國立臺灣大學工學院工業工程學研究所 碩士論文
Graduate Institute of Industrial Engineering College of Engineering
National Taiwan University Master Thesis
有限產能分配下之產品導入與最適定價策略
Optimal Pricing and Limited Capacity Allocation Strategies under Product Rollovers
蔡榛芸 Chen-Yun Tsai
指導教授：黃奎隆 博士 Advisor: Kwei-Long Huang, Ph.D.
中華民國 109 年 7 月
July, 2020
i
口試委員審定書
ii
致謝
時光飛逝，兩年研究所生活也隨著畢業論文口試的結束而悄悄地邁入尾聲，
回想起這兩年的碩士生活，或許有時會碰到困難，但也因為這些挑戰著實讓我成 長不少，感謝一路幫助我的人們。
最先需要感謝的人是我的指導教授黃奎隆老師，想當初研究所考試剛放榜，
願意收一個對於自己想研究哪方面領域都不清楚的我，讓我成為黃 G 的一名成 員並給予我許多研究方向及指導，那時真的覺得很幸運能愈到這麼好的教授，每 當在論文研究上碰上難題或挫折時，黃教授也能適時為我指點迷津，提供許多方 法及建議讓我順利完成本研究，除了課業上接收老師許多的幫助外，在心理層面 或是生活上也經常感受到老師如父母般的關心與照顧，十分溫暖。當然也須特別 感謝本次擔任口試委員的郭佳瑋老師與羅明琇老師在口試時願意提供許多研究 上的建議供我於後續改善本研究的缺點部份，讓我的研究能夠更精進完整呈現。
再來我想感謝的是奕和、嘉修和碩一與我們一起奮鬥過的偉志、雅嵐，研究 所這兩年大家一起修課、做報告、討論學業，彼此互相幫助、學習，從你們身上 學到很多，一起度過無數個奮鬥的夜晚，一起討論未來，很開心研究的路上有你 們的陪伴，讓我不覺得自己是孤軍奮戰才能順利撐過兩年的研究所生活，我想以 後的我會懷念與你們一起吃飯、唱歌和聊天的日子吧！
最後要感謝的是我的父母與妹妹，有家人的資助與支助才能讓我無憂無慮的 完成並獲得碩士學歷，從小到大無論我做什麼決定總能獲得你們的支持，這樣子 對我來說是很大的前進力量，成長的路上是你們讓我成為一個為人正直、有勇氣 向前衝、不怕吃苦的女孩，謝謝這24 年來的照顧，未來將是我報答你們的時候 了。
iii
摘要
由於科技快速進步與消費者消費型態的轉變，產品生命週期愈來愈短，新產 品不斷推陳出新，市面上販售多世代產品現象已成為常態。假設公司生產新產品 的資源有限，供應商提供新產品給下游零售商的量因而受到限制，因此廠商需做 產能分配規劃，供應商依照第一期的銷售量提供第二期新產品的訂購量，其中產 能分配規則包含轉嫁分配(Turn-and-earn Allocation)及固定均分(Fixed Allocation)，
而生產舊產品技術成熟，因此產能不受限制。當供應商有兩種不同供應策略時，
其中一個為單一產品策略(Single Rollover)，即在第二期供應商只提供新產品讓顧 客選擇購買與否，另一個為雙產品策略(Dual Rollover)，即在第二期提供新舊兩 世代的產品。本研究假設一供應商在產能限制下需決定使用何種產能分配規則 (Capacity Allocation)及產品導入策略（Product Rollovers），亦稱為產品滾動，並 建立一個兩階段的賽局模型，每個階段中消費者皆會衡量對產品的願付價格與零 售價格間的差異來使效用最大化，並決定是否購買產品，探討策略性消費者的行 為會如何影響新舊產品各別的市佔率及零售商定價策略，並使零售商利潤最大化，
此外，也會探討在不同參數設定下供應商之最佳策略。
關鍵字：產能分配、產品導入、策略性消費者、供應鏈管理
iv
ABSTRACT
Due to rapid development of technology and the transformation of customers’
consumption habits, many firms launch their new products frequently to capture more market share and increase their profits. However, resources are limited, so new products are allocated under limited capacity. We assume the techniques of manufacturing old products are mature. Thus, they can be produced without capacity. This paper proposes a two-period game theory model. All of the customers are strategic and heterogeneous with respect to their value to of each generational product. This paper mainly studies the case when if one firm has two different rollover strategies, how their decision affects the market pricing and maximizes their profits. The firm sells the old generational products in the first phase no matter which strategy they choose. However, the difference will happen in the second phase. The firm washes out old products when the new products are released, which is called single rollover. On the other hand, the firm simultaneously sells the old generational product at a mark-down price and launches the new product at a fixed price, which is called dual rollover. Based on the above strategies and considering the utility of the consumers, we can forecast the market demand and set the optimal market price to maximize the firm’s profits.
Keywords：capacity allocation、product rollovers、strategic customer、supply chain
v
目錄
口試委員審定書... i
致謝... ii
摘要... iii
ABSTRACT ... iv
目錄... v
圖目錄... vii
表目錄... viii
第一章 緒論... 1
1.1 研究背景... 1
1.2 研究動機與目的... 5
1.3 研究架構... 7
第二章 文獻探討... 8
2.1 產品導入策略... 8
2.2 產能分配策略... 9
2.3 多世代產品定價策略... 11
2.4 策略型消費者行為對定價影響... 12
第三章 問題描述與模型建構... 13
3.1 問題描述與定義... 13
3.1.1 供應商設定... 15
3.1.2 零售商設定... 16
3.1.3 消費者設定... 16
3.2 模型建構與求解... 17
