直線方程式

第 章

02

直線方程式

2-1 斜率

重點一 斜率的定義

1. 斜角：

在直角坐標平面上，一直線向上的方向與_x軸正向所成的夾角，稱為此直線的斜角 ， 當直線與_x軸平行或重合時，規定其斜角為_0。如圖一所示。

2. 斜率的定義：水平方向前進一單位，鉛直方向變化_m單位，稱為斜率，以符號_m表示。

3. 斜率的求法：設A x y 、( , )_{1 1} B x y 為直線( , )_{2 2} L 上相異兩點，則 (1)當x₁ 時， L 的斜率x₂ ^{2 1 1 2}

2 1 1 2

y y y y

m x x x x

 

 

  。

(2)當x₁ 時， L 的斜率不存在。 x₂

試求下列A 、 B 兩點的直線斜率：

(1)A( 1,2) 、B(4,3) (2) (3,7)A 、B(4,7) (3) (5,1)A 、B(5, 1) 。

(1) 3 2 1 4 ( 1) 5 mAB 

 

  (2) 7 7 0

4 3 1 0 mAB    



(3) 1 1 2

5 5 0 mAB   

 

 不存在

試求下列A 、 B 兩點的直線斜率：

(1) ( 3,4)A  、B(0,7) (2) (2, 1)A  、 (2,4)B (3) (5, 2)A  、 ( 1, 2)B   。

(1) 7 4 0 ( 3) 1 mAB 

 

  (2) 4 ( 1) 5

2 2 0 mAB    

 不存在

(3) 2 ( 2) 0 1 5 6 0 mAB   

  

  

小叮嚀

若 為一直線的斜角，則₀   ₁₈₀。 圖一

演練

例題 1 求過兩點的直線斜率 1

若一直線通過(2, )a 、 (1a,3)兩點，且其 斜率為2，試求a之值。

3 2

2 (1 ) m a

a

  

 

 a  3 2 2a

 a  5

設直線L 通過A(1k,5)、B(1,3)，已知直線L 的斜率為1

2，試求_k之值。

5 3 1

1 1 2

mL

k

  

 

  k 4

 k 4

已知平面上三點A k( ,3)、B( 1,1) 、C( 4,2) 共線，試求_k之值。

∵ A、B、C 三點共線

∴ m^_AB m_BC^

 3 1 1 2 1 1 4 k

  

  

   k 1 6

 k  7

若A(2, )k 、 ( 3, 2)B   、 ( 1,4)C  三點無法構成 一個三角形，試求_k之值。

∵ A、B、C 三點無法構成一個三角形 即A、B、C 三點共線

∴ m_AB^ m_BC^

 2 2 4 2 3 3 1 k   

  

 k 2 15

 k13

演練

例題 2 求過兩點的直線斜率 2

演練

例題 3 三點共線 3

重點二 斜率的性質

1. 斜率的性質：

(1)若直線 L （↗），則斜率m0，如圖一（上坡斜率為正）。 (2)若直線 L （↘），則斜率m0，如圖二（下坡斜率為負）。 (3)若直線 L （→），則斜率m0，如圖三（水平線斜率為0）。

(4)若直線 L （↑），則斜率m不存在，如圖四（鉛直線斜率不存在）。

2. 直線圖形與斜率大小的關係：

如 右 圖 所 示 ， 直 線 L 、1 L 、₂ L 、₃ L 的斜₄ 率分別為m 、₁ m 、₂ m 、3 m ，試比較₄ m 、₁ m 、2 m 、₃ m 之大小。₄ ∵ m₃m₂  ， 0

