98.09.29 班級範圍1-2 有理數與實數(1) 座號姓名一 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.09.29 班級

範

圍 1-2 有理數與實數(1) 座號

姓 名 一、單選題 (每題 5 分 )

( ) 1. 化簡

13 13 13 13

(1 )(1 )(1 ) (1 )

5 6 7 13

12 12 12 12

(1 )(1 )(1 ) (1 )

4 5 6 12

   

   





之值為

(1)24 35 ⁽²⁾

45 32 ⁽³⁾

25 34 ⁽⁴⁾

42 53 ⁽⁵⁾

32 54 ^. 解答 3

解析

13 13 13 13

(1 )(1 )(1 ) (1 )

5 6 7 13

12 12 12 12

(1 )(1 )(1 ) (1 )

4 5 6 12

   

   





=

18 19 20 26

5 6 7 13

16 17 18 24

4 5 6 12

   

   





18 19 20 24 25 26 4 5 6 10 11 12

( )

5 6 7 11 12 13 16 17 18 22 23 24

   



      



  

4 25 26 25

16 17 13 34.

 

 

 

( ) 2. 74 47介在哪兩個連續整數之間？

(1)5與6 (2)6與7 (3)7與8 (4)8與9 (5)9與10﹒

解答 4

解析 令a 74 47a² 74 47,

6 47 7 67a268 67 a 68 8 64 67 a 68 819.

又

二、多選題 (每題 10 分 )

( ) 1. 設r^､

s 是有理數, r  s 且 m

､

n

^{是正整數, 則下列何者恆成立？}

(1) 3

r s

r  s (2) 3 3

4 2 4

r s r s r s

r      s (3) 2 3 3 2

5 5

r s r s

r    s

(4) nr ms

r s

m n

  

 ^. 解答 24

解析 (1)反例：

( 0.9) ( 0.6)

0.9, 0.6 0.9 0.5 0.6

r s    3

          

(矛盾)

(2)(3)(4)依分點公式：

: : , ( ), ( ), ( ) A P B

nr ms AP PB m n A r B s P

m n

 

 

且 則



( ) 2. 下列何者正確？

(1)

0.9 1 

(2)

0.232  0.23

(3)

0.34  0.343

(4)

0.34  0.344

(5)

0.123

為有理數﹒

解答 2345

解析 9 (1)0.9 1.

 9

(2)0.232 0.23232 0.23.

(3)0.34 0.3434 0.343.

(4)0.34 0.3434 0.344.

 

 

 





 123 12 111

(5)0.123 .

900 900

  

( ) 3. 下列何者為真？

(1)存在有兩個無理數, 使得ab^{為無理數且}ab^為有理數

(2)若2ab b, 2 c, 2ca^{均為有理數, 則}a b c, , 也必均為有理數 (3)有理數與無理數均具有稠密性

(4)若 , ,a

a b b^{均為無理數, 則}

a b 

或

ab

必為無理數 (5)設a b, 是實數, 且

a b  3  0

, 則a b 0 . 解答 123

解析 (1)

舉例 　

: a 2,

　

b  2

(2)(2 ) (2 ) (2 ) 3( )

2( ) (2 ) 2

2( 2 ) (2 ) 3

, ,

a b b c c a a b c

a b c

a b c a b b c

b c b c c

c a b

       

  

      

    



為有理數, 為有理數,

為有理數, 為有理數, 為有理數 且 也為有理數 .

(4) 1 2, 1 2.

(5) 3, 3.

a b

a b

   

  

反例:

反例:

( ) 4. 下列何者可化為有限小數？

(1)284 15 ⁽²⁾

562 256 ⁽³⁾

207

144 625 ^{(4) 3} 123

25 ⁽⁵⁾

2 3

2

 ﹒

解答 234

解析 分式化簡後, 分母含有2、5以外的質因數化為小數時為無限(循環)小數 (1)╳ :15 3 5且 ｜3 284. (2)○ : 2562 .⁸

(3)○ 207 207 23

: .

144 62516 9 25 2516 25 25

      (4)○.

(5)╳

:分子為無理數.

( ) 5. 設a b, 為有理數﹐c d, 為無理數﹐且

a  0

, 則下列何者為真﹖

(1)

a  c

為無理數 (2)

c d 

為無理數 (3)

ac

為無理數 (4)

cd

為無理數 (5)b

a^{為有理數.}

解答 135

解析 (1)○:

例如:

2 3﹒ (2)╳:

例如

: 2 (1 2)1

為有理數

﹒

(3)○:

例如

: 5 35 3﹒ (4)╳:

例如

: ( 2 1)( 2 1)    2 1 1

為有理數

﹒

(5)○ 3

:

例如:

5﹒

( ) 6. 下列哪些有理數可化成有限小數？ 41 137 7 1 21

(1) (2) (3) (4) (5) .

