中心对称图形--平行四边形全章复习与巩固（提高）巩固练习

中心对称图形

--平行四边形全章复习与巩固（提高）巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )

A. B. C. D.

2. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ）

A． 平 行 四 边 形 B． 矩 形 C． 菱 形 D． 正 方 形

3. （2014 春•定州市期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点且 AE=CF，在；①BE=DF；

②BE∥DF；③AB=DE；④四边形 EBFD 为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE．这些结论中正确的是（ ）

A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥

4. 如图，在矩形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上的动点,点 R 是 CD 边上的定点。点 E、F 分别是 AP,PR 的中点。

当点 P 在 BC 上从 B 向 C 移动时，下列结论成立的是（ ）

A. 线段 EF 的长逐渐变大；

B. 线段 EF 的长逐渐减小；

C. 线段 EF 的长不改变；

D. 线段 EF 的长不能确定.

5. 如图是一块矩形 ABCD 的场地，长 AB＝102

m

，宽 AD＝51

m

，从 A、B 两处入口的中路宽都为 1

m

，两

小路汇合处路宽为 2

m

，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( )

2

6. 如图，矩形 ABCD 的周长是 20

cm

，以 AB、CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方形 ABEF 和

ADGH 的面积之和 68

cm

2,那么矩形 ABCD 的面积是 ）

A．21

cm

2 B．16

cm

2 C．24

cm

2 D．9

cm

2

7. 正方形内有一点 A，到各边的距离从小到大依次是 1、2、3、4，则正方形的周长是（ ）

Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25

8．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE，将△BCE 绕点 C顺时针方向旋转 90°得到△DCF，

连接 EF．若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（ ）

A.10° B.15° C.20° D.25°

二.填空题

9.如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是________.

10．在正方形 ABCD 中，E 在 AB 上，BE＝2，AE＝1，P 是 BD 上的动点，则 PE 和 PA 的长度之和最小值为___________．

11．如图，矩形 ABCD 的面积为 5，它的两条对角线交于点 O1，以 AB，AO1为两邻边作平行四边形 ABC1O1，平

行四边形 ABC1O1的对角线交于点 O2，同样以 AB，AO2为两邻边作平行四边形 ABC2O2……依此类推，则平

12. 如图所示，在口ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 的中点，AC 分别交 BE、DF 于点 M、N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM＝

1

3

AC；③DN＝2NF；④

1

2

AMB ABC

S

△



S

△ ．其中正确的结论是________．(只 填序号) 13.已知菱形的两条对角线长分别是 6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2 . 14.（2015 春•启东市期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB 于 P．若四边形 ABCD 的面积是 18，则 DP 的长是 ． 15. 如图所示，平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的 F 处，若△FDE 的周长为 8，△FCB 的周长为 22，则 FC 的长为________． 16.（2016•怀柔区一模）在数学课上，老师提出如下问题：

如图 1，将锐角三角形纸片 ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边 AB，BC，CA 上的点 D，E，F．使得四 边形 DECF 恰好为菱形．

小明的折叠方法如下：

如图 2，（1）AC 边向 BC 边折叠，使 AC 边落在 BC 边上，得到折痕交 AB 于 D； （2）C 点向 AB 边折叠，使 C

点与 D 点重合，得到折痕交 BC 边于 E，交 AC 边于 F． 老师说：“小明的作法正确．”

三.解答题

17.（2015 春•泗洪县校级期中）如图，BE，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于 N，AM⊥CF 于 M，求证：MN∥BC．

18.在△ABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 所在的直线上，过点 D 作 DF∥AC 交直线 AB 于点 F，DE∥AB 交直线 AC 于点 E． （1）当点 D 在边 BC 上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点 D 在边 BC 的延长线上时，如图②；当点 D 在边 BC 的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、 图③中 DE，DF，AC 之间的数量关系，不需要证明． （3）若 AC=6，DE=4，则 DF=___________. 19. 探究问题： (1)方法感悟：

如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接 EF，求证 DE＋ BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG，此时 AB 与 AD

重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°

∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°． ∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°． 即∠GAF＝∠________． 又 AG＝AE，AF＝AF ∴ △GAF≌△________． ∴ _________＝EF，故 DE＋BF＝EF． (2)方法迁移：

如图，将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且∠EAF＝

1

2

∠DAB．试猜

想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．

20.（2016•青岛）已知：如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是边 AD，BC 上的点，且 AE=CF，直线 EF 分别交 BA 的延长线、DC 的延长线于点 G，H，交 BD 于点 O．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

【答案与解析】

一.选择题 1.【答案】B；

【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S 阴影=S△COD= S 矩形 ABCD.