m₁ ， 0 m₄ ， 0

∴ m₃m₂ m₁m₄

如右圖所示，直線L 、₁ L 、2 L 的 斜 率 分 別 為₃ m 、1 m 、₂ m ，試比較₃ m 、1 m 、₂ m 之大小。 ₃

∵ m₁m₃ ， 0 m₂  ， 0

∴ m₁m₃m₂

圖一 圖二 圖三 圖四

演練

例題 ４ 求過兩點的直線斜率 ４

重點三 直線的平行與垂直關係

設相異二直線L 、₁ L 的斜率分別為₂ m 及₁ m ，且₂ m 、₁ m 皆不為 0，則： ₂ 1. L //₁ L ₂  m₁m₂

2. L₁L₂  m₁m₂   1

設直線L 通過 (3, 1)₁  、 (2,4) 兩點，若直線L₂ 與L 平行，試求直線₁ L 的斜率。 ₂

直線L 的斜率₁

1

1 4 5

L 3 2

m     



∵ L //₁ L ₂ 

1 2

L L

m m

∴ m_L2   5

已知A( 2,1) 、B(3, 1) 、 ( 2,5)C  為平行四 邊形ABCD 的三個頂點，試求 AD 的斜率。

∵ ABCD 為平行四邊形

 AD //BC

 1 5 6

3 ( 2) 5

AD BC

m m     

 

已 知 平 面 上 四 點 A( 2,1) 、 B(3, 2) 、 (1, 4)

C  、 ( , 1)D k  ，若 AB

//CD

，試求_k之值。

∵ AB //CD

 m_AB^ m_CD^

 2 1 1 ( 4) 3 ( 2) k 1

    

  

 3( k 1) 15

 k  4

已知平面上四點A(0,3)、B(3,4)、C k( , 3) 、 ( 5, 4)

D   ，若 AB

//CD

，試求_k之值。

∵ AB

//CD

 m^_AB m_CD^

 3 4 3 ( 4) 0 3 k ( 5)

    

  

 k 5 3

 k 2

演練

例題 6 兩直線的平行 6

演練

例題 5 兩直線的平行 5

已知A( 3,2) 、B(1,6)為平面上兩點，若直線 L 為 AB 的垂直平分線，試求 L 的斜率。

2 6 1

AB 3 1

m 

 

 

∵ L 為AB 的垂直平分線

∴ LAB  m_Lm_AB   1

 m_L   1 1

 m_L   1

已知直線L 通過 ( 4,7)₁  、(2, 2) 兩點，若直 線L 與₂ L 垂直，試求直線₁ L 的斜率。 ₂

直線L 的斜率_{1 1} 7 ( 2) 3 4 2 2 mL  

  

 

∵ L₁L₂ 

1 2 1

L L

m m  

 3 ₂ 2 m 1

   

∴ ₂ 2 m  3

已知A(2, )k 、 ( ,0)B k 、C(4,2)為_△ABC的 三個頂點，若 _{C 90}，試求_k之值。

∵  C 90

 ACBC

 m_ACm_BC   1

 2 0 2 2 4 4 1 k

k

    

 

 2( k2) 2( k 4)

 k 3

已知平面上三點A(2,1)、B k 及 (4,2)(1, ) C ， 若線段_AB及_AC垂直，試求_k之值。

∵ AB AC

 m_ABm_AC   1

 1 2 1 1 2 4 2 1 k    

 

 k 1 2

 k3

演練

例題 8 兩直線的垂直 8

演練

例題 7 兩直線的垂直 7

自我 評量 _評量

自我

1 1. 直線 L 通過 (4, 3)A  、 (2,1)B 兩點，則直線L 的斜率為 2 。

1 2. 直線 L 通過 ( 2,2)A  、B(6,3)兩點，則直線L 的斜率為 1 8 。

1 3. 直線 L 通過 (3,5)A 、B( 3,5) 兩點，則直線L 的斜率為 0 。

1 4. 直線 L 通過 (9,4)A 、B(9, 4) 兩點，則直線 L 的斜率為 ^不存在 。

2 5. 若直線 L 過點 ( ,3)A k 、B(4, 1) ，且知 L 的斜率為 2，則k 6 。

2 6. 若直線 L 過點A(1,3)、B( 3, ) k ，且知直線L 的斜率為1

2，則k  1 。

3 7. 已知平面上三點 ( 2,2)A  、B( 4,1) 、C(4, )k 三點共線，則k  5 。

3 8. 設點 ( ,3)A k 落在P(7,1)、Q(4, 2) 兩點的連線上，則k  9 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

