國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系
在職進修教學碩士學位班碩士論文
指導教授：馬秀蘭 博士
電腦程式 Logo 環境在四邊形補救教學成效
──國小四年級數學低成就學童之個案研究
研 究 生：吳惠娟 撰
中 華 民 國 九 十 五 年 七 月
摘要
本研究旨在探討以電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程對低成就學 童的成效。研究對象採立意取樣方式，挑選雲林縣某國小四年級認識國 字、且有意願參與研究的兩名數學低成就學童（小瓏、小卿）為研究對象。 先以「吳─薛氏 van Heile 幾何概念測驗」作前測並分析學童在前測中的四 邊形迷思概念，再以 Logo 設計補救教學課程，補救其迷思概念。課程中 觀察學童的表現並適時訪談學童，探究他們在學習正方形、長方形、菱形、 平行四邊形、梯形後的認知成效；最後再以四邊形辨識作半結構式訪談及 「吳─薛氏 van Heile 幾何概念測驗」作後測以對照其四邊形辨識的成效。 本研究論文係馬秀蘭（2004，2005）所主持的國家科學委員會補助專 案計畫（計畫名稱：透過推理捷思與 Logo 程式設計提昇國小數學低成就 學生幾何能力之縱貫研究（1/2 與 2/2），計劃編號：NSC 94-2614-S-275 -001 與 NSC 95-2614-S-275 -001）中的部分成果。 本研究有以下幾點發現： 一、接受補救教學之前，小瓏對四邊形的迷思概念是無封閉性、缺乏 四邊是直線的概念，受到角度特大的影響；小卿對四邊形的迷思 概念是無封閉性、缺乏四邊是直線的概念，受到方位變化、圖形 大小變化、圖形外圍粗細與角度特大的影響。 二、在正方形補救教學前，小瓏尚未了解正方形四個角是 90 度的概 念，也不會辨別兩個全等的正方形；小卿沒有對應邊對應角的概 念。教學後，小瓏了解正方形四個角是 90 度的概念，並會辨別兩 個全等的正方形；小卿有對應邊對應角的概念。 三、在長方形補救教學前，小瓏無對邊等長概念；小卿無對邊等長概 念與「長」、「寬」的數學語言。教學後，小瓏有對邊等長概念； 小卿有對邊等長概念與「長」、「寬」的數學語言。四、在菱形補救教學前，小瓏、小卿皆無「菱形是四邊等長」的概念； 在補救教學後，皆有「菱形是四邊等長」概念，並且可使用電腦 程式 Logo 設計菱形，但是無法徒手畫菱形。 五、在平行四邊形補救教學前，小瓏、小卿皆無「平行四邊形是對邊 平行且等長的概念」；在補救教學後，皆有此概念。 六、透過電腦程式 Logo 融入幾何補救教學，提升了小瓏與小卿的 van Heile 幾何思考層次。 研究最後並根據結論，提出建議以供後續研究與教師教學上的參考。 關鍵字：數學低成就學童、四邊形、迷思概念、電腦程式 Logo、補救教學
The Effects of Remedial Instruction for Quadrilateral in the
Computer Procedure Logo Environment
: A case study for
fourth-grade mathematical underachievers
Summary
The research basically aims at probing into the possible accomplishment derived from incorporating computer procedure Logo into geometry make-up teaching curriculums in teaching the underachievement pupil. The objects studied are chosen in random sampling method.In Yunlin county, two mathematical underachievers (Shou Long and Shou Chin ) who are being literate and very willing to join the research are chosen as the objects of study. A pre-test is given to them, applying "Wu-Shey, Van Heile gemetry congnitive development test".The quadrilateral myth concepts in pre-test are analyzed first and being reinforced during the geometry make-up teaching curriculums designed with Logo. Meanwhile, pupils' performance is under close bservation togerther with timely interviews to see if they do well in learning square, rectangle, rhombus, parallelogram and trapezoid. Finally the post-test based on the quadrilateral distinguishing semi-structure interview and "Wu-Shey, Van Heile gemetry congnitive development test " are offered to contrast the effects obtained in distinguishing quadrilateral.
This study presents partial results from the projects of Ma Hsiu-Lan( 2004, 2005), Research on promoting the geometry ability of underachievement pupils in elementary school through deductive quick-thinking and Logo programming design (1/2 and 2/2). They are funded by National Science Council of
Taiwan( NSC 94-2614-S-275-001 ＆ NSC 95-2614-S-275 -001 ) . The research result confirms the facts:
1. Before remedial instruction in geometry, Shou Long has myth concept that the quadrilateral does not have sealing , and lacks the concept that the quadrilateral has four straight sides, and is influenced by the enormous angle; Shou Chin has myth concept that the quadrilateral does not have sealing , and lacks the concept that the quadrilateral has four straight sides, and is influenced by the position changing, all kinds of change of figure, peripheral thickness of the figure and enormous angle.
2. Before remedial instruction in learning square, Shou Long didn’t have the concepts that every angle of the square is 90 degrees, and didn’t distinguish two same squares; Shou Chin didn’t have the concept of corresponding side
and corresponding angle. After remedial instruction, they have correct concepts.
3. Before remedial instruction in learning rectangle, Shou Long and Shou Chin didn’t have the concept that both pairs of opposite sides are equal. After remedial instruction, they have the correct concept.
