理 論

Abstract

The main purpose of this study is to establish a system which can facilitate mathematics

instruction at elementary schools. The system is composed of Computerized Adaptive

Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system. The former is based on the

structure of competence indicators of amount and real measure in Nine-Year Compulsory

Curriculum, and the latter is based on the experts' knowledge structure. After students taking

the test, the unpracticed competence indicators were diagnosed individually, and those

correspondent remedial instruction Flash animators were presented to facilitate their learning.

The focus of this study is on the competence indicators of " amount and real measure " of

grade 5 in Nine-Year Compulsory Curriculum. After analyzing the contents of textbooks, the

structures of competence indicators were constructed, and the items were designed

accordingly Ordering theory and semantic structure analysis are used to decide the students'

knowledge structure and those parameters were used in the item bank for Computerized

Adaptive Diagnostic Test system.

Findings of this research are briefly outlined as follows:

1.The average number of testing items taken by individuals in the Computerized

Adaptive Diagnostic Test system is 55 . The system can averagely allow students to

take lesser testing items by 16, and the test-taking time is also reduced consequently.

2.The progress of students is significant after the adaptive remedial instruction.

Therefore, the two systems ─ Computerized Adaptive Diagnostic Test system and

adaptive remedial instruction system, proposed in this research can enhance testing on

students’ individual ability and meeting students’ individual needs.

Keywords: amount and real measure, computerized adaptive diagnostic test, remedial

目 錄

第一章 緒論 ………1

第一節 研究動機 ………1

第二節 研究目的 ………4

第三節 名詞定義 ………4

第四節 研究限制 ………5

第二章 文獻探討 ………7

第一節 九年一貫數學領域量與實測數學概念 ………7

第二節 數學能力指標試題化………16

第三節 以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗………19

第四節 多點記分試題順序結構理論………25

第三章 研究方法與步驟………29

第一節 研究流程………29

第二節 研究對象………31

第三節 研究方法………31

第四節 研究工具………34

第五節 資料處理與分析………37

第四章 研究結果………39

第一節 電腦適性診斷測驗題庫之建置………39

第二節 電腦適性診斷測驗………48

第三節 補救教學之成效………54

第四節 學生在量與實測能力指標方面的學習成效………61

第五章 結論與建議………65

第一節 結論………65

第二節 建議………66

參考文獻………67

附錄一 數學領域五年級量與實測診斷測驗試題………70

附錄二 補救教學腳本………87

附錄三 專家名冊………108

附錄四 知識結構編製原則………109

附錄五 命題檢核表………110

附錄六 試題檢核表………112

圖 目 錄

圖 2-1 專家知識結構………23

圖 2-2 電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程………24

圖 2-3 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）27

圖 3-1 研究流程圖………30

圖 3-2 能力指標試題化流程圖………32

圖 4-1 能力指標 5-n-14 專家知識結構圖………39

圖 4-2 能力指標 5-n-15 專家知識結構圖………40

圖 4-3 能力指標 5-n-16 專家知識結構圖………41

圖 4-4 能力指標 5-n-17 專家知識結構圖………42

圖 4-5 能力指標 5-n-18 專家知識結構圖………42

圖 4-6 能力指標 5-n-19 專家知識結構圖………43

圖 4-7 能力指標 5-n-14 學生知識結構圖………48

圖 4-8 能力指標 5-n-15 學生知識結構圖………49

圖 4-9 能力指標 5-n-16 學生知識結構圖………50

圖 4-10 能力指標 5-n-17 學生知識結構圖………51

圖 4-11 能力指標 5-n-18 學生知識結構圖………51

圖 4-12 能力指標 5-n-19 學生知識結構圖………52

圖 4-13 量與實測能力指標間之結構………53

圖 4-14 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面一………55

圖 4-15 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面二………55

圖 4-16 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面三………56

圖 4-17 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面四………56

圖 4-18 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面五………57

圖 4-19 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面六………57

圖 4-20 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面七………58

圖 4-21 能力指標 5-n-18~1-1-1 畫面八………58

表 目 錄

表 2-1

量與實測（感官量）能力指標與教材架構

………10

表 2-2

量與實測（工具量）能力指標與教材架構

………10

表 2-3 九年一貫數學領域五年級量與實測能力指標………12

表 2-4 新修訂 Bloom 認知領域分類………17

表 2-5 試題 A、B 次數分配表………21

表 2-6 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率………22

表 4-1 試題分析表………44

表 4-2 量與實測能力指標學習成效………47

表 4-3 指標間順序性係數矩陣………52

表 4-4 指標間順序性矩陣………53

表 4-5 電腦適性診斷測驗成績………54

表 4-6 補救教學適性前測、後測成對樣本檢定表………59

表 4-7 高分組前、後測成績成對樣本檢定表………59

表 4-8 中分組前、後測成績成對樣本檢定表………60

表 4-9 低分組前、後測成績成對樣本檢定表………60

表 4-10 能力指標通過率成對樣本檢定表………61

表 4-11 部分學生作答記錄表………63

第一章 緒論

本研究之目的在開發適合五年級學生學習九年一貫課程能力指標的電 腦適性診斷測驗與補救教學系統。本章共分四節，茲分述如下。

第一節 研究動機

自古以來，教師在教學的過程中，總免不了要以測驗或評量的方式來得 知學生的學習成效和學習困難，以利進行補教教學。因此如何讓教師能夠有 效且快速的將學生的迷失概念找出來，並進行即時的補救，以避免錯過學習 的關鍵期是一個重要的課題。九十二年教育部明確訂定出各學習領域的正式 課程綱要，各出版社、公司根據課程綱要編輯教科書，每個領域都有多種版 本，且每本教科書又存有差異。因此，教師便需花費許多時間分析課程內容、 準備銜接教材，深怕學生漏學了某些正式綱要中應具備的數學能力。想要了 解學生在接受了九年一貫課程後，是否具備了數學能力，只能求助於教學測 驗和評量。 補救教學即是實踐「把每一位學生都帶上來」的教育改革理念。學生在 學習上遇到了學習困難，教師應透過各種學習評量與診斷方法，了解學生學 習困難的原因，決定補救教學的策略，幫助學生學習。而目前的電腦與網路 技術，正可幫助教師在有限的時間與人力之下，達到這樣的理想。 在測量概念解題錯誤迷思的研究顯示（黃金鐘，1993；李調棟，1994； 譚寧君，1995），學生在長度、面積和體積的解題上，有如下七點之錯誤迷 思：基本概念不清、保留性概念不足、面積與周長概念混淆、體積與表面積 概念混淆、估測能力不足、作圖能力缺乏和公式概念不清。 譚寧君（1999）透過筆測、面談了解兒童測量概念與其可能的錯誤類型， 再透過教師對數學問題的難易分析及理由的陳述，了解教師對兒童測量概念 知識的了解情形。其結果發現教師非常重視教材在課程中出現的順序與地 位，較不易掌握螺旋式課程設計的精神與兒童認知發展的過程。從這篇的研 究更可以看出教科書的內容對教師教學的影響是非常大的。上述研究的測量

概念界定在長度、面積和體積，有很多的研究指出，學生對於面積與體積的 問題特別有困難，林慈容（2001）採取半結構式晤談法選取一位國小六年級 的學童進行個案研究，探討單位量概念、面積概念與體積概念三者間的關 係。研究發現此學童的面積概念發展的困難乃由於單位量概念的不全所造 成，而體積概念發展也深受面積概念發展所影響。 從以上的研究中不難發現，學童在學習上有各種的錯誤類型，所需要的 補救教學也不盡相同。因此，為實現把每一個學生都帶上來的教育理想，對 學生進行學習診斷並依此進行個別化的補救教學刻不容緩。 電腦化適性測驗具有題庫易於編修與管理、施測介面可具聲光效果，較 接近真實情境、即時閱卷，立即提供老師及學生施測結果等優勢，測驗時可 以依據每位學生不同作答狀態，給予不同試題數及試題序，能節省施測題 數、縮短測驗時間，符合「因材施測」的原則。（郭伯臣，2004）