4 9. 如右圖，設五條直線L 、₁ L 、₂ L 、₃ L 、₄ L 的斜率分別為₅ m 、 ₁ m 、2 m 、₃ m 、₄ m ，則其大小順序為₅ m₁m₂ m₃m₄ m₅ 。

5,7 10. 設L 、₁ L 二直線的斜率分別為₂ m 、₁ m ，且知₂ m₁ ， 3 若(1)L 與₁ L 平行，則₂ m₂  3 。

(2)L 與₁ L 垂直，則₂ m₂  1

3 。

5,7 11. 坐標平面上，有一動點 P 在直線 L 上移動，當橫坐標每增加 1 單位時，其縱坐標就減少 2 單位。

若(1)直線L 與 L 平行，則₁ L 的斜率為₁ 2 。 (2)直線L 與 L 垂直，則₂ L 的斜率為₂ 1

2 。

6,8 12. 設A(3,1)、B(2, 2) 、 (1,4)C 、D(4, )k 為坐標平面上四點，

若(1) AB

//CD

，則k  13 。 (2)ABCD

，則k  3 。

1 13. 某遊樂園園區有一座長 10 公尺、高 6 公尺的水上溜滑梯，

則此座溜滑梯的斜率為 3 4 。

2-2 直線方程式

重點一 點斜式

點斜式：

若一直線通過定點A x y ，且直線斜率為( , )_{0 0} m，則此直線的方程式為y y ₀ m x x(  ₀)。

設直線L 通過點 (1, 2) ，且斜率為1

3，試求直 線L 的方程式。

由點斜式知 L 的方程式為 ( 2) 1( 1)

y  3 x

 3y   6 x 1

 x3y  7 0

試求過點P( 3,1) 且斜率為2 的直線方程式。

由點斜式知 1 2( ( 3)) y  x 

 1 2y  x 6

 2x y   7 0

直線L 通過點 (3, 1)P  ，試依下列條件求直線 L 的方程式。

(1) L 的斜率為 0 (2) L 的斜率不存在 (1)∵ m0

∴ L ：y  ( 1) 0(x 3)

 y  1 0 (2)∵ m不存在 ∴ L 為鉛直線

故 L 的方程式為x 3 0

設直線L 通過點 ( 2,3)A  ，試依下列條件求直 線L 方程式。

(1) L 平行x軸 (2) L 垂直x軸 (1)∵ L //x軸  m0

∴ L ：y 3 0(x ( 2))

 y  3 0

(2)∵ Lx軸  m不存在 ∴ L 的方程式為x 2 0

演練

例題 1 點斜式 1

演練

例題 2 點斜式 2

已知A(3, 1) 、 ( 1,5)B  為坐標平面上兩點，

試求AB 的垂直平分線方程式。

AB 的中點為 3 ( 1) 1 5

( , ) (1,2)

2 2

   

 又 5 ( 1) 3

1 3 2 mAB     

  

∴ 2

L 3 m  由點斜式知

L ： 2

2 ( 1) y  3 x

 2x3y  4 0

已知A(0,3)、B( 4, 1)  為坐標平面上兩點，

試求AB 的垂直平分線方程式。

AB 的 中 點 為 0 ( 4) 3 ( 1)

( , ) ( 2,1)

2 2

   

 

又 1 3

4 0 1 mAB    

 

∴ AB 的垂直平分線 L 的斜率為 1 由點斜式知

L ：y    1 (x 2)

 1 0x y  

已知A(0,3)、B( 4, 1)  、 (5,2)C 為△_ABC之 三個頂點，試求AB 邊上高的直線方程式。

1 3 1

AB 4 0 m  

 

