兩組學生前、後測列式表現的比較

本小節將比較實驗組與控制組兩組前、後測未知數假設、合併類列式、

比較類列式、改變類列式及分配類列式進步的情形，並各舉一個例子做進 一步的說明。

一、「未知數假設」方面

表4-25 可以看出，在這 7 個未知數假設問題當中，實驗組學生有 4 題 表現較控制組佳，其中又以第3 題兩組未知數假設的表現差異最大，另外 有2 題兩組進步人數相同，而有 1 題實驗組進步人數少於控制組，但整體 看來，實驗組在未知數假設的後測表現比前測為佳。（說明：表格中灰色底 的部分為兩組比較後表現較佳的部分，例如表4-25 實驗組的表格中第 2、3、

6、7 題為灰底，表示這幾題實驗組進步的人數超過控制組）

表4-25 兩組「未知數假設」前、後測答題進步人數表

組別 1 2 3 4 5 6 7

實驗組 2 4 10 0 2 5 4

控制組 2 1 0 0 4 3 0

接下來，以前測第 3 題（後測第 5 題）未知數假設方面來比較兩組的 差異，之所以選這題的原因是根據本章第二節表4-5，學生在「未知數假設」

方面該題的答對率最低。表4-26 可以發現實驗組學生在這題的進步遠大於 控制組學生，仔細分析他們所寫的答案，發現實驗組學生進步的十位學生 中，有六位分別假設「上山時間x 小時，下山時間 y 小時」，其餘四位則假 設「距離為x 公里」，兩位前、後測都得 0 分的同學，他們則都是空白未作

答的。而控制組進步的兩位學生，在後測時兩人皆是寫出「設距離x 公里」，

另外8 位前、後測皆得 0 分的學生當中，有五位是空白的，其餘三位同學 未能清楚地表示出符號所代表的意義，且根據其列式也無法得知符號的意 義，一位直接在題目敘述處寫出「x,y」，一位則是列出「上山 x，下山 y」，

還有一位則是完全沒有寫出未知數就直接列方程式，根據其方程式並無法 得知該生符號代表的意義。

表4-26 兩組「未知數假設」前測第3 題（後測第 5 題）答題人數表 組別 後測

前測 1 分 0 分

1 分 4 0

實驗組

0 分 10 2

1 分 4 2

控制組

0 分 2 8

二、「合併類列式」方面

從表 4-27 兩組答題人數的比較可以看出，實驗組在前測答錯但後測答 對的人數在這9 個合併類列式問題當中，有 6 題實驗組表現較控制組佳，1 題兩組進步人數相同，整體來看，實驗組在合併類列式的後測表現比控制 組學生進步得多。

表4-27 實驗組「合併類列式」前、後測答題人數表

組別 1-1 2-1 3-1 4-1 7-1 9-1 11-1 12-1 15-1

實驗組 1 0 5 0 4 8 4 4 6

控制組 3 3 4 0 1 5 1 2 3

以合併類列式當中答對率為 46.7%的問題（前測第15-1 題，後測第 15-1

題）為例，兩組學生答題得情形如表4-28，分析前後測皆得 0 分的學生發 現，實驗組後測得到0 分的九位學生當中，其實有六位列出了 15 題的另一 個方程式答對率反而低的改變類列式，但卻漏掉了該題合併類的列式，詢 問他們之後，學生回答沒有注意看到這段敘述，有另外三位則是整題空白 沒有作答。控制組學生中，六位是前後測都空白未作答的，退步的那一個 同學在後測時沒有作答該題，另外前、後測都沒有得分的七位同學，他們 後測在該問題則是整題（包含另一個改變類的列式）都空白未作答。

表4-28 兩組「合併類列式」前測第15-1 題（後測第 15-1 題）答題人數表 組別 後測

前測 1 分 0 分

1 分 2 0

實驗組 0 分 6 8

1 分 5 1

控制組 0 分 3 7

三、「比較類列式」方面

從表 4-29 兩組答題人數的比較可以看出，在七個比較類列式問題當 中，實驗組有六題表現進步的人數多於控制組，有一題實驗組的學生進步 的人數較控制組少了一人，整體來看，實驗組在比較類列式的後測表現普 遍比控制組進步得多。