一般而言，電腦化適性測驗（computerized adaptive testing，簡稱 CAT）可分為二大類：一類是以試題反應理論（item response theory, IRT） 為基礎(Wainer, 2000)，另一類則是以知識或試題結構為基礎（Brown & Burton, 1978; Wenger, 1987;VanLehn, 1988; Appleby, Samuels, Treasure -Jones, 1997; Chang, Liu & Chen, 1998)。以試題反應理論為基礎的電腦 化適性測驗，施測後，受試者成績為一「能力值」(ability) 或「量尺分數」 (scale score)，較適合用於教育資源分配情境，例如：基本學力測驗、大 學入學測驗等。若使用該分數來診斷學生錯誤概念，並不十分恰當，因為學 生的錯誤類型相對於量尺分數並不具順序性或呈現線性排列，即並非所有學 生皆會隨著分數增加，先出現錯誤類型 1，而後出現錯誤類型 2，因此很難 將錯誤類型與分數進行對應；此外，兩個具有同一分數的人，其錯誤概念未 必相同，故使用以 IRT 為基礎的電腦適性測驗來進行學習診斷，所提供的訊 息並不適用於錯誤類型診斷。 數學領域是屬於比較有系統性、邏輯性的知識內容，適合分析其知識結 構 (陳怡如 & 陳雁芳，2004) 。郭伯臣（2003，2004）的國科會專題研究

及試題結構為基礎，發展具有診斷學生錯誤概念的電腦化適性測驗，此一適 性測驗系統異於其它電腦測驗系統之處為： 一、根據學生學習後之知識（試題）結構設計適性施測流程，可依不同 受試者的作答情形而給予適當的試題，藉此節省大量的試題、縮短測驗時 間，並可對學生的剖面圖得到精確的估計。 二、根據學生的作答情形診斷出學生在數學科學習上的困難問題，對學 生進行有利於電腦補救教學之分類，並即時進行補救教學。 張樹枝（2005）在「以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫 補救教學之應用─以國小數學領域三年級量與實測為例」中指出國小三年級 學生在量與實測能力的電腦適性測驗有節省試題的效果，經過電腦動畫補救 教學後，學生的平均分數有很大的進步，達到顯著差異，但因限於時間與能 力有限，希望未來可建立數學領域一至九年級能力指標題庫，擴大應用層 面，增加系統的實用性。因此，研究者擬根據九年一貫課程的「五年級量與 實測」能力指標建立題庫及電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction; CAI)，使用郭伯臣教授所建置的電腦化適性測驗系統，以評估學生的學習成 就，並根據測驗結果，診斷學生之學習困難，以進行補救教學。

第二節 研究目的

基於上述研究動機，本研究的主要目的有下列四點： 一、建置五年級數學領域量與實測能力指標的電腦化適性測驗及適性補救教 學模組。 二、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準 度。 三、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效。 四、使用所建立的電腦適性測驗評估國小五年級學生在量與實測能力指標方 面的學習成效。

第三節 名詞定義

本研究的主要目的在於建立一套以國小五年級數學領域「量與實測」能 力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦 補救教學動畫系統，診斷出學生能力指標的學習成效，及評估電腦補救教學 之成效，為了便於討論及分析，故使用一些專有名詞，在此特予以界定以免 產生混淆，茲說明如下： 一、專家知識結構 專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析施測範圍內所需具 備的概念，再根據學生的學習歷程、概念發展順序及其概念間上下位關係整 理而成的結構關係。 二、電腦化適性診斷測驗 本研究所指的電腦化適性診斷測驗（Computerized Adaptive Diagnostic Testing）是以知識結構為基礎的電腦適性測驗，與傳統電腦化 測驗有很大的不同。首先進行施測時，它是選取最上位概念的題目予以作

將選取其答錯題目的下位概念的題目。透過這樣的選題方式，快速而精確的 進行適性診斷，找出學生的學習困難，進行補救教學。 三、電腦適性補救教學 補救教學是指當學生學習遇到問題時，依其個別需求，施予適當的課業 輔導，以彌補正規教學之不足。在電腦的環境下，利用聲光影音等的活潑互 動方式，輔助使用者在特定領域上進行學習，謂之電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction;CAI）。本研究中，結合補救教學及電腦輔助教學成 為電腦化補救教學。

第四節 研究限制

一、研究範圍： 數學領域五年級能力指標分為數與計算、代數、量與實測、幾何與統計 等，共計 35 個指標，因範圍太大，因此共有 5 位研究者共同完成，本研究 範圍只限於量與實測。 二、研究樣本： 本研究為考慮試卷蒐集及電腦施測的完整性和便利性，紙筆測驗的研究 對象直接由研究團隊服務的學校，選取 11 班為研究樣本；電腦施測研究對 象由研究者服務的學校（南投縣）和鄰近的學校，選取四班為研究樣本。由 於研究對象的限制，因此研究結果不宜做過度的推論。 三、研究工具： 為了使電腦閱卷計分正確和快速，紙筆測驗試題和電腦施測試題採選擇 題的方式出題。時間因素，因此電腦適性診斷測驗需要求受試者於五年級能 力指標學習完後，進行施測，否則即失去其研究意義。

第二章 文獻探討

本研究的主要目的在於建立一套以國小五年級數學領域「量與實測」能 力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦 補救教學動畫系統，診斷出學生能力指標的學習成效，及評估電腦補救教學 之成效。本章針對研究主題，將探討：第一節說明九年一貫數學領域量與實 測概念，第二節說明數學能力指標如何試題化，第三節闡述以知識或試題結 構為基礎之電腦診斷測驗，第四節闡述多點記分試題順序結構理論。

第一節 九年一貫數學領域量與實測概念

本節將針對量與實測教材架構、五年級量與實測能力指標的說明、九年 一貫數學能力指標的詮釋、與量與實測迷思概念的相關研究進行探討，以對 本研究設計試題與補教教材有所幫助。 壹、九年一貫課程暫行綱要量與實測的教材架構和能力指標 九年一貫在量與實測下，列了長度、重量、容量、時間、面積、體積、角度 等日常生活中常用的七種量，相較於82年之課程標準，少了貨幣和速度兩種 量，鐘靜（2001）按照感官量和工具量的特性來談九年一貫之量與實測教材 架構： （一）感官量部份 長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種 量，兒童對這些量（除了時間）概念的認知發展形成都要經歷下 列五個階段（教育部，2001）才算完整： 1.初步概念：透過感官感覺一個量；能對兩個同類量作直接比較； 能以整體、合成複製的方式複製一個量；利用刻度尺描述一個 量。 2.間接比較：對無法直接比較的兩個同類量，透過複製一個媒介 量，利用此媒介量與另一量進行直接比較，並把比較的結果推

論成原兩量比較的結果（含量的保留概念、量的相等、大小的 遞移律）。 3.個別單位：從等量的合成、複製的結果來描述一個量，並進行 比較。能利用普遍單位之描述，對兩個同類量進行加、減、乘、除 運作。認識各類量的基本普遍單位（如長度的米、厘米、千米； 容量的公升、分公升、毫公升、千公升；重量的克、公斤、千公斤； 面積的平方厘米、平方米、百平方米、千平方米；體積的立方 厘米、立方米；角度的角）。 4.單位化聚：將用小單位描述的量，改用大單位來描述，這種運 算叫做『聚』，如12345公尺可聚成12公里345公尺或12.345公里， 反之則叫做『化』，如1.65公斤可化成1650公克。化聚依其運算的 複雜程度可分為初步、整數及小數化聚，初步化聚係指高階單位 的整數倍與低階單位間的化聚，整數化聚係指含高階單位與複 名數與低階單位間的化聚（鐘靜、朱建正、林素微、魯炳寰， 2000）。 5.公式化的概念（只有面積和體積有此階段）：只有面積和體積兩 量有此層次，此層次的要點是用公式來描述一個特定的幾何形 體的體積和面積量。此層次包活3個階段，以面積為例說明如 下：（1）利用乘法簡化點算的過程（一個長方形被多少個小正 方單位所覆蓋？）（2）將平行四邊形、三角形、梯形切割重組 成長方形而求算其面積（此處包含進一步將多邊形切割成幾個 三角形，求算這些三角形面積後，算出其和）。（3）將在（1） 和（2）求算面積的過程中，以公式描述並將這些公式整合成一 個概念。（在此整合概念中，梯形是一般形，三角形可視為上 底為0的梯形，而長方形、平行四邊形則可視為上下底等長的梯 形，在這種看法下，上述各形的公式，其實是互通的。）（朱 建正、鐘靜、呂玉英、胡鈺麟，2000）。