 

AB 邊上高的斜率m_CH  1

∴ 由點斜式知：AB 邊上高的直線方程式 為y    2 (x 5)

 7 0x y  

已 知 A(3, 1) 、 B( 1,5) 、 C( 5, 2)  為 ABC

△ 之三個頂點，試求AB 邊上高的直線 方程式。

5 ( 1) 3 1 3 2 mAB     

 

AB 邊上高的斜率 2

CH 3 m 

∴ 由點斜式知：AB 邊上高的直線方程式 為 2

2 ( 5) y  3 x

 2x3y  4 0

演練

例題 3 求垂直平分線方程式 3

演練

例題 4 求高方程式（進階題） 4

試求通過下列兩點的直線方程式：

(1)A( 3,2) 、B(3,4) (2)C( 3,2) 、D(5,2) (1) 4 2 1

3 ( 3) 3 mAB 

 

  

由點斜式知 AB

的方程式為 4 1( 3)

y  3 x

 3y12  x 3

 x3y  9 0

(2) 2 2

5 ( 3) 0 mCD   

  

由點斜式知CD

的方程式為 2 0(y  x 5)

 2 0y 

試求通過下列兩點的直線方程式：

(1)A( 2,1) 、B(4, 2) (2) ( 2,1)C  、D( 2,3) (1) 1 ( 2) 1

2 4 2 mAB  

  

  

∴ 直線方程式為 1 1( ( 2)) y  2 x 

 2y    2 x 2

 x2y  0

(2)∵ ( 2,1)C  、D( 2,3) 的_x坐標相同 故直線斜率不存在

∴直線方程式為x 2  x 2 0

已知A(2,3)、B(0, 1) 、 (1, 2)C  為△ABC之 三個頂點，試求AB 邊之中線方程式

AB 的中點為 2 0 3 ( 1)

( , ) (1,1)

2 2

M     又C(1, 2) 、 (1,1)M 的_x坐標相同

∴ AB 邊上之中線方程式為x 1 0

已 知 _△ABC 中 ， A(2, 5) 、 B( 1,4) 、 (1, 2)

C  ，試求BC邊之中線方程式。

BC的中點 1 1 4 ( 2)

( , ) (0,1)

2 2

M    

 5 1 3

2 0 mAM     

 