16 15 50 512 15

解答 1345

解析 最簡分數的分母只含2或5兩個質因數的有理數均可化成有限小數﹐

三、填充題(每題 10 分) 1. 將下列各數化成最簡根式﹕

(1)

20  80  45

(2)( 6 2)( 6 2). (3)

1

5  2

(4)

4

6  2

^{. (5)}

5 1

1 1 5

1

 



(6)

2 3

2 3





解答 (1)

3 5

;(2)4 (3) 5 2 3

 ;(4)

6  2

(5)

1

 2

(6) 52 6 解析

(1) 20 80 452 54 53 53 5﹒ (2)



^{6 2}



^{6 2}

    

^{ 6 2 2 2  6 2 4﹒}

(3) ^{51 2 51 2 55 22}

   

^{5 52 22 2 55 22}

    

 

     

       

5 2

3

  ﹒

(4)

 

     

2 2

4 6 2 4 6 2

4 4 6 2

6 2 6 2 6 2 6 2 4

 

  

 

    

         6 2﹒

(5)

   

  

5 1 5 1

1 1 2 1

5 1 2

5 1 5 1 5 1 5 1

   

    

     ﹒

(6)

 

  

2

3 2

3 2 3 2 6 2

5 2 6

3 2 3 2 3 2 3 2

   

   

    ﹒

2.

0.237

化為有理數=______________.

解答 198 47

解析 237 2 47 990 198

  ﹒

3. 若函數 f n( )表「4

7 ^{化成小數﹐小數點後第}

n

^{位數」﹐則} (1) (2) (3) (123)

f  f  f   f =__________.

解答 553 解析 4

0.571428, 7

123 6 20 3   f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6) 5 7 1 4 2 8 27,       所求=

27 20 5 7 1 553     

.

4. 設

a

,

b

,

c

^為1至9的正整數, 若699 700

9000.abc900, 則序組(a b c, , )=__________.

解答 (7, 7, 6) 解析 原式

699 (100 10 ) 700

900 990 900

a b c a

   a

    768.9(100a10b  c) a 770, (100a 10b c) a 769

     ,

取

a7,b7,c6 .

5. 設

a 2811

是一個五位數, 且 2811 420

a 為有限小數, 則數字

a

=________.

解答 6

解析 ₂ 2811 2 3 5 7

a

   ^{為有限小數}

 3 2811 a



(1)

且

7 2811 a



(2)

由(1)

 3 ( a     2 8 1 1)

 a 可為 　 0( 不合 ),

3﹐6﹐9, 依次代入(2)驗算得a6 62811 7

（

 8973

）

﹒

6. 有一個最簡分數, 其分子與分母之和為20, 若將此分數化為小數, 並將第三位小數四捨五入得 0.54一數, 則此分數為_________ .

解答 7 13

解析 設此最簡分數為

20 p p



（

p 為正整數 ,1   p 20, ( , 20 p  p ) 1 

）﹐

0.535  20   0.545  0.535  20   0.545

則 p 　 　

p p p

p

^﹐

左式 p13.

　

^﹐右式 p12.^﹐

  p 13, 此分數

⁷

13^﹒

7. 設a b, 是有理數, 且滿足(4a3 ) 3 2b   1 (2a6 ) 2b , 則數對( , )a b =___________.

解答 1 1 ( , )

2 3

解析 原式整理得(4a3b  1) ( 2a6b3) 2 0,

a b, 為有理數, 

4 a  3 b   1 0

且 2a 6b 3 0, 1 1

, .

2 3

a b

   

8. 設a b, 為有理數, 滿足

a 3 2 2   b 17 12 2   43 30 2 

,求

a

=__________ . 解答 1

解析 原式整理得 17 12 2  172 72

 ( 9  8)

²

  3 2 2

﹐ 43 30 2  43 2 450

 ( 25  18)

²

  5 3 2 , 3 3 2   ( 2 1) 

2

 2 1, 

( 2 1) (3 2 2) 5 3 2

a  b      ( a 3b 5) (a2b3) 20,

,



a b 是有理數

,

  a 3 b   5 0

,且

a  2 b   3 0

 a 1,b2.

9. 設

11 6 2    a b

, 其中

a

是整數, 0 b 1, 則 1 1 2 a b b

  =__________.

解答 6 7

解析 11 6 2  11 2 18  9 2 3 2,a4,b (3 2) 4 2 1,

1 1 1 1 6

2 3 2 3 2 7.

a b b   

   

則

10. 設

3

的小數部分為

x

, 則

1

x

 x

=_____________ . 解答

2

解析 1 3 4,

3 1 2( 3 1) 2( 3 1)

3 1 , 3 1, 2.