工具量的代表，在小學階段就是時間教材，其教材架構可以分 為四個層次（鐘靜、魯炳寰、林素微，2001）： 1.比對刻度觀點：以兩針所指的刻度，直接報讀幾時幾分。 2.建立相對量感：九時到十時的刻度變化，配合生活事件，認 識一時的量感。 3.建立等相對量感：經歷相同事件，都是從九時到十時，用小 時計算是一小時，用分鐘計算是60分鐘，進而引發二階單位 間的關係。 4.時間的計算與應用：時間（量）的加、減、乘、除法問題，二 時刻與時間（量）的問題。 九年一貫暫行綱要和82年課程標準對量與實測之教材架構設計，大體 上是一致的。若將九年一貫暫行綱要在感官量部分提出之能力指標配上教 材架構，如表2-2-1，在工具量部分提出之能力指標配上教材架構，如表2-2-2 （鐘靜，2001）。

表2-1:量與實測（感官量）能力指標與教材架構 能力指標 教材架構 N-1-9能透過感官活動感覺一個量，並能對兩個同類量作 直接比較，進而對一個量作複製活動(量：長度、容量、 重量、角度、面積、體積)。 1.初步概念 一 ｜ 三 年 級 N-1-10能使用生活中常用的測量工具(刻度尺的方式，即 不涉及其結構)，以一階普遍單位描述一個量(量：長度、 容量、重量、角度、面積、體積；普遍單位：米、厘米、 分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米)。 1.初步概念 3.個別單位 N-2-9能在保留概念形成後，進行兩個同類量的間接比較 (利用完整複製)及個別單位的比較(利用等量合成的複製) (量：長度、容量、重量、角度、面積、體積)。 2.間接比較 3.個別單位 N-2-10能認識各種量的普遍單位，應用在生活中的實測和 估測活動，並培養出量感(普遍單位：千米、毫米、公升、 毫公升、時、分、秒)。 3.個別單位 N-2-11能理解生活中，各種量的測量工具上刻度間的結 構，進而對以同單位表達的量作形式計算。 N-2-12能知道同類量中二階段單位之間的關係及使用二 階單位作描述，並利用此關係作整數化聚。 4.單位化聚 四 ｜ 五 年 級 N-2-13能以個別單位的方式(利用等物合成複製後)描述面 積、體積，並能用乘法簡化長方形面積、長方體體積之點 算。 5.公式化的概念 （1）利用乘法簡化 點算的過程 N-3-9能理解同類量中不同單位間的關係，並作化聚活動 (可以有分數、小數)。 4.單位化聚 N-3-10認識生活中使用的大的測量單位，如：千公斤(公 噸)、千公升(公秉)、百平方米(公畝)、千平方米(公頃)。 3.個別單位 N-3-11能以切割後，重新拼湊組合的方式(幾何部份要配 合)，將平行四邊形、三角形和梯形，變形成長方形而計 算其面積，形成面積之計算公式。 5.公式化的概念 （2）變形為長方 形，求算面積（3） 以公式描述 N-3-12能對非直線形的平面區域，選定適當的正方形單 位，估計其概略面積，並檢驗圓面積公式。 5.公式化的概念 （1）利用乘法簡化 點算的過程 N-3-13能理解容量和容積(體積)之間的關係，並利用此關 係計算大容器(如游泳池)之容量。 六 ｜ 七 年 級 N-3-14能將各種柱體，變形成長方柱而計算其體積，形成 柱體之體積計算公式。 5.公式化的概念 （2）變形為長方 形，求算面積（3） 以公式描述

表2-2:量與實測（工具量）能力指標與教材架構 能力指標 教材架構 N-1-11能區分幾個事件發生的先後順序。 比對刻度觀點 N-1-12能報讀鐘面上的幾點、幾點半以及數字鐘上的時 刻，以便溝通。 比對刻度觀點 一 ｜ 三 年 N-1-13能透過查月曆報讀幾月幾日星期幾，並知道一年有 12個月及各月之日數。 比對刻度觀點 N-2-8能報讀(鐘面上的)時刻以及點算兩時刻間的時間；能 理解24時制並應用在生活中。 比對刻度觀點 建立相對量感 N-2-10能認識各種量的普遍單位，應用在生活中的實測和 估測活動，並培養出量感(普遍單位：千米、毫米、公升、 毫公升、時、分、秒)。 建立相對量感 四 ｜ 五 年 級 N-2-12能知道同類量中二階段單位之間的關係及使用二 階單位作描述，並利用此關係作整數化聚。 建立等相對量感 N-3-9能理解同類量中不同單位間的關係，並作化聚活動 (可以有分數、小數)。 建立等相對量感 六 ｜ 七 年 計算與應用 教育部於92年公佈的綱要中對於時間以外六種量的學習，說明大致要經歷 如下四個階段（教育部，2003 ）： （一）初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類 量做直接比較，最後是量的複製，這是下一階段的前置經驗，另外， 也包括利用測量工具之刻度直接描述一量。量的複製包括整體複 製、合成複製和等量合成複製。 （二）間接比較與個別單位：對於無法直接比較的兩同類量，能透過媒介 量，分別做直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較（涉及量 的保留概念和量的遞移率）。能做間接比較，便能使用個別單位做 測量。依皮亞傑的實驗結果知道，未擁有某類量之保留概念的兒童， 對此類量不能做間接比較。

（三）常用單位的約定：認識某類量的常用單位，並能運用此單位，做量 的比較、加、減、乘、除。 （四）常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測 量結果。然後再學習使用單位的約定，來進行換算。例： 1200公尺=1公里200公尺=1.2公里。 在以上的教材架構下，92年綱要在第二階段提出的能力指標如下： N-2-15 能認識量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量時，做不同單位間的換 算。 N-2-17 能理解長方形面積、周長與長方形體積的公式。（S-2-07） N-2-18 能理解容量、容積和體積間的關係。 N-2-19 能利用切割重組，理解三角形、平行四邊行與梯形的面積公式。 （S-2-08） 貳、五年級量與實測能力指標的說明 為了使出題的方向能切合五年級量與實測能力指標的內涵，此部份將說明五 年級量與實測能力指標之內容以及能力指標相關的數學概念。 一、根據教育部（2003）所公佈的九年一貫五年級量與實測能力指標之內容如表 2-3 所示： 表 2-3 九年一貫數學領域五年級量與實測能力指標（引自教育部，2003) 分年細 目編號 內 容 說 明 主題階 段編號 5-n-14 能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關 係，並作相關計算。 N-2-15 N-2-16

表 2-3 九年一貫數學領域五年級量與實測能力指標（引自教育部，2003) (續) 5-n-15 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其 關係，並作相關計算。 N-2-15 N-2-16 5-n-16 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的 面積公式。 N-2-19 S-2-08 5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方 公尺」間的關係，並作相關計算。 N-2-15 N-2-16 5-n-18 能理解長方體和正方體的體積公式。 N-2-17 S-2-07 5-n-19 能理解容量、容積和體積間的關係。 N-2-18 二、與五年級量與實測能力指標相關的數學概念經整理學者觀點綜述如下（教育 部，2003；朱建正，2000）： (一) 1 公噸＝1000 公斤。 (二) 1 公畝＝100 平方公尺。1 公頃＝100 公畝。1 平方公里＝1000000 平方公 尺。 (三) 三角形面積公式＝(底×高)÷2。 (四) 平行四邊形面積公式＝底×高。 (五) 梯形面積公式＝(上底＋下底)×高÷2。 (六) 1 立方公尺＝1000000 立方公分。 (七) 長方體體積公式＝長×寬×高。 (八) 正方體體積公式＝邊長×邊長×邊長。 (九) 容量、容積與體積均為空間大小的量。一般說來，體積代表實體佔有的 空間，容量、容積代表的是實體內可負載的量。 (十) 體積：物體所佔空間的大小。