由點斜式知 1 3( 0) y   x

 3x y   1 0

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例題 5 過兩點求直線方程式 5

演練

例題 6 求中線方程式（進階題） 6

重點二 斜截式

1. 截距：

直線L 交x軸於點( ,0)a ，則_a稱為直線L 的x截距；

直線L 交 y 軸於點 (0, )b ，則b稱為直線L 的 y 截距。

2. 斜截式：

設直線L 的斜率為m，y 截距為b，則L 的方程式為y mx b  。

試求直線L：3x2y  的6 0 x截距、y 截距 及L 與兩坐標軸所圍成的三角形面積。

令y 代入得 0 3x 6 0  x 2 令_x0 代入得 2y   6 0 y3

∴ x截距為 ， y 截距為 3 2

與兩軸所圍成的三角形面積為 1 | 2 | | 3 | 3

2   

已知直線L： 2x5y10 0 ，試求 L 的x截 距、y 截距及 L 與兩坐標軸所圍成的三角形 面積。

令y 代入得 0 2x10 0  x 5 令_x0 代入得 5y10 0  y 2

∴ x截距為5， y 截距為 2

與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 1 | 5 | | 2 | 5

2  

小叮嚀

1.若L通過原點，則_L的x截距、_y截距皆為0。

2.設直線L的x截距為a，_y截距為_b（_ab₀），則L與兩坐標軸 所圍成的三角形面積為¹_{| |}

2 ab 。

演練

例題 7 求截距 7

設直線L 之斜率為 1

 且 y 截距為 3，試求此2 直線方程式。

由斜截式知：

直線L 的方程式為 1 2 3 y  x

 x2y  6 0

設直線L 之斜率為 1 且 y 截距為 2 ，試求此 直線方程式。

由斜截式知：

直線L 的方程式為y   x 2

 x y   2 0

已知平面上三直線L ：₁ y2x 、 3

L ：2 y ax  、2 L ：₃ y bx  ，若5 L 與₁ L₂ 平行，L 與₁ L 垂直，試求₃ a b 之值。

L ：1 y2x  3

1 2

mL  L ：2 y ax   2

L2

m  a L ：3 y bx   5 m_L3  b

∵ L //₁ L ₂  m_L1 m_L2

∴ a2

又L₁ L₂  m_L1m_L2   1

∴ 1

b  2

故 1 3

2 ( ) 2 2 a b    

已知平面上兩直線L ： 2₁ y3x 、 1

L ： 32 y ax  ，若1 L 與₁ L 垂直，試求₂ a之 值。

L ： 21 y3x  1 3 1 2 2 y x

 1

3

L 2 m 

L ： 32 y ax   1 1 3 3 y ax

 ^L2 3 m  a

∵ L₁L₂ 

1 2 1

L L

m m  

 3 2 3 1

   a

∴ a 2

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例題 8 斜截式 8

演練

例題 9 斜截式的應用 9

若直線L 在兩坐標軸上的截距和為 3，且 L 之 斜率為2，試求 L 之方程式。

設直線 L 的方程式為y2x b 令y 代入得 0 2x b 0 

2 x b 令_x0 代入得 y b

又( ) 3 2

b b

    b6

∴ L 的方程式為y2x 6

 2x y   6 0

若直線L 在兩坐標軸上的截距和為 5，且 L 之 斜率為 1

 ，試求 L 之方程式。 4 設直線 L 的方程式為 1

y 4x b 令y 代入得 0 1

4x b 0

    x4b 令_x0 代入得 y b

又_b4b5  b1

∴ L 的方程式為 1 4 1 y  x

 x4y  4 0

設直線 y ax b  的圖形通過一、三、四象 限，試求點P a b ab(  , )在第幾象限？

如圖：

∵ a m 0 y 截距b0

 a b 0，_ab0

∴ P a b ab(  , )在第四象限

設兩直線L ：₁ y a x b ₁  ， ₁ L ：2 y a x b ₂  的圖形 ₂ 如右所示：

試判斷a 、₁ a 、₂ b 、₁ b ₂ 之正負。

L 的圖形為左下往右上傾斜 1

且y 截距b 在₁ x軸上方

∴ a₁ ，0 b₁ 0

又L 的圖形為左上往右下傾斜 ₂ 且y 截距b 在₂ x軸下方

∴ a₂  ，0 b₂  0

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例題 10 斜截式的應用（進階題） 10

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例題 11 斜截式的應用（進階題） 11

重點三 截距式

截距式：

設直線L 的x截距為_a，y 截距為b，且_ab0，則直線L 的方程式為x y 1 a  b

