中學階段代數的學習與教學策略

本小節分為三個部分來探討，第一部分為代數學習困難的相關研究，

第二部分為文字題錯誤概念之相關研究，第三部份為代數教學策略的相關 研究。

一、代數學習困難的相關研究

1976 年英國倫敦大學教育學院(Institute of Education)的中學數學及科 學概念研究小組，簡稱CSMS (Concepts in Secondary Mathematics and Science）研究了 3000 位國二到高一的學生學習代數所面臨的問題 (Kuchemann, 1981)，學生在符號化簡與去括號時產生困難。

1982 年美國國家教育進步評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP)，研究發現學生對於文字符號概念的成就低落。Carpenter 等人(1982)以 13 到 17 歲的學生為研究對象，並根據學生的表現去歸納其代 數技能及了解情形；他們發現91%的學生能利用□的觀念去解一些簡單的 方程式問題，有65%的學生能解使用文字符號的方程式問題，運算的數字 變大，正確的答對情形則降至30%，甚至 17 歲的學生只有 58%能夠正確列 出「比t 大 9 的數」表示為「t+9」。

Capraro (2006) 針對了 25 所中學的 668 位七~八年級學生，用三個列式 問題，包含兩題選擇及一題非選擇題，調查了他們轉譯英文到數學符號的 情形，只有58 位(9%)的學生可以完全答對這三個問題，他認為學生必須同 時擁有概念的理解、字詞的意義，學生才能夠正確地轉譯這些數學字詞到 數學符號，以及線性方程式。

國內在民國77 年郭汾派教授參考了英國 CSMS 小組所設計的題目，配 合台灣的課程及文化自行設計題目，並擬出了一份「國中生文字符號概念 之發展」的測驗卷，當年進行全國分區抽樣測試了25 所國中一、二、三年 級共約2900 位學生，分析國中生在文字符號概念的主要錯誤型態。接下來 在民國82、83 年，林清山、張景媛又以國二學生為對象，進行了質性的研 究，探討學生如何建構出正確的數學概念，並根據學生的錯誤類型，設計 符合內化理論的數學教學策略，並透過實徵研究的方法進行實驗教學的研 究。他們認為：教師應該瞭解學生可能犯錯的概念，使教師在教學時能注 意學生的學習困難，而改善其教學方式。

國內研究者謝和秀(2000)探討不同智商等級的國一學生在文字符號概 念的表現，發現無論那一個智商等級的學生對「文字符號可當作一般化的 數字」及「文字符號當作變數」這兩類概念有困難，而中智商等的學生在

「文字符號可忽略不用」、「文字符號當作物體」及「文字符號當作特定的 未知數」等概念有困難。他認為學生主要的錯誤類型是不了解文字符號在 問題中所代表的意義，以及學生會將算術與代數的運算規則混淆。

二、文字題錯誤概念之相關研究

Loftus and Suppes(1972)在分析影響問題困難度的因素時，發現通常最

困難的問題包含有”相關性”的敘述句，例如：「瑪麗兩年前的年齡是貝蒂年 齡的兩倍，瑪麗現年40 歲，請問貝蒂現年幾歲？」在國外的文獻中(Clement, Lochhead and Monk, 1981)，某些類型在轉譯方程式時就連大學生也有很高 的錯誤率。例如「某大學學生人數是教授人數的六倍」，主修科學的學生有 37%的錯誤率，列出「6s＝p」。 Rosnick(1981)延伸探討了學生對方程式中 符號的了解，當他把這教授與學生的比例改為4：5 時，錯誤的比例竟然超 過73%，另外他調查了 33 位大一新生及主修商科的大三學生，和 119 位主 修社會科學的大二學生，發現這152 位大學生中有超過 40%的學生無法判 斷P 所代表的教授的人數，同樣地有超過 43%的比例不了解 S 代表的是學 生的人數。

MacGregor and Stacey(1993)探討學生將文字描述轉譯為代數式的表 現，學生列式時存在著某些心理模式，最常犯錯置的錯誤（reversal error），

例如：班上有x 個女生，y 個男生。若女生的人數比男生人數多 10 人，請 問x 和 y 的關係式為何？其中學生最常出現的錯誤列式為「x+10=y」。

Crowley，Thomas and Tall (1994)認為符號可以用來運算數學問題或用 來思考數學上的關係，學生在文字題的列式也不完全只是照著文字敘述的 順序逐一列出，企圖使他們寫的東西有意義。另外，當問題的敘述變得複 雜時，學生會採用算術的運算規則，將計算的過程寫在等號的左邊。

