Ch4.1 因式分解解一元二次方程式 二年___班 座號：___ 姓名：
重點 1：一元二次方程式
意義：一個方程式化簡後可寫成 ax2＋bx＋c＝0 (其中 a ≠ 0)形式的方程式，稱為 x 的一元二次方程 式。「一元」是指此方程式只含一種未知數 x，「二次」是指 x 的最高次數是二次
註：方程式必須化簡後化簡後化簡後化簡後才能判定是否為一元二次方程式
例 1.1：判斷下列哪些是一元二次方程式：
(A) x＋3＝0 (B) x2＋5x＝－13 (C) (x－4)(x＋3)＝0 (D) x2＋x－3 (E) 2x2＋5x－2＝(2x＋1)(x－2)
Ex1.1：判斷下列哪些是一元二次方程式：
(A) x2－6x＝0 (B) 2x(x－3)＝2x2＋1 (C) x
1－4x＝x－4 (D) (x－1)(2x＋3)＝0
(E) 2－3x＋6x2 (F) x2＋x＋1 (G) x2＋3x＝x2－13 (H) 2x2＝3x
重點 2：一元二次方程式的根或解
1.意義：如果將一個數代入一元二次方程式的未知數 x 中，能使等號左、右兩邊的結果相等，
則稱這個數就是此一元二次方程式的「解解解解」或「根根根根」
2.解一元二次方程式：
求出一元二次方程式的解或根的過程過程過程過程，稱為解一元二次方程式解一元二次方程式解一元二次方程式解一元二次方程式
※判別一元二次方程式的解
例 2.1：(1)試判斷 5 是否為一元二次方程式 x2＋25x＝50 的解？
(2)－1 是否為一元二次方程式 x2－5x＝－2x＋4 的解？
Ex2.1：(1) 0 是否為一元二次方程式 x2－5＝4x 的解？
(2) 4 和－3 是否為一元二次方程式(x－4)(x＋3)＝0 的解？
Ex2.11：(1)－3 是否為一元二次方程式 x2－15x＝36 的解？
(2) 2 是否為一元二次方程式 x2＋18x＝40 的解？
(3)－1 是否為一元二次方程式 x2－3x＋2＝2x－1 的解？
(4) 4 是否為一元二次方程式 3x2－10x－8＝(x＋1)(x－4)的解？
例 2.2：若 1 是一元二次方程式 3x2－ax＋5＝4 的解，則 a 為多少？
Ex2.2：若－1 是一元二次方程式 x2－mx＋9＝0 的解，則 m 為多少？
Ex2.21：(1)若一元二次方程式(3x＋2)(kx－7)＝24 有一根是 2，則 k 為多少？
(2)若一元二次方程式 6x2－7x＋n＝0 有一根是 2
3，則 n 為多少？
重點 3：利用因式分解解一元二次方程式 1.求解的性質：
設 A、B 為兩數，當 A×B＝0 時，則 A 和 B 至少有一個是 0，即 A＝0 或 B＝0 註：當 A≠0，B≠0 時，則 A×B ≠ 0
2.因式分解解一元二次方程式：
利用提公因式提公因式提公因式、分組提公因式提公因式 分組提公因式分組提公因式、乘法公式分組提公因式 乘法公式乘法公式與十字交乘乘法公式 十字交乘十字交乘十字交乘等因式分解法，配合解的性質，求解 一元二次方程式
3.重根：當一個一元二次方程式有兩個相同的根相同的根相同的根時，稱這個根為此方程式的重根 相同的根
例 3.1：設 A、B 為兩數，且 A×B＝0，請回答下列各題？
(1)當 A≠0 時，B 是不是一定要等於 0 (2)當 B≠0 時，A 是不是一定要等於 0 (3) A、B 可不可能都是 0
(4) A、B 可不可能都不是 0
Ex3.1：設 ab＝0，則下列哪一個選項一定正確？
(A) a＝0＝b (B) a＝0，b≠0 (C) a≠0 或 b≠0 (D) a＝0 或 b＝0
Ex3.11：若 A、B 是任意數，則下列敘述何者不正確？
(A)若 A×B ≠ 0，則 A ≠ 0 或 B ≠ 0 (B)若 A ≠ 0，B ≠ 0，則 A×B ≠ 0 (C)若 A＝0，B ≠ 0，則 A×B＝0 (D)若 A×B＝0，則 A＝0 或 B＝0
例 3.2：找出下列各方程式的解：
(1) x(x＋3)＝0 (2) (4x－2)(2x＋5)＝0
Ex3.2：解下列各一元二次方程式的解：
(1) x(x－1)＝0 (2) (x－4)(x＋9)＝0 (3)(4x＋1)(5x－10)＝0 (4) (－x＋5)(3x＋2)＝0 (5) (－3x＋10)(2x＋8)＝0 (6) (7x－24)(－6x＋18)
※提公因式解方程式
例 3.3：解一元二次方程式 2x2＋3x＝0
Ex2.3：解一元二次方程式－
2
1x2＋8x＝0
Ex2.31：解下列各一元二次方程式：
(1)7x2－49x＝0 (2)3x2＋6x＝0 (3)－4x2＋6x＝0 (4)－3x2－11x＝0 (5) 2x2＋
3
5x＝0 (6)－9x2＋ 4 3x＝0
※移項再提公因式
