研究步驟與流程

本研究為了方便讀者閱讀，研究的進行分為五個時期：準備期、調整 期、正式施測期、教學期以及分析回顧期，詳述如下：

一、準備期

本研究在一開始先確定本研究的大方向為國中生列代數式的表現情 形。研究者在碩二的時候，曾針對國一、國二學生進行兩次施測，第一次 施測是以國二學生104 人為對象，採用 David Tall（1997）研究當中的列式 問題共6 題，包括加法、乘法列式各 3 題，將 David Tall 的列式問題修正為 符合台灣國中生背景的情境，發現這次施測的試題中有 4 題為文字敘述轉 譯代數式，且問題多沒有生活情境為背景，但是國內學生在學二元一次方 程式單元的文字題，並非只有加法、乘法兩種類型，若只探討加法、乘法 兩類問題無法清楚地得知學生列代數式的困難在哪裡。

在第一次施測完畢的一週之內，研究者針對這本身任教的三個班級104 位國二學生進行了一節課波利亞表列法的教學，這是一個新的嘗試，教學 完後的問卷當中，大部分的學生都覺得這個表列的方法有幫助，但比較麻 煩些，原因是學生大部分不喜歡寫文字，接下來研究者又從受試學生中挑 選了五位中等程度的學生進行訪談，他們多對這個方法表示肯定，覺得有 助於他們拆解問題。

有了第一次施測的經驗之後，在第二次施測之前，修正了第一次施測 的試題，並彙整90～95 年基測試題及各版本教科書中普遍出現的代數文字 題 15 題，以國一學生 76 人為對象進行施測，結果發現在分析該試題時有

些困難，探究其原因為：各個問題未經過分類，在評分完之後，研究者便 僅能就各問題的情境及題目的文字敘述來分析學生的錯誤，無法有系統地 彙整出學生代數文字題列式的困難。因此經過了這兩次的施測後，研究者 初步掌握了學生列式的情形，經由與指導教授及研究小組成員的討論，考 量由於施測以及教學活動都需要有大量的試題，若只從94～95 年各版本教 科書（南一版、康軒版以及翰林版）、90～95 年基測試題蒐集代數文字題，

文字題的數量仍然不足，經由指導教授的建議後，決定再蒐集彙整坊間參 考書的試題，建立代數文字題的題庫。基於以上因素研究者決定進行代數 文字題的擴充及彙整，將教科書中常見的代數文字題加入下一次預試的試 題當中。

在建立題庫時，參考了 Greeno（1980）對加法文字題的分類，以及 Mayer（1981, 1982, 1992）、Hinsley 和 Hayes 以及 Simon（1977）的文字 題分類，分析並歸納彙整 94～95 年各版本國一數學教科書、90～95 年歷 年基測試題、坊間相關講義、參考書等一元一次方程式及二元一次聯立方 程式單元之代數文字題，嘗試找出每個問題所使用的數學概念，研究者希 望透過代數文字題的分類能夠重整資料、能更有系統地分析學生在代數文 字題列式的困難，因此將資料也就是將代數文字題進行分類，期望在進行 實驗教學時，更能夠依照文字題的分類設計有系統課程內容，提升學生列 方程式的成效。

在建立題庫的過程中研究者發現：在一個可以用二元未知數來表示的 代數文字題當中，列出來的兩個方程式未必使用的是同一類型的數學概 念，若將一整個文字題歸為一個類型的話，在分類時會有很大的困難，研 究者在研究小組討論中經過研究小組成員以及指導教授的建議後，一致認 為根據每個方程式所使用到的數學概念來進行歸類是比較可行的方法。

因此，研究者便仿照 Greeno（1980）的分類方式開始進行分類。研究 者將代數文字題的列式分為四個類型為「合併類」、「比較類」、「改變類」

以及「分配類」，其中前三個類型的名稱是 Greeno（1980）所提出來的，雖 採用的是Greeno 提出的名稱，但考量本研究的列式使用到的數學概念並非 只限於加法，因此將這三個類型做了更完整的定義，並分別舉例說明。另 外，研究者在蒐集問題、建立題庫時發現，國中生常見的一元一次及二元 一次聯立方程式的文字題還會需要使用到某些特殊的數學知識，方能夠順 利地將問題的敘述轉換為代數式，也就是第四個類型「分配類」。

基於上述的探討，及經過指導教授與研究小組成員討論後，研究者依 照問題的數學概念將一元一次及二元一次的文字題的列式分為以下四類。

研究小組成員共有四位，其中一位是國中數學科在職教師，一位是國小數 學科在職老師，另外兩位為數學主修之研究生，在研究過程中可以聆聽不 同教學經驗者的寶貴建言。

研究者考慮二元一次聯立方程式的文字題當中所列出來的兩個方程式 未必使用相同的概念來列式，因此，在分析各個問題的類別時，將根據每 個式子所使用到的數學概念來進行分類，其中問題敘述中用方框框起來的 部份即為該題目用來列代數式的文字敘述，舉例及歸類說明如下敘述：