Muth(1991；引自張景媛, 1994)的研究指出:學生對數學文字題的解題能 力會受到文字題當中無關訊息的干擾而無法解決問題；Low and Over(1993) 提到，女生比男生容易受到無關訊息的影響。MacGregor and Stacey(1993) 歸納了建立代數式時所可能的錯誤原因包括：(1)語法上的直譯(syntactic translation)；(2)代數字元的迷失(misinterpretation of algebra letters)；(3)與自

然語言的衝突(interference from natural language)，所以他在設計題目時，刻 意避開這些可能產生錯誤的原因，結果發現學生還是產生了許多的錯誤；

於是他觀察學生的錯誤解題表現，提出學生的認知模型，他認為學生試圖 表現被比較的不等量(compared unequal quantities)，而此一模型是適用於一 般性的語言但卻不適用於數學語言。而國外研究者的這些發現，有部分是 與國內學生的情況類似，但因為英文句型造成學生轉譯的困難，在國內尚 無這方面的研究。

國內研究者張景媛(1994)及羅榮福(2003)的研究發現，國中學生在解文 字題時，無法充分了解某些關鍵詞的意義，例如「三年前」、「四年後」、「倍 增」等，謝和秀(2000)也發現，有些學生會對某些關鍵詞的意義有直接反應，

例如看到問題敘述「每人分10 個，則剩下 6 個」，敘述中有”分”這個字就 以為要使用除法，學生對於問題當中出現「剩」或「不足」等詞彙，不會 用數學式來表示。林清山和張景媛(1994)的研究發現，學生對於問題中哪些 是沒有用的條件並不清楚，以為問題當中的每個敘述或數字都要用上。戴 文賓和邱守榕(1999)的研究也指出，當文字題的問題敘述較長或較複雜時，

學生無法掌握問題的重點，往往不知道該從何下手。

三、教學策略之相關研究

傳統的數學教學著重在教師講述，學生被動地接收教師所傳達的知 識，九年一貫課程強調學生基本能力的培養，注重生活實用性，培養可以 帶得走的基本能力，而不再是背不動的書包與繁重的知識教材，課程設計 應以學生為主體，以生活經驗為重心，教師不再只是知識的傳播者。波利 亞(1957)認為教師最重要的任務之ㄧ就是幫助學生，並且是要適度且自然而 不顯眼地幫助學生。Miller(1992)的研究發現：教師在代數課程的教學當中，

對學生數學的理解程度要有所了解，這有助於教師修正調整自己的教學方 法。

Rubenstein 和 Thompson (2001)認為學生在學習符號的過程當中，可能 會遇到口語、閱讀以及書寫三種挑戰，他們建議教師首先從學習動機著手，

讓學生先了解以流暢的數學符號表達的重要性，提出了三種學習策略：(1) 語言策略，請學生說出問題的意義，教師適度地保持緘默，(2)視覺策略，

善用圖示，(3)運用計畫，從一些錯誤的例子當中理解符號的意義。

林清山和張景媛(1993)的研究指出：學生在課堂進行當中，會因為語言 溝通的問題而產生錯誤概念，教師須加強學生的語文能力，方能使學生了 解問題，進而完成解題任務。張景媛在民國83 年時曾針對國二學生以「代 數應用題解題策略訓練課程」與「後設認知與動機信念訓練課程」進行實 驗教學研究，使用簡化問題、重述問題、繪圖法、問答法等解題策略並運 用內化理論所強調的互動原則進行教學，這些解題策略確實改善了數學低 成就學生的學習成效，但「後社認知與動機信念訓練課程」對學生卻難產 生立即性的成效。研究結果顯示：良好的教學策略可以對學生的學習產生 立即性的學習成效，但要提升學生的動機與學習態度，並非短時間內可以 改善。

戴恩清(2005)分析了大量應用題的解題策略，總結了解方程式的規律，

提出一連串新的解題策略，他認為要列一元一次方程式的方法有三個步 驟：（1）弄清題意和題目當中的數量關係，用字母表示問題中的一個未知 數，（2）找出能夠表示應用問題全部含意的一個相等關係，（3）根據找到 的相等關係列出需要的代數式，最後再列出完整的方程式。建議教材當中 須為學生提供完整、具體、明確且直觀的解題範例，幫助學生學習。

王如敏(2003)的研究以引導式應用問題測驗探討國二學生解一元一次 方程式應用問題的表現，發現：在解應用問題時，多數學生在解題的第一 個步驟「了解題意」假設出未知數便產生極大的困難。填充引導方式對中 等程度學生助益最大，更能適當地引導學生思考、幫助學生了解問題，教 師可以從中發現學生的解題困難及錯誤的原因。