vi
3.2.1 單滾動策略... 20
3.2.2 雙滾動策略... 32
第四章 數值分析... 48
4.1 利潤分析... 48
4.1.1 產能限制K 對利潤影響 ... 49
4.1.2 新產品價值𝜷對利潤影響 ... 53
4.1.3 新產品定價𝒑𝟐𝟐對利潤影響 ... 55
4.1.4 舊新產品批發價𝒘𝟏、𝒘𝟐對利潤影響 ... 57
4.2 供應商最適策略分析... 62
4.2.1 顧客期望值𝜶、𝜷對於供應商策略影響 ... 63
4.2.2 舊新產品批發價𝒘𝟏、𝒘𝟐對供應商策略影響 ... 64
4.2.3 新產品定價𝒑𝟐𝟐與𝜷對供應商策略影響... 65
第五章 結論... 67
5.1 研究總結... 67
5.2 未來研究方向... 68
參考文獻... 70
附錄... 74
vii
圖目錄
圖一、iPhone 型號市售時間表 ... 2
圖二、Toyota RAV4 之 4 代(左)、5 代(右) ... 3
圖三、蘋果2019 年 iPhone 售價發佈會 ... 4
圖四、研究架構 ... 7
圖五、事件序列圖 ... 15
圖六、單品牌滾動策略下之事件序列 ... 21
圖七、單滾動策略下消費者購買示意圖 ... 23
圖八、雙品牌滾動策略下之事件序列 ... 32
圖九、雙滾動策略下消費者購買示意圖 ... 35
圖十、產能K 對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響(SF) ... 49
圖十一、產能K 對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響(ST) ... 50
圖十二、產能K 對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響(DF) ... 50
圖十三、產能K 對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響(DT) ... 52
圖十四、新產品價值β對零售商(左)、供應商(右)利潤變化... 53
圖十五、新產品定價𝑝22對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響 ... 55
圖十六、舊產品批發價對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響 ... 57
圖十七、新產品批發價對零售商(左)和供應商(右)利潤的影響 ... 60
圖十八、顧客期望值𝛼、𝛽之於供應商最適策略 ... 64
圖十九、舊新產品批發價𝑤1、𝑤2 之於供應商最適策略 ... 65
圖二十、新產品定價與顧客期望值𝛽之於供應商最適策略... 66
viii
表目錄
表一、符號定義 ... 18
表二、供應商4 種決策個案 ... 19
表三、單滾動策略下顧客選擇與消費者總剩餘 ... 22
表四、單滾動個案決策整理 ... 31
表五、雙滾動策略下顧客選擇與消費者總剩餘 ... 33
表六、雙滾動個案決策整理 ... 47
表七、參數設定表 ... 48
表八、圖十二(DF)數據表 ... 51
表九、圖十三(DT)數據表 ... 53
表十、圖十四數據表 ... 54
表十一、圖十五數據表 ... 56
表十二、圖十六數據表 ... 59
表十三、圖十七數據表(𝛽 = 1.1) ... 61
表十四、圖十七數據表(𝛽 = 1.5) ... 62
第一章 緒論
本章主要為介紹本研究之背景，描述現今多世代產品共存現象，以及供應商、
零售商採取的供應銷售策略和產品滾動策略，接著說明探討此主題之研究動機與 期望達成目的為何，最後簡述本論文整體架構。
1.1 研究背景
現代科技發展之神速，生產技術快速地進步，消費者對於產品的功能性愈來 愈要求，為因應每位顧客獨立的訂單需求，廠商須提供多樣化的產品讓消費者做 選擇，供應商的商業策略也從過去統一規格的量產經濟到現在以顧客為導向的客 製化方式生產，由於消費者對產品的喜好更加多元化，供應商須不斷地創新研發 新產品外型、功能升級等以掌握市場趨勢，因此現今許多產業的產品生命週期逐 漸縮短，ㄧ以智慧型手機為例，在現今人手一機的世代，民眾對手機的需求性不 斷提升，多數顧客對手機的要求不再只是受到價格因素的影響，手機性能、功用 也是影響顧客選擇品牌的因素之一，各大手機品牌為搶攻手機市場，不斷推陳出 新，提供多種功能性的機種以滿足不同客群的需求，像是依照顧客的喜好來分群，
有些顧客喜歡高清拍攝像素，就會選擇拍照功能較高規格等級的手機，有些顧客 喜歡螢幕指紋辨識，就會選擇支援最新科技設備的手機等，此外廠商也會依照顧 客的經濟能力來分群，將客群分為低、中、高價位的消費族群，提供不同價位的 手機讓消費者都可以各取所需。為因應消費者消費型態快速地轉變，因此各廠牌 每隔一段時間就會推出新世代產品，其間隔時間不斷縮短，導致市面上出現同時 販售新舊世代的機型，以蘋果公司(Apple)販售 iPhone 系列手機為例，蘋果在 2019 年時推出新產品 iPhone 11 及 iPhone 11 Pro，但市面上仍可買到 2017 年推出的 iPhone X 及 iPhone 8 系列，雖然蘋果幾乎每年都會發表新一代的 iPhone 產品，
然而在市面上消費者依然可以購買舊世代的手機，如圖一所見，iPhone 每個型號 在市場上販售的時間幾乎都有重疊，表示蘋果在推出新世代產品的同時，也會繼
續販售舊世代產品供消費者選擇；在手機市場方面，除了全世界市占率第三的蘋 果公司會採用同時販售新舊世代手機的銷售策略外，其他手機業兩大龍頭如三星 (Samsung)的 Galaxy 系列、華為的 Mate 系列或 nova 系列皆採取相同模式經營。
圖一、iPhone 型號市售時間表
(資料來源：APPLE 官網)
除了智慧型手機產業，其他產業如電腦、相機、資訊軟體等科技產業，如戴 爾(Dell)的 Inspiron、Sony 的 RX、Microsoft 的 Windows，亦或是汽車產業皆有相 同情形，如豐田汽車的RAV4(如圖二)四代與五代最大差別在於汽車的前方外觀，
所有產業皆持續對產品的性能、效能、外觀等作改善升級，針對不同顧客群的喜 好來研發新產品，並快速地在市面上流通、販售以滿足消費者的需求。
圖二、Toyota RAV4 之 4 代(左)、5 代(右)
(資料來源：u-car 官網，2015/2018)
為了刺激消費者的購買慾望，並提高市場占有率，各廠商皆積極投入研發新 功能，創造新產品以滿足顧客的需求，因此愈來愈多的新產品上市，在有管道可 獲取新產品配額的情況下，有些廠商會開始思考是否要將某些舊產品淘汰，將原 本生產舊產品的產線重新分配規劃，讓產線可以投入新製程來大量生產新產品，
Billington et al.(1998)就有提到一個關於產品導入(Product Rollovers)的概念，由於 產品的生命週期時間逐漸縮短，產品汰換率攀升，新產品出現的頻率增加，這樣 的現象造成市場上產品不斷地在變動，有如滾動的概念，因此亦稱為產品滾動策 略，一般來說當新產品上市的同時，舊產品立即被淘汰，即廠商將舊世代產品從 市面上撤離的現象即稱為單一滾動(Single Rollover)；然而，舊產品被新產品取代 的情況並不一定要立即發生，新產品和舊產品的生命週期經常重疊，兩種產品都 在市場上共存的現象即為雙滾動(Dual Rollover)。廠商可根據其經驗、獲利等因 素來決定自家商品適合怎麼樣的滾動策略，現今許多產業都是選擇雙滾動策略，
由於這種策略可以降低市場風險，也就是所謂不要將所有雞蛋放在同個籃子裡，
也可以增加品牌的多樣性以滿足不同需求的顧客，像是Sony 的液晶電視 Bravia Master 系列、Panasonic 的滾筒洗衣機等。
根據上述可知目前許多產業的廠商都會同時推出多世代的同款商品並進行 販售，新舊世代產品可能會造成分散不同消費族群的客群，因此顧客對於各世代
