高中數學(4)‧習作甲 第 2 章 空間中的平面與直線 22
2-2 空間直線方程式
重點一 直線的方程式
例題1（直線的參數式與對稱比例式）
(1) 設 A（1 , 2 , 3），B（0 , 4 , 5），試寫出直線 AB 之參數式。
(2) 設直線 L 通過（－1 , 2 , 3），且直線 L 之方向向量為vv＝（2 , 0 , 3），試寫出直線 L 之 對稱
比例式。
解 (1) ∵uuuvAB＝（－1 , 2 , 2）恰為直線 AB 之方向向量
∴直線 AB 之參數式為 1
2 2 3 2
x t
y t
z t
＝－
＝＋
＝＋
，t 為實數
(2) 直線 L 之對稱比例式為 1 2
x＋ ＝ 3 3
z－ ，y＝2 例題2
求通過點 P（1 , 0 , －3），且平行於直線 L： 2 1
x＋ ＝ 1
2 y－
－ ＝ 3 4
z＋ 之直線參數式。
解 設平行於直線 L 之直線方程式為 L'
∵L' // L 且 L 之方向向量為（1 , －2 , 4）
∴L 之方向向量亦可取為（1 , －2 , 4）
故所求為 1
2 3 4
x t
y t
z t
＝＋
＝－
＝－＋
，t 為實數
例題3
(1) 將直線 L1： 2 6
2 0
x y z x y z
－－＝
＋＋＝ 以直線參數式表示。
(2) 求過點（1 , 2 , 3） 且與直線 L： 1 2 3 2 x y z
x y z
＋＋＝
－＋＝ 平行的直線方程式為 。 解 (1) 令 z＝t，則 6 2
2
x y t
x y t
－＝＋
＋＝－
‚
由－得 3y＝－6－3t y＝－2－t 代入得 x＝4＋t
∴直線 L1的參數式為 4
2
x t
y t
z t
＝＋
＝－－
＝
，t 為實數
(2) 直線 L： 1 2 3 2
x y z x y z
＋＋＝
－＋＝ ，
其方向向量為 1 1 1 1 1 1
, ,
1 3 3 2 2 1
－－ ＝（4 , －1 , －3）
∴過點（1 , 2 , 3）且與直線 L 平行的直線方程式為 1 4
x－ ＝ 2 1 y－
－ ＝ 3 3 z－
－ 例題4
設 P（5 , 0 , －1），Q（3 , 1 , 7），下列何者是直線 PQ 的方程式？
高中數學(4)‧習作甲 第 2 章 空間中的平面與直線 23
(A)
5 2
1 8
x t
y t
z t
＝＋
＝
＝－－
，t 為實數 (B)
3 2 1 7 8
x t
y t
z t
＝－
＝－
＝＋
，t 為實數 (C)
1 4 2 2 15 16
x t
y t
z t
＝＋
＝－
＝－
，t 為實數
(D) 2 2
x－ ＝ 1
1 y－
－ ＝ 3 8 z－
－ (E) 3
6 x＋
－ ＝ 4 3
y－ ＝ 31 24 z－
解 已知PQuuuv＝（－2 , 1 , 8） ∴直線 PQ：
5 2
1 8
x s
y s
z s
＝－
＝
＝－＋
，s 為實數
(A)×：原式方向向量為（2 , 1 , －8）≠（－2 , 1 , 8）
(B)×：原式方向向量為（－2 , －1 , 8）≠（－2 , 1 , 8）
(C)○：令 s＝2－2t 代入直線 PQ：
5 2
1 8
x s
y s
z s
＝－
＝
＝－＋
，s 為實數
1 4 2 2 15 16
x t
y t
z t
＝＋
＝－
＝－
，t 為實數
(D)×：原式方向向量為（2 , －1 , －8）≠（－2 , 1 , 8）
(E)○： 3 6 x＋
－ ＝ 4 3
y－ ＝ 31 24
z－ ＝t
3 6 4 3 31 24
x t
y t
z t
＝－－
＝＋
＝＋
，t 為實數
令 t＝ 4 3
s－ 代入
5 2
1 8
x s
y s
z s
＝－
＝
＝－＋
，s 為實數，與PQ
同
故選(C)(E) 例題5
已知平面 E 包含點 P（－1 , 3 , 0）與直線 L： 1 2 x－ ＝
1 y
－ ＝ 3 3
z＋ ，試求平面 E 的方程式為
。
解 在 L 上取 Q（1 , 0 , －3）QPuuuv
＝（－2 , 3 , 3）
L： 1
2 x－ ＝
1 y
－ ＝ 3 3
z＋ 的方向向量為vv＝（2 , －1 , 3）
QPuuuv
×vv＝（－2 , 3 , 3）×（2 , －1 , 3）
＝ 3 3 3 2 2 3
, ,
1 3 3 2 2 1
－－
－－
＝（12 , 12 , －4）＝4×（3 , 3 , －1）
取平面 E 的法向量nv＝（3 , 3 , －1）
故方程式為 3（x＋1）＋3（y－3）－（z－0）＝0，
即 3x＋3y－z＝6
重點二 直線與平面的關係 例題6
平面 E：3x－2y＋z＝0，試分別討論下列三直線與平面 E 的關係：
L1： 2 2
x－ ＝ 2
1 y－
－ ＝ 3 3 z－
－ ，L2： 2 2
x－ ＝ 1 2
y＋ ＝ 3 2 z－