(十一) 容積：某一具有確定三度空間的周界內的空間大小，通常此空間有容 納物質可以隨時存取的功能。換言之，容積是指容器內部空間的大小， 其概念是體積概念。 (十二) 液量：指容器內液體的量。 (十三) 容量：指容器可裝載的最大液量。 參、量與實測迷思概念的研究 一、王選發（2003）指出在測量圖形面積時普遍有下列的迷思概念： (一)在提供單位方格的情境，對於單位個數的點數與合成，部分學生會將圖形 未滿一格的部分，不論大小一律視為半格來計算。也有不少學生未能掌 握所給單位量的大小，將每一單位方格均視為 1 平方公分來計算面積。 (二)自訂單位量切割圖形以比較面積大小時，部分學生在切割單位量時，忽略 要選取相同的單位量，而僅以切割的單位數來比較。 (三)利用單位方瓦去覆蓋圖形時，僅以一維的角度(以圖形間邊長的關係)去思 考面積的變化，誤認為當單位量的邊長縮小一半，覆蓋相同面積所需的 單位數會變成兩倍。 (四)對於以圖像呈現給定單位量之間的關係，部分學生在單位量轉換時會受到 形狀所干擾，而無法僅從單位量的大小來考量。在單位的化聚問題上， 不少學生會誤認面積單位關係為長度單位關係，產生 1 平方公尺等於 100 平方公分的迷思。 (五)學生在比較兩等積異形圖形大小時，容易受主觀視覺的影響。例如：對於 同底等高的三角形，會認為兩腰的邊長較長的三角形面積較大。 (六)學生對面積公式的來源及意義瞭解不夠，常以記憶公式來解決面積問題， 而造成公式的誤用。又若提供多餘資訊，則學生在應用上更加困難。

(七)學生普遍有兩圖形「面積相等，周長也會一樣」的迷思；同時有不少學生 會混淆長方形的周長與面積概念，誤將面積當成周長。 (八)學生在畫高時，誤以為圖形的底邊一定要在水平線上，畫出來的『高』一 定要在鉛直線上或圖形內部。 二、張淑怡（2004）探討接受八十二年版國小課程標準所設計之教材的國小五年 級學童，對於容量概念的瞭解情形及所呈現的迷思概念。採調查研究法，藉由紙 筆測驗、實作及訪談活動蒐集研究資料，以台中縣兩所國小之五年級306人為筆 試樣本，並從中選取樣本進行晤談及實測與估測的實作活動。研究結果有如下五 點： (一)在容量的初步概念部分，國小五年級學童已具備直觀比較之能力，且能瞭 解容器的容量及容器中所盛液量兩者的定義與差異，但對於容器的概念， 尚有約八成的學生概念不清楚。 (二)在容器的保留概念部分，國小五年級尚有25﹪的學童不具備穩固的容量 保留概念，缺乏相互間的邏輯運思能力。 (三)在容器的測量概念部分，國小五年級學童已能掌握普遍單位間的大小關 係，且具備經由點數及合成求得容量大小的能力，但缺乏單位換算的能 力。 (四)在容量的估測概念部分，國小五年級尚有35﹪的學童量感不足，而估測 策略除憑藉量感外，多以「單位」作為判斷標準。 三、朱玉如（2003）針對台北市國小六年級學童進行抽測並實施紙筆測驗的結果， 發現面積估測、面積二階單位整數化聚的表現只有四成左右的學童能達成。

第二節 數學能力指標試題化

「能力」是抽象的概念，其內涵究竟為何，不易取得共識，因而用另一個較 可測量或可觀察的指標來指出或表徵該現象（洪瑞鎂，2001)。所以「能力指標」 係指把學生所應具備的能力項目，轉化為可以觀察評量的具體數據，藉以反映學 生的學習表現（楊思偉，1999)。當研究者想知道研究對象在各能力指標的表現 情形，則必須設計能適切反應該能力指標的試題，藉由受試者在試題上的表現， 推論其是否具備該能力指標所指的能力。 在國內，有關「能力指標試題化」這方面的研究並不多。鄭蕙如（2001）所 發展的「九年一貫課程數學領域評鑑工具」，參考 NAEP、TIMSS 在數學內容領 域及認知層次的架構，以及Bloom的認知領域教育目標分類，針對九年一課程數 學領域三、四階段之分段能力指標編製適切指標的試題，以評鑑課程目標建立之 適切性。 教育部（2004）所編「國民中小學九年一貫課程學習成就評量指標與方法手 冊」中將能力指標分為：教育目標型、表現水準型、教學活動型及發展目標型。 而以教育目標型分段能力指標為主，表現水準型分段能力指標為輔，做為解讀的 基礎。解讀方式則採用 Anderson & Krathwohl(2001）所修訂 Bloom 教育目標 分類。此一修訂版教育目標分類，採雙向度分類教育目標，將教育目標解讀，區 分其認知歷程向度與知識向度，其內容如表2-4所示：

表2-4 新修訂 Bloom 認知領域分類（引自教育部，2004) 認知歷程向度 知識向度 記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造 事實知識 概念知識 程序知識 後設認知知識 其評量方法採多元方式，教師可以再分段能力指標解讀之後，根據分段能力 指標之實質內涵，選擇適用之評量方法，甚至教學方法，例如：記憶認知選擇式 反應測驗題；能力，可約略區分為三類：1.選擇式反應測驗題、2.建構式反應測 驗題、3.實作評量。其中1.選擇式反應測驗題又可區分為：選擇題、是非題、配 合題。2.建構式反應測驗題又可區分為：填充題、限制反應題、擴展反應題。3. 實作評量又可區分為：口語、展演、書面、視覺、學習檔案等項。其中選擇式反 應測驗題之選擇題說明如下： 選擇題的結構包括兩個部分：題幹和選項。題幹呈現問題，敘寫方式有兩種： 一是採用直接問句，另一種是採用不完全敘述句。一般來說，直接問句題幹敘述 可能較長，但題意比較清晰。題幹之後通常有三到五個選項，其中包括一個正確 或最佳答案（指單選題而言，若為多選題或複選題，則正確答案可能不只一個）， 和數個誘答選項，誘答選項的設計應具似真性或合理性，以吸引一知半解的學生 選擇，並提醒所有學生謹慎思考和判斷。 選擇題有以下幾項優點：（1）可以測量不同層次的學習結果，適用於各種 不同的學科，也是題組（即解釋式問題）最常使用的題型；此外，結合影音媒材， 可以測量學生聆聽能力、情境觀察能力等生活技能，因此，選擇題成為最普遍使 用的評量方式。（2）和是非題相比，其題意較清楚明確，受到猜測因素和學生

反應心向的影響較小；此外，選擇題之誘答選項經過精心設計，可以提供有價值 之診斷訊息，了解學生錯誤所在。（3）和開放式問題與實作評量相比，其計分 容易、客觀、可靠，若採電腦閱卷計分則更正確和快速，除此，其試題取樣範圍 也更廣泛和具代表性，換言之，在技術面，選擇題有較高的信度和較佳的內容效 度。 選擇題有以下幾項限制：（1）編製具有誘答力的誘答選項並非容易的事， 若誘答編製不佳，不但喪失誘答功能，甚至成為學生答題的線索。（2）和開放 式問題相比，選擇題較無法測量到學生書寫表達、統整和組織的能力；和實作評 量相比，選擇題無法測量到「做」的能力。（3）和建構式反應題（如填充題和 開放式問題）相比，選擇題較容易受猜測因素影響。 「數學領域能力指標測驗題庫之建置」（陳雁芳，黃美芳，郭伯臣，許天維， 2004）中，根據新修訂 Bloom 認知領域分類及 NAEP 評量架構的向度來解讀能力 指標分年細目的內涵，並確認內涵中所包含的概念數，針對個別概念編製試題。 編製完成後，由數位目前任教於國小之合格教師審題，判斷試題是否符合能力指 標分年細目內涵，是否符合一般試題編製原則，將能力指標轉化為試題形式，透 過試題使能力指標變得可測量。 綜合上述，若欲得知受試者在各能力指標的表現情形，可藉由適切指標之試 題的施測結果以達目的。但每個指標可能包含一個以上的數學概念，為了要使試 題能適配於指標，因此每個指標將對應一至數個試題。本研究以五年級數學領域 量與實測為例，有6個能力指標，71個數學概念，每個概念2題試題，共計142題。