例 3.4：解一元二次方程式(x－1)(2x＋3)＝(x－1)(x＋2)
Ex3.4：解下列各一元二次方程式：
(1) (x＋3)(x＋4)＝(x＋3)(2x－1) (2) (x－1)2＝(x－1)(2x＋3)
Ex3.41：解下列各一元二次方程式：
(1) (x＋3)(x－4)＝(x－4)(2x－5) (2) (x＋2)(2x＋1)＝(2x＋1)(3x－1) (3) (x－3)(3x－1)＝6－2x (4) (x＋6)2＝(x＋6)(7x＋1)
(5) (5－x)2＋(x－5)(2x＋1)＝0 (6) 2x(5x＋4)＝9(5x＋4)
※利用十交乘字交乘法
例 3.5：解下列各一元二次方程式：
(1) x2－3x＋2＝0 (2)－4y2＋6y＝－4
Ex3.5：解下列各一元二次方程式：
(1)－2x2＋13x－15＝0 (2) 39y2－15＝－24y
Ex3.51：解下列各一元二次方程式：
(1) 6x2－7x－3＝0 (2) 18x2－21x＋5＝0 (3)－8x2－4x＋24＝0
Ex3.52：下列哪一個選項為方程式 4x2－16x＋15＝0 的兩根？(95-1 基測) (A)2
3， 2
5 (B) 2 3，－
2
5 (C)－
2 3，
2
5 (D)－
2 3，－
2 5
※利用乘法公式
例 3.6：解下列各一元二次方程式：
(1) 16x2－1＝0 (2) x2－121＝0 (3) 9－ )2 5
( x ＝0 4
Ex3.6：解下列各一元二次方程式：
(1) 25x2－16＝0 (2)－16x2＋81＝0 (3)－75x2＋108＝0 (3) 169－
49 9 x2＝0
※重根
例 3.8：(1) 9x2＋12x＋4＝0 (2)－y2＋y－
4
1＝0 (3) 9x2＋ 9
1＝－2x
Ex3.8：解下列各一元二次方程式：
(1) x2＋22x＝－121 (2) 9x2－24x＋16＝0 (3) 16x2＋56x＋49＝0
Ex3.81：解下列各一元二次方程式：
(1)4
9x2－3x＋1＝0 (2) 9x2－15x＋
4
25＝0 (3) 25 36x2＋
5
12x＋1＝0
重點 4：綜合應用
意義：綜合運用下列多種方法，求一元二次方程式相關解或未知數：
1.先將乘積展開，再求解
2.利用因式分解方法(提公因式、乘法公式、十字交乘等)分解，再求解 3.由解反求一元二次方程式中的未知數
※展開，再求解
例 4.1：解下列一元二次方程式：
(1) (x－4)(2x－7)＝1 (2) (2x＋5)(x＋4)＝14
Ex4.1：解下列各一元二次方程式：
(1) y(y＋10)＝24 (2) (x－1)(x－2)＝12 (3) (2x－3)(x－2)＝1
Ex4.11：已知a，b 為方程式 2x2－3(x＋1)＝－1 的兩根，且 a＜b，則 2a＋b 之值＝_____
※展開或乘法公式，再求解
例 4.2：解下列各一元二次方程式：
(1) (2x－3)2＝(3x－1)2 (2) (－2x＋1)2＝(5x＋2)2 (3) (5x－4)2－(3x＋2)2＝0
Ex4.2：解下列各一元二次方程式：
(1) (2x－3)2－(x＋1)2＝0 (2) (3x－4)2＝(4x－3)2 (3) (5x－3)2＝(x＋2)2 (4) (3x＋2)2＝(13x＋7)2 (5) (
3
1x＋4)2＝(x－5)2 (6) ( 2
3x＋2)2＝(
2
5x－3)2
※展開或十字交乘，再求解
例 4.3：解下列各一元二次方程式：
(1) (x－1)2＋6(x－1)＋8＝0 (2) (x＋3)2－7(x＋3)＋10＝0
Ex4.3：解下列各一元二次方程式：
(1) (x＋1)2－2(x＋1)＋1＝0 (2) (2x－5)2－7(2x－5)－18＝0 (3) (4x－3)2＋10(4x－3)＋24＝0
Ex4.31：解下列各一元二次方程式：
(1) 9(x＋1)2＋42(x＋1)＋49＝0 (2) 8(x－3)2＋22(x－3)－21＝0 (3) 6(2－3x)2－13(3x－2)＋5＝0
例 4.4：若 x 的一元二次方程式 x2－mx－4m＝0 的一根為 4，則：
(1) m 值為_____ (2)此一元二次方程式的另一根為______？
Ex4.4：已知 x 的一元二次方程式 x2＋x＋(3m－2)＝0 的一根為 3，則：
(1) m 值為_____ (2)此一元二次方程式的另一根為______？
Ex4.41：已知 0 是方程式 2x2－5mx＋(m－2)＝0 的一根，則：
(1) m 值為_____ (2)此一元二次方程式的另一根為______？
Ex4.42：已知 x 的一元二次方程式(m2＋1)x2－(m2－1)x＋(m2＋5m＋4)＝0 的一根為－1，
求 m 值為_____