商品的需求數也會較原本只販售一世代產品的需求數低，廠商該如何針對新舊產 品定價來吸引消費者並從中獲取利潤將成為一大挑戰，一般而言，廠商在推出新 產品時的定價都比較固定，然而市面上新商品的出現表示會影響舊產品的銷售量，
此時，廠商皆會針對舊產品擬定新的定價策略，最常見的策略即為降價折扣的促 銷方案，藉由調降元使價格來搶攻商機。以蘋果(Apple)販售的 iPhone 系列手機 為例，蘋果在2019 年 iPhone 手機發表會上推出 iPhone 11 及 iPhone 11 Pro 時，
除了公開新產品的價格外，同時也公布前一世代推出的iPhone 8 及 iPhone X 降 價後的價格，如圖三所示，最新推出iPhone 11 的 64GB 定價為 699 美金，iPhone 11 Pro 的 64GB 定價為 999 美金，iPhone 11 Pro Max 的 64GB 定價為 1099 美金，
而舊世代 iPhone 8 的 64GB 也從 699 美金降到 449 美金，調降幅度為 35.8%，
iPhone X 的 64GB 從 999 美金降到 599 美金，調降幅度為 40%。在競爭愈來愈激 烈的市場中，廠商在新產品固定價格且單價較高的情況下，該如何掌握整個市場 的品牌市占率是重要問題，對於舊世代產品的折扣降價成為影響市占率的一大關 鍵。
圖三、蘋果2019 年 iPhone 售價發佈會
除了產品滾動與定價策略外，上游廠商在多世代產品策略下該如何分配其產 線來有效規劃新舊產品的產能分配也極為重要，由於一家公司的總資源有限，並
不是所有產品的產能都可以無限量供應，有時廠商會面臨供過於求或是供不應求 的情形，當供過於求時容易造成存貨堆積，增加管理成本，當供不應求時也會造 成市場出現缺貨問題，無法立即回應市場需求，造成顧客流失至其他競爭者，導 致市占率的降低，因此下游零售商與上游供應商之間需要事前協調其供給配額方 式，常見的產能分配方式為齊頭式平等分配(Equality Allocation)與立足式平等分 配(Equity Allocation)，前者顧名思義指所有零售商可獲得相同量，即為 Cachon et al.(1999b)提出的固定均分(Fixed Allocation)，後者則指根據前期銷售量的高低來 做不同比例的分配，即為轉嫁分配(Turn-and-earn Allocation)；除此之外，另一種 從轉嫁分配延伸出的分配方式為優先配貨分配法(Equity-based Priority Allocation)，
相同規則下再增加「賣得好的通路依序有優先權被滿足所有訂單」。
1.2 研究動機與目的
在顧客消費型態轉變的世代下，企業須隨時應對消費者喜好、習慣的改變，
提供多種產品策略來面對市場的千變萬化，企業常用的產品策略可以分為單滾動 與雙滾動策略，單滾動策略如智能手錶製造商 Fitbit 在新款 Fitbit Charge2 發行 時，將舊款Fitbit Charge 直接被取代，亦或是亞馬遜公司(Amazon)經常在新版本 的隨攜式閱讀器上市後取代舊世代版本的閱讀器等都是屬於單滾動策略；雙滾動 策略則如上述的 APPLE 的 iPhone 系列、Samsung 的 Galaxy 系列等，由於現今 許多產業的行銷策略都是選擇雙滾動策略，讓新舊世代的產品共存，即消費者的 選擇具多樣化，然而，過去文獻中還是有部分主要探討市場上只販售單一產品的 情況，因此我認為在多世代產品的交替過程中，當公司即將有新產品發行前，廠 商應該考慮每個產品的特性及顧客使用的滿意度，並判斷產品是否有符合市場趨 勢，能否再替公司增加獲利，所以廠商可以決定使用何種產品滾動策略來提高營 業額及利潤。
現今許多產業本身的資源是有限的，生產線也時常出現滿載現象，一般來說
一家公司在生產舊產品時，由於其技術已經達到最成熟的階段，所以舊產品的產 能較為穩定，然而當公司有產品要上市之時，原先投入舊產品產線的資源會漸漸 轉移至新產品，但由於新產品的生命週期還在初期，因此產能會受到限制，若當 下的市場需求大於產能就會出現短缺的現象，此時供應鏈採取的產能分配策略對 整體供應鏈極為重要。公司在推出新產品時，由於產能有限，零售商能夠獲取的 數量不一定能夠符合顧客的需求量，所以零售商都會希望能夠從供應商那邊取得 充足的配額，因為如此供應商一般都會降低舊產品的價格，並要求下游廠商幫忙 清除舊產品的庫存，透過過去的銷售量來做不同比例的分配。新品上市雖然會吸 引眾多顧客以致瓜分舊產品的需求量，但因為廠商會針對舊產品做出許多優惠，
像是降價或是買多送多等促銷方案，因此也會有不少消費者願意以這樣的優惠購 入舊品。
考慮上述在推出新品時零售商幫供應商清除舊品庫存的行為與舊產品在面 臨是否被汰換之行動，且顧客皆屬於在面臨產品選擇時會考量產品的價值，根據 自己的剩餘價值來決定購買行為。本研究欲探討的問題可分為以下：
(1) 探討供應商、零售商以及消費者三方間的互動影響，供應商採取不同產能分 配規則會影響零售商取得新產品時的配額，此外，供應商採取的滾動策略也 會影響消費者購買時的多樣化選擇；零售商決定產品定價會影響消費者的購 買意願，並影響到市場需求量，也會造成零售商對供應商的訂購量受到變動。
(2) 本研究將會比較產品滾動策略與產能分配策略的交互影響情境，假設供應商 在產能限制下需決定使用何種產能分配規則及哪種產品滾動策略，並建立一 個兩階段的賽局模型，每個階段中消費者皆會衡量對產品的願付價格與零售 價格間的差異來使效用最大化，並決定是否購買產品，探討策略性消費者的 行為會如何影響新舊產品各別的市佔率，以及兩種策略間的交互作用如何影 響零售商的定價與訂購量，並使其利潤最大化。
(3) 透過建立數學模型來決定零售商的定價，並求得供應商最適策略決策，以供
實務上管理決策的建議。
1.3 研究架構
本研究整體架構如下：第一章為緒論，介紹研究背景、動機與目的，並說明 研究的架構；第二章為文獻探討，回顧前人研究相似問題的結果經驗，並整理與 本研究相關的文獻；第三章為問題描述與模型建構，詳細說明本研究的問題情境 並定義參數、變數，接著建立模型，透過逆向歸納法與奈許賽局推出均衡解；第 四章為數值分析，套用前一章的模型並代入數值，分析各種參數與變數變動時影 響模型的意義；第五章為結論，總結本研究之成果與學術上之貢獻，並提出對於 本研究未來可延伸的方向。本研究架構圖整理成圖四。
圖四、研究架構 第五章 結論 總結本研究之成果與貢獻
第四章 數值分析
代入數值套用至第三章的模型，討論參數變得之影響 第三章 問題描述與模型建構
定義問題、參數與變數，並建立模型 第二章 文獻探討
回顧並整理相關文獻資料 第一章 緒論
介紹研究背景、動機與目的
第二章 文獻探討
本研究探討著重探討當供應商即將上市新世代產品時，由於策略性消費者對 舊世代產品的喜愛程度或多或少會受到環境或新產品發行而有所影響，因此供應 商會評估在市面上若出現新產品時是否要繼續販售舊產品，如上章節1.1 提到產 品導入策略猶如滾動概念，因此本研究皆稱為產品滾動策略。此外，因新產品剛 發售時受到產能限制之故，而須做有規劃地產能分配，零售商會根據不同策略做 出相對應的定價行為。本章將針對與研究問題相關的文獻進行回顧與整理，以做 為本研究模型建構之雛型與依據。
2.1 產品導入策略
現今世代不分哪種產業，廠商皆為了能夠滿足消費者快速地變化而不斷推出 新產品，產品生命週期愈來愈短，因此多世代產品同時出現於市面上早已不足為 奇，以高科技產業為例，Koca et al.(2010)提到像是智慧型手機、平板電腦、攜帶 式裝置皆為了擴大市占率並增加利潤而快速地發行新產品；亦或是流行服飾產業，
Ghemawat and Nueno (2003)提到 Zara 不斷降低作品設計到市場販售的週期時間，
從過去幾個月的時長到現在短短幾周的時間，因此市面上愈來愈多新款式的衣服。