4. Before remedial instruction in learning rhombus, Shou Long and Shou Chin didn’t have the concept which four sides of the rhombus are equal. After remedial instruction, they have the correct concept.
5. Before remedial instruction in learning parallelogram, Shou Long and Shou Chin didn’t have the concept which the parallelogram is that both pairs of opposite sides are parallel and equal. After remedial instruction, they have the correct concept.
6. After remedial instruction in geometry, the van Heile geometry thinking level of Shou Long and Shou Chin’s had been improved .
According to the conclusion, some suggestions can be presented on the following research and teacher's teaching for reference.
Key word: underachievement pupil in mathematical, quadrilateral , myth concept , computer procedure Logo environment , remedial instruction
目次
中文摘要………. i
英文摘要………iii
目 次 ………..………..…………....v
圖目次………....…...……viii
表目次………..…….xii
第一章 緒論 ……… 1
第一節 研究動機……….……….………1
第二節 研究目的……….……….………6
第三節 名詞釋義 ………7
第四節 研究限制 ………8
第二章 文獻探討………...…9
第一節 van Hiele 的幾何理論 ………9
第二節 幾何圖形 ………..……...…14
第三節 Logo 的特性與研究 ………..…….…...………21
第四節 低成就學生與補救教學…….……..………...….…. 28
第三章 研究方法……….………33
第一節 研究樣本………..……….….……33
第二節 研究工具………..….…….……36
第三節 資料處理……….………...………43
第四節 研究架構與流程.………...………45
第四章 研究結果與討論……… ……51
第一節 學童在幾何概念前後測對四邊形的認知成效比較…..…51
第二節 學童在正方形的認知成效………..…69
第三節 學童在長方形的認知成效………..95
第四節 學童在菱形的認知成效………..…..118
第五節 學童在平行四邊形的認知成效………..………..…129
第六節 學童在梯形的認知成效…..………..…148
第五章 結論與建議………...159
第一節 結論………..……..159
第二節 反省與建議………...….164
參考文獻……….…167
中文部分……….…...167
外文部分……….…...171
附錄……….…………173
附錄 1 ………..………174
附錄 2 ………..……….………...……201
附錄 3 ………...227
附錄 4 ………...230
圖目次
圖 3-1 小海龜螢幕畫面………...………...38
圖 3-2 研究步驟……….….50
圖 4-1 小瓏在活動四設計的正方形指令………..……71
圖 4-2 小瓏在活動五所設計的指令……….…..….….72
圖 4-3 小瓏在活動七（一）指令一的問題回答………...….74
圖 4-4 小瓏在活動七（一）指令二的問題回答………..………74
圖 4-5 小瓏在活動七（三）指令的問題回答……….….……75
圖 4-6 小瓏在活動八（三）指令的問題回答….………...……....76
圖 4-7 小瓏在活動九設計的正方形指令與問題回答……….……….77
圖 4-8 小瓏在活動九設計的全等正方形………78
圖 4-9 小瓏在活動九設計的全等正方形指令與問題回答………..…78
圖 4-10 小瓏在四邊形的辨識………..………..………....79
圖 4-11 小卿在活動四預設的正方形指令………82
圖 4-12 小卿在活動四最後的正方形指令………82
圖 4-13 小卿在活動五設計的正方形指令………...…….84
圖 4-14 小卿在活動七指令一的問題回答……...……….………85
圖 4-15 小卿在活動七指令二的問題回答………..……..………86
圖 4-16 小卿在活動七（三）指令二的問題回答……….……87
圖 4-17 小卿在活動九設計的正方形指令與問題回答………..…..…88
圖 4-18 小卿在﹝活動九﹞設計的正方形………89
圖 4-19 小瓏在活動九設計的正方形指令與問題回答………89
圖 4-20 小卿在四邊形的辨識………..………..…90
圖 4-21 小瓏在活動四設計的長方形指令……….……...96
圖 4-22 小瓏在活動六設計的長方形指令………..….…….…97
圖 4-23 小瓏在活動七（二）指令的問題回答………...………..98
圖 4-24 小瓏在活動七另一個指令的問題回答…...………….………99
圖 4-25 小瓏在活動八（一）指令的問題回答……….………99
圖 4-26 小瓏在活動八（二）指令的問題回答……….………101
圖 4-27 小瓏在活動八（二）對問題的回答……..………….………102
圖 4-28 小瓏在活動八（三）指令的問題回答…….……….………102
圖 4-29 小瓏在活動八（三）設計全等長方形的指令………103
圖 4-30 小瓏在活動八（四）指令的問題回答………..…104
圖 4-31 小瓏在活動八（五）對問題回答…….………..……104
圖 4-32 小卿在活動四預設的長方形指令………..………106
圖 4-33 小卿在活動四最後的長方形指令………..……107
圖 4-34 小卿在活動六的長方形指令………..………...…….…108
圖 4-35 小卿在活動七對問題的回答………..………109
圖 4-36 小卿在活動八的指令設計………..……110
圖 4-37 小卿在活動八所設計的全等長方形指令…………...………111
圖 4-38 小卿在活動八（四）對問題的回答………..……….…112
圖 4-39 小卿在活動八（五）對問題的回答…….……….…………112
圖 4-40 小瓏在活動十一（一）對問題的回答…….………119
圖 4-41 小瓏在活動十一（二）對問題的回答………….………119
圖 4-42 小瓏一開始設計的菱形指令…………..………120
圖 4-43 小瓏最後完成的菱形指令………..120
圖 4-44 小卿在活動十一（一）對問題的回答…………..………123
圖 4-45 小卿在活動十一（二）對問題的回答……….………124
圖 4-46 小卿在活動十一（二）第二個問題的回答……….…………124
圖 4-47 小卿所設計的菱形指令……….……….…125
圖 4-48 小瓏在活動十二（一）對問題的回答……….………130
圖 4-49 小瓏在活動十二（一）對第二個指令問題的回答…….….…131
圖 4-50 小瓏對平行四邊形和菱形的關係認知………..……132
圖 4-51 小瓏在活動十二（二）對問題的回答………..……132
圖 4-52 小瓏在活動十二（二）更改的答案……….………133
圖 4-53 小瓏在活動十二（二）對第二個指令的問題回答……….…133
圖 4-54 小瓏設計第一個平行四邊形指令………..…....134
圖 4-55 小瓏設計第二個平行四邊形指令……….….134
圖 4-56 小瓏在平行四邊形的學習日記……….……….…135
圖 4-57 小卿在活動十二（一）對問題的回答………..………138
圖 4-58 小卿在活動十二（一）對第二個指令的問題回答……..…..139
圖 4-59 小卿對平行四邊形和菱形的關係認知………..140
圖 4-60 小卿在活動十二（二）對第一個指令的問題回答….….….140
圖 4-61 小卿在活動十二（二）對第二個指令的問題回答…..…….141