已知直線L 的x截距為 ， y 截距為 3，試求2 直線L 的方程式。

由截距式知：

直線L 的方程式為 1

2 3 x  y



 3x2y  6 0

已知直線L 的x截距為1

2，y 截距為 1，試求 直線L 的方程式。

由截距式知：

直線L 的方程式為 1

1 1 2

x   y

 2x y   1 0

若直線L 在兩坐標軸上的截距相等（截距

0），且過點( 2,4) ，試求直線L 的方程式。

設直線 L 的方程式為x y 1 a   a

∵ 過點( 2,4) 代入得 2 4 1

a a

    2

a   1 a2

∴ L 的方程式為 1 2 2 x   y

 2 0x y  

設_a0，若直線L 的x截距與y 截距均為a， 且過點(6, 3) ，試求直線 L 的方程式。

設直線 L 的方程式為x y 1 a  a

∵ 過點(6, 3) 代入得 6 3

a a 1

   3

a   1 a3

∴ L 的方程式為 1 3 3 x  y

 3 0x y  

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例題 12 截距式 12

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例題 13 截距式的應用（進階題） 13

自我 評量 _評量

自我

1 1. 求過點 (3, 2)P  且斜率為 2

 的直線方程式為3 2x3y0 。

2 2. 求過點 ( 1,4)P  且斜率為0 的直線方程式為 y 4 0 。

2 3. 求過點 ( 1,4)P  且斜率不存在的直線方程式為 x 1 0 。

3 4. 已 知 (4, 5)A  、 B( 2,1) 為 坐 標 平 面 上 兩 點 ， 則 AB 的 垂 直 平 分 線 方 程 式 為 3 0

x y   。

5 5. 已知直線 L 通過 (5,3)A 、B( 1,6) 兩點，則直線L 的方程式為 x2y11 0 。

5 6. 已知直線 L 通過 (3,2)A 、B( 3,2) 兩點，則直線L 的方程式為 y 2 0 。

5 7. 已知直線 L 通過 ( 4,1)A  、B( 4, 1)  兩點，則直線 L 的方程式為 x 4 0 。

7 8.已知直線 L ： 5x3y30 0 ，則 L 的x截距為 6 ，y 截距為 10 ，與兩坐標軸 所圍成的三角形面積 30 。

8 9. 已知直線 L 的斜率為5

2，且y 截距為 1，則直線 L 的方程式為 5x2y 2 0 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

9 10. 已知平面上兩直線L ：₁ y 2x 、3 L ：₂ y mx  ， 4 (1)若L //₁ L ，則₂ m 2 。

(2)若L₁L₂，則_m 1 2 。

8 11. 已知直線 L 之 y 截距為3，且x坐標每減少 2 單位， y 坐標增加 3 單位，則直線 L 的方 程式為 3x2y 6 0 。

12 12. 已知直線 L 的x截距為_6，y 截距為 3，則直線 L 的方程式為 x2y 6 0 。

4 13. 已 知△ABC 中 ， 三 頂 點 A(1,2)、 B(5,1)、C(3,6) ， 則 AB 邊 上 高 的 直 線 方 程 式 為 4x y  6 0 。

2,7 14. 已知直線 L 的斜率為1

3，且_x截距為5，則直線 L 的方程式為 x3y 5 0 。

6 15. 已 知△ABC 中 ， 三 頂 點 A( 7,1) 、 B(3,5) 、C(1,8) ， 則 AB 邊 上 的 中 線 方 程 式 為 5x3y19 0 。

10 16. 若 直 線 L 在 兩 坐 標 軸 上 的 截 距 和 為 9 ， 且 L 之 斜 率 為 2 ，則直線 L 的方程式為 2x y  6 0 。

2-3 直線與二元一次方程式的關係

重點一 二元一次方程式的圖形

直線的一般式：

設_a、_b、_c為實數且_a、_b不同時為0，則二元一次方程式 L ：ax by c   ， 0 稱為直線的一般式，其圖形為一直線。

(1)當b0時，直線可化為L ： a c

y x

b b

   ，由直線的斜截式可知， a m  。 b (2)當b0時，直線L 垂直x軸，斜率不存在。

試求下列各直線方程式的斜率，並描繪其圖 形：

(1)2x3y  (2)6 0 3x 5 0 (3) 2y  3 0

(1) 2 2

3 3 m a

   b 



(2) 3

0 m a

    不存在 b

(3) 0

2 0 m a

    b

試求下列各直線方程式的斜率，並描繪其圖 形：

(1)3x y   (2)3 0 y  3 0 (3)x 3 0

(1) 3

1 3 m a

      b

(2) 0

1 0 m a

     b

(3) 1

0 m a

    不存在 b

演練

例題 1 求斜率 1