Billington et al.(1998)將產品滾動策略分為兩種類型，主要策略(Primary Strategy) 和伴隨發生的情況策略(Contingency Strategy)，兩者差別在前者為可以事前計畫 的策略，而後者伴隨著不同的風險改變，變動性的影響公司決策，主要策略又分 為唯一產品滾動(Solo-product roll)與雙產品滾動(Dual-product roll)，他們提到對 於市場上每一期只有單一產品可販售的唯一產品策略屬於高風險高報酬，因為市 場上只有一種產品，不是大賣，就是賣不好，像是HP 的 DeskJet 500 在 DeskJet 501 上市時被取代下架；而雙產品滾動策略則是分散風險，產品多樣性可滿足不 同族群的顧客，因此不怕完全沒收入，像是Intel 的 DX-486 chips 與 Pentium chips 同時出現在市面上。大多文獻針對產品滾動的意涵都是著重在管理層面，像是
Cusumano and Nobeoka(1998)說對於一家公司而言有效地管理連續世代產品滾動 的決策是一重要挑戰；Erhun et al.(2007)認為新舊產品在過渡時期時很難達成平 緩交替，由於複雜的供需變化之不確定性極高，剛上市的產品需要一段時間才能 完全讓舊產品退出市場，因此須透過專業的團隊來決策及管理資訊；Greenley and Bayus (1994)指出大部分英美兩國的公司在產品滾動策略上都沒有一個正式的決 策流程，不僅是因為只有少數的學術文獻提到此概念外，另一個原因是因為在不 同滾動策略下應包含何種條件的知識不足。雖然目前最常見的產品滾動策略為單 產品及雙產品滾動，但其實這樣的策略還是包含一些劣勢，Chao et al.(2014)提到 兩種策略的缺點，單產品滾動策略的缺點是剩下物品的殘值一般都是低於折扣過 後 的 市 場 價 格 ， 而 雙 產 品 滾 動 策 略 有 兩 個 缺 點 ， 第 一 個 為 侵 蝕 效 應 (Cannibalization effect)，即當新產品發行後其銷售比例會擠壓舊產品的銷售量，
第二個為延遲效應(Postponement effect)，策略性消費者根據自己的願付價值效用 來決定何時購買何種產品。
2.2 產能分配策略
在資源有限下能夠生產的產量也會有所限制，不管是哪種產業皆有可能遇到 供不應求的狀況，像是Cachon et al.(1999b)的汽車產業、Mallik et al.(2004)的半 導體產業、Zou and Ding(2008), Sturm and Fischer(2019)的海上運輸產業等，不同 產業面臨產能分配的決策結果也會因產業而異。Fisher(1997)指出製造商須先認 知 自 家 產 品 的 定 位 是 屬 於 功 能 性 產 品(Functional product) 或 是 創 新 性 產 品 (Innovative product)，並了解產品的生命週期時間及多樣性程度，才能安排資源該 如何分配，以及產能的分配方式；Durango-Cohen and Yano(2006)指出以資金密集 型為主的產業須面對需求的波動性和產能無法快速應付這些需求變化。有些文獻 提出不同產品性質如何面對產能不足的問題，像是 Abad(1996)針對易腐性產品 的產能短缺時，會使用積壓待配訂貨(Backlog)的方式，主要是指已收到客戶的訂
單並且已經加以記錄，不過產品尚未交貨或是正在生產中；Iyer et al.(2003)針對 流行性產品或是通訊產業，提供一種需求延遲的模型，顧客透過答應廠商延遲交 貨來換取折扣；Chakravarty and Balakrishnan(2004)在流行性產業像是服飾業以初 步向許多外包零售商訂購，若最終訂購需求不達預期，可以依照實際情況修改訂 單。
在眾多文獻提出的產能分配方法中，其中以Cachon et al.(1999a,b,c)提出的產 能分配規則最受後人推崇，1999 年後許多文獻中都可發現應用其產能分配規則 的蹤跡，Cachon et al.(1999a)提供最常用且直觀的四種產能分配機制，分別為比 例(Proportional)、線性(Linear)、均勻(Uniform)與字典式分配(Lexicographic)，比 例式分配指依照零售商的訂購數量按比例分配；線性分配指實際零售商能夠獲得 的產量為原訂購量減去一部份的比例，類似比例式分配方式；均勻分配指平均分 配給所有零售商，若有剩餘的產量再均分給有缺的零售商，因此均勻分配也可用 固定均分表示；字典式分配指會依照與零售商合作的關係緊密程度進行排序，順 序愈優先的廠商可愈先獲得產能。結果發現比例與線性分配容易造成零售商需求 誇大之不符事實，而均勻與字典式分配則較能反映實際的市場需求，此兩種方式 屬於誠實機制(Truth-inducing)，因此當產品產能受限時，考慮供應商的產能選擇，
有些策略會依據前期的銷售量而受到影響，因此容易造成下游廠商謊報其真實需 求，變成一種可操縱的機制， Lee et al.(1997), Cachon et al.(1999c)的研究中顯示 有時零售商會為了提高自己的利潤而出現造假的需求，這樣投機的行為即為著名 的長鞭效應(Bullwhip effect)，因自身利益造成整體供應鏈的損失。許多文獻中的 供應鏈系統成員包含一供應商與兩家互相競爭的零售商，像是 Liu(2012)發現當 兩零售商相互競爭時雖然固定分配能保證零售商的最佳訂購量，但也會導致誠實 機制的失衡；Li et al.(2017)比較比例、均勻、字典式分配下，發現在產能不足但 未到稀少的情況時，字典式分配相較其他兩者對於零售商與供應商而言是最佳選 擇，能夠獲得最大利益。
除了上述多種分配方式，皆下來討論的產能分配策略為本研究模型延伸及應 用，Cachon et al.(1999b)以汽車產業為背景提出轉嫁策略(Turn-and-earn)，主要以 過去的銷售狀況來分配現在因產能受到限制的產品之產能，轉嫁策略能誘使零售 商增加銷售量，提高整體供應鏈的利潤；而 Lu et al.(2012)以隨機動態賽局模型 判斷在固定均分與轉嫁策略下之零售商訂購反應，發現轉嫁策略會受到外力影響；
Cohen-Vernik and Purohit(2014)則提到若將產品種類從只販售單一產品增加到多 種產品，供應商使用轉嫁分配策略將會對整個供應鏈帶來正向的影響。
2.3 多世代產品定價策略
現今因「雞蛋不要全放在同一個籃子」的分散經濟概念，許多產業不會只販 售一種產品銷售，而是選擇提供多樣化的產品讓消費者選擇，一方面可以分散風 險，掌握每個消費者的喜好，確保市場佔有率外，另一方面則可以增加本身的利 潤，因此多世代產品的銷售模式已成為主流，這時零售商對多世代產品的定價策 略就顯得十分重要。Norton and Bass(1987)被視為第一個描述多世代產品分佈的 先驅，他們提出的多世代擴散模型(Norton-Bass model)講述多個產品在市場上的 需求，其之後的文獻大多以Norton-Bass 模型進行延伸。Yossi and Amit(2008)對 於季節性產品的定價模型提出兩個方法，皆是建立在斯塔克柏格競爭(Stackelberg competition)下的動態賽局模型，一個是依附型定價(Contingent pricing)，向顧客 訂 定 的 最 終 價 格 為 消 費 者 的 願 付 價 格 ； 另 一 個 為 已 知 的 固 定 折 扣 定 價 法 (Announced fixed-discount)，在第一階段時提供一基本定價，而下一階段的定價 會依照公布的折扣方式做調整，研究也發現若市場上的顧客皆為策略性消費者 (Strategic customer)，對於零售商而言選擇固定折扣定價法會較有優勢；Kuo and Huang(2011)考慮一家零售商販售兩世代產品的動態定價模型，比較兩種定價模 型(posted-pricing-first model、negotiation-first model)，並根據不同世代產品的存 貨量選擇合適的定價模型；Kilicay-Ergin et al.(2015)討論多世代產品間產生的競
