勾股定理證明-G135

勾股定理證明-G135

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE，以AC為邊，向內作一正方形ACFG，以BC為 邊，向內作一正方形BCHI 。

2. 連接EG，且E G F三點共線（於證明過程第 1 點說明）。

3. 連接CG並延長CG，與AB交於J 點，與DE交於K點，且過I 點。

4. 從D點作BC的平行線，交FG於L點。

A B

C

D E

F

G H

I

K L J

【求證過程】

由圖形的分割將正方形ABDE視為兩梯形的和，利用三角形的全等去說明前述兩梯 形全等，再運用梯形在圖形上的分割及三角形的全等關係，可推得正方形ABDE與另外 兩個正方形的面積關係，即勾股定理關係式。

1. 說明三角形AEG全等於三角形ABC，藉此推得E G F  三點共線：

因為EAG GAB 90 , CAB GAB 90 , 所以EAG BAC, 因為AEAB, AG AC, 及前述EAG BAC, 所以

AEG ABC

   (SAS 全等).

由上述結論可推得AGE 90 , 因此AGE+AGF180, 即E G F  三點共線。

2. 先證明三角形EGK與三角形BIJ全等，再利用全等三角形對應邊長關係說明四邊形 AEKJ與四邊形DEJK全等：

因為AB//DE, 且BI//GE, 所以GEK IBJ, GKE IJB; 由第 1 點結論 AEG ABC

   , 可推得EGBCBI, 因為前述GKE IJB及GEK  IBJ,

EGBI 可得

EGK BIJ

   (AAS 全等),

由上述EGK  BIJ, 推得 BJ

 EK

 DK

 DK

四邊形AEKJ 四邊形DBJK . 3. 由圖形將正方形ABDE重新拼湊可得：

ABDE AEKJDBJK, 由第 2 點結論AEKJ DBJK可進一步將上式改寫為

2

2( ) ,

ABDE

ABDE AEKJ

AGJ AEG EGK



      再由第 1, 2 點可將前式改寫為

2( )

2( )

2( 2( )

ABDE AGJ ABC BIJ

AGJ ACJ BCJ BIJ AGJ ACJ

ABDE ABDE ABD

BCJ BIJ ACFG BCH

E I

     

       

       

 

即

ABDE BCHI ACFG. 4. 整理第 3 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：

因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形BCHI 邊長為BC, 正方形ACFG邊長為AC,所 以由第 3 點結論可推得

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自以下期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead. New and Old Proofs of the

2. 心得：此證明的圖形分割，雖然是運用圖形之間的全等關係，但無法完全直接將斜 邊為邊長的正方形分割部分，移動到以兩股為邊長的正方形圖形，必須另外

搭配代數式子，才可得到勾股定理關係。

3. 評量：

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