第三節 以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗

想要發展一套以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗及動畫補救教學，必須 先了解以知識或試題結構為基礎的電腦診斷測驗，才能有效掌握其要項，故本節 將探討 Diagnosys、應用試題順序結構之電腦化適性測驗。

壹、Diagnosys

Diagnosys（Appleby, Samuels,＆ Treasure-Jones, 1997）是一套以知識 結構為基礎的電腦診斷測驗，用來診斷基礎的數學技能，期能提供學生一個立即 的成績回饋，同時也可快速地提供給教師學生的知識結構，用以選擇、分組和識 別概念不清的學生，以及學生群體中普遍的錯誤概念。此系統最初是為了大學工 科學生入學而發展，但是也可以廣泛的用於其他學生群，以及其它教育制度。 系統發展者先分析系統需求，歸納如下： 一、測驗應該在一個小時之內準確的評鑑出一個學生的數學知識。 二、應該立即根據學生答題表現給予回饋，主要以學生不熟悉的概念為主。 三、應該快速地提供教師個別學生和學生群體的摘要資料，主要用以分辨概念不 清的學生，以及學生群體普遍的弱點。 四、應該要適用於大學入學學生。 另外，在系統架構確認之前，也做了以下幾項基礎設計的決定。 一、決定使用概念方式來確認不同領域的知識。 二、概念被依序組織成階層狀，專家系統就能以之前回答的答案推論出學生的知 識結構，然後選擇下一個最合適的題目，這樣的設計能針對不同能力的群組 減少所需施測的試題數。 三、決定使用一個數學工具介面，以及各種不同型態的試題，其目的是為了鼓勵 學生思考問題然後產生答案，而不是用猜的。

四、指定概念的階層提供一個簡易的學生側面圖，用以挑出初始的題目。 五、學生的反應資料將會保留用來改進系統和教育發展。 根據以上的需求和基礎設計的決定，該系統包含下列幾個主要的部份： 一、概念網路：指明概念、指定概念的階層、定義概念之間的連結。 二、問題設計：設計題目、定義題目的表達方式、選擇答題的型態。 三、測驗介面：整個測驗管理系統的發展，包括介面的設計、答案的評估，提供 學生回饋。 四、專家系統：產生最初的學生概況側面圖，從學生的答案做出推論，選擇下一 個題目。 五、數學工具介面：數學答案的語法分析，以及各種不同評估準則的應用。 六、工具程式：產生各別技能的學生成績和群組成績的回饋給教師。 七、補充材料：根據測驗的施測問題及概念的內容給予施測結果的報告。 Diagnosys 系統使用概念方式來確認不同領域的知識。首先分析測驗之概 念，將概念分類，每一類別之概念代表不同階層，每一題目只測驗單一概念，每 一概念都要有充分數量的試題來測驗。為了鼓勵學生思考問題並解出答案，減少 猜題機會，題目的表達方式十分多元化，如應用題或選擇題皆有，答題的型態亦 有多種選擇，如文字或圖形。 為了節省試題，需應用知識結構的技巧。因此，該系統設計時同時採用了專 家知識結構和學生的知識結構分析法，如此可以分兩階段節省試題。學生結構的 擷取乃透過專家知識結構編製的紙筆測驗進行預測，並根據下列的方式建構出來 的。 假設兩題試題

A

與

B

間的次數分配如表 2-5 所示，其中 fAB表示答對試題

A

且答對試題

B

的人數；f_AB表示答錯試題

A

且答對試題

B

的人數；f_AB表示答對試 題

A

且答錯試題

B

的人數； f_AB表示答錯試題

A

且答錯試題

B

的人數。

如果 B A B A f f >> ，則視試題

A

為試題

B

之下位試題（或概念），即如果正確作答 試題

B

，則必能正確作答試題

A

，反之則不一定成立。此種情形於本研究中標示 成

A

→

B

，如果fAB + f_AB >> f_AB + f_AB，則試題

A

與試題

B

，兩者可視為等價，於 本研究中標示成

A

↔

B

，Diagnosys 藉由將試題（概念）結構引入電腦測驗中來達 到適性的效果，並縮短施測時間，但此一建立結構之方法並非操作型定義，且文 中並未提及此方法之具體成效或數據。 表 2-5 試題A、B次數分配表 試題 B對 試題B錯 試題 A對 f_AB fAB 試題 A錯 fAB fAB Diagnosys 在設計上有其優點：利用階層性編製試題可以分二階段節省試 題，第一階段是利用專家結構，第二階段是利用學生結構來節省試題。其缺點是： 一、只提供知識結構，並不提供對教學有用的分群訊息。 二、Diagnosys 用來決定學生知識結構的理論並不完善，例如：決定試題順序的 臨界值的選取是根據經驗法則而來的，而且對於遞移性和等價性的定義並不 理想。 三、作答反應與知識結構的對應是決定性的，學生答對即代表具有某概念，答錯 則不具備某概念，無法真實反應學生作答行為的不確定性。 貳、應用試題順序結構之電腦化適性測驗

為改進 Diagnosys 不足之處，「國小數學科電腦化適性診斷測驗（I）（II）」

應理論結合來分析學生知識結構，並分別使用專家知識結構與學生知識結構來建 立電腦化適性診斷測驗，以節省施測的題數並預估學生的側面圖，用來診斷國小 學童的數學能力，期能提供學童一個適性測驗、立即的成績回饋與補救教學的建 議，用以協助學童學會正確且完整的數學概念。茲分述如下：

一、試題順序結構理論與試題關聯結構分析法

Airasian & Bart (1973）的「順序理論」(ordering theory, OT）及 Takaya (1991) 的「試題關聯結構法」(item relationship structure analysis, IRS) 是常用來定義試題間結構的方法。茲將此二理論敘述於下： 令X表示一個包含

n

個二元試題成績隨機變數的隨機向量，每一位受試者作 答

n

題後，得到一個 0 與 1 的隨機向量X可表示成(X₁,X₂,_L,X_n)，試題

j

跟

k

的 聯合與邊際機率可以如表 2-6 所示。 表 2-6 試題

j

與試題

k

之聯合與邊際機率 試題

k

1 = k X X_k =0 Total 1 j X = P X( _j=1,X_k=1) P X( _j=1,X_k=0) P X( _j=1) 0 j X = P X( _j=0,X_k=1) P X( j=0,Xk =0) P X( j=0) 試題

j

Total P X( _k=1) P X( _k =0) 1 在順序理論 OT 中，令ε*jk=P(Xj =0,Xk=1)表違反試題

j

為試題

k

之下位試題之 機率，當ε* <ε jk 時，其中ε為一閾值（threshold)，常設定介於 0.02 及 0.04 間 （0.02≤ε ≤0.04），則設定試題

j

為試題

k

之下位試題，記錄成X_j →X_k。

Takeya(1991）發現經由 OT 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些 情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法，希望透過另一種測量試題順序結 構之係數 * jk r 來定義試題到試題

k

之間的順序關係，以修正 OT 之不足，r_jk*的定義 為： ) 1 ( ) 0 ( ) 1 , 0 ( 1 * = = = = − = k j k j jk X P X P X X P r 若r_jk* ≥r，則設定試題

j

為試題

k

之下位試題，記錄為X_j →X_k，其中r為一 閾值(threshold)，常設定為 0.5。在 OT 及 IRS 中，若Xj →Xk且Xk →Xj，則兩 者的關係可以表示成Xj ↔ Xk，而且這樣表示試題

j

與試題

k

是等價的。 二、電腦化適性診斷測驗之知識結構 該研究根據專家知識結構或學生的試題結構中各相關概念間之上下位次序 關係，以減少施測題數。即如假設有一專家（教材）知識結構如圖 2-1 所示，在 紙筆診斷測驗中需施測圖中概念 A-I 所有試題，以瞭解學生學習之良窳，但在該 研究之電腦化適性診斷測驗中，如受試者答錯概念 A 的試題，則需進一步測量概 念 B、C 及其下位概念，以瞭解學生之迷思概念為何；如概念 B 對且概念 C 錯， 則在電腦化適性診斷測驗中僅需再施測概念 F、G、H、I 之試題，因此可節省概 念 D、E 之試題。 圖 2-1 專家知識結構 A B C D E F G H I