圖 4-62 小卿在活動十二學習日記的心得……….……….……142
圖 4-63 小瓏在活動十三對指令一的回答………….….………148
圖 4-64 小瓏在活動十三對指令二的回答………..……149
圖 4-65 小瓏在活動十三對指令四的回答………..……150
圖 4-66 小瓏對平行四邊形和梯形的分辨認知…………..…………151
圖 4-67 小卿在活動十三對指令一的回答………..…………153
圖 4-68 小卿在活動十三對指令二的回答……….……….154
圖 4-69 小卿在活動十三對指令三的回答………..……155
圖 4-70 小卿對平行四邊形和梯形的分辨認知………..……155
表目次
表 3-1 小瓏的數學成績………..……….………….34
表 3-2 小卿的數學成績………35
表 3-3 小卿與小瓏上課時間表………..………48
表 4-1 小瓏在前後測對四邊形認知情形………..…………64
表 4-2 小卿在前後測對四邊形認知情形………..…………65
表 4-3 小瓏、小卿在前測對四邊形認知的比較表………67
表 4-4 小瓏、小卿在後測對四邊形認知的比較表………68
表 4-5 小瓏在正方形課程前後的認知成效…………..………92
表 4-6 小卿在正方形課程前後的認知成效………..………93
表 4-7 小瓏、小卿在教學前後對正方形認知成效比較………..……94
表 4-8 小瓏在長方形課程前後的認知成效………115
表 4-9 小卿在長方形課程前後的認知成效………116
表 4-10 小瓏、小卿在長方形學習上的認知成效比較………117
表 4-11 小瓏在菱形課程前後的認知成效………..…………127
表 4-12 小卿在菱形課程前後的認知成效………..………127
表 4-13 小瓏、小卿在菱形學習上的認知成效比較………128
表 4-14 小瓏在平行四邊形課程前後的認知成效………..……145
表 4-15 小卿在平行四邊形課程前後的認知成效……….…….146
表 4-16 小瓏、小卿在平行四邊形學習上的認知成效比較…………147
第一章
第一章
第一章
第一章
緒論
緒論
緒論
緒論
本 章 共 分 成 研 究 動 機、研 究 目 的、名 詞 釋 義 及 研 究 限 制 等 四 節 ， 分 述 如 下 ：第一節 研究動機
美國數學教師協會（ The National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM）提出幾何可以幫助人們用有條理的方式來表現和描述生活中 的世界（NCTM，1991）。但是在西元 1975 年以前，我國國小數學課程明 顯偏向數、計算與實測，對幾何中的圖形概念的分析與解釋較少；西元 1975 年以後漸漸重視有關幾何方面的教材（盧銘法，1996）；在西元 1993 年時， 數學課程將數、量、形等概念再分成為數與計算、量與實測、圖形與空間、 統計圖表、數量關係、術語與符號等六個主題（教育部，1993）；現行九 年一貫課程綱要中，把數學領域分成數與量、幾何、代數、統計與機率、 連結等五大主題。在這五大主題當中，「幾何」是數學教育中相當重要的 課題。因此，數學領域中，幾何課題是值得被研究與討論的。 自 1993 年起，國內的國小數學教科書中的幾何教材主要是以荷蘭數 學教育家 van Hiele 夫婦的幾何學習發展理論為依據來設計課程（朱建正， 1996），可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。van Hiele 的幾何思考 層次理論（thought levels of geometry）可分五個層次（Usiskin, 1982； van Hiele, 1986；吳德邦，1998、1999、2001、2004； 薛建成，2003），分別 是層次一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三： 理論的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五： 邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次。Crowley（1987）說明 van Hiele 的幾何思考層次的特性分別為次序性(sequential)、提昇性
(linguistics)、以及不配合性(mismatch)。 在數學中的「幾何」部分，Duval（1998）認為學童在學習幾何知識時 有三個認知過程分別是視覺（visualization），作圖（construction），與推理 （reasoning）。學童在一般的幾何教學中必須有充分的圖形操弄經驗才能發 展出圖形論證能力（Duval，2002）。所以學童若是在學習幾何當中，單從 老師傳統教法得知某些圖形概念，而不去了解圖形概念真正的意義，便容 易造成幾何方面的迷思。國內外學者在研究國小學童對四邊形概念便發現 學童有不少迷思概念或在辨識上產生困難。學童在四邊形上的迷思概念不 外乎是正方形底邊不是水平的就不是正方形與一個圖形有四個邊，就是正 方形（Clement & Battista, 1992）；學童在四邊形包含關係方面會認為正方 形並不是長方形，正方形、長方形和菱形不是平行四邊形的一種（Burger ＆Shaughnessy, 1986）。國內研究者陳于倩綜合國外學者的研究發現有關四 邊形的錯誤概念是：正方形需要底邊是水平的，而平行四邊形的高就是底 邊的鄰邊，若一個圖形有四個邊，它就是正方形（陳于倩，2002）。有些 兒童不會把特殊的四邊形歸類為四邊形；並且認為四個邊一樣長才是四邊 形（謝貞秀，2003）。 學童在辨認圖形上，可能會因圖形的大小、方位的改變、與邊數、角 數、邊的曲直長短、封閉性等影響而產生迷思概念（盧銘法，1999；沈佩 芳，2002；謝貞秀，2003；Burger＆Shaughnessy, 1986; Elizabeth, 1995）。 國小中年級學童徒手畫出平行四邊形、菱形、箏形較困難（謝貞秀、張英 傑，2003）。國小五年級學童在辨認平面圖形方面會容易忽略圖形的封閉 性與角的特徵，或受到方位與直觀的錯覺影響，且多數低成就學童仍停留 在視覺辨認，未能以構成要素或性質來分析圖形（朱莉文，2005）。Wu 和 Ma(2005a，2005b)的研究顯示，學童在辨識圖形以對辨認圓形是最容易的， 其次是三角形，四邊形是最困難的。
圖形時會因這些迷思概念的影響，導致辨識時產生困難。所以應該要對這 些迷思概念設計幾何教學以澄清學童的迷思概念。在現行九年一貫課程當 中不僅強調學童要有主動探索、解決問題和運用科技與資訊的能力，也希 望透過課程激發學童主動探索、研究的精神以及培養獨立思考與解決問題 的能力（教育部，2003）。不過數學是一門容易引起國內國小學童焦慮的 學科，也是在學習上感到最困難的學科（詹志禹，1997），而且在現行教 育中，有些學童並沒有自我反省、自動學習的能力，依賴老師給予答案， 以低成就學童最為常見。低成就學童常常依賴老師給予其正確答案，對數 學不感興趣，不想動頭腦。蔡文標、許天威與蕭金土（2003）發現數學低 成就學童的數學態度、數學焦慮、數學投入動機與數學成就間有顯著相 關，並且提出引起數學低成就學童的數學投入動機，是教師的任務，而且 教師若能給予適度的關懷與鼓勵，也會減輕低成就學童的焦慮程度。但是 在一般學校數學課程當中，有時無法一一兼顧這些低成就學童，所以要對 這些學童進行額外的補救教學。隨著補救教學理念的發展，只要是學業表 現不及格或學業明顯低於其他同學的學童均可列入補救教學的對象，老師 們也要多運用資訊科技去設計課程，以求提高補救教學效果（吳清山、林 天祐，2003）。 NCTM 提出的中小學數學課程與評量標準，強調所謂「科技原則」 （Technology Principle），指出數學教學應該使用現代科技來幫助學童了 解數學，並且讓學童在逐漸科技化的世界中做好使用數學的準備（NCTM, 2000）。現行的國小九年一貫課程也主張將資訊教育融入各個學習領域。 不僅如此，劉遠楨（2004）也提出資訊科技融入教學時，可以依照學童的 個別差異來做教學上的修正，有利於兒童個別化學習的教學特質。而智力 正常但數學低成就的國小學童若是使用以數學解題歷程為導向的電腦輔 助解題系統，能有效提升其數學解題能力 電腦程式 Logo 在美國是一個受歡迎的教學軟體，美國的教師會透過