2 3 4 2 3 3 1

x x   

        

  

所求

11.

x

^{為自然數，滿足}

2 x   3 10

之解共有__________個.

解答 6

解析 2x 3 10

10 2 3 10

7 2 13

x x

    

   

7 13

2 2 ,

, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 . x

x x

   

 為自然數 　則  共 個

12. 解   2x 1 4得x的範圍為________﹒

解答 2

3 2

5 

 x

x

或

解析 2x 1 4或2x  1 4,

2 3 2 5,

3 5

2 2.

x x

x x

     

    或 或

13. 設a b, ^{為實數, 若}

ax   2 b

之解為

   3 x 5

, 則

a b 

=___________

解答 6

解析 ( 3) 5 5 ( 3)

3 5 1 4,

2 2

x x     x

     

, 即

 

同乘     2 2x 2 8，即

2 8 6

a a b

b

  

  

  

14. 設a b, ^{為整數, 若}

a   1 3 b   2 4

, 則數對(a b, )共有_______組解.

解答 6

解析

(I) b   2 1, a   1 1 時: ( , ) a b  (2, 1), (2, 3), (0, 1), (0, 3).     (II) 2 0, 1 4 ( , ) (5, 2) ( 3, 2) .

(I)(II) 6

b   a   時: a b   或  

由 知共 組解.

15. 設

x

,y,

z 為實數

﹐且

x          y 3 y z 4 z x 5 0

, 則序組( , , )x y z =_________.

解答 (2,1, 3) 解析

由原式可得

3 0, 4 0, 5 0

x  y y  z z  x ^﹐解得x2, y1, z3﹒ 16. 設

x 為實數

, 且

x     1 x 2 5

, 則

x

=________.

解答 4或1

解析

(I)1   x 2 時 : 如下圖 (1), 　 x       1 x 2 2 1 1 　（不合）.

(II) 2 (2) 1 2( 2) 5, 4 .

(III) 1 (3) 1 2(1 ) 5, 1.

x x x

x x x

    

     

時 : 如下圖 , 時 : 如下圖 ,

圖(1) 圖(2) 圖(3)

17. 解方程式

x    3 x 1

, 則

x

=________.

解答 1

解析

(I) 若 x   1 0, 則 x    3 x 1, 得 3   1 （矛盾）.

(II) 1 0, 3 1 , 2 2 0, 1.

(I)(II) 1.

x x x x x

x

        

 

若 則 整理得 解得

由 解為

18. 設

x

,

y 為實數

﹐

1 2, 2 3, x , M

x y M m

y m

    

且 若 有最大值 及最小值 則 的值為___ .

解答 2

解析

1 1 1 1 1 1

, 1 2, 1, 1, ,

3 2 x 2 x M m 2

y y

            

M 2.

m  

故

19. 設

x 為實數

, 且

x     1 x 3 k

無解, 則

k

的最大值為_______.

解答 2

解析

f x ( )     x 1 x 3 的最小值為 f (3)  2,

1 3 2 , 2, 2.

k x x k k

 原式表示 :      無解    　 的最大值為

20. 設x y, 為實數, 若

( x   y 2)

²

 (3 x   y 4)

²

 0

, 則

x

=(1)________, y=(2)_________.

解答 (1) 3

x 2;(2) 1 y 2 解析

2 2

( x   y 2)  (3 x   y 4)  0,



2 0 3 1

, .

3 4 0 2 2

x y

x y

x y

  

         

21. 設x y, 為實數, 若

x   2 5, y   6 3

, 則3xy的最大值為(1)____, 最小值為 (2)____.

解答 (1)30;(2)

 6

解析 x        2 5 3 x 7 9 3x21,

6 3 9 3 3 9,

6 3 30, 30, 6.

y y y

x y

          

    故最大值 最小值

22. 若實數x滿足

1    x 1 2

, 則

x

之範圍為_______.

解答

2   x 3 或    1 x 0

解析

1 1 2,

1 1 2 2 1 1,

2 3 1 0.

1 1 2 2 3 1 0.

x

x x

x x

x x x

  

        

    

        



（解一）

或 或

（解二）

用圖解法:

或

23. 試比較下列兩組數的大小：

(1) 101 105 109

, , .

103 107 111

a b c （由小至大排序）____________________________(以a b c, , .回答)

(2) 128 140 193

, , .

125 137 190

a  b  c  （由小至大排序） _______________________(以a b c, , .回答) 解答 (1)

a   b c

;(2)

a   b c

解析 2 2 2 2

(1) 1 , 1 , , , .