三、電腦化適性診斷測驗系統 此電腦化適性診斷測驗系統包含四個子系統：1.多媒體題庫系統、2.適性測 驗系統、3.補救教學分類系統、4.輔助學習模組，系統主要架構如圖 2-2 所示， 希望透過此系統能將學生課堂後的評量與補救學習數位化及網路化，藉此達到 「因材施測」及「因材施教」。 圖 2-2 電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程 此系統，適性測驗的部分，是由第一個子系統提供資訊，根據學生的作答給 予下一題來進行電腦測驗。 上述系統除了具有 Diagnosys 的優點之外，其主要優勢在於分析學生知識結 構的方法具有較完善的數學理論基礎，並且提供有利於補較教學的分群。 綜而言之，早期這些方法主要是以紙筆測驗的結果來進行試題結構之估計， 強調可提供除了試題通過率與鑑別度外的訊息，常用於比較使用不同教學法或教 2. 適性測驗系統 學生學習剖面圖 3. 補救教學分類系統 概念 1 概念 2 概念 n 4.輔助學習模組 1 學生 1.多媒體題庫 系統 4.輔助學習模組 2 4.輔助學習模組 n

………

……

材版本，是否造成學生知識結構不同，於先前的研究中已有開發相關測驗分析軟 體及以此種試題順序結構為基礎之網路適性評量（郭伯臣，2003，2004；郭伯臣、 何政翰，2004；Kuo, Liu, Sheu, Pai, Ko, Yang & Lin, 2004），而前述的研究 中使用四種方法來建立結構，並評估所建立結構之成效，四種方法分別為：專家 知識結構、Diagnosys、OT 和 IRS 試題結構，得到下列三個結論： （一）使用專家結構之電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生試題 結構之電腦適性測驗演算法，由於可藉由閾值控制結構，因此可獲得較令 人滿意的預測精準度。 （二）Diagnosys 演算法需要更多樣本來達到令人滿意的預測精確度，適性測驗 速度也比較慢。 （三）OT 的演算法與其他演算法比起來，其對樣本大小較不敏感，因此就以試題 順序結構為基礎的適性測驗來說，OT 似乎是一個較好的選擇。 因此，利用知識結構分析數學教材將能以更組織化、階層性的方式將概念的 意義呈現出來。因此，若能建立數學能力指標的知識結構，將使得教師在準備課 程時，能順利的掌握課程內容的邏輯性、完整性，在教導學生時能減少遺漏能力 指標數學概念的疏失，進而也能加快探索學生錯誤概念的速度，迅速提供學生適 宜的補救教學內容。

第四節 多點記分試題順序結構理論

將數學領域能力指標試題化後，可發現大部分的能力指標需要使用許多試題 來加以測量，我們可將各個測量能力指標之試題視為一個多點記分之題組（每個 題組記分與題數可能不同），如果要描寫能力指標之間的順序性，則需要使用多 點記分之順序性係數，上述之二元記分順序性係數在此不能使用。 目前並無相關文獻討論「以多點記分試題結構為基礎之適性測驗選題策

略」，僅有一些文獻討論如何估計多點記分試題之順序結構，主要用於比較使用 不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，或者問卷類型的資料分析。

「態度問題關聯結構分析法」原稱「語意結構（Semantic structure）分析 法」，簡稱 SS 分析法，是日本心理計量學者竹谷誠於 1987 年所倡（Makoto &

Takeya，1999；胡豐榮，2001），此法利用圖形理論（Graph theory），將態度尺

度資料分析出潛在之階層結構，然後再利用該階層結構來解釋態度資料間之關 聯。進行語意結構分析時，上位問題的平均評分高於下位問題，此種記分方式有 別於前述之試題順序結構。竹谷誠將常見之選項數相等之非類別態度尺度資料， 依記分方式之不同分為兩種，劉湘川（2003）稱之為「等級記分資料」、「對稱記 分資料」，竹谷誠分別提出了前二者專有之「問題關聯順序係數」，惟兩種記分資 料間，不能互相通用，且只適用於所有問題選項數均相等時。劉湘川（2003）針 對「等級記分資料」及「對稱記分資料」提出「一階廣義問題關聯順序係數」公 式，不論選項數相等與否、亦不論是否為等級記分、對稱記分或其混合型記分資 料，均一體適用。劉湘川、楊志良（2003）提出較靈敏有效不會高估之「改一級 廣義問題關聯順序係數」，劉湘川、簡茂發（2004）提出具同等功能且訊息量更 多之「s 級廣義問題關聯順序係數」。 根據以上文獻探討，二元記分及多點記分的試題順序結構，皆可用於適性測 驗之選題策略，並節省試題，本研究將結合二元記分及多點記分的試題順序結 構，作為能力指標電腦適性測驗之選題策略，結合兩者之優點，以達到施測最少 題數的目標，主要方法簡述如下： 圖 2-3 為多元記分能力指標結構及二元記分試題結構的結合示意圖。圖中的 長方形節點代表多點記分能力指標節點，其節點之間具有代表能力指標間的階層 關聯性之線段，可依關聯的上下位結構來決定欲進行施測的能力指標數。當學生 在此能力指標的得分超過所設定閾值時，可認定學生通曉上位指標下的所有能力

圓形節點是依能力指標編製的試題，其節點之間的線段，代表二元記分試題之階 層關聯性。當學生答對上位試題時，判定此試題之下位的試題皆答對。可利用試 題間的上下位結構來減少施測的題數。 圖2-3 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構） 本研究將會依據上述步驟所得知最佳二元記分及多點記分結合的試題順序 結構，作為適性測驗選題策略，以節省更多施測題數，縮短施測時間。 能力指標 1 能力指標 3 能力指標 2 能力指標 4

第三章 研究方法與步驟

本章主要在說明以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教 學之應用的研究方法與工具。共分為五節來說明，第一節為「研究流程」、第二 節為「研究對象」、第三節為「研究方法」、第四節為「研究工具」、第五節為「資 料處理與分析」。

第一節 研究流程

本研究採量的研究方式。主要研究目的在建置五年級數學領域量與實測能力 指標的電腦化適性測驗及適性補救教學模組；並驗證電腦適性診斷測驗是否能達 到節省施測題數與達到預測精準度；及檢驗電腦適性補救教學是否具有成效；使 用所建立的電腦適性測驗評估國小五年級學生在量與實測能力指標方面的學習 成效。本研究整個流程如圖 3-1：

分析學生試題結構 依據專家知識結 構設計補救教學 編製紙筆診斷測驗試題 紙筆診斷測驗（預試） 題目輸入題庫系統 補救教學模組測試 系統整合 實施線上測驗 補救教學成效評估 資料分析整理 撰寫研究論文 命題檢核表 通過 不通過 通過 不通過 確定研究主題與目的 文獻收集與探討 建立能力指標之專家知識結構 知識結構檢核表

第二節 研究對象

本研究對象的選取方式如下： 壹、預試樣本 紙筆診斷測驗選取對象為九十三學年度剛升上六年級的學生，包括台中市建 平國小 1 個班級，台中市健行國小 1 個班級，彰化縣洛津國小 1 個班級，彰化縣 伸仁國小 2 個班級，南投縣北投國小 2 個班級，雲林縣立仁國小 2 個班級，雲林 縣尖山國小 1 個班級，台南市學東國小 1 個班級，有效樣本共計 306 人，施測時 間為 93 年 10~11 月。 貳、電腦化適性測驗施測樣本 電腦化適性測驗施測的選取對象為已接受九年一貫數學能力指標中量與實 測教學的國小五年級學生，包括南投縣北投國小 2 個班級，南投縣炎峰國小 2 個 班級，有效樣本共計 109 人，施測時間為 95 年 6 月。

