國二每周練習題(下學期第 13 周)

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國二每周練習題(下學期第 13 周)

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例題一 (1) 已知y和 x 成正比，當x 5時y 4，求y和 x 的關係式為何？

(2) 已知y和 x 成反比，當x 5時y 4，求y和 x 的關係式為何？

解：

(1) 已知y和 x 成正比，所以y和 x 的關係式可以表示為

y

x

 ，

k

k是常數；

將當x 5、y 4代入

y

x

 中，

k

得到4

5  ，將

k

4

k 

5代回y和 x 的關係式

y

x

 ，

k

所以y和 x 的關係式為 4

5

y

x

 。

(2) 已知y和 x 成反比，所以y和 x 的關係式可以表示為xy k，k是常數；

將當x 5、y 4代入xy k中，

得到5 4 kk 20，將k 20代回y和 x 的關係式xyk， 所以y和 x 的關係式為xy 20。

答：(1) 4 5

y

x

 (2) xy 20 練習一 (1) 已知y和 x 成正比，當x 4時y 6，求y和 x 的關係式為何？

(2) 已知y和 x 成反比，當x 4時y 6，求y和 x 的關係式為何？

例題二 將下列各式作因式分解：

(1) x² 5x (2) 254x² (3) 6x² 5x6 解：

(1) 原式 x² 5x (2) 原式254x² (3) 原式6x² 5x6   x (x 5)  5² (2 )

x

² 3x 2  x x( 5)  (5 2 )(5x 2 )x 6x² 6 2x 3 (3x2)(2x3) 答：(1) x x ( 5) (2) (52 )(5x 2 )x (3) (3x2)(2x3)

小提醒：

若 和 成正比，則 和 的關係式可以 表示成 ，其中

為比例常數。

若 和 成正比，則 和 的關係式可以 表示成 ，其中

為比例常數。

小提醒：

試著利用 (1) 提公因式法 (2) 乘法公式 (3) 十字交乘法 作因式分解。

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練習二 將下列各式作因式分解：

(1) 4x2x² (2) 9x ² 16 (3) 9x²11x14

例題三 若一元二次方程式3

x

² 

kx

 (

k

24) 的兩根相等，則0 k值為何？

解：

若一元二次方程式ax² bx c 0 的兩根相等(重根)，表示其判別式

2 4 0

Db  ac …(1)；

將a 3、bk、c k 24代入(1)式，得到：

2 4 3 ( 24) 0

k

   

k



k² 12k 2880

k² 12k 288

k²    2 k 6 6² 2886²

(

k 

6)² 324

k   6 18

k 24或k  12

答：k 24或k  12 練習三 若一元二次方程式5

x

² (

k

3)

x

   的兩根相等，則(

k

8) 0 k值為何？

例題四 小蛙將12%的酒精 30 毫升和10%的酒精20 毫升混合後，所得到混合液的 酒精濃度為何？

解：

酒精重量溶液重量百分率

12%的酒精液體，酒精重量30 12% 3.6毫升 10%的酒精液體，酒精重量20 10% 2毫升 酒精混合液的酒精重量3.6 2 5.6毫升 酒精混合液的溶液重量302050毫升 混合液的酒精濃度溶質重溶液重100%

5.6 50 100% 

11.2%

答：11.2%

小提醒：

設一元二次方程式為

，其中

，則：

1. 設 為此 一元二次方程式的 判別式。

2. 一元二次方程式的 公式解：

(1) 若 時，

。 (2) 若 時，

(重根)。

(3) 若 時，此 方程式無解。

小提醒：

重量百分濃度 溶質 重 溶液重 。

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練習四 大偉將25%的酒精30 毫升和17%的酒精50 毫升混合後，所得到混合液的酒精濃度為何？

例題五 已知△ABC △ DEF ，且頂點依序對應，若

AB  、

5

BC 

12、

CA 

13， 且

DE

7

x

 、12

FD

6

y

 ，求數對1 ( , )x y 為何？

解：

因為△ABC △ DEF ，所以對應邊相等，所以AB  DE且CA FD ；

得到 5 7 12

13 6 1

x

y

 

  



 5 12 7 13 1 6

x y

 

  



 7 7 12 6

x y

 

   1

2

x y

  

 

得到數對( , )x y  ( 1, 2)

答：( , )x y  ( 1, 2) 練習五 已知△ABC △ DEF ，且頂點依序對應，若

AB  、

9

BC 

15、

CA 

12，

且

EF

4

x

 、3

DE

15 3

y

，求數對( , )x y 為何？

例題六 已知 f x(  3) 2x1，試求(1) f(5)? (2) f x ( ) ? 解：

(1) 假設x  3 5，則 f x(  3) f(5)； x   5 3 2代入 f x(  3) 2x1 得到 f(2   3) 2 2 1

 f(5)  4 1 5

小提醒：

未知數是以符號代表 數，不限用何種符號表 示。

小提醒：

兩個三角形全等時，

對應邊必相等、對應 角必相等。反之，若 兩個三角形對應邊相 等、對應角相等，則 這兩個三角形全等。

小知識：

歐幾里得

希臘化時代的數學 家，被稱為「幾何學 之父」。

他在著作《幾何原 本》中提出五大公 設，成為歐洲數學的 基礎。歐幾里得也寫 過一些關於透視、圓 錐曲線、球面幾何學 及數論的作品。

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(2) 假設x 3 A，則 f x(  3) f A( )； x A 3代入 f x(  3) 2x1 得到 f A(    3 3) 2 (A 3) 1  f A( )2A 6 1  f A( )2A5

再將Ax代入 f A( )2A5，得到 f x( )2x5。

答：(1) f(5)5 (2) f x( )2x5 練習六 已知 f(52 )x   4x 3，試求(1) f(3)? (2) f x ( ) ?