未知數假設表現之資料分析

一、學生未知數假設作答情形之分析

從學生寫未知數假設的表現可以發現他們普遍會有以下幾種情形：

1、未清楚地將未知數假設寫出來，會直接寫在問題敘述上。舉例如下：

例：第2 題學生未知數假設之表現：

圖4-1 第2 題學生未知數假設之表現(2)

例：第3 題學生未知數假設之表現：

圖4-2 第3 題學生未知數假設之表現(1)

圖 4-1 與 4-2 兩位受試學生未寫出未知數 x 與 y 所代表的意義，就直 接用x 和 y 列出方程式。這是學生在未知數假設方面時常出現的情形，從 學生所寫的假設以及式子來分析，可以發現這些學生雖然未將未知數假設 清楚地寫出來，但從他們所寫的列式可以得知符號所代表的意義，曾找了 幾位學生詢問，而他們的回答是自己知道在寫什麼就好。

2、未知數的假設寫得不完整，多會將單位省略掉。

例：第3 題學生寫出「設上山 x，下山 y」。不知所學生所假設的是指上、

下山的時間還是上、下山的距離？這位學生列出來的「2x+4y」要再 經過訪談才能夠得知該生寫出的「x」、「y」、「2x」以及「4y」指的是 什麼。

圖4-3 第3 題學生未知數假設之表現(2)

例：第6 題學生寫出「個位 x，十位 y」或「設個位數 x，十位數 y」。

完整的未知數假設應清楚地寫出來「設個位數字為x，十位數字為 y」。

圖4-4 第6 題學生未知數假設之表現(1)

例：第7 題學生寫出「設父 x，子 y」，並未清楚指出是現在父子的年紀 還是七年前父子的年紀，但可以根據題意列出「x+y=59」，顯示該生 知道自己表示的符號是什麼，因此常會將未知數假設以較簡單的方式 表示。

圖4-5 第7 題學生未知數假設之表現(1)

3、學生只看到部份敘述便進行未知數假設，因此寫出錯誤的假設。

例：第 2 題學生根據敘述「姐姐的錢是妹妹的錢的 3 倍少 9 元」，會寫 出「設姊姊x，妹妹為 x+16」。

圖4-6 第2 題學生未知數假設之表現(3)

例：第2 題另外一位學生根據敘述「姐姐的錢是妹妹的錢的 3 倍少 9 元」， 會寫出「設姊姊x-16 元，妹妹為 3x-9」。

圖4-7 第2 題學生未知數假設之表現(4)

4、學生對問題敘述當中的數學詞彙或敘述的錯誤概念，導致未知數假設錯 誤。

例：第6 題學生寫出「個位 x，十位 10x」，顯示出學生將二位數數值關 係與數字關係混淆。

圖4-8 第6 題學生未知數假設之表現(2)

二、第 1～7 題未知數假設得分之分析與比較

此部份由列式試卷第1～7 題來探討學生的表現，這七個問題學生需自

行寫出未知數假設，並根據假設來列式，各題未知數假設的滿分皆為1 分。

研究者在進行評分時，發現：有多數的學生在寫未知數假設時，未能夠清 楚地指出未知數所代表的意義，但是卻能夠列出合理的方程式，若單是因 為他們假設寫得不完整而不給分的話，似乎不太合理，失去研究者主要想 探討學生列方程式的情形，因此研究者在未知數假設的給分時，會考慮到 該生是否能夠列出合理的方程式來給分，倘若學生未能完整地寫出未知數 假設但能夠根據他們的未知數符號列出合理的方程式，將仍然給予1 分。

例如下圖4-9，列式試卷的第 6 題學生寫出未知數假設「設個位為 x，

十位為y」，雖然未完整寫出 x 是個位數字，y 是十位數字，但他能夠根據 題意「它的個位數字的2 倍比十位數字的 5 倍多 1」列出「2x=5y+1」的式 子，像這樣的情形，學生仍然可以得到1 分。

圖4-9 第2 題學生未知數假設之表現(1)

在計算受試學生未知數假設的答對率時，研究者將這七個未知數假設 依照題號為1，2，3，……，7。從量的分析來探討，可得知受試學生在這 七個未知數假設的總平均得分為0.67 分，答對率（見表 4-5 下方之說明）

除了第三題的未知數假設約四成左右，其他各題之未知數假設的答對率都 在五成以上，各題的未知數假設平均得分如下表4-5：

表4-5 未知數假設表現之分析表

題號 1 2 3 4 5 6 7

每題的

平均得分 0.783 0.724 0.434 0.737 0.546 0.579 0.717

（說明：由於每題的滿分皆為1 分，因此將平均得分乘以 100％，即可換算為答對率，表中不再

重複出現。）

分析學生未知數假設的得分，可以發現其中低於總平均得分0.67 分的 有三題，分別為第3 題的 0.48 分，第 5 題的 0.55 分，以及第 6 題的 0.61 分。

再從各題的列式類型來探討，第3 題包括了分配類與合併類概念的列式，

第5 題包括了兩個分配類的列式，第 6 題包括了比較類與改變類的列式。

由表4-5 未知數假設的平均得分可以看出：受試學生在第 3 個問題的 假設是相對較差的，有一半以上的學生答錯，訪談時，學生反應看到這類 與「距離、時間、速率」有關的問題缺乏自信，有時候就會直接跳過這題，

即使他們知道距離、時間、速率之間的關係，但仍然無法順利列出方程式，

是造成該題答對率較低的原因。

從列式試卷中學生作答的統計結果發現：學生傾向使用假設一個未知 數的比例有40.5%，傾向使用兩個未知數的比例有 54.7%，顯示出學生喜歡 使用兩個未知數假設的比例是稍微高一些的，他們普遍認為使用兩個未知 數列出聯立方程式比較好算，讓他們比較能夠清楚地知道該問題要做什麼。

【小結】

學生未知數假設的幾種情形來看，可以發現學生對未知數的假設不太 重視，普遍未能完整地寫出未知數描述，即使能夠正確地列出方程式。在 七個未知數假設的問題當中，有四題的答對率在70％以上，其中第 6、7 兩題的答對率在50％左右，第 3 題只有 43.1％，顯示當問題敘述中有平均 速率以及二位數等數學專有名詞時，學生的答對率會降低。