蝕現象(Cannibalization)，由於不同世代的產品會互相影響其需求，因此須隨時調 整定價。Liu et al.(2018)利用兩種定價方法來建立多世代產品下的定價模型，一 個為撇脂定價法(Skim pricing)，另一個為滲透定價法(Penetration pricing)，前者的 策略是在產品剛推出時，訂定一個非常高且又能被市場接受的定價，賺取高額利 潤，之後再降價吸引願付價格低的顧客，因此較偏向以短時間回收成本的策略；
而後者則是以低價打入市場，目的是在短期間內增加市場佔有率及銷貨量。
2.4 策略型消費者行為對定價影響
大多文獻探討策略型消費者時，皆會考慮消費者的願付價值與其耐心程度，
也就是等候成本，由於策略性消費者定義為有遠見行為之顧客，表示策略型消費 者在選擇購買產品時，會考慮何時購買、買何種產品對自己利益最大。Anderson and Wilson(2003)以航空業販售座位的定價為背景，探討大部分文獻或過往經驗 皆是透過收益管理方法(yield-management approaches)來使自身利潤最大化為目 的，然而愈來愈多消費者開始注意到航空業者的定價策略以及互聯網提供更多優 質的選擇之因素，導致顧客具策略性決策觀念；Su(2007)假設顧客在有限的時期 都會選擇要以當時的市價購買產品、選擇下期再購買或是直接離開市場，消費者 皆期許能夠使個人效用最大化，因此影響消費者願付價值有兩因素：所有顧客本 身對產品的價值為異質性(heterogeneous)、對產品的耐心程度不同；Lin et al.(2018) 探討兩種類型的消費者對整體供應鏈之影響，分別為策略性消費者和短視消費者 (Myopic customer)，結果發現策略性消費者對製造商而言是有利的，且在某些個 案下也能夠改善零售商與整體供應鏈的利潤，此外也發現當供應鏈屬於分權策略 (Decentralization)，由於對策略性消費者的耐心程度較有把握，因此更能為整體供 應鏈帶來良好利益；Liu et al.(2018)利用撇脂定價法及滲透定價法來探討策略性 消費者的購買行為，研究發現當顧客的策略性行為不高時，廠商使用撇脂定價法 較合適，反之，當顧客策略性行為極高時，則使用滲透定價法。
第三章 問題描述與模型建構
此章節會先針對本研究的問題進行描述，並會分別介紹供應鏈上的所有成員 在本問題中所扮演的角色以及在此研究中的一些假設設定作說明，同時也會定義 相關參數與變數，接著根據假設與定義建立數學模型，主要利用逆向歸納法 (Backward Induction Method)求解問題中動態賽局的均衡解以使各自利益最大化。
3.1 問題描述與定義
本研究主要在分析從上游供應商到最終顧客端之供應鏈系統的關係，供應商 在宣布新產品上市前須針對一些策略做考量，首先是在新產品上市後，供應商須 評估目前市場上消費者對自家品牌的口碑、影響力為何，並了解消費者的喜好等 後來決定是否要繼續販售前一世代的產品，若市面上對舊世代產品評價不好，供 應商應該考慮淘汰不適的產品，反之，若舊產品依然有口碑，廠商可以同時販售 新、舊世代產品；再來，供應商須考慮到生產技術發展問題，由於新產品剛推出，
產品穩定性還不足，一般在生產新產品時，供應商的產能會受到限制，然而在供 應商宣布即將有產品上市時，許多消費者會開始蠢蠢欲動地準備購入新品，市場 中眾多零售商也會開始衡量消費者對新產品的需求以向供應商爭取貨量，因此當 零售商的訂購量超過供應商所能提供之最大產量時，供應商就應該提出相應的產 能分配對策以使自己的利益最大化，除此之外，由於供應商生產舊世代產品技術 發展成熟，因而會累積較多舊產品的存貨，此時供應商為了要清除庫存會要求下 游零售商幫忙出清降價販售，並將前期各零售商的銷售表現做為供給新產品訂購 量的依據，銷量愈好的零售商表示可以從此下游廠商獲得更多的利潤，因此此零 售商可以被分配較多新產品額度，而零售商期望讓自己獲取最大利潤，會積極地 透過一些手法刺激顧客購買，像是利用與消費者間的價格心理戰、與競爭者間的 差別取價等方式來提高銷售量，也因為每個消費者對於產品的喜好程度、願付價 格皆是有差異的，因此該如何制定市場價格讓消費者願意購買以使利潤最大化對
於零售商而言是非常重要的決策。
本研究考慮市場中只有一家獨佔的供應商與零售商，建立兩階段模型，供應 商在第一期時只販售舊世代產品，而供應商為了因應潮流與消費者的喜好轉變不 斷地在創新產品，在第二期時除了會供應新世代產品外，也會考慮是否要繼續販 售舊世代產品，兩期到來的消費者假設為同一群人C。第一階段為宣布新產品上 市前的過渡期，供應商會在此階段事先宣布下一期的滾動策略為單或雙品牌滾動 策略，也就是會單純只販售新世代產品或是同時提供新舊產品給零售商販售，此 外，供應商也會宣布下一期針對新產品的產能分配規則，接著零售商會根據供應 商的舊產品供應價𝑤1來決定第一期產品的零售價格𝑝11為何，顧客抵達後會比較 自己的願付價格與市場定價來決定是否在本期購買，每位顧客在此模型中皆至多 有一單位的購買，若在第一期沒有購買產品的顧客，將會在第二期出現並有購買 行為，此時零售商也可根據消費者的效用函數推出本期舊世代產品的需求量，在 此皆假設舊產品生產技術發展成熟且資源充足，因此產能無任何限制；第二階段 為新產品上市後，零售商會以新產品的供應價𝑤2買入商品並宣布新產品的零售 價𝑝22，消費者同樣會根據其效用函數來決定如何購買產品，由於新產品產能有 上限K，所以零售商會先預估其第二期新產品的需求量，再比較前期供應商宣布 之產能分配規則中所能獲取的數量，選擇合適的訂購量，本研究事件時間軸整理 於圖五。
圖五、事件序列圖
3.1.1 供應商設定
供應商的目標是在兩期中獲得最大利潤，因此討論當供應商同時考慮滾動策 略與產能分配策略時，這樣的交互作用關係中可以如何從中獲利，在第二期時將 會有兩種情境出現，一個是只販售新世代產品的單滾動策略(Single Rollover)；另 一 個 則 為 除 了 販 售 新 產 品 外 ， 也 繼 續 販 售 舊 世 代 產 品 的 雙 滾 動 策 略(Dual Rollover)。此外，考慮新產品的產能有限，供應商提出兩種產能分配規則：固定 均分策略(Fixed Allocation)和轉嫁策略(Turn-and-earn Allocation)，前者顧名思義 為所有零售商皆平均獲得相同固定的產品數量；後者則除了原本就會獲得一筆固 定的配額外，其餘產能根據各零售商前期銷售量的高低來做不同比例的分配。本 研究為了簡化複雜性，假設製造新、舊世代產品的生產邊際成本皆為0，且由於 新產品為創新、更新過後的產品，所以不管是功能或品質皆保障比原先產品更加
第一階段 第二階段
供應商宣布產品批 發價格𝑤𝑗與新產品 產能分配規則以及 滾動策略
零售商決定舊產品第 一期售價𝑃11，並推得 市場需求
C 顧客抵達，
根 據 其 願 付 價 格 決 定 是 否購買
供應商根據宣布 的產能分配規則 分配新產品訂購 量數字給零售商
剩餘 C 顧客 抵達，根據其 願 付 價 格 決 定是否購買
零售商預期新產品價格 為𝑃22下的市場需求量，
決定其對新產品的訂購 量𝑄𝑛𝑒𝑤，同時決定舊產 品在第二期定價為𝑃21 零 售商預期 新產
品價格為𝑃22下的 市場需求量，決定 其 對新產品 的訂 購量𝑄𝑛𝑒𝑤
：single rollover
：dual rollover
time
升級，因此新產品批發價格必定大於舊產品批發價(𝑤2 > 𝑤1)。
3.1.2 零售商設定
零售商根據供應商的滾動策略與產能分配策略來決定市場定價，在兩種滾動 策略下，零售商皆會在第一期設定舊產品零售價𝑝11，第二期新產品的定價𝑝22則 為固定且事先公布於市場，在雙品牌滾動策略下，零售商也需要決定舊產品的折 扣零售價𝑝21，本研究假設新產品定價必大於舊產品定價，且第一期舊產品零售 價格也會高於第二期(𝑝22 > 𝑝11 > 𝑝21> 0)。在了解市場需求後，零售商會向供 應商下訂單，但由於新產品產量有限，因此零售商不一定能夠獲得相對應的市場 需求量，而是獲得供應商保證的訂購量，至於舊世代產品則無產能受限問題。