電腦程式 Logo 教導學童使用簡單的指令操作螢幕上的小烏龜，從中教導 學童幾何概念。電腦程式 Logo 語言是是一種簡單易學、易懂、易於掌握 的程式設計語言，強調發現、學習、和思考的過程。電腦程式 Logo 的發 明者 Papert（1993）提出電腦程式 Logo 可以提供互動式的學習環境，讓學 童在自由探索中建構自己的知識概念並培養、促進自己的數學認知發展。 在電腦程式 Logo 程式環境中，只需教導學童使用一些簡單的指令，就可 畫出正方形及長方形或其他簡單圖形。當學童嘗試設計指令後，會從中發 現自己是否有概念錯誤的地方，進而修正自己的概念，無形當中提升學童 自己對學習反省的能力。 國外學者研究發現以電腦程式 Logo 為基礎的幾何課程不只可以增加 學童的學習動機，也可幫助學童發展解決問題（problem-solving）的能力， 並且指出電腦程式 Logo 環境不僅提供學童大量的機會練習解決問題，而 且可以幫助學童將問題細分成次問題，並系統化找出錯誤。（Clements ＆ Battista, 1989； Nastasi, Battista, ＆ Clements, 1990）。學童在非結構性的 電腦程式 Logo 環境中，採自由探索式來學習角的知識，不一定會從中獲 得益處（Simmons＆ Cope, 1990）。 國內學者研究發現電腦程式 Logo 對國內學童學習數學也有幫助（王 萬清，1988；李文政，1991；黃文聖，2000；林裕雲，2002）。張富強（1992） 發現學童在電腦程式 Logo 環境中的學習幾何時，會把指揮海龜當作是遊 戲；在繪圖前會先構思圖形的組成要素，猜測繪圖的步驟並修正錯誤。崔 夢萍（1999）研究電腦科技對國小五年級學童創造力及創造思考力的影 響，指出電腦程式 Logo 雖然沒有提升學童的創造力，但是在幾何方面或 許是值得探討的課題。羅昭強（2001）指出可以對九年一貫數學課程的概 念，以遊戲形式來設計 Logo 電腦輔助學習教材，讓學童透過實地操作、 觀察、與嘗試設計電腦程式 Logo 指令，可以增加對數學概念的了解，達
可以減少學童使用嘗試錯誤的策略，提升解決問題的能力與技巧（趙貞 怡、劉傳璽，2004）。但是上述的研究，大部分以電腦程式 Logo 程式為主， 並未融入現行 2003 版的九年一貫數學領域課程綱要幾何課程（教育部， 2003）或是融入九年一貫課程但研究對象是以一般學童為主，未提及對數 學低成就學童的成效與影響。 綜合以上論述，九年一貫的數學課程中幾何教材的編制，是以 van Hiele 理論為主軸，所以如果想要幾何教學達到顯著成效，就必須考慮 van Hiele 理論的幾何特性。在簡單平面圖形的教學時，須考慮學童的認知發 展，澄清其有關四邊形的迷思概念。而國內電腦程式 Logo 尚無以數學低 成就學童為研究對象，所以研究者認為利用電腦程式 Logo 程式融入現行 九年一貫數學幾何課程綱要（教育部，2003）並對數學低成就學童實施有 關四邊形概念的補救教學課程是值得研究探討的議題。因此研究者擬對低 成就學童的四邊形迷思概念，運用電腦程式 Logo 融入九年一貫課程綱要 分年細目去設計幾何補救教學課程，以探討數學低成就學童在學習四邊形 的成效。在實施電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程時，不僅使用認知 衝突的問題以及認知引導策略教學，並讓學童實地操作電腦程式 Logo，讓 他們從中發現自己對四邊形的錯誤迷思概念，進而反省、澄清自己對四邊 形的迷思概念，以提升其幾何思考層次。本研究期待在補救課程後，數學 低成就學童不僅能改善他們對四邊形的迷思概念，並且能在往後的課程中 主動探索、思考幾何問題。
第二節 研究目的
一 一 一 一、、、、根據上述的研究動機根據上述的研究動機根據上述的研究動機根據上述的研究動機，，，，本研究目的如下本研究目的如下本研究目的如下：本研究目的如下：：： （一）探討數學低成就學童在接受電腦程式 Logo 融入幾何補救教學 課程前對四邊形的迷思概念。 （二）探討數學低成就學童在接受電腦程式 Logo 融入幾何補救教學 課程後對四邊形的認知成效。 二、根據以上研究目的所以本研究待答的問題如下根據以上研究目的所以本研究待答的問題如下根據以上研究目的所以本研究待答的問題如下根據以上研究目的所以本研究待答的問題如下：：： ： （一）數學低成就學童接受電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程前 後對四邊形的迷思概念是否有改善？ （二）電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程時，數學低成就學童在 正方形認知成效為何？ （三）電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程時，數學低成就學童在 長方形認知成效為何？ （四）電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程時，數學低成就學童在 菱形認知的成效為何？ （五）電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程時，數學低成就學童在 平行四邊形認知成效為何？ （六）電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程時，數學低成就學童在 梯形認知成效為何？第 三 節 名 詞 釋 義
本節將研究中所涉及的相關名詞，做更近一步的定義與說明，茲分 述如下： 一 一 一 一、、、、 數學低成就學童：智力發展無礙，學習表現卻欠佳的學童， 稱之為「學業低成就學童」（張景媛，1994）。所以本研究的 數學低成就學生並不是智能障礙學童而是數學方面學業低成 就的學童。而研究對象是指經班級導師評定其在數學學習領 域成績低於全班數學領域平均分數，數學學習方面感到有困 難。認識字，且具有簡單基本電腦操作的國小學童。 二 二 二 二、、、、 四邊形：本研究所指四邊形僅限於正方形、長方形、菱形、 平行四邊形與梯形等圖形，未考慮其他特殊四邊形。 三 三 三 三、、、、 迷思概念：本研究所指迷思概念包括收集的文獻資料與「吳 ─薛氏 van Heile 幾何概念測驗」測驗中學童的答題情形（吳 德邦、薛建成，2004）分析出研究學童的迷思概念及學童在 課程中所呈現的迷思概念。 四 四 四 四、、、、 電腦程式 Logo：本次研究使用 StarLogo，Version2.1 版。研究 另外自行在 Logo 畫面螢幕上設計兩個按鈕，一個是「清除畫 面」，另一個是「開始」；在活動八後，設計指令「m」代表小 海龜瞬間移動到畫面它處。學童在指令盤輸入指令前，先按 「清除畫面」後，再按「開始」，最後當學童輸入指令，螢幕 就會顯現圖形。 五 五 五 五、、、、 電腦程式 Logo 程式融入幾何補救教學課程：依據教育部 2003 年頒布九年一貫課程綱要幾何分年細目（教育部，2003）與 參考南一版四、五年級數學教師手冊幾何課程（張英傑， 2004、2005）並參酌學童對四邊形的迷思概念以及專家意見編製課程教材。本課程共 13 項活動，因本文目的在探討學童 對四邊形的認知，故本文只探討其中的九個活動課程。
第 四 節 研 究 限 制
本研究因受限於研究經費、時間及人力、物力等因素，故有一些無可 避免的限制： 一、本研究屬質性研究，研究樣本受限於雲林縣某國小四年級的數學 低成就學童。所得之結果只能解釋該校四年級數學低成就學童的學習表 現，及研究現象的描述和假設的驗證，不宜做廣大的推論。 二、本研究只限於四邊形研究，故不討論其他幾何圖形與立體幾何。 在四邊形教學中也僅侷限於正方形、長方形、菱形、平行四邊形與梯形等 圖形，未討論其他特殊四邊形，如凹四邊形與箏形。故本研究只能解釋數 學低成就學童在實施電腦程式 Logo 融入補救教學後對正方形、長方形、 菱形、平行四邊形與梯形的成效。第 二 章
第 二 章
第 二 章
第 二 章 文 獻 探 討
文 獻 探 討
文 獻 探 討
文 獻 探 討
本 研 究 是 利 用 電 腦 程 式 Logo 程 式 融 入 幾 何 補 救 教 學 來 探 討 國 小 四 升 五 年 級 數 學 低 成 就 學 童 對 四 邊 形 教 學 成 效 之 研 究，本 章 共 分 成 四 節 討 論 。 第 一 節 介 紹 有 關 van Hiele 的 幾 何 理 論 ； 第 二 節 探 討 平 面 幾 何 的 研 究 ； 第 三 節 探 討 電 腦 程 式 Logo 的 特 性 與 研 究 ； 第 四 節 探 討 對 低 成 就 學 童 的 補 救 教 學 研 究 。第 一 節 v a n H i e l e 的 幾 何 理 論
自 1993 年起，國內的國小數學教科書中的幾何教材部分皆是以荷蘭數 學教育家 van Hiele 夫婦的幾何學習發展理論為根據來設計課程，可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。因為本次研究學童在學校使用南一版的 數學科教科書。所以本節探討有關 van Hiele 的幾何思考層次理論。一 一 一
一、、、、van Hiele 的幾何的幾何的幾何思考層次的幾何思考層次理論思考層次思考層次理論理論（理論（（thought levels of geometry）（ ）））
