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國二每周練習題(108 年 05 月 13 日～05 月 17 日)
中心：_____________________ 姓名：___________________
例題一 (1) 已知 y 和 x 成正比，當x = 時5 y =4，求 y 和 x 的關係式為何？
(2) 已知 y 和 x 成反比，當x = 時5 y =4，求 y 和 x 的關係式為何？
解：
(1) 已知 y 和 x 成正比，所以 y 和 x 的關係式可以表示為y
x = ，k 是常數； k 將當x = 、5 y =4代入 y
x = 中， k 得到4
5 = ，將k 4
k = 5代回 y 和 x 的關係式 y
x = ， k 所以 y 和 x 的關係式為 4
5 y
x = 。
(2) 已知 y 和 x 成反比，所以 y 和 x 的關係式可以表示為xy =k， k 是常數；
將當x = 、5 y =4代入xy =k中，
得到5 4 k = k =20，將k =20代回 y 和 x 的關係式xy=k， 所以 y 和 x 的關係式為xy =20。
答：(1) 4 5 y
x = (2) xy =20 練習一 (1) 已知 y 和 x 成正比，當x = 時4 y =6，求 y 和 x 的關係式為何？
(2) 已知 y 和 x 成反比，當x = 時4 y =6，求 y 和 x 的關係式為何？
例題二 將下列各式作因式分解：
(1) x2 +5x (2) 25−4x2 (3) 6x2 +5x− 6 解：
(1) 原式=x2 +5x (2) 原式=25−4x2 (3) 原式=6x2 +5x− 6 = + x (x 5) =52 −(2 )x 2 3x 2− = x x( + (5 2 )(5 2 )5) = + x − x 6x 2 − 6 2x 3+ =(3x−2)(2x+ 3) 答：(1) (x x +5) (2) (5 2 )(5 2 )+ x − x (3) (3x−2)(2x+ 3)
小提醒：
若 和 成正比，則 和 的關係式可以 表示成 ，其中
為比例常數。
若 和 成正比，則 和 的關係式可以 表示成 ，其中
為比例常數。
小提醒：
試著利用 (1) 提公因式法 (2) 乘法公式 (3) 十字交乘法 作因式分解。
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練習二 將下列各式作因式分解：
(1) 4x−2x2 (2) 9x −2 16 (3) 9x2 −11x− 14
例題三 若一元二次方程式3x2 +kx+(k +24)=0的兩根相等，則 k 值為何？
解：
若一元二次方程式ax2 +bx+ = 的兩根相等(重根)，表示其判別式 c 0
2 4 0
D=b − ac= …(1)；
將a = 、b3 = 、k c= +k 24代入(1)式，得到：
2 4 3 ( 24) 0 k − +k =
k2 −12k−288= 0
k2 −12k =288
k2 − +2 k 6 62 =288 6+ 2
(k −6)2 =324
k − = 6 18
k =24或k = −12
答：k =24或k = −12 練習三 若一元二次方程式5x2−(k −3)x+(k − =8) 0的兩根相等，則 k 值為何？
例題四 小蛙將12% 的酒精 30 毫升和10% 的酒精 20 毫升混合後，所得到混合液的 酒精濃度為何？
解：
酒精重量=溶液重量百分率
12% 的酒精液體，酒精重量 30 12% 3.6= = 毫升 10% 的酒精液體，酒精重量 20 10%= = 毫升 2 酒精混合液的酒精重量 3.6 2 5.6= + = 毫升 酒精混合液的溶液重量 30 20 50= + = 毫升 混合液的酒精濃度=溶質重溶液重 100% =5.6 50 100%
11.2%=
答：11.2%
小提醒：
設一元二次方程式為
，其中
，則：
1. 設 為此 一元二次方程式的 判別式。
2. 一元二次方程式的 公式解：
(1) 若 時，
。 (2) 若 時，
(重根)。
(3) 若 時，此 方程式無解。
小提醒：
重量百分濃度 溶質 重 溶液重 。
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練習四 大偉將 25%的酒精 30 毫升和17% 的酒精 50 毫升混合後，所得到混合液的酒精濃度為何？
例題五 已知△ ABC △ DEF ，且頂點依序對應，若AB = 、5 BC =12、CA =13， 且DE =7x+12、FD=6y+ ，求數對( , )1 x y 為何？
解：
因為△ ABC △ DEF ，所以對應邊相等，所以 AB DE= 且CA=FD；
得到 5 7 12
13 6 1 x
y
= +
= +
5 12 7 13 1 6
x y
− =
− =
7 7 12 6
x y
− =
= 1
2 x y
= −
=
得到數對( , )x y = −( 1, 2)
答：( , )x y = −( 1, 2) 練習五 已知△ ABC △ DEF ，且頂點依序對應，若AB = 、9 BC =15、CA =12，
且EF =4x+ 、3 DE =15 3− y，求數對 ( , )x y 為何？
例題六 已知 (f x+ =3) 2x+ ，試求(1) 1 f(5)=? (2) f x =( ) ? 解：
(1) 假設x + = ，則 (3 5 f x+ =3) f(5)； x = − = 代入 (5 3 2 f x+ =3) 2x+ 1 得到 (2 3) 2 2 1f + = +
(5) 4 1 5f = + =
小提醒：
未知數是以符號代表 數，不限用何種符號表 示。
小提醒：
兩個三角形全等時，
對應邊必相等、對應 角必相等。反之，若 兩個三角形對應邊相 等、對應角相等，則 這兩個三角形全等。
小知識：
歐幾里得
希臘化時代的數學 家，被稱為「幾何學 之父」。
他在著作《幾何原 本》中提出五大公 設，成為歐洲數學的 基礎。歐幾里得也寫 過一些關於透視、圓 錐曲線、球面幾何學 及數論的作品。
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(2) 假設x+ = ，則 (3 A f x+ =3) f A( )； x= − 代入 (A 3 f x+ =3) 2x+ 1 得到 (f A− + = 3 3) 2 (A− + 3) 1 ( ) 2f A = A− + 6 1 f A( )=2A−5
再將 A x= 代入 f A( )=2A−5，得到 ( ) 2f x = x− 。 5
答：(1) f(5)=5 (2) ( ) 2f x = x− 5 練習六 已知 (5 2 )f − x = − + ，試求(1) 4x 3 f(3)=? (2) f x =( ) ?