3.1.3 消費者設定
在本模型研究中消費者為同一群人，每一位消費者在兩期中對產品皆至多有 一單位的需求，顧客在第一期就抵達本系統，我們假設每一期不會有新的消費者 加入，而當消費者選擇購買產品時即離開此系統，所以當消費者在第一期有一單 位的購買，則他會立即離開市場，若消費者在第一期選擇保留不購買，則消費者 會在第二期出現並選擇購買新或舊產品，為了不失一般性，我們將潛在市場大小 設定為C。顧客對於不同產品皆會有一願付價格(Willing-to-Pay)，每位顧客價值 為異質性(Heterogeneity)，顧客價值對第一期販售的舊世代產品為𝑣，且介於[0,1]
間並服從均勻分配，在第二期顧客對於舊新產品的願付價格分別為α𝑣、𝛽𝑣，由 於顧客在第一期時沒有添購舊產品，因此當第二期市面上仍可看見舊產品時，顧 客的心態會認為產品的價值降低，因此α介於[0,1]，表示顧客對舊產品的願付價 格較一開始上市時低，而顧客對於新產品的認知為創新、功能升級，消費者會願 意花更多前購買新產品，因此𝛽會大於 1，表示顧客對新產品的願付價格較原先 舊產品高，所以顧客對於不同時期的新舊產品願付價格的大小為𝑉22> 𝑉11> 𝑉21，
即𝛽𝑣 > 𝑣 > 𝛼𝑣。
3.2 模型建構與求解
本研究為一兩階段涉及供應商、零售商與潛在消費者的動態賽局模型，我們 假設本模型為完全資訊(Complete Information)的結構，例如所有事先假設的參數 為共同知識(Common Knowledge)，包含消費者願付價格、策略型顧客的消費行 為、市場大小、邊際生產成本、批發價等。事件時間序列已被呈現在圖五，供應 商會在第一階段初期時宣布產能分配規則、滾動策略與批發價格，接著零售商會 設定其第一期舊產品的市價𝑝11，並推估以此零售價格販售於市場會得到多少需 求，然後策略型顧客在已知市場定價下會考慮自己的願付價格與未來其他選擇來 決定是否在本期購買或是等到下一期再購買(Buy or Wait Decision)；在第二期，
不論哪種滾動策略零售商都會宣布其新產品零售價𝑝22，並推估在此定價下可獲 得的需求量，但若是在雙滾動策略下，零售商須決定其舊產品在第二期的市價𝑝21， 由於本研究假設舊產品無產能限制而新產品受到產能限制K，因此零售商在定價 時須考量到產能問題，接著向供應商下單，訂購(𝑄𝑛𝑒𝑤, 𝐷𝑜𝑙𝑑)。本研究模型使用的 參數與決策變數如表一所示。
由於消費者在第一期時不知道𝑝21與𝑝22，但他們對於𝑝21與𝑝22有一個理性的 期望𝑝21𝑒 與𝑝22𝑒 (Dhebar, 1994)，一個理性期望子賽局完美奈許均衡(Subgame Perfect Nash Equilibrium , SPNE)的定價與購買決策須滿足以下條件：
(1) 在已知𝑝11下，消費者決定是否購買舊產品以使自己兩期總剩餘最大化，全都 是建立在理性期望下(rational expectation)，顧客預期的(𝑝21, 𝑝22)以(𝑝21𝑒 , 𝑝22𝑒 )表 示。
(2) 已知顧客在第一期購買舊產品的願付價格𝑣，零售商決定(𝑝21, 𝑝22)以使第二期 利潤最大化𝜋2(𝑝21, 𝑝22|𝐶𝑒)，i.e. (𝑝21∗ , 𝑝22∗ ) ∈ argmax 𝜋2(𝑝21, 𝑝22|𝐶𝑒)。
(3) 消費者的期望是理性的，且假設與零售商最佳定價是相等的，i.e. (𝑝21e , 𝑝22𝑒 ) =
(𝑝21∗ , 𝑝22∗ )。
(4) 零售商設定𝑝11以使自己兩期總利潤最大i.e. 𝑝11∗ ∈ argmax 𝜋(𝑝11)。
接下來我們使用逆向歸納法解決理性期望的子賽局完美奈許均衡問題，以回 推歸納方式分析最終結果，方法如下：
1. 首先從第二階段開始分析，在給定新產品零售價𝑝22與若情境為雙滾動策略時 零售商也同時宣布舊產品零售價𝑝21下，顧客依據本身對產品的評價與市場定 價來決定是否購買，零售商針對不同消費者購買決策推估新舊產品的需求量
𝐷2,𝑛𝑒𝑤、𝐷2,𝑜𝑙𝑑，並依據供應商宣布的產能分配規則向供應商下訂單。透過實
際可販售新舊產品給顧客的訂購量列出零售商與供應商第二階段的利潤方程 式，並透過偏微分算出本期舊產品之最適定價𝑝21∗ 。將得到的𝑝21∗ 代入𝐷2,𝑜𝑙𝑑、 𝑄𝑛𝑒𝑤，並將𝐷21∗ 、𝑄𝑛𝑒𝑤∗ 、𝑝21∗ 代回第二期的利潤方程式𝜋2𝑅，即變為𝜋2∗𝑅，表示第 二期的零售商利潤方程式已為最大化。
2. 再來討論第一階段，加入第一階段的利潤一同探討，顧客在本期也會依照自 身願付價格與預期的市場定價決定是否在第一期購買或是等到下一期再做選 擇，零售商因而可推估本階段舊產品的需求量𝐷1,𝑜𝑙𝑑，套入第一期的利潤方程 式加上上述獲得的第二期最大利潤𝜋2∗𝑅，推導各種需求情境後獲得第一期舊產 品之最適定價𝑝11∗ ，代回其他參數，即可獲得最大利潤結果。
表一、符號定義 參數
𝑤𝑗 產品j 批發價， j=1,2，
(1:舊世代產品 2:新世代產品)
K 供應商產能限制
𝑞 新產品固定分配量
𝑞𝑛𝑒𝑤 供應商對零售商保證給予的新產品數量
𝑒 轉嫁策略下額外給零售商之產能比例
𝑝22 新世代產品售價
𝑉𝑖𝑗 顧客對產品j 在第 i 期的願付價格
C 顧客數量
𝛼 顧客第二期對舊世代產品價值的折價比例(0 < 𝛼 < 1) 𝛽 顧客第二期對新世代產品價值的增值比例(𝛽 ≥ 1)
𝑄𝑛𝑒𝑤 零售商向供應商訂購的新產品數量
𝛾 缺貨機率
決策變數
𝑝𝑖1 零售商舊產品在第i 期的定價， i=1,2
𝐷𝑖𝑗 產品j 在第 i 期的需求量
本研究利用賽局模型進行數學推導，從消費者效用函數、第二階段需求情況、
第二階段零售商訂購量、第一階段需求情況到兩期零售商定價模型的探討，透過 逆向歸納法獲得最適定價及最大利潤均衡解。探討供應商對滾動策略與產能分配 策略的交互作用是如何影響零售商的定價策略，因此交互作用的結果會有以下4 種個案，如表二。
表二、供應商4 種決策個案
滾動策略 產能分配規則 簡易符號
單滾動 無 SB
Case 1 單滾動 固定均分 SF
Case 2 單滾動 轉嫁 ST
雙滾動 無 DB
Case 3 雙滾動 固定均分 DF
Case 4 雙滾動 轉嫁 DT
消費者向零售商在不同時期購買舊新產品的效用為𝑈𝑖𝑗，零售商的利潤函數 以𝜋𝑅表示，供應商的利潤則以𝜋𝑆表示。供應商供給新產品給下游廠商有受到產 能限制K，因此向零售商保證的供給量為𝑞𝑛𝑒𝑤，而零售商實際向供應商訂購的新
產品數量以𝑄𝑛𝑒𝑤表示。
𝑄𝑛𝑒𝑤= min {𝑞𝑛𝑒𝑤, 𝐷2,𝑛𝑒𝑤} (1) 當供應商採固定均分策略時：
𝑞𝑛𝑒𝑤= 𝑞 (2)
當供應商採轉嫁策略時：
𝑞𝑛𝑒𝑤 = 𝑞 + 𝑒 ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑 (3) 在不同滾動策略下的供應商與零售商利潤方程式也會有差異，方程式(4)為單滾 動策略下的供應商總利潤方程式：
𝜋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑆 = 𝑤1∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑 + 𝑤2∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤 (4) 方程式(5)則為在雙滾動策略下的供應商總利潤方程式：
𝜋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑆 = 𝑤1∗ (𝐷1,𝑜𝑙𝑑 + 𝐷2,𝑜𝑙𝑑) + 𝑤2∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤 (5) 方程式(6)為單滾動策略下的零售商總利潤方程式：