第三節 研究方法

本研究依據研究目的設計研究方法，分述如下： 壹、建置電腦化適性測驗及適性補救教學模組 為達成目的，首先需建立適性測驗題庫，將能力指標試題化。其試題化的方 法則依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），詳 述如下： 1.建立能力指標專家知識結構。首先，依教育部（2003）所訂的九年一貫數 學領域五年級量與實測能力指標，參考相關文獻資料，並根據知識結構編製原

則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，建立知識結構草案。之後，邀請有編 製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師（附錄三)，根據知識結構檢核表，建立 五年級量與實測能力指標的專家知識結構圖。 2.編製診斷測驗之試題。建立專家知識結構後，依此結構編製診斷測驗之試 題。根據命題程序，每一個節點編製兩題試題，並邀請上述國小教師，根據電腦 化適性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，五年級量與實測有 6 個能力指標，71 個 節點，共計 142 題試題。其能力指標試題化流程圖如圖 3-2： 圖 3-2 能力指標試題化流程圖 能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。本測驗結合 五位共同以五年級數學科能力指標的研究者，將數學領域五年級全部的能力指標 試題，編製成 18 份試卷，每份試卷為 23 或 24 題，請九十三學年度剛升上六年 級的學生進行測驗，受試者需在二個月內全部施測完。再將紙筆診斷測驗的結果 按受試者的作答情形及基本資料在電腦上建檔，檔案資料包含學校代號、班別、 能力指標 能力指標參考文獻 知識結構草案 知識結構檢核表 知識結構 編製試題 命題檢核表 能力指標試題化

對正確答案，再依其資料做試題結構之分析：利用二元記分（OT）及多點記分 （Matlab）分析軟體，找出適當的學生能力指標內及能力指標間的試題結構與閾 值，以期二元記分與多元記分整合，建立適當的試題結構，縮短施測時間。 依資料分析結果，檢討與適度修改知識結構及試題，再依專家知識結構與紙 筆測驗結果，由研究者自編九年一貫數學領域量與實測能力指標的補救教學教材 腳本與動畫，利用 FLASH MX 2004 編製各概念之電腦適性補救教學模組，以建置 五年級數學領域量與實測能力指標的電腦化適性診斷測驗。 貳、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準度 為達成目的，本研究利用「電腦適性化測驗系統」（郭伯臣、何政翰，2004）， 將紙筆診斷測驗轉換成線上診斷測驗之後，來探討是否可以用最短的時間測出學 生的能力，將進行下列實驗來檢驗，每個實驗抽樣 4 個班級，做為實驗對象，詳 細步驟說明如下： 實驗步驟： （一）系統使用說明（10 分鐘） （二）線上診斷測驗（50 分鐘） 為達到此一目的，步驟（二）的電腦測驗其試題呈現次序，首先會依照適性 測驗施測流程，進行施測，當每位學生作答完畢後，再將原紙筆測驗中未於前述 適性測驗中出現之試題進行施測，亦即所有學生將會作答原紙筆測驗中所有試 題，如此方可計算其適性診斷測驗結果之成功預測率，獲得電腦化、適性化後真 正能節省試題數。 參、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效

為達成目的，以電腦適性補救教學模組進行實驗補救教學的實驗，根據學生 的錯誤概念進行補救教學，補救教學完再一次進行電腦化適性測驗，以證明補救 教學是有效的。詳細步驟說明如下： 實驗步驟： （一）系統使用說明（10 分鐘） （二）電腦適性化測驗（前測 50 分鐘） （三）電腦適性化補救教學（30 分鐘） （四）電腦適性化測驗（後測 30 分鐘） 本實驗主要目的在於利用前後測的結果，來檢驗「線上適性補救教學」是否 具有成效。如結果是正向的，則未來本系統使用者將可以減少評量時間，改善學 習成效。 肆、使用電腦適性測驗評估國小五年級學童在量與實測能力指標方面的學習成效 為達成目的，利用電腦適性化測驗系統結果，分析學生在各能力指標之通過 率，以評估國小五年級學童在量與實測能力指標方面的學習成效。

第四節 研究工具

為達本研究之目的，所使用的工具：壹、五年級能力指標量與實測的紙筆診 斷測驗；貳、學生試題結構分析軟體；參、電腦化適性診斷測驗；肆、動畫補救 教學，分別說明如下： 壹、五年級能力指標量與實測的紙筆診斷測驗 一、編製試題 將能力指標試題化，其試題化的方法則依據「電腦化適性診斷測驗之研究」

（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），先建立能力指標專家知識結構，再依據能 力指標專家知識結構編製診斷測驗之試題。 能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。本測驗結合 五位共同以五年級數學科能力指標的研究者，將數學領域五年級全部的能力指標 試題，編製成 18 份試卷，每份試卷為 23 或 24 題，請九十三學年度剛升上六年 級的學生進行測驗，受試者需在二個月內全部施測完。試題內容如附錄一。 二、預試 選擇 306 位學生為預試的對象，因預試完資料分析結果，數據在可接受之範 圍內，故本研究預試為一次。 三、試題分析 (一)信度 在信度方面，其紙筆診斷測驗答題狀況的內部一致性α 係數為 0.9715，顯示 其結果良好。 (二)效度 1.內容效度 依教育部（2003）所訂的九年一貫數學領域五年級量與實測能力指標，參考 相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關 係，建立知識結構草案。邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的八位國小教師， 根據知識結構檢核表，建立五年級量與實測能力指標的專家知識結構圖，依此結 構編製診斷測驗之試題，根據命題程序，每一個節點編製兩題試題。 2.專家效度

本研究之紙筆診斷測驗試題完稿後，邀請一位教授及上述八位國小教師，根 據電腦化適性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，均認為試題合宜，故本研究認為 此測驗之專家效度良好，專家名冊請見附錄三。

(三)試題的難度

本研究的難度分析方法是採用通過百分比分析，計算全體的受試者對該試題 答對人數的百分比例，稱之為難度指數（item difficulty index)，若難度指數 愈高，代表該試題愈容易；反之，則代表該試題愈難，通過百分比分析的難度指 數計算公式如下： P=R/N P：難度指數 R：答對的人數 N：受試總人數 本紙筆診斷測驗試題的難度(通過率)值介於 0.19~0.88。 (四)試題的鑑別度 本 研 究 的 紙 筆 診 斷 測 驗 鑑 別 度 是 採 用點 二 系 列 相 關 係 數 ， 其值 介 於 0.0999~0.6877。 貳、學生試題結構分析軟體 一、能力指標內的試題結構：以 OT 訂出適當的閾值，分析二元記分的學生試題 順序結構，設計能力指標內的選題策略。 二、能力指標間的結構：以林文質（2005）之多點記分試題結構為基礎的電腦適 性測驗演算法，分析能力指標間的結構，以期節省更多試題。 參、電腦化適性診斷測驗 將測驗電腦化，利用架設之電腦化適性診斷測驗系統（郭伯臣等，2004）達 到省時省試題的線上測驗。

補救教學依據專家知識結構及參考相關資料，並與指導教授討論後利用 Macromedia Flash MX 2004 製作完成，再邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的 八位國小教師進行專家效度的檢定，皆認為本工具可達到學習目標與補救教學之 成效，故本研究認為此工具之專家效度良好。

第五節 資料處理與分析

本研究的資料處理如下： 一、原始資料處理

本研究在資料的處理上，皆使用 Microsoft Office 2003的 Excel 軟體來 處理原始資料。 二、電腦適性化診斷測驗資料處理 線上診斷測驗後，根據實驗設計所得資料，分析是否達到實驗目的。 三、統計分析 本研究運用 SPSS 10.0 統計套裝軟體對能力指標電腦化適性診斷測驗前 測、後測的成績進行 t 檢定，來分析補救教學實驗的立即成效。

