菱形（提高）巩固练习

(1)

菱形（提高）巩固练习

【巩固练习】一.选择题 1.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 2. 菱形的周长为高的 8 倍，则它的一组邻角是（） A.30°和 150° B.45°和 135° C.60°和 120° D.80°和 100° 3．已知菱形的周长为 40

cm

，两条对角线的长度比为 3：4，那么两条对角线的长分别为（） A．6

cm

，8

cm

B. 3

cm

，4

cm

C. 12

cm

，16

cm

D. 24

cm

，32

cm

4. （_{2015•青神县一模）如图，在菱形 ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂} 足为_{E，连接 CP，则∠CPB 的度数是（} ） A.108° B.72° C.90° D.100° 5. （2016•枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB 于 H，则 DH 等于（） A． B． C．5 D．4

6. 如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）

A.

3

B.2 C.3 D.

2

(2)

7. （_{2015•江西三模）将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB=3，则 BC 的长}

为．

8．如图，已知菱形 ABCD，其顶点 A、B 在数轴上对应的数分别为－4 和 1，则 BC＝_____.

9．如图，菱形 ABCD 的边长是 2

cm

，E 是 AB 中点，且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为______

cm

2.

10．已知菱形 ABCD 的周长为 20

cm

，且相邻两内角之比是 1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别

是．

11. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC＝8，BD＝6，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝．

12.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC＝12，BD＝16，E 为 AD 中点，点 P 在

x

轴上移动，小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标__________________.

三.解答题

13. （_{2015•建湖县一模）如图，△ABC 中，∠ACB=60°，分别以△ABC 的两边向形外作等边△BCE、等} 边△_{ACF，过 A 作 AM∥FC 交 BC 于点 M，连接 EM．}

(3)

（_{2）△ACB≌△MCE．}

14. （_{2016•安顺）如图，在▱ ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点．} （_{1）求证：△ABE≌△CDF；}

（_{2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．}

15．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足 AE＋CF＝2．

(1)求证：△BDE≌△BCF；

(2)判断△BEF 的形状，并说明理由； (3)设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围．

(4)

【答案与解析】一.选择题 1.【答案】B； 2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的 2 倍，所以一个内角为 30°，另一个内角为 150°. 3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为

6 , 8

k k

.所以有

   

3 k

2



4 k

2



10

2，∴

k 

2

，所以两条对角线的长为 12 ， 16. 4.【答案】B；【解析】连接_{PA，如图所示：} ∵四边形_{ABCD 是菱形，} ∴∠_{ADP=∠CDP= ∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴，} ∴_PA=PC， ∵_{AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，} ∴_PA=PD， ∴PD=PC， ∴∠_{PCD=∠CDP=36°，} ∴∠_{CPB=∠PCD+∠CDP=72°；} 故选：_B． 5.【答案】A. 【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴_{AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，} ∵_{AC=8，DB=6，} ∴_{AO=4，OB=3，∠AOB=90°，} 由勾股定理得：_AB= _=5， ∵_S菱形ABCD= ， ∴ ， ∴_DH= ，故选_A． 6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是

3

和

3 3

2

，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF

(5)

面积＝

2 3

9

3

15

3

2

4

4 





. 二.填空题 7.【答案】．；【解析】∵_{AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO，} 由折叠的性质可知，∠_{ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，} ∴∠_{FCO=∠ECO=∠BCE=30°，}

在Rt△EBC 中，EC=2EB，又 EC=AE， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC= . 8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】

2 3

；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝

3

. 10.【答案】5；

5 3

；

25 3

2

；【解析】菱形一个内角为 60°，边长为 5，所以两条对角线长为 5 和

5 3

，面积为

1 5 5 3

25

3

2  



2

. 11.【答案】

5

12

；【解析】

4 3 12

5

5 AO BO

OH

AB





. 12.【答案】

 

8,0 ,

25 ,0

8 











；【解析】由在菱形 ABCD 中，AC＝12，BD＝16，E 为 AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得 OE 的长，然后分别从①当 OP＝OE 时，②当 OE＝PE 时，③当 OP＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】证明：（_{1）∵△ACF 是等边三角形，} ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF， ∵∠_ACB=60°， ∴∠_{ACB=∠FAC，} ∴_AF∥BC， ∵_AM∥FC， ∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵_{AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，} ∴∠_AMC=60°，又∵∠_ACB=60°， ∴△_{AMC 是等边三角形，}

(6)

∴_AM=MC， ∴四边形_{AMCF 是菱形；} （_{2）∵△BCE 是等边三角形，} ∴_BC=EC，在△_{ABC 和△MEC 中} ∵ ， ∴△_{ABC≌△MEC（SAS）．} 14.【解析】（_{1）证明：∵在▱ ABCD 中，AB=CD，} ∴_{BC=AD，∠ABC=∠CDA．}

又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD， ∴BE=DF． ∴△_{ABE≌△CDF．} （_{2）解：∵四边形 AECF 为菱形时，} ∴_AE=EC．又∵点E 是边 BC 的中点， ∴_{BE=EC，即 BE=AE．} 又_BC=2AB=4， ∴AB= BC=BE， ∴AB=BE=AE，即△ABE 为等边三角形， ▱ _{ABCD 的 BC 边上的高可由勾股定理算得为} ， ∴菱形AECF 的面积为 2 ． 15．【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF ∴AE＝DF，DE＝CF， ∵AB＝BD ∴∠A＝∠ADB＝60° 在△BDE 与△BCF 中

(7)

BD BC

ADB

C

DE CF







 





_



∴△BDE≌△BCF （2）由（1）得 BE＝BF，∠EBD＝∠CBF ∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60° ∴△BEF 是等边三角形 (3)∵