勾股定理證明-G093

(1)

勾股定理證明-G093

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明 H G F  共線)。

2. 延長 KB ，使其與 CE 相交於 L 。

3. 在 AG 上取一點 N ，使得 GN BC，並過 N 作 NM // AC ，交 AH 於 M 點。

4. 連接 HG 。

A B

C

D E

F

G

H K

M

L

O N

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的增補與移除關係後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。

1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到 H  G F共線：

因為 AH AB, AG AC, GAH 90^ HAC CAB，所以 GAH CAB

   (SAS 全等).

得到AGH  ACB90^，又AGF 90^，所以AGH AGF 180^，故 H G F共線。

(2)

2. 證明三角形 AMN 與三角形 BOF 全等：

因為 AN  AG GN CFBCBF，且由作圖的平行關係可知 90 ,

ANM BFO

     MAN OBF，所以 AMN BOF

   (ASA 全等).

3. 證明四邊形 MNGH 與四邊形 LEDB 全等：

由作圖的平行關係可知

, , ,

HMN BLE MHG LBD MNG LED NGH EDB

            ，且

,

GN BC DE HGBC BD ，因此

. MNGH  LEDB

四邊形四邊形

4. 證明三角形 OHK 與三角形 LAB 全等：

因為 HK  AB, OKH  LBA90^，且由作圖的平行關係可知 LAB  OHK，所以

OHK LAB

   (ASA 全等).

5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH AGOB AMN MNGH

HK

AGOB LEDB

O

BOF LAB



正方形面積＝四邊形面積＋面積＋四邊形面積

＋面積

＝四邊形面積＋面積＋四邊形面積＋面積

＝正方形BCED面積＋正方形ACFG面積.

得到

2 2 2

, AB BC AC 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯在《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是 Richard A. Bell 在 1918 年 7 月 1 日想到的，並在 1938 年 2 月 28 日提供。之後也在以下書籍找

到證明：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 268.

2. 心得：此證明輔助線的畫法皆與三角形 ABC 的邊成平行關係，使學生較容易看出對 應角的相等關係，再證明三角形 AMN 與三角形 BOF 全等，三角形OHK 與三 角形 LAB 全等，以及四邊形 MNGH 與四邊形 LEDB 全等。進而透過平移與旋

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轉的拼圖方法推得正方形 ABKH 面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的 面積和。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：