第四章 研究結果

本章將根據研究目的呈現研究的結果。本章共分四節，各節依序為電腦適性 診斷測驗題庫之建置、電腦適性診斷測驗、補救教學之成效、學生在量與實測能 力指標方面的表現程度。

第一節 電腦適性診斷測驗題庫之建置

在本研究中，題庫建置是相當重要的一部分，欲建立適性測驗題庫，需將能 力指標試題化。以下將題庫建置結果詳述如下： 壹、五年級數學領域量與實測能力指標的專家知識結構 依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如等，2004），參考能力指標相關 文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，並 邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師，根據知識結構檢核表檢核，建 立五年級量與實測能力指標的專家知識結構圖，其結構如下： 一、 5-n-14 能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係，並作相關計算。 1 2 3 1-1 2-1 1-1-1,2-1-1 1-1-1-1,2-1-1-1 圖 4-1 能力指標 5-n-14 專家知識結構圖 公噸的量感 1 公噸=1000 公斤 公噸與公斤間的整數換算 公噸與公斤間的小數換算 公噸與公斤間的分數換算 公噸與公斤間的二階小數 換算 公噸與公斤間的二階分數 換算

二、5-n-15 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並作相關計 算。 1 2 3 4 1-1 2-1 3-1 4-1 1-1-1,2-1-1 3-1-1,4-1-1 1 1-1-1-1,2-1-1-1 3-1-1-1,4-1-1-1 5 6 7 8 5-1 6-1 7-1 8-1 5-1-1,6-1-1 7-1-1,8-1-1 5-1-1-1,6-1-1-1 7-1-1-1,8-1-1-1 9 10 11 1 公頃=100 公畝 公畝與公頃間 的整數換算 公畝與公頃間 的分數換算 公畝與公頃間 的小數換算 公畝與公頃間的 二階小數換算 公畝與公頃間的 二階分數換算 1 公畝=100 平方公尺 平方公尺與公畝 間的整數換算 平方公尺與公畝間 的分數換算 平方公尺與公畝間 的小數換算 平方公尺與公畝間 的二階小數換算 平方公尺與公畝間 的二階分數換算 1 平方公里=10000 公畝 公畝與平方公里間 的整數換算 公畝與平方公里間 的分數換算 公畝與平方公里間 的小數換算 公畝與平方公里間 的二階小數換算 公畝與平方公里間 的二階分數換算 1 平方公里=100 公頃 平方公里與公頃間的 整數換算 平方公里與公頃間 的分數換算 平方公里與公頃間 的小數換算 平方公里與公頃間 的二階小數換算 平方公里與公頃間 的二階分數換算 公畝的量感 公頃的量感 平方公里的量感

三、5-n-16 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 1 2 3 1-1,2-1 1-2,3-1 2-2,3-2 1-1-1,2-1-1 1-2-1,3-1-1 2-2-1,3-2-1 1-1-1-1,2-1-1-1 1-2-1-1,3-1-1-1 2-2-1-1,3-2-1-1 1-1-1-2,2-1-1-2 1-2-1-2,3-1-1-2 2-2-1-2,3-2-1-2 4 5 6 圖 4-3 能力指標 5-n-16 專家知識結構圖 切割重組三角形 切割重組平行四邊形 切割重組梯形 三角形面積公式 的中文簡記式 平行四邊形和梯形複 合圖形的面積計算 三角形面積 公式的應用 梯形面積公式 的中文簡記式 三角形和梯形複合 圖形的面積計算 梯形面積 公式的應用 平行四邊形和三角形 複合圖形的面積計算 平行四邊形面 積公式的應用 平行四邊形的高 三角形的高 梯形的高 平行四邊形的底 三角形的底 梯形的底 平行四邊形面積 公式的中文簡記式

四、5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公尺」間的關係， 並作相關計算。 1 2 1-1 2-1 1-1-1,2-1-1 1-1-1-1,2-1-1-1 圖 4-4 能力指標 5-n-17 專家知識結構圖 五、5-n-18 能理解長方體和正方體的體積公式。 1 1-1 1-2 1-1-1 1-2-1 1-1-1-1 1-2-1-1 長方體和正方體複 合圖形的體積計算 長方體體積 公式的應用 正方體體積 公式的應用 正方體的邊長 長方體的高 正方體體積公式 的中文簡記式 長方體體積公式 的中文簡記式 1 立方公尺=1000000 立方公分 立方公尺與立方公分間的 整數換算 立方公尺與立方公分間的 小數換算 立方公尺與立方公分間的 分數換算 立方公尺與立方公分間的 二階小數換算 立方公尺與立方公分間的 二階分數換算

六、5-n-19 能理解容量、容積和體積間的關係。 1 2 1-1 1-2 1-1-1 圖 4-8 能力指標 5-n-19 專家知識結構圖 專家知識結構的用途，在於編製診斷測驗之試題及設計補救教學。 貳、編製診斷測驗之試題 建立知識結構後，依此結構編製診斷測驗之試題。每一個節點編製兩題試 題，並邀請上述國小教師檢核試題。五年級量與實測有 6 個能力指標，71 個節點， 共計 142 題試題（如附錄一）。 參、紙筆診斷測驗 能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。施測對象為 九十三學年度剛升上六年級的學生，有效樣本共計 306 名學生，依其測驗結果分 析如下： 一、試題分析 各試題分析結果如下： 物體的體積和排開的水量 的關係 內部體積 容量與容積的關係 1 毫公升=1 立方公分 內部的體積 ＝容積

表 4-1 試題分析表 節點編號 題號 通過率 刪除此題後 之 α 係數 點二系列相關 1 0.70 0.9711 0.5600 5-n-14~1-1-1-1,2-1-1-1 2 0.58 0.9710 0.6211 1 0.68 0.9712 0.4446 5-n-14~1-1-1,2-1-1 2 0.64 0.9714 0.3665 1 0.62 0.9713 0.4447 5-n-14~1-1 2 0.61 0.9711 0.5789 1 0.75 0.9713 0.4447 5-n-14~1 2 0.52 0.9711 0.5789 1 0.48 0.9713 0.4447 5-n-14~2-1 2 0.36 0.9711 0.5789 1 0.48 0.9713 0.4447 5-n-14~2 2 0.56 0.9711 0.5789 1 0.81 0.9713 0.4447 5-n-14~3 2 0.72 0.9711 0.5789 1 0.47 0.9713 0.3991 5-n-15~1-1-1-1,2-1-1-1 2 0.43 0.9714 0.3511 1 0.47 0.9712 0.5152 5-n-15~1-1-1,2-1-1 2 0.47 0.9711 0.5400 1 0.45 0.9716 0.2252 5-n-15~1-1 2 0.46 0.9713 0.4122 1 0.39 0.9710 0.6545 5-n-15~1 2 0.39 0.9710 0.6289 1 0.48 0.9710 0.6370 5-n-15~2-1 2 0.43 0.9711 0.5834 1 0.47 0.9714 0.3331 5-n-15~2 2 0.44 0.9713 0.4410 1 0.44 0.9713 0.3991 5-n-15~3-1-1-1,4-1-1-1 2 0.59 0.9714 0.3511 1 0.37 0.9712 0.5152 5-n-15~3-1-1,4-1-1 2 0.64 0.9711 0.5400 1 0.38 0.9716 0.2252 5-n-15~3-1 2 0.57 0.9713 0.4122 1 0.41 0.9710 0.6545 5-n-15~3 2 0.38 0.9710 0.6289 1 0.48 0.9710 0.6370 5-n-15~4-1 2 0.50 0.9711 0.5834 1 0.45 0.9714 0.3331 5-n-15~4 2 0.53 0.9713 0.4410 1 0.33 0.9713 0.3991 5-n-15~5-1-1-1,6-1-1-1 2 0.34 0.9714 0.3511 1 0.30 0.9712 0.5152 5-n-15~5-1-1,6-1-1 2 0.34 0.9711 0.5400