根據 van Hiele 的理論，有關學童的幾何思考的發展模式可分為五個層 次。每一個層次都有獨特的發展特徵。而對這五個層次的描述方式，國內 外的研究者有不同的表達方式，有些研究者（Fuys, 1985; Golinskaia,1997； 盧銘法，1999）使用「層次０、層次一、層次二、層次三、層次四」來描 述 van Hiele 的五個幾何思考層次；有些研究者（Usiskin, 1982； van Hiele, 1986；吳德邦，1998、1999、2001、2004； 薛建成，2003）等則是使用 「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」描述 van Hiele 的五個幾 何思考層次。而本研究採用第二種描述方法，把學童的 van Hiele 幾何思 考層次分為層次一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、 層次三：理論的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、
層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次。茲把這五種層次 介紹如下： （一）層次一：視覺的(visual)層次 此層次的學童可以分辨、稱呼、比較以及操弄幾何圖形。學童經由 視覺觀察具體實物的輪廓，來辨認形體，並依據物體的外觀辨認出物體的 形狀。在視覺下差異不大的圖形，學童們透過移動或旋轉等方式來協助辨 識圖形。學童也使用非標準的數學語言來描述物件的形狀，例如：將像門 形狀的圖形稱之為長方形，將像盤子形狀的圖形稱之為圓形。雖然學童可 以區分不同的圖形如：「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」等，但 是他們不能了解這些名詞的真正意義，不能依據圖形的性質或組成要素進 行分析。因此，這個階段的學童宜多安排感官操作的活動，幫助學童獲得 初步的幾何概念。 （二）層次二：描述的(descriptive)層次 此層次的學童因為具有豐富的視覺辨識經驗，除了可以掌握圖形的構 成要素，還可以依據觀察形體的結果來分析圖形的構成要素與發現圖形間 的共有性質或規則，但是無法解釋性質之間的關係。能描述圖形的定義， 卻不易理解精簡描述的過程。如：在此時學童可以說出長方形有四個邊， 四個角，對邊相等；正方形四邊等長、四個直角，但是他們卻無法理解正 方形也是長方形的一種。所以在此層次的學童，應該安排一些製作及檢驗 的課程，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。 （三）層次三：理論的(theoretical)層次 此層次的學童可以透過非正式地論證可以把先前發現的性質作邏輯 地聯結，並依據圖形的性質進行非正式的推演，進而探索圖形內在屬性關 係及各個圖形之間的相互包含關係。如：四邊形兩雙對邊相等即是平行四 邊形，在了解圖形內在關係後，就可以建立長方形是平行四邊形的一種。
此層次的學童可以使用邏輯推理來證明定理，並且建立相關定理的結 構；能夠在一個公設系統中建立幾何理論，而不是單單記憶圖形的性質而 已。了解到可以不同的方法來證明幾何定理。例如：能證明三角形內角和 是 180 度。
（五）層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次
能夠達到此層次的學童可以以較嚴謹的程度分析或比較不同的公設 體系，建立定理，並比較不同系統的特性。能夠了解抽象系統的幾何概念 並了解公設系統的性質是一致性、獨立性、以及完全性。能夠達到此層次 的人並不多，就算是專業的數學工作者也不容易達到。 二 二 二
二、、、、van Hielevan Hielevan Hielevan Hiele 的幾何的幾何的幾何的幾何思考層次的特性思考層次的特性思考層次的特性 思考層次的特性
對於 van Hiele 幾何思考層次的特性有許多學者做出相當程度的描 述，而根據 Crowley 在 1987 提出，van Hiele 幾何思考層次特性有以下幾 種特性：次序性(sequential)、提昇性(advancement)、內因性與外因性 (intrinsic and extrinsic)、語言性(linguistics)、以及不配合性 (mismatch)。茲將各個特性分述如下(藍同利，2005；吳德邦，1998 ;譚寧君， 1993；Crowley, 1987 ；van Hiele, 1986)：
（一）序列性(sequential) 學童的幾何思考層次發展是循序漸進的，每一個層次的概念來自於前 一個層次的概念。學童必須學習所在層次的各種概念、知識、能力後，才 能順利進到下一個層次的學習。也就是說任何一個特定的層次如果要成功 發展，必須具備前一個層次的概念和思維策略。 （二）進展性(advancement) 提升學童的幾何思考層次的主要經由教學，而不是因為個體的年齡成 長或個體的成熟而有所發展，但是也沒有一種教學方式可以讓學童略過某 一層次而直接進入下一個層次。因此如果學童的幾何思考層次由一個層次
提升到下一個層次的過程，必須經過適當的教學計畫來引導、提昇。 （三）內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)
在幾何思考層次中，學童的某個層次的原有物件，變成下一個層次的 研究目標。例如：學童在層次一中，只可以由圖形的外觀來辨認圖形；但 是，當學童到達層次二時，則是可以由圖形的特徵和組成要素來進行分析。 （四）語言性(linguistics) 學童在每一個層次都有自己屬於該層次獨特的語言、符號，以及這些 符號之間的關聯系統，所以即使學童使用和數學性質相同的名詞，其代表 的意義也不同。也就是說即使是相同的文字，在不同的層次解讀也是不同 的。因此在某一個層次中屬於正確的語言時，當到了另一個層次中，可能 就必須經過修正才能符合真正的概念。 （五）不配合性(mismatch) 根據 van Hiele 幾何思考層次的語言性，每一個層次都有自己獨特的語 言、符號。若學童的幾何思考層次屬於層次一，而教學者的教學設計，運 用的語言符號，卻是在層次二或層次三，那麼學童的學習成效就達不到預 期成效。所以教學者在幾何課程的教學中必須配合學童的幾何層次發展。 三、學童在 van Hiele 幾何思考層次中各層次的具體表現（Fus，1985）
（一）層次一：視覺層次（visualization） 1、 可以依據幾何的圖形的整體外貌辨識形狀。 2、 可以作圖、繪製或複製圖形。 3、 可以依據圖形外貌，進行比較或分類活動，並能用語言描 述幾何圖形。 （二）層次二：描述層次（descriptive） 1、 可以確認並檢驗圖形組成元素的關係。 2、 可以說出圖形組成元素名稱並使用適當的辭彙來描述彼
3、 可以依據組成元素之間的關係比較圖形的不同。 4、 可以經由實驗中發現特殊圖形的性質，並歸納且能利用圖 形的性職籃解決幾何的相關問題。 （三）層次三：理論的層次（theoretical） 1、 可以辨認圖形的性質並檢驗充分性。 2、 定義某種圖形。 3、 可以提出非形式化的論證。 4、 不能了解定義及假設需要。 5、 還未建立定理網絡之間的關係。 （四）層次四：形式邏輯的層次(formal logic) 1、 可以正確辨識出正式定義的特性與等價的定義。 2、 在公設系統下，證明層次二所提到的定理。 3、 在相同公設系統下，建立並了解定理、定義之間的關係， 並可寫出自己的邏輯證明。
（五）層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次 1、 在不同的公設系統下建立定理並比較。 2、 找出解決問題的一般方法。 3、 比較公設系統並自動探討其變動後的影響。 小結： 從 1993 年起實施的國小數學課程中，無論是 1993 年版的數學課程或 是 2003 年版的九年一貫的數學課程，幾何教材的編制，均是以 van Hiele 理論為主軸，可見 van Hiele 理論在國內受到一定程度的重視。國小低年級 學童大都在層次一，所以對幾何圖形的了解須藉著操弄實物與堆積、分 類、觀察、描述與比較等具體經驗，具備了這些經驗後，才能達到較高層 次；而中年級學童大概可以達到層次二；高年級的學童大約在層次二與層 次三之間。要讓四升五年級的數學低成就學童提升其幾何思考層次，從層
次一提升到層次二時，就必須考慮到 van Hiele 理論的幾何特性才能達到較 好的教學成效。所以由了解 van Hiele 幾何層次之間的特性，再與學童的幾 何思考層次去設計幾何補救課程，以提升學童的幾何思考層次，是本研究 目的之一。
第二節 幾何圖形