103 105 103 105

a  b 

　

 

　

 a b

同理

bc

3 3 3 3

(2) 1 , 1 , , , .

125 137 125 137

a   b  

　

 

　

 a b

同理

bc

24. a 7 2,b 6 3,c 2 5﹐比較a b c, , 大小_____________________.(以a b c, , .回答) 解答 c b a

解析 a²  9 2 14,b²  9 2 18,c²  9 2 20,

2 2 2

20 18 14, ,

, ,

c b a

c b a a b c

    

  





　（ 均正）.

25. 試比較

a  8  6

與

b   3 7

的大小﹒

解答 ab 解析

( 8 6)( 8 6 ) 2

,

8 6 8 6

(3 7 )(3 7 ) 2 ,

3 7 9 7

a

b

 

 

 

 

 

 

8 9, 6 7, 8 6 9 7,  a b.



26. 市售的八開圖畫紙是將一張全開的紙（如報紙）對折3次所得的尺寸, 其面積為原來的 8 1. 整張 紙的長､寬比要設計得合理﹐才能使對開､4開､8開､16開等尺寸的紙張形狀相似.

(1)欲使一矩形紙張對折之後的形狀和原來的相似﹐紙張的長、寬比為何？

(2)欲使一矩形裁去一以寬為邊長的正方形之後﹐形狀和原來的矩形相似﹐矩形的長､寬比為 何？

解答 (1)

2 :1

;(2)1 5 2 :1

 解析

(1)設紙張原來的寬為1﹐長為^{x x}



^0



^﹐

則經對折後的長方形長為1﹐寬為 2 x﹐

故 :1 1:

2 x  x﹐得

2

2 1

x  ﹐x²2﹐x 2﹒

紙張的長寬比值為 2

1  2﹒

(2)設矩形原來的寬為1﹐長為^{x x}



^1



^﹐

則經裁去一以寬為邊長的正方形之後﹐

剩餘長方形的長為1﹐寬為x1﹐

故x:1 1:



x1



﹐x²  x 1 0﹐得 1 5 x 2





x1



﹒

矩形的長寬比值為1 5 2

 ﹒

四、證明題

1. 證明﹕

2

不是有理數.

解析

假設 2為有理數﹐設 2 q

 p（其中p﹐q是互質的正整數）﹒

等式兩邊平方﹐得到

2

2 q2

 p ﹐即2p² q²﹒ 因為q²是偶數﹐所以q也是偶數﹒

( 因為偶數的平方才會是偶數﹔若q是奇數﹐q²不可能是偶數﹒) 將q寫成q2m（m是整數）﹐代入2p²q²﹐得2p²4m²﹐ 即p²2m²﹐因此p²是偶數﹐故p也是偶數﹒

p﹐q都是偶數的推論與p﹐q是互質兩數的假設互相矛盾﹐

故原假設錯誤﹐所以 2不是有理數﹒

2. 利用

2

是無理數﹐證明﹕(1) 2

2 ^{. (2)}

5  2

皆為無理數﹒

解析 (1)設 2

2 ^{是有理數﹐即設} 2

2  p p為有理數 2 2p為有理數

此與已知“

2

是無理數＂矛盾﹐故 2

2 ^{是無理數.}

(2)設

5  2

是有理數﹐即設5 2  p p, 為有理數﹐

則 2 p 5為有理數﹐此與已知矛盾﹐故

5  2

是無理數.

3. (1)設

a, b

是正實數﹐試證﹕a b ab

 

2 ^.



(算術平均數大於或等於幾何平均數、算幾不等式)

(2) 證明﹕若a b ab

 

2 ^{﹐則a = b}

解析 (1)因為a﹐b是正實數﹐所以

^a

 

^{a 2﹐b}

 

^{b 2﹐且 ab a b﹒}

得

   

^{2 2 2}

 

²

2 2 2 0

  

   a b ab  a b 

a b

ab ﹐（實數的平方恆為正數或

0）﹐

故 2 a b

  ab﹒ (2) 2

a b

  ab，即 0

2 a b

  ab

   

^{2 2 2}

 

²

0 0

2 2

a b ab a b

a b a b

  

       

4. (1)已知a,b是實數且a² b² 16^﹐求

ab

的最大值﹒

(2)已知a,b是正實數且

ab  16

﹐求

a  b

的最小值﹒

解答 (1)8;(2)8

解析 (1)因為a b, ^{是實數﹐所以}a^2和b^{2均為正數﹐}

由算幾不等式

2 2

2 2

2 , a b

  a b

得 16

| | 8 8,

2  ab   ab 故

ab

的最大值為8.

(2)a b, 是正實數﹐ 由算幾不等式 , 2

a b  ab 得

16 8,

2 a b

a b

     故

a b 

的最小值為8.