𝜋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑅 = (𝑝11− 𝑤1) ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑+ (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤 (6) 方程式(7)則為在雙滾動策略下的零售商總利潤方程式：
𝜋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑅 = (𝑝11− 𝑤1) ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑+ (𝑝21− 𝑤1) ∗ 𝐷2,𝑜𝑙𝑑 + (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤 (7) 下面章節以2 種不同的滾動策略做分段，每個滾動策略下會有兩種個案，分 別以產能分配規則做區分，包含固定均分策略以及轉嫁策略。
3.2.1 單滾動策略
本節為當供應商在第一階段販售舊世代產品，並在第二階段時只提供新世代 產品做販售的情形，圖六為單滾動策略的事件序列圖。
圖六、單品牌滾動策略下之事件序列
消費者向零售商在不同時期購買舊新產品的效用函數𝑈𝑖𝑗定義為顧客最終剩 餘價值，前述3.1.3 消費者設定中提到顧客兩期皆為同一批顧客，且每人皆至多 有一單位的購買，當顧客購買產品後即立即離開市場，並不會再進入市場，若顧 客在前一期尚未購買，則剩下的顧客會進入下一期市場中。因此，顧客購買第一 期舊產品的效用函數為
𝑈1,𝑜𝑙𝑑 = 𝑉11− 𝑝11= 𝑣 − 𝑝11 (8)
表示這群顧客在第一階段以𝑉11的願付價格比較與市價𝑝11的剩餘價值選擇 購買舊產品，並使用舊產品到第二期。以此類推，顧客購買第二期新產品的效 用函數為
𝑈2,𝑛𝑒𝑤 = 𝑉22− 𝑝22 = 𝛽𝑣 − 𝑝22 (9)
第一階段 第二階段
供應商宣布產品批發 價 格𝑤1、𝑤2與 新 產 品產能分配規則，並 決定為單滾動策略
零售商決定舊產品第 一期售價𝑃11，並推得 市場需求
C 顧客抵達，
根 據 其 願 付 價 格 決 定 是 否購買
供應商根據宣布的 產能分配規則向零 售商公布可分配的 新產品訂購量𝑞𝑛𝑒𝑤
剩餘 C 顧客 抵達，根據其 願 付 價 格 決 定是否購買
零售商預期新產品價格為 𝑃22下的市場需求量，決定 其對新產品的訂購量𝑄𝑛𝑒𝑤
time
表三、單滾動策略下顧客選擇與消費者總剩餘
符號 購買選擇 消費者剩餘價值
XX 兩期皆不買 𝑈 = 0
OX 第一期買舊產品 𝑈1,𝑜𝑙𝑑 = 𝑉11− 𝑝11= 𝑣 − 𝑝11 XN 第二期買新產品 𝑈2,𝑛𝑒𝑤 = 𝑉22− 𝑝22 = 𝛽𝑣 − 𝑝22
表三為單滾動策略下消費者的顧客選擇跟剩餘價值表，其中，X 表示為消費 者沒有購買產品的意思。
本研究的顧客皆假設為策略型消費者，即這群顧客在每次購買前皆會評估自 己的願付價格與市場定價，並同時考慮到未來可能發生的消費情形，比較全部的 效用後，才會決定要在何時購買、買哪種產品，使自身的效用最大化。在單滾動 策略下，消費者若有購買行為會有2 種購買選擇，如表三的 OX 及 XN。
若為OX，表示顧客評估兩期購買新舊產品的效用後，依然決定在第一期時 就購買舊產品，若顧客選擇購買第一期舊產品：
𝑈1,𝑜𝑙𝑑 ≥ max {𝑈2,𝑛𝑒𝑤, 0} (10)
即
𝑣 − 𝑝11≥ max {𝛽𝑣 − 𝑝22, 0} (11) 因此，
𝑝22− 𝑝11
𝛽 − 1 ≥ 𝑣 ≥ 𝑝11 (12) 所以顧客若願意在第一期購買舊世代產品，其願付價值須介於[𝑝11,𝑝22𝛽−1−𝑝11]之間。
若為XN，表示顧客最後決定在第二期時購買新產品，若顧客選擇購買第二 期新產品：
𝑈2,new ≥ max {𝑈1,𝑜𝑙𝑑, 0} (13) 即
𝛽𝑣 − 𝑝22 ≥ max {𝑣 − 𝑝11, 0} (14) 因此，
1 ≥ 𝑣 ≥ max {𝑝22− 𝑝11 𝛽 − 1 ,𝑝22
𝛽 } (15)
所 以 顧 客 若 直 到 第 二 期 才 願 意 購 買 新 世 代 產 品 ， 其 願 付 價 值 則 介 於 max {𝑝22𝛽−1−𝑝11,𝑝𝛽22} ≤ 𝑣 ≤ 1之間，將上述消費者購買新舊產品之願付價值整理成圖
七所示，以𝑝22𝛽−1−𝑝11>𝑝𝛽22為例，並依考慮缺貨機率與否劃分為兩種情境，消費者會 因廠商有無使用產能分配規則而將缺貨機率列入購買的考量之一。不過當消費者 願付價值在𝑝22𝛽−1−𝑝11時，表示OX 與 XN 的效用一樣大(𝑈1,𝑜𝑙𝑑 = 𝑈2,𝑛𝑒𝑤)，此時不管 購買哪種產品，消費者都會買單；當𝑣 < 𝑝11時，則不會出現購買行為，表示顧客 的購買意願低。
圖七、單滾動策略下消費者購買示意圖
0 𝑝11 (1 − 𝛾)𝑝22− 𝑝11 1 (1 − 𝛾)𝛽 − 1
舊世代產品 新世代產品 v 都不買
當 (1−𝛾)𝑝22−𝑝11
(1−𝛾)𝛽−1
>
𝑝𝛽22並考慮缺貨機率時，0 𝑝11 𝑝22− 𝑝11 1
𝛽 − 1
舊世代產品 新世代產品 v 都不買
當 𝑝22−𝑝11
𝛽−1
>
𝑝22𝛽 且不考慮缺貨機率時，
透過式(12)、式(15)可以歸納出第一、二階段需求方程式：
𝐷1,𝑜𝑙𝑑＝C ∗ ∫ 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
𝑝22−𝑝11 𝛽−1 𝑝11
(16)
𝐷2,𝑛𝑒𝑤＝𝐶 ∗ ∫1 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
𝑚𝑎𝑥 {𝑝22−𝑝11 𝛽−1 ,𝑝22
𝛽 }
(17)
在不考慮缺貨機率的基本模型下，單滾動策略的零售商利潤方程式：
𝜋𝑅 = (𝑝11− 𝑤1) ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑 + (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝐷2,𝑛𝑒𝑤 (18) 供應商利潤方程式：
𝜋𝑆 = 𝑤1∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑+ 𝑤2 ∗ 𝐷2,𝑛𝑒𝑤 (19)
假設顧客願付價值𝑝22−𝑝11
𝛽−1 >𝑝𝛽22，
𝜋1𝑅(𝑝11) = (𝑝11− 𝑤1) ∗ 𝐶 ∗ ∫𝑝𝑝22−𝑝11𝛽−1 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
11 + (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝐶 ∗
∫p22−𝑝111 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
𝛽−1
(20)
限制於
𝑝22− 𝑝11 𝛽 − 1 >𝑝22
𝛽 (21)
𝑝22 ≥ 𝑝11 (22)
𝛽 > 1 (23)
對𝜋1𝑅做一階偏微分：
∂𝜋1𝑅
∂𝑝11 = 0 (24)
得
𝑝11∗ = 2𝑝22− 𝑤2+ 𝛽 ∗ 𝑤1
2𝛽 (25)
驗證凹凸性，對𝜋1𝑅做二階偏微分：
∂𝜋1𝑅′′
∂𝑝11′′ = −2𝐶 ∗ ( 1
𝛽 − 1+ 1) < 0 (26) 二微為負值、凹函數。
將𝑝11∗ 代回𝐷1,𝑜𝑙𝑑、 𝐷2,𝑛𝑒𝑤變為𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗𝐵 、𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗𝐵 𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗𝐵 = 𝐶 ∗(𝑤2− 𝛽 ∗ 𝑤1)