我國國民小學數學課程在西元 1975 年以前，明顯偏向數、計算與實 測，對幾何中的圖形概念的較少著墨；1975 年以後漸漸較重視幾何（盧銘 法，1996）； 1993 年時，再將數學中的數、量、形分為數與計算、量與實 測、圖形與空間、統計圖表、數量關係、術語與符號等六個主題（教育部， 1993）；在現行九年一貫課程綱要中，將數學分為五大主題：數與量、幾 何、代數、統計與機率、連結。幾何是數學領域的五大主題中，佔有相當 重要的課題，教師在教導學童學幾何時，應讓國小學童從操作中辨識各種 簡單幾何形體和性質，之後再加入簡單的推理性質及幾何形體彼此之間的 關係，為以後國中的幾何課程奠下良好的基礎（教育部，2003）。因此， 數學領域中，幾何課題是值得被研究與討論的。因此本節討論平面幾何相 關的研究。 一 一 一 一、、、、幾何圖形幾何圖形幾何圖形幾何圖形 美國數學教師協會在西元 1991 年提出幾何是研究空間的形狀和關 係，而且幾何可以幫助人們用有條理的方式來表現、描述週遭生活的世界 （NCTM，1991）。人們透過知覺與世界互動的探索當中，發現世界上的事 物有些可以滾，有些可以堆疊，便進一步分析歸納，分出平與曲這兩種屬 性，於是便形成平面與曲面的概念。在這種探索中還可以分析出許多有用 的屬性，如形狀、大小、方向等。而依據這些屬性，幾何學家就建立了幾何學問，並產生一些幾何系統（劉秋木，1996）。幾何概念與表徵是數學 與真實世界溝通的重要方式，且與數學其它領域緊密連結（左台益， 2001）。但是有些學童的幾何概念大都是背誦（Mayberry,1983），並不是 從觀察、操作中所學習累積而來的，如此背誦的圖形性質便足以阻礙其幾 何課程教材的學習了。 劉好（1985）研究發現大多數的師專生無法根據題意畫出適當的幾何 圖形並詳細描述圖形原因可能在小學階段的幾何圖形中，沒有把概念化的 圖形特徵當作是構圖要素。由此可知國小幾何的教學會影響日後的幾何學 習，所以國小幾何教學有其的重要性。Duval(1995)認為幾何圖形的瞭解 (appprehesion)可分成知覺性瞭解、構圖性瞭解、論述性瞭解、操弄性瞭解等。所 以學童在學習幾何知識時有三個認知過程：第一過程是視覺，在圖形表徵 認知上，可能是表象圖形如線條與形狀的組織體，也可能是角、平行、平 行等幾何意義；第二個過程是作圖，根據作圖工具再製圖形的過程對學童 發現圖形中的幾何意義有幫助；第三個過程是推理對幾何圖形進行論說或 證明。而且在幾何教學方面應該要獨立發展學童的視覺、構圖與推理等認 知過程；不可缺少區分不同的視覺過程及推理；等分區活動成熟後才能整 合三種認知過程（Duval，1998）。所以學童在一般的幾何教學中必須有充 分的圖形操弄經驗才能發展出圖形論證能力（Duval，2002）。 盧銘法（1999）以 van Hiele 幾何思考層次與試題關聯結構分析做探 討，自編幾何圖形測驗對國小四到六年級學童進行施測，發現不同年級學 童的四邊形概念有所差異。各年級在 van Hiele 各層次上的分布與比較上來 講，國小四、六年級學童四邊形的概念上大約一成多未達 van Hiele 層次 一。而這些學童在 van Hiele 的各層次的分布，以層次二的人數最多，層次 一的人數次之，層次三的人數最少；而在 van Hiele 層次的分布不受性別的 影響。
國小學童平面幾何圖形概念測量工具對中部地區學童施測發現：在基本幾 何圖形概念上，接受九年一貫數學課程大部分的一至六年級學童均可分派 至某一個 van Hiele 幾何思考層次。 左台益和梁勇能（2001）研究國中學童幾何能力指出幾何教學應適當 融入空間視覺與操作活動以增進學童幾何學習效果。張英傑（2003）利用 診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷思概念的研究中讓學童實 際操作 GSP 動態幾何軟體來模擬長方形、菱形、平行四邊形，並依據診斷 教學的模式，先診斷出學童的相關迷思概念，接著與學童舊有的學習經驗 連結起來，最後再製造認知衝突以澄清學童的迷思概念。研究結果顯示診 斷教學前後有顯著差異，而延後測與後測則無顯著差異，這表示學童在診 斷教學後概念的幾何保留成效良好。 幾何課程而言，亦為先認識具體的形體，再瞭解其中的性質，因此不 論是教學或評量設計，若能增加學童觀察、動手玩數學的機會，必能提高 學童學習數學的興致，也能使教學達到事半功倍之效（陳于倩，2002） Wu 與 Ma(2005a, 2005b)有關國小學童辨認簡單平面圖形不同類型的 研究，從台灣地區二十三個縣市中隨機抽取ㄧ到六年級的小學童共 5581 位做為施測樣本，使用吳氏幾何測驗(Wu’s Geometry Test 簡稱WGT) 為測 驗工具。該測驗全部都是 van Hiele 幾何思考層次一的題目，共有 25 題選 擇題，，包括了三角形、四邊形和圓形。該研究的主要結果顯示： （一） 國小學童在直線和曲線圖形的辨認是最容易的，整體的通過 率達到 93.42%。 （二） 學童對於判斷特大鈍角的圖形是為最困難，因為他們需要方 向和位置的概念，所以在特大鈍角圖形的辨認通過率僅達到 54.85%。 （三） 學童對寬和窄圖形的答對率只有58.56%，對不同大小圖形的答對
（四） 學童在辨認圖形上以圓形的圖形是最容易辨識出的，其次是 三角形，四邊形則是最困難的。 二 二 二 二、、、、四邊形的迷思概念四邊形的迷思概念四邊形的迷思概念四邊形的迷思概念 國小學童在平面圖形上的辨識以圓形的圖形是最容易辨識出的，其次 是三角形，四邊形則是最困難的（Wu＆ Ma, 2005a, 2005b）。由此可知國 小學童對四邊形學習方面可能較有困難，容易產生迷思概念。 國外的研究者 Burger 與 Shaughnessy（1986）在晤談學童時，發現在 定義四邊形時，年級較高的學童會以四邊形的性質來做說明，而有些年級 較小的學童仍會受到方位的影響。在四邊形包含關係方面，有些孩子有迷 思概念如：長方形一定要有一對較長的邊和一對較短的邊，所以便會認為 正方形並不是長方形；而對平行四邊形的迷思概念則是兩條平行線等長並 且要連接兩條等長的斜線，所以這些學童便認為正方形、長方形和菱形不 是平行四邊形的一種。 Clement 與 Battista（1992）整理多位研究者的研究結果，發現有關學 童在四邊形上的迷思概念不外乎是若正方形底邊不是水平的，則它就不是 正方形及有一個圖形有四個邊，就是正方形。 Elizabeth（1995）的研究顯示影響孩子在測驗時對圖形的認知以最初 對圖形的知覺和觀念最為強烈。此外也發現視覺的知覺限制導致圖形認知 障礙，同時也影響學童的測驗結果。而四邊形的方位也會讓學童感到疑 惑。另外 Monaghan（2000）以紙筆測驗英國中學童發現學童深受長方形 原型的影響，認為正方形是四邊等長，而長方形有兩雙相對且等長的邊， 其中有一雙較長，一雙較短，所以學童很難能描述出來正方形是一個特殊 的長方形的包含關係 ；而且因為學童心中普遍存在平行四邊形的原型 是 ，所以認為長方形並不是一個平行四邊形。
國內研究者陳于倩綜合國外學者（Hoffer, 1983； Fuy, Geddes ＆ Tischler, 1988； Clement ＆ Battista, 1989；引自陳于倩，2002）發現有關
四邊形的錯誤概念如下： 1. 假若正方形底邊不是水平的，則它就不是正方形。 2. 平行四邊形的高就是底邊的鄰邊。 3. 四邊形的內角和等於其面積。 4. 長方形的面積可以用畢達哥拉斯定理（Pythagorean theorem）計算 出來。 5. 假若一個圖形有四個邊，它就是正方形。 6. 具有相等周長的四邊形，其面積相等。 林軍治（1992）研究國內國小學童容易產生四邊形的錯誤概念，指出 以下幾點： 1. 正方形不是長方形的一種。 2. 無法正確指出「兩組對邊分別平行」的四邊形。 3. 當長方形被對角線分割後，無法關聯兩個三角形全等的關係。 4. 平行四邊形被對角線分割後，無法關聯等分成兩個三角形的關係。 我國國小中年級學童辨識圖形時，可能會受圖形的大小、方位、邊數、 角數、邊的曲直長短、封閉性等影響而產生迷思概念（盧銘法，1999；高 曜琮，2002）。沈佩芳（2002）探討國小高年級學童對平面幾何圖形概念 的認知程度，發現高年級學童在辨認圖形上，容易受到圖形的「方位」、「變 形」、「原型」及組成要素的干擾，產生迷思概念。 高耀琮、張英傑（2003）的研究指出兒童在正方形的辨認上，受到圖 形的方位影響是最明顯的，尤其是底不是水平邊的正方形，學童會因為圖 形歪歪的或斜斜的，所以辨認圖形為不是正方形。在長方形的辨認上，可 能會受「形狀長長」的長方形原型的影響，卻忽略「直角」的性質。所以 學童容易把平行四邊形當作是長方形，尤其是一年級的兒童具有強烈「長 長的」長方形原型影響最明顯。