2．【答案】D；

【解析】由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形． 3.【答案】D；

【解析】解：连接 BD 交 AC 于 O，过 D 作 DM⊥AC 于 M，过 B 作 BN⊥AC 于 N， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DO=BO，OA=OC， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∴BE=DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出 AB=DE，∴③错误； ∵BN⊥AC，DM⊥AC， ∴∠BNO=∠DMO=90°， 在△BNO 和△DMO 中 ， ∴△BNO≌△DMO（AAS）， ∴BN=DM，

∵S△ADE= ×AE×DM，S△ABE= ×AE×BN， ∴S△ADE=S△ABE，∴⑤正确； ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE，∴⑥正确； 故选 D． 4.【答案】C； 【解析】由三角形中位线定理，EF长度为AR的一半. 5.【答案】C； 【解析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移 1

m

，向下平移 1

m

，三块草坪拼成了一个长为 100

m

，宽为 50

m

的矩形，因此草坪的面积为 100×50＝5 000

m

2.

6.【答案】B； 【解析】设两个正方形的边长分别为

x y

，

,根据题意得：















10

68

2 2

y

x

y

x

， 则

x

2



y

2



2

xy



100,

，解得

xy 

16

. 7.【答案】B； 【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半. 8.【答案】B； 【解析】证△ECF 为等腰直角三角形. 二.填空题 9.【答案】

75

16

； 【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC，由 AD∥BC 得∠ADB＝∠DBC，因此∠DBC′＝∠ADB，故 BE

＝DE.可设 AE＝

x

，则 BE＝4－

x

，在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得

_AB

2

_

_AE

2

_

_BE

2 _，即





2 2 2

3



x



4



x

，解得

x

＝

8

7

，BE＝

8

25

.因此阴影部分的面积为

16

75

3

8

25

2

1

_

_

_

. 10．【答案】

13

_； 【解析】连接 CE，因为 A，C 关于 BD 对称，所以 CE 为所求最小值

13

. 11．【答案】 _n



2

5

； 【解析】 每一次变化，面积都变为原来的

1

2

. 12.【答案】①②③； 【解析】易证四边形 BEDF 是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴ ①正确．

由



BEDF 可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF， 又 AE＝

CF∴ △AME≌△CNF，∴AM＝CN．由 FN∥BM，FC＝BF，得 CN＝MN，∴CN＝MN＝AM，AM＝

1

3

AC．∴ ②正确． ∵ AM＝

1

3

AC，∴

1

3

AMB ABC

S

△



S

△ ，∴④不正确． FN 为△BMC 的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则 BM＝DN，∴DN＝2NF， ∴③正确． 13.【答案】20；24； 14.【答案】3 ； 【解析】解：如图，过点 D 作 DE⊥DP 交 BC 的延长线于 E，

∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴四边形 DPBE 是矩形， ∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°， ∴∠ADP+∠CDP=90°， ∴∠ADP=∠CDE， ∵DP⊥AB， ∴∠APD=90°， ∴∠APD=∠E=90°， 在△ADP 和△CDE 中， ， ∴△ADP≌△CDE（AAS），

∴DE=DP，四边形 ABCD 的面积=四边形 DPBE 的面积=18， ∴矩形 DPBE 是正方形，

∴DP= =3 ．

故答案为：3 ．

15.【答案】7；

【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD． 又∵ 以 BE 为折痕，将△ABE 向上翻

折到△FBE 的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知 DE＋DF＋EF＝8，即 AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴

BC＋AB－FC＝8．① 又∵BF＋BC＋FC＝22，即 AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得 FC＝7． 16.【答案】CD 和 EF 是四边形 DECF 对角线，而 CD 和 EF 互相垂直且平分（答案不唯一）； 【解析】解：如图，连接 DF、DE． 根据折叠的性质知，CD⊥EF，且 OD=OC，OE=OF． 则四边形 DECF 恰为菱形． 故答案是：CD 和 EF 是四边形 DECF 对角线，而 CD 和 EF 互相垂直且平分（答案不唯一）． 三.解答题 17.【解析】 证明：延长 AN、AM 分别交 BC 于点 D、G．

∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE⊥AG， ∴∠BAG=∠BGA， ∴△ABG 为等腰三角形， ∴BN 也为等腰三角形的中线，即 AN=GN． 同理 AM=DM， ∴MN 为△ADG 的中位线， ∴MN∥BC． 18.【解析】 解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形 AFDE 是平行四边形． ∴AF=DE， ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠FDB=∠C ∴DF=BF ∴DE+DF=AB=AC； （2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE． （3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2； 当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10． 故答案是：2 或 10． 19. 解：(1)EAF、△EAF、GF． (2)DE＋BF＝EF，理由如下：

假设∠BAD 的度数为 m，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 m°得到△ABG，如图，此时 AB 与 AD 重合，由旋转 可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

∵

1

2

EAF

m





°

， ∴

2

3

1

1

2

2

BAD

EAF m

m

m

    

 



°



°



°

． ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝

1

2

m°

． 即∠GAF＝∠EAF． 又 AG＝AE，AF＝AF． ∴ △GAF≌△EAF． ∴ GF＝EF． 又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF， ∴ DE＋BF＝EF． 20. 【解析】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，∠BAE=∠DCF， 在△ABE 和△CDF 中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：四边形 BEDF 是菱形；理由如下： 如图所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∴OB=OD， ∵DG=BG， ∴EF⊥BD， ∴四边形 BEDF 是菱形．