2 ∗ (𝛽 − 1) (27)
𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗𝐵 = 𝐶 ∗[2 ∗ (𝛽 − 1) ∗ (𝛽 − 𝑝22) − 𝑤2+ 𝛽 ∗ 𝑤1]
2 ∗ 𝛽 ∗ (𝛽 − 1) (28) 此時會出現兩種情況，第一種為需求小於產能，第二種為需求大於產能，若 為第一種情境，表示廠商無須使用產能分配規則，可以讓市場自由競爭，此時策 略性消費者在考量其本身效用時也不需要考慮會有缺貨的可能，因為在此情境下 皆能保證消費者可以買到新產品；但若為第二種情境廠商則須考慮使用產能分配 規則，而顧客也須考慮缺貨機率，因此需比較𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗ 與產能q 間的關係。
第一種：當新產品需求小於等於產能（𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗𝐵 ≤ 𝑞）
此為個案 SB，若2𝐶𝛽2− 2𝐶𝛽𝑝22− 2𝐶𝛽 + 2𝐶𝑝22− 𝐶𝑤2+ 𝐶𝛽𝑤1− 2𝛽2𝑞 + 2𝛽𝑞 ≤ 0，表示在沒有產能分配規則前，市場供應大於需求，所以市場定價模型 可以不考慮缺貨機率，以式(25)、式(27)、式(28)代入零售商總利潤為
𝜋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑅 (𝑝11∗ ) = (𝑝11∗ − 𝑤1) ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗𝐵 + (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤∗𝐵 (29)
𝑄𝑛𝑒𝑤∗ = 𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗𝐵 (30)
零 售 商 最 終 向 供 應 商 訂 購 舊 新 產 品 最 適 數 量 為 ( 𝑄𝑜𝑙𝑑, 𝑄𝑛𝑒𝑤) = (𝐶∗(𝑤2∗(𝛽−1)2− 𝛽∗𝑤1),𝐶∗[2∗(𝛽−1)∗(𝛽−𝑝22)−𝑤2+𝛽∗𝑤1]
2∗𝛽∗(𝛽−1) )。
供應商總利潤為
𝜋𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑆 = 𝑤1∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗𝐵 + 𝑤2∗ 𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗𝐵 (31) Proposition 1.： 在供應商選擇單滾動卻沒有使用產能分配規則下，零售商定價 會隨著新產品定價𝑝22↑而上升，若供應商舊產品批發價𝑤1 ↑或新產品批發價𝑤2 ↓ 也會使𝑝11上升，而𝛽則對定價無影響。
第二種：當新產品需求大於產能（𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗𝐵 > 𝑞）
若2𝐶𝛽2− 2𝐶𝛽𝑝22− 2𝐶𝛽 + 2𝐶𝑝22− 𝐶𝑤2+ 𝐶𝛽𝑤1− 2𝛽2𝑞 + 2𝛽𝑞 > 0， 表示 零售商必須重新有計畫地規劃其定價策略，考慮產能受限的問題，可以根據本研 究的產能分配規則分為兩種個案，固定均分(Case1)與轉嫁策略(Case2)，且在第二 種情境個案下會再以缺貨機率大小做分割，當供應商在第一期宣布產能分配策略 時，零售商可根據供應商做出相對應的定價模型。
Case 1：
第一個個案假設供應商宣布的產能分配規則是固定均分策略(SF)：
由於在無產能分配策略下的新產品需求大於產能限制q，所以須規定產能分配規 則，因此供應商在使用固定均分策略下向零售商保證的約定數量為
𝑞𝑛𝑒𝑤= 𝑞 (32)
即零售商實際向供應商訂購的數量為
𝑄𝑛𝑒𝑤 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑞, 𝐷2,𝑛𝑒𝑤} (33) 此時，策略性顧客會考慮新產品缺貨機率問題，因此顧客對產品的效用函數變為
𝑈1,𝑜𝑙𝑑 = 𝑉11− 𝑝11= 𝑣 − 𝑝11 (34)
𝑈2,𝑛𝑒𝑤 = (1 − 𝛾) ∗ (𝑉22− 𝑝22) = (1 − 𝛾) ∗ (𝛽𝑣 − 𝑝22) (35) 消費者購買示意圖見圖七，考慮缺貨機率的第一、二階段需求方程式為
𝐷1,𝑜𝑙𝑑＝𝐶 ∗ ∫ 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
(1−𝛾)𝑝22−𝑝11 (1−𝛾)𝛽−1 𝑝11
(36)
𝐷2,𝑛𝑒𝑤＝𝐶 ∗ ∫ 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
1
𝑚𝑎𝑥 {(1−𝛾)𝑝22−𝑝11 (1−𝛾)𝛽−1 ,𝑝22
𝛽 }
(37)
接著先討論缺貨機率，因為考量產能限制問題，故只要當實際新產品需求超 出產能時，表示市場上發生缺貨的狀態，在單滾動固定均分策略下的缺貨機率為
γ = {
0, 𝐷2,𝑛𝑒𝑤≤ 𝑞 𝐷2,𝑛𝑒𝑤− 𝑞
𝐷2,𝑛𝑒𝑤 , 𝐷2,𝑛𝑒𝑤> 𝑞
(38)
式(38)表示當考慮產能分配規則下的新產品需求小於固定分配量，缺貨機率 為0；而當新產品需求超過固定分配量，則缺貨機率為供不應求的差額比例。在 此可以將Case1 分為 Case1.1 與 Case1.2，以缺貨機率是否為 0 做不同定價模型。
Case 1.1：
首先是若假設缺貨機率為0 的狀況下，所以式(36)與式(37)的𝛾 = 0，在單滾 動固定均分策略下的零售商期望利潤方程式為
𝜋𝑆𝐹𝑅 (𝑝11) = (𝑝11− 𝑤1) ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑+ (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝑞 (39) 表示在使用Case1.1 的前提為不考慮產能分配規則時的新產品需求大於產能，
而在考慮使用固定均分策略後，零售商須考慮缺貨機率為0，即新產品需求剛好 為𝑞𝑛𝑒𝑤的狀況下(𝐷2,𝑛𝑒𝑤 = 𝑞 )，零售商在定價以固定均分策略求取最適定價找出 𝑝11∗
𝑝11∗ = 𝐶 − 𝑞 − 𝐶 ∗ 𝛽 + 𝐶 ∗ 𝑝22+ 𝛽 ∗ 𝑞
𝐶 (40)
將𝑝11∗ 代回缺貨機率𝛾、𝐷1,𝑜𝑙𝑑、𝐷2,𝑛𝑒𝑤得到𝛾∗、𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗ 、𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗
𝛾∗ = 0 (41)
𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗ = 𝐶 ∗ 𝛽 − 𝐶 ∗ 𝑝22− 𝛽 ∗ 𝑞 (42)
𝐷2,𝑛𝑒𝑤∗ = 𝑞 (43)
所以兩期最佳訂購量為(𝑄𝑜𝑙𝑑∗ , 𝑄𝑛𝑒𝑤∗ ) = (𝐶 ∗ 𝛽 − 𝐶 ∗ 𝑝22− 𝛽 ∗ 𝑞, 𝑞)，因此，最終零 售商利潤方程式為
𝜋𝑆𝐹𝑅 (𝑝11∗ ) = (𝑝11∗ − 𝑤1) ∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗ + (𝑝22− 𝑤2) ∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤∗ (44) 在單滾動固定均分策略下的供應商利潤方程式為
𝜋𝑆𝐹𝑆 = 𝑤1∗ 𝐷1,𝑜𝑙𝑑∗ + 𝑤2∗ 𝑄𝑛𝑒𝑤∗ (45) Proposition 2.： 在考慮使用單滾動固定均分策略且新產品需求剛好為𝑞𝑛𝑒𝑤，零 售商定價會隨著固定分配量𝑞 ↑或新產品定價𝑝22↑而上升，新舊產品批發價則皆 不會影響定價，但𝛽會影響定價。