次，發現所有受試者當中，對於九大不同類型圖形（開放與封閉圖形、凹 凸圖形、直線與曲線圖形、方位不同的圖形、不同大小圖形、鈍角特大圖 形、寬圖形與窄圖形、圖形外圍邊線粗細、填滿圖形與中空圖形）的表現， 以對圖形直線與曲線的判別較易達成，而對於旋轉圖形的判別是有困難 的。 周先祝（2003）研究對國小六年級學童四邊形概念中，對於各種學童 容易辨認錯誤四邊形的圖形，分述如下： 1. 辨識四邊形圖形部分：約有四成左右的學童認為 是一種四邊 形，可能的原因是對弧或角的概念不夠清楚。 2.正方形圖形辨認部分：將正方形旋轉成 ，學童辨識上就有困難。 3.長方形圖形辨認部分：易將 當成長方形。 4.菱形圖形辨認部分：超過六成的學童會將箏形視作菱形。 5.平行四邊形辨認部分：一般學童常見到的平行四邊形為 ，認 為平行四邊形上下對邊較長，左右對邊較短；一旦將它轉向成 ， 就無法認識。 6.梯形辨認部分：大部分的學童認為 才是梯形的標準形狀；有些 學童認為 和 不是梯形。 謝貞秀、張英傑（2003）在探討國小三四年級兒童平面幾何圖形的概 念，發現國小中年級兒童辨識圖形可能會受圖形的大小、方位、邊數角數、 邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，產生迷思概念。另外， 也發現這些兒童若是讓他們徒手畫出平行四邊形、菱形、箏形較困難。 謝貞秀（2003）發現有些兒童易受方位影響，認為正方形一定是正正 的，菱形一定是斜斜的；認為長方形是「長長的」形狀，卻忽略直角的性 質；在四邊形的辨識上，三年級的通過率高於四年級，有些學童不認為特 殊的四邊形（菱形、梯形、箏形）是四邊形；且認為四個邊一樣長才是四 邊形。
張英傑（2003）利用診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷思 概念的研究結果中發現，學童出現「認為正方形不是長方形」、「認為正方 形不是菱形」、「認為長方形不是平行四邊形」、「認為菱形不是平行四邊 形」、「認為正方形不是平行四邊形」五項迷思概念。 Wu 與 Ma( 2005a, 2005b)對簡單平面圖形不同類型的研究，結果顯示， 國小學童對直線和曲線圖形的辨認是最容易的；對判斷特大鈍角的圖形是 最困難的，因為學童需要方向和位置的概念才能答對；另外學童對辨認四 邊形是最困難的。 朱莉文（2005）採調查研究法探討國小五年級學童對於平面圖形學習 的表現情況及迷思概念。在四邊形方面有以下發現： 1.三分之一的學童在辨認平面圖形方面容易忽略圖形的封閉性與角 的特徵，或受到方位擺放與直觀的錯覺影響其辨認。 2.五年級學童對四邊形的組成要素大都清楚，但不少學童對圖形角與 角量的理解混淆。 3.從文字敘述特性找出符合的四邊形表現上，許多學童常只注意圖形 一般化的定義特性，但對於包含關係的概念尚未清楚。 4.學童在察覺各類形狀所屬類別的四邊形會受到直觀的視覺誤差和 方位改變所影響。而察覺圖形的直角與平行邊會受到方位、等邊或 等角所影響。 5.高、中、低成就學童在平面圖形學習的表現：大多數高成就學童， 各概念大都清楚；少數中成就學童會受到方位影響或以視覺觀點辨 認；多數低成就學童仍停留在視覺辨認，未能以圖形的構成要素或 性質來分析。 6.探討學童在平面圖形所產生的迷思概念的原因有受到直觀上視覺 的誤差與方位變化的影響，或因為對圖形性質的認知不完整與死
學童在上課中操作或實際測量的經驗不足所致。 小結： 從 Duval（1998，2000）在幾何的論述與以上國內外的研究顯示，我 們可以得知對於簡單平面圖形的教學必須考慮學童的認知發展，必須盡量 讓學童操作、體驗各種圖形，讓學童認識各種簡單幾何形體後再加入適當 的簡單推理。國內外的研究顯示國小學童在辨認圖形時，容易受到方位、 大小、邊的特性、或特殊四邊形等影響，導致產生迷思概念或發生辨識困 難的情形。國小 4、5 年級學童正處於九年一貫數學領域的階段二，在這 階段二中，老師若未能及時針對學童澄清有關四邊形的迷思概念，那麼在 邁向九年一貫第三階段，甚至於就讀國中後，對於其後續幾何概念的學習 可能會產生更多的迷思概念。所以本研究的目的想對數學方面的學業性低 成就學童設計提升幾何思考與四邊形認知的幾何教學課程。
第三節 電腦程式 Logo 的特性與研究
電腦程式 Logo 提供一個良好的學習環境，學童藉由操弄簡單的程式 指令，可以建構出超越本身認知發展階段所建構的知識和能力。所以受到 不少國外學者的喜愛，也有國內學者使用此程式去研究有關學童幾何議 題，所以本節將討論有關電腦程式 Logo 的發展、特性與相關研究。 一 一 一一、、、、電腦程式電腦程式電腦程式電腦程式 LogoLogoLogoLogo 的發展理念和特性的發展理念和特性的發展理念和特性的發展理念和特性
電腦程式 Logo 是 1967 年 Papert 在麻省理工學院（M. I. T.）人工智慧 實驗室，基於 Piaget 的建構理論，正式推出第一個版本，小海龜（Turtle） 是一個機器人，會接受電腦程式 Logo 指令，在地板活動留下移動的痕跡。 當初程式設計者如此命名（Logo）是希望把這程式語言當作一種思考對
象，來激盪兒童的心智發展。所以電腦程式 Logo 語言是一種易學、易懂、 易於掌握的結構化程式設計語言，學童在掌握了一些簡單的指令後，可以 在電腦程式 Logo 環境中，從發現和探索中自我學習，激發進一步的學習 興趣。
電腦程式 Logo 的程式發明者 Papert（1993）覺得電腦程式 Logo 是提 供一個互動式的學習環境，讓學童從自由探索中建構自己的知識概念。而 在電腦程式 Logo 環境當中學童只要使用一些簡單的指令，如：前進 10 單 位（FD10）、後退 10 單位（BK10）、左轉 60 度（LT60）、右轉 90 度（RT 90）等指令，讓學童畫出正方形及長方形或其他圖形。學童在嘗試設計指 令後，會從中發現自己是否有概念錯誤的地方，進而修正自己的概念，無 形中就能加強學童自己對學習反省的能力。 國內學者尹玫君（1991）指出電腦程式Logo是一種學習如何思考的程 式語言。而由於電腦程式Logo 語言的特性，在電腦程式Logo 的教學環境 中，學童會從找出錯誤的過程中，將注意力集中在重要的問題上，修正並 建立他們自已解決問題的方法，甚至可以影響到以後對類似問題的處理能 力。高豫（1998）分析 電腦程式Logo 語言的特性，也認為 電腦程式Logo 有趣味、對學童友善、無限、可擴充及交互反應等五種教育上的意義，值 得在國中小各級學校推廣的電腦語言。徐龍政（1995）探討中文版電腦程 式Logo作為國小資訊課程初學者語言之適用性時，因為電腦程式Logo適用 性相當，所以建議國小課程可以選用 電腦程式Logo當作國小學童初學者 的電腦語言。鄭慧娟（1994）以電腦程式Logo語言當作例子，說明在這電 腦程式語言世界裡，學童可藉著探索來認知、開發自己的邏輯思考能力及 培養解決問題的能力，也就是說學童可以主導使用電腦程式來學習，而不 只是用電腦程式來教導學童而已。 從以上研究可得知電腦程式Logo語言受到學者專家的肯定（林裕雲，
（一）電腦程式Logo語言不分大小寫，而且提供簡碼指令，兩個英文 字母就可以形成一個指令，所以指令簡單、適合初學電腦者。 所以學童可以一邊探索指令，一邊熟悉鍵盤的輸入與軟體的操 作方式。 （二）電腦程式Logo是以程式設計者的觀點來解題：在解題的過程 中，利用前進、後退、左轉、右轉等日常用語，程式設計者十 分容易把自己想像成是畫面中的小海龜來完成程式設計工作。 （三）繪圖能力強大：以簡單的前進(FD)、右轉(RT)、提筆(PU)、下 筆(PD)、重複(RP)等指令，即可完成許多複雜圖形的繪製。 （四）具創造性思考：電腦程式Logo具有創造性思考的特性，而且可 以探討數學上幾何、算術、統計等等問題。在學習程式設計的過 程中，與平日在數學上學到的基本幾何、算術、統計概念互相配 合，探索解題的要領與技巧，對於學童思考習慣的養成，有十分 重要的幫助。 以程式語言和教導學童的觀點，電腦程式Logo語言還有下列特性（陳 勝利,1988；尹玫君,1990，林裕雲，2002）： （一）電腦程式Logo是一種程序語言（Procedural language），能以簡 單命令組成程序，而是將問題分為一個個小段落，再以個別不 同的程序來完成。 （二）電腦程式Logo是互動式的電腦語言（Interactive language），電 腦程式Logo的使用者在鍵入一個指令後可以馬上執行，也可以 直接進行編輯或修改。 （三）電腦程式Logo具有擴充性，可以創造新的指令，並當作原始指 令的使用，增加學童自由探索的機會。 （四）電腦程式Logo包含圖標幾何（Turtle Geomery）的設計，讓兒 童使用前進，後退，左轉，右轉的指令，在螢幕上繪圖，趣味