表4-29 實驗組「比較類列式」前、後測答題人數表 題號

組別 1-2 4-2 6-1 8-1 9-2 12-2 13-1

實驗組 5 3 3 7 1 5 6

控制組 3 0 2 6 2 1 1

以比較類列式中答對率最低的第8-1 題為例（表 4-30），實驗組進步的 人數比控制組多1 人，但仔細分析該題前後測皆得 0 分的學生，由他們的 作答情形發現：三位實驗組的學生在該題後測時，有兩位學生完全未作答 該題，一位則是將比較關係混淆列出「2000+a=b」，而這五位控制組學生只 有一位列出「a＋2000=b」，其餘四位同學則是空白未作答。

表4-30 兩組「比較類列式」前測第8-1 題（後測第 9-1 題）答題人數表 組別 後測

前測 1 分 0 分

1 分 6 0

實驗組 0 分 7 3

1 分 5 0

控制組 0 分 6 5

四、「改變類列式」方面

從表4-31 兩組答題人數的比較可以看出，這七個改變類列式問題當 中，實驗組有五題表現較控制組佳，有兩題是兩組進步的人數相同，整體 來看，實驗組在改變類列式的後測表現進步的人數比控制組多。

表4-31 實驗組「改變類列式」前、後測答題人數表 題號

組別 2-2 6-2 7-2 10-1 10-2 13-2 15-2

實驗組 3 5 5 3 9 7 4

控制組 3 2 2 3 4 3 3

以前測第7-2 題（後測第 3-2 題）為例來比較兩組改變類列式的表現，

由表4-32 可以發現，實驗組學生雖然進步的只有五位，但前、後測都未得 分的八位學生中，他們在後測時有三位寫出「x-7=8y-7」的式子，仍然忽略

了括號的使用，一位學生則有標示出(x-7)和(y-7)，但列出的方程式卻為

「(x-7)+(y-7) =8y=x」，另一位學生則使用表列法假設出「父親年齡x，子的 年齡y」，並根據敘述「已知七年前，父親的年齡是子的8 倍」列出了「x=8y」， 但是未清楚指出x 與 y 是「現年」還是「七年前的年紀」，列式中看不到該 生將x 與 y 做改變，另一位學生在後測時也使用表列法列式，標示出七年 前要「-7」，但該生卻把「-7」寫在 x 之前，將「七年前，父是子的 8 倍」

的敘述列為「-7x=y×8」，雖然不是正確的方程式，但可以看到該生的進步。

再看到控制組學生的作答，前後測皆得 0 分的九位學生當中，他們前、

後測的表現並沒有什麼改變，有四位前、後測都空白未作答，有三位前後 測都寫出「x-7=8y」的式子，一位則是列出「59-x=8x」，另一位前測空白，

但在後測時列出「7x×8」的式子。

表4-32 兩組「改變類列式」前測第7 題（後測第 3 題）答題人數表 組別 後測

前測 1 分 0 分

1 分 3 0

實驗組 0 分 5 8

1 分 3 2

控制組

0 分 2 9

五、「分配類列式」方面

從表 4-33 兩組答題人數的比較可以看出，在這 7 個分配類列式問題當 中，實驗組有四題進步的人數較控制組多，三題兩組進步人數相同，但有 一題實驗組的學生進步的人數較控制組少了1 人，整體來看，實驗組在經 過教學後，分配類列式的後測表現比控制組進步人數多，但是分配類問題 答對的比例仍然偏低。

表4-33 實驗組「分配類列式」前、後測答題人數表

x 」轉換為書本的總數「12x」再正確地列出「12x+3=y」的 式子，另外一位學生則將未知數x 與 y 對調，而列出了「x=12y+3」的式子。

低，這是很值得思考的一個問題，可能是這一類的問題涉及的敘述方式以 及數量關係的轉換對學生來說是不熟悉的。另外，從兩組前後測列式試卷 的作答情形來看，控制組學生前後測的列式表現雖然有些許進步，但他們 前後測所犯的錯誤幾乎都很類似，沒什麼改變。而實驗組學生在未知數假 設方面，他們的進步最為明顯，原本不知該如何假設未知數的學生可以試 著找出未知數，標示出未知數的符號，而改變類列式方面雖然仍有大部分 學生未能完全列出正確的式子，但他們普遍已經能夠掌握兩個數量的改 變，唯在括號的使用方面還需要再加強。