－ ，L3： 3 2
x－ ＝ 4
5
y－ ＝ 1 4 z＋
高中數學(4)‧習作甲 第 2 章 空間中的平面與直線 24
解 (1) L1：
2 2 2 3 3
x t
y t
z t
＝＋
＝－
＝－
，t 為實數，代入 E：3x－2y＋z＝0
得 3（2＋2t）－2（2－t）＋（3－3t）＝0 5t＋5＝0 t＝－1
直線 L1與平面 E 恰有一交點為（0 , 3 , 6）
(2) L2：
2 2 1 2 3 2
x t
y t
z t
＝＋
＝－＋
＝－
，t 為實數，代入 E：3x－2y＋z＝0
得 3（2＋2t）－2（－1＋2t）＋（3－2t）＝0 0t＋11＝0 t 無解
直線 L2與平面 E 平行
(3) L3：
3 2 4 5
1 4
x t
y t
z t
＝＋
＝＋
＝－＋
，t 為實數，代入 E：3x－2y＋z＝0
得 3（3＋2t）－2（4＋5t）＋（－1＋4t）＝0 0t＝0 t 為任意實數
直線 L3落在平面 E 上 例題7
求 P（1 , －1 , 5）對平面 E：x＋2y＋2z＝18 的對稱點坐標為 。 解 令 P 對 E 之投影點為 H（1＋t , －1＋2t , 5＋2t）
因為 H 在 E 上，故（1＋t）＋2（－1＋2t）＋2（5＋
2t）＝18
整理得 9t＝9，解得 t＝1 H（2 , 1 , 7）
設 P 對平面 E 的對稱點為 Q（x , y , z）
H 為 P 與 Q 之中點 1 1 5
, , 2 2 2
x y z
＋－＋ ＝（2 , 1 , 7）
解得 x＝3，y＝3，z＝9
因此對稱點坐標為（3 , 3 , 9）
◎重點三 點到直線的距離 例題8
點 P（1 , 2 , 0）到直線 L： 2 1
x－ ＝ 2
2
y＋ ＝ 10 2 z－
－ 的距離為 。 解 設 QL，則 Q（t＋2 , 2t－2 , －2t＋10）
PQuuuv
＝（t＋1 , 2t－4 , －2t＋10）
又 L 之方向向量vl ＝（1 , 2 , －2）
∵PQuuuv
⊥vl ∴PQuuuv
．vl ＝0
（t＋1）＋2（2t－4）－2（－2t＋10）＝0 t＝3 因此PQuuuv
＝（4 , 2 , 4）
點 P 到直線 L 距離為PQ＝│PQuuuv│＝ 42＋＋22 42 ＝6 重點四 兩平行線的距離
例題9
兩平行線 L1： 3 1 x－ ＝
1 y
－ ＝ 2 2 z＋
－ ，L2： 9 2
x－ ＝ 2
2 y＋
－ ＝ 1 4 z＋
－ ，則兩平行線 L1與 L2的距離為
。
解 在 L1上取點 P（3 , 0 , －2），
設由 P 點作直線 L2的垂線，令垂足點 Q 則 Q 點坐標為（2t＋9 , －2t－2 , －4t－1）
高中數學(4)‧習作甲 第 2 章 空間中的平面與直線 25
因PQuuuv
＝（2t＋6 , －2t－2 , －4t＋1）與 直線 L2的方向向量（2 , －2 , －4）垂直
因此（2t＋6 , －2t－2 , －4t＋1）．（2 , －2 , －4）＝0 整理得 24t＋12＝0，解得 t＝－1
2 所以PQuuuv
＝（5 , －1 , 3）
故直線 L1與 L2的距離為PQ＝│PQuuuv
│＝ 52＋（－）＋1 2 32 ＝ 35 重點五 兩歪斜線的距離
例題10
兩直線 L1： 5 3
x－ ＝ 7
6 y＋
－ ＝ 1 2 z－
－ ，L2： 1 3 x－ ＝
2
y ＝ 5
2
z＋ ，若 PL1，QL2且PQ為 L1，L2的 公垂線段，則：
(1) L1與 L2間的距離為 。
(2) 公垂線 L 的對稱比例式為 。
解 (1) 設 P 點坐標為（5＋3t1 , －7－6t1 , 1－2t1），Q 點坐標為（1＋3t2 , 2t2 , －5＋2t2） 因此PQuuuv＝（－3t1＋3t2－4 , 6t1＋2t2＋7 , 2t1＋2t2－6）
由PQuuuv⊥Luv1
得（－3t1＋3t2－4 , 6t1＋2t2＋7 , 2t1＋2t2－6）．（3 , －6 , －2）＝0 整理得－49t1－7t2－42＝0 7t1＋t2＝－6
由PQuuuv⊥Luuv2
得（－3t1＋3t2－4 , 6t1＋2t2＋7 , 2t1＋2t2－6）．（3 , 2 , 2）＝0 整理得 7t1＋17t2－10＝0
解聯立 1 2
1 2
7 6
7 17 10 t t
t t
＋＝－
＋＝ ，得 t1＝－1，t2＝1，代回 P，Q 所以 P（2 , －1 , 3），Q（4 , 2 , －3）
L1與 L2間的距離為PQ＝ 22＋＋32 62 ＝7 (2) PQuuuv
＝（2 , 3 , －6），為公垂線 L 的一個方向向量，且公垂線 L 通過 P（2 , －1 , 3）
所以公垂線 L 的對稱比例式為 2 2
x－ ＝ 1 3
y＋ ＝ 3 6 z－
－