橫生。 （五）電腦程式Logo具有趣味性：電腦程式Logo是為了發展一種學習 的、解決問題的語言。學童可以用簡單的文字、指令，用嘗試 錯誤、自我探索的方式來指揮海龜前進、後退、左轉、右轉， 畫出有趣又富變化的圖形。 （六）電腦程式Logo具有增進認知技能，創造力及解決問題的能力。 在電腦程式Logo的教學環境中，就是掌握了這個信念，希望能 幫助兒童的認知技能、創造力及解決問題能力的發展。 從以上可以得知，電腦程式Logo程式是一種電腦輔助學習工具 （Computer-Assisted Learning），學童在這個環境中，藉由操弄簡單的程 式指令，可以建構出超越本身認知發展階段所建構的知識和能力。 二 二 二 二、、、、國內國內國內國內外外外外研究研究電腦程式研究研究電腦程式電腦程式電腦程式 Logo 的的的的相關文獻相關文獻相關文獻 相關文獻 電腦程式 Logo 在國外有相當多的研究，Papert（1993）覺得電腦程式 Logo 可提供學童互動式的學習環境，讓學童自由探索，進而建構自己的知 識結構。
國外研究者發現（Clements ＆ Battista, 1989； Nastasi, Battista, ＆ Clements, 1990），以電腦程式 Logo 為基礎的幾何課程不只可以增加學童的 學習動機，也可以幫助學童發展解決問題（problem-solving）的能力。 他們並指出電腦程式 Logo 環境是以烏龜的圖形為游標，容易學習；且又 因電腦程式 Logo 提供一個充滿問題的環境，學童就有大量的機會可以練 習如何解決問題，再加上電腦程式 Logo 語言的結構可以幫助學童將問題 細分成次問題，就可以系統化找出錯誤。 Simmons 與 Cope（1990）的研究中，測試了 59 位年齡介於 9 至 12 歲之間的學童，而且已經學習電腦程式 Logo 至少三個月。指出學童在用
內角可能會產生疑惑。學童在使用電腦程式 Logo 畫圖時，必須清楚了解 外角的概念（小烏龜旋轉的角度），但是研究中發現大部分的學童將內角 與外角的概念弄錯了，例如：54 個學童可以順利用電腦程式 Logo 指令， 畫出正方形的圖形；但只有 14 位學童可以畫出三角形。這是因為正方形 當中，內角與外角的角度均是 90 度，所以可以畫出正方形，但是三角形 就沒有辦法。也就是說，學童可能認為小烏龜旋轉時的角度就是內角。但 是在三角形中，這樣不清楚的概念便會造成問題，因而無法順利地使用電 腦程式 Logo 指令，畫出三角形的圖形，除非學童清楚的知道在電腦程式 Logo 內角與外角的差別。因此，Simmons 與 Cope 的研究結論是：學童對 於角及旋轉的概念是不完整的；而任由學童在非結構性的環境中，使用電 腦程式 Logo 進行探索式的學習（老師過少的介入），不一定對學童在學習 角的知識中獲得益處。因此本研究會從課程中觀察學童，若其需要適時給 予協助，則教師會給予協助。 Olive（1991）的研究中，分析 14 歲學童在設計四個電腦程式 Logo 程 式工作的情形。發現電腦程式 Logo 環境中，烏龜游標提供的立即回饋會 干擾學童的思考，所以學童並無法進入問題的核心，僅僅停留於視覺的思 考上。顯然的，學童在電腦程式 Logo 環境中解決問題時，喜歡使用立即 回饋、嘗試錯誤的策略，並不是分析思考的策略。 另外，在 Simmons 與 Cope（1993, 1994）的研究中，觀察在非結構性 的電腦程式 Logo 教學中，學童於兩種不同的電腦程式 Logo 環境進行探索 式的學習。一組是將電腦程式 Logo 環境中的游標造型改變，把小烏龜改 成圓形小球，如此學童無法得到立即回饋，例如：當學童下達左轉 60 度 時，無法從圓形小球立即判斷到底轉了什麼方向。另一組則是維持小烏龜 的造型，所以學童可以由小烏龜頭部所指的方向得到立即回饋；也就是 說，當學童下達左轉 60 度時，可以知道左轉 60 度的方向。研究結果指出： 正常電腦程式 Logo 環境下，立即回饋會阻礙學童使用解決問題的策略，
所以若要發展更高層次分析思考便會造成障礙；在解決問題時，因為受到 立即回饋的影響，所以學童會使用嘗試錯誤（trial-and-error）的學習策略， 而不是分析思考的策略；限制立即回饋會降低學童使用嘗試錯誤的學習策 略，所以反而可以幫助學童發展更高層次分析思考及解決問題的技能。因 此 Simmons 與 Cope 建議若是在非結構性的電腦程式 Logo 教學方式中， 要讓學童進行自由探索的學習時，必須限制學童使用立即回饋。
Clements, Battista 與 Sarama (2001）研究發現透過 Logo 學習幾何後， 有些學童會從原本直觀的概念提升到複雜化的與精緻化的角、角度和旋轉 的概念；另外也有學童在學習後注意到圖形的幾何性質，以特性代替視覺 來思考，也就是說這些學童透過 Logo 教學後，在了解幾何形狀的能力有 明顯進步，也幫助學童提升其 van Heile 的幾何層次。 除了國外對電腦程式 Logo 有不少研究，國內的學者也有一些學者研 究電腦程式 Logo。如：王萬清（1988）認為如果能使用設計好的電腦程式 Logo 問題解決課程有益於學童問題解決能力發展。李文政（1991）認為電 腦程式 Logo 是根據皮亞傑的學習理論發展出來的電腦程式，而這種電腦 程式可以提供學童主動學習的環境，協助老師以一種新的方式來觀察學童 學習過程。 張富強（1992）以質的研究法探究學童在電腦程式 Logo 環境中的學 習幾何的情形。用教學實驗的方式觀察五名學童在電腦程式 Logo 環境中 的作為時，發現學童把指揮海龜當作是遊戲。而且學童在繪圖之前會先思 考圖形的組成要素，在繪圖當中，也會嘗試與猜測繪圖的步驟，並主動修 正錯誤到最滿意的程度。當較困難的問題出現時，學童會藉助紙筆，並利 用電腦來驗證想法。另外，學童也會把先前的經驗和知識用在指揮海龜作 圖。並從操作中發現數學關係，應用或推廣自己建構的數學。而學童有指 揮海龜繪圖的經驗後，在電腦程式 Logo 環境中自信心增強了，不會畏懼
崔夢萍（1999）在研究電腦程式 Logo 對國小五年級的創造力及創造 思考力的影響，指出電腦程式 Logo 對學童創造力提升空間不大，但在幾 何方面或許值得研究。黃文聖（2000）認為在電腦程式 Logo 的環境下， 提供學童不會恐懼犯錯的學習環境，透過電腦程式 Logo 程式設計可以發 展學童計畫能力，解題策略、理解數學概念，加強學童後設認知與認知發 展。林裕雲（2002）在研究實施電腦電腦程式 Logo 程式設計教學對台灣 國小學童解題能力之影響發現學童在接受電腦程式 Logo 程式設計輔助解 題策略之學習課程之後，其整體的解題能力有顯著的進步，且解題能力進 步的情形不因性別、語文成就、數學成就的不同而有顯著的改變。男、女 性別因素並未造成受試者「電腦程式 Logo 課程」學習成就的差異。 羅昭強（2001）在研究國小 Logo 電腦輔助學習時，提出可以運用電 腦程式 Logo 的指令，以遊戲的形式設計 Logo 電腦輔助學習教材，讓學 童在遊戲中不知不覺中學習、熟悉電腦程式 Logo 的指令，並且應該要一 一列出九年一貫課程的各個數學概念的指標，透過認知發展層次與基因分 解理論，將數學概念當成基模，再從中設計成電腦輔助學習教材，而這些 學習教材應該以學習工作單方式呈現，學習內容應該符合學童的認知發展 層次。使得學童透過 Logo 課程後能減輕數學概念的認知複雜性，激發對 數學概念的思考。當學童透過實地操作、觀察、與嘗試設計電腦程式 Logo， 可以增加對數學概念的了解，達到過去他們不易達成的高層次思維模式與 技巧的掌握。 趙貞怡與劉傳璽（2004）在研究結構性 Logo 環境對國小學童在角和 旋轉認知及解決問題策略之影響，先根據 80 位公立國小五年級學童學童 的基本幾何測驗成績隨機分配兩組，進行五週的 Logo 單元課程活動。研 究中發現兩組學童對於角和旋轉的概念與認知上的成績均進步了，但是當 Logo 環境有結構性的教學設計與老師正確的介入時，學童表現會更好；換 句話說，Logo 的教學方式與教師的教學才是課程當中能有效幫助學童發展
幾何概念與解決問題的關鍵因素，最後並指出在正常的 Logo 環境下，結 構性強的教學設計可以減少學童使用嘗試錯誤的策略，並幫助學童發展及 提升解決問題的能力與技巧。馬秀蘭、吳惠娟與吳德邦（2006）研究一位 數學低成就學童在電腦程式 Logo 環境學習四邊形的成效，發現電腦程式 Logo 語言可以改善學童在正方形、長方形與平行四邊形的認知。 小結： 根據以上研究顯示，雖然電腦程式 Logo 對提升學童創造力不明顯， 但是對一般學童在幾何教學有不錯的成效，在教導學童角度與旋轉的概念 上也有所幫助，更能提升其發展與解決問題的能力和技巧。所以研究者擬 對低成就學童的四邊形迷思概念研發一套電腦程式 Logo 融入幾何補救教 學課程教材，且符合九年一貫課程數學領域幾何分年細目、學童的幾何認 知發展、澄清其四邊形迷思概念，設計符合課程的學習作業單，希望學童 能在課程中學到幾何的概念並加強學童幾何概念與思考。在實施電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程當中時，除了適時從旁給予協助輔導之外，並 利用認知衝突的問題讓學童體認到自己錯誤的四邊形概念，反省、澄清自 己的四邊形迷思概念，並提升其幾何思考層次。