（一）合併類：指利用題目敘述中未知數與已知數的數量總和關係列式的 式子。

（二）比較類：指利用題目敘述中的數量大小、多寡及倍數關係之比較概 念列式的問題。

【範例】安安與家人到游泳池游泳，買2 張全票與 3 張學生票共付了 155 元，已知全票每張比學生票貴15 元。設學生票每張 x 元，全票每張 y 元，

請你列出方程式來表示題目中x 和 y 的數量關係。（修改自95 年第二次基測）

理由：此問題會列出兩個不同類型的代數式，其中在買2 張全票與 3 張學 生票共付了155 元這個敘述中，需要利用全票的單價（未知數）與張數（已 知數）的乘積來列式，因此歸為合併類。另外，在全票每張比學生票貴15 元這個敘述中，需要使用到全票票價與學生票票價做比較，因此歸為比較 類。

（三）改變類：指題目敘述中包含兩個未知數同時經過增加、減少或數量 互換之後，形成另一種數量關係，利用此改變關係列式的問題。

【範例】哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥10 張後，哥哥的張 數就是弟弟的2 倍；若哥哥給弟弟 10 張，兩人的張數就一樣多。設哥哥的 張數為x 張，弟弟的張數為 y 張，依題意列出 x 和 y 的關係式。（修改自94 年第二次基測）

理由：在弟弟給哥哥10 張後，哥哥的張數就是弟弟的 2 倍這段敘述中，哥 哥與弟弟兩人的張數（兩未知數）同時經過改變而有新的數量關係，雖然 這新的數量關係包含了倍數的比較關係，但對於這種情況的問題研究者在 分類時，研究者將此歸為改變類。在若哥哥給弟弟10 張，兩人的張數就一 樣多這段敘述中，兩人的張數（兩未知數）同時經過改變而有新的數量關 係，亦歸在改變類。

（四）分配類：指使用題目敘述中數量平均分配的數學概念來列式，或者 是轉換成乘法的方式來列出代數式。

【範例】李先生開的民宿來了好多人，如果每一間房間住7 個人，就會有 7 個人沒房間住；如果一個房間住 9 個人，就空出一間房間。請問李先生的 民宿共有多少房間？有多少人來到這間民宿？（86 年部編版第二冊數學課 本）

理由：在如果一間房間住 7 個人，就還有 7 個人沒房間住及如果一個房間 住 9 個人，就空出一間房間這兩段敘述中，可以知道需要將一群人平均分 配到房間的住宿而有餘數的問題，會使用到除法的分配概念經過轉換為乘 法的表示方式列出代數式，因此歸在分配類。

在進行代數文字題分類的過程中，嘗試了很多分類的方式，在與指導 教授與研究小組成員不斷地討論當中逐漸成型，最後再請一位代數專長的 數學系教授審核研究者的分類與定義，修正後決定採用上述四種類型「合 併類」、「比較類」、「改變類」以及「分配類」作為代數文字題列式之 分類。建立出文字題的分類後，研究者開始根據這些分類編彙列式試卷，

在調整期進行列式試卷的審核與修正。

二、調整期

文字題的四個類型確認完畢之後，研究者從準備期所建立的題庫當中 挑選出各類型的問題15 題，經研究小組討論以及指導教授評閱後，編製成 代數文字題列式之試卷。彙整出15 個問題之後，為了確保問題的敘述為一 般常見的問題，首先請兩位在職的國文老師審核問題的文字敘述。另外，

為了增加代數文字題分類以及該份試題的信度，邀請兩位在職的國中數學 老師及一位數學系教授進行審核。兩位在職的數學老師雖然肯定研究者的 分類，但對於這樣探索性的研究以及為何要進行文字題分類的動機及源由

並不甚瞭解，因此在與指導教授討論之後，決定再邀請研究生審核，包含 二位科學教育所博士生，及四位碩士班學生進行文字題分類及列式試卷之 審核。

列式試卷編彙完畢，研究者針對台北縣某完全中學國中部一年級共 97 位來自三個班級學生進行列式試卷的預試，在預試結束後以SAS 軟體計算 列式試卷的信效度。在調整期時自編代數文字題列式試卷，是希望設計一 份試卷幫助研究者有系統地分析國中學生在常見的代數文字題列式的困 難。

此外，鑑於在準備期閱讀文獻時發現：國內的研究多從解方程式的歷 程來探討國中生的困難與錯誤類型，但並未提出有系統的方法指導學生列 方程式，又在研究者碩一時，閱讀到波利亞（1957）<<怎樣解題>>書中提

此外，鑑於在準備期閱讀文獻時發現：國內的研究多從解方程式的歷 程來探討國中生的困難與錯誤類型，但並未提出有系統的方法指導學生列 方程式，又在研究者碩一時，閱讀到波利亞（1957）<<怎樣解題>>書中提