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探討國二學生代數文字題列式表現及波利亞表列法的教學成效之研究--以二元一次聯立方程式為例

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班 碩士論文. 指導教授:譚克平博士. 探討國二學生代數文字題列式表現 及波利亞表列法的教學成效之研究 -以二元一次聯立方程式為例. 研究生:陳巧莉. 中華民國九十七年七月.

(2) 中文摘要. 代數文字題的列式在歷年的基本學歷測驗中幾乎是必考題,根據 90 ~95 年基測的統計數據及研究者的教學經驗顯示:國中生在文字題的列式 是有困難的;數學家波利亞(1957)曾在<<怎樣解題>>書中提出用列表的方 式引導學生列方程式。因此本研究希望以常見的二元一次聯立方程式之代 數文字題為例,探究國二學生代數文字題未知數假設與列方程式表現的困 難;其次,探討「表列法」教學法對提昇學生文字題列式的成效。 關於列式的困難,本研究首先針對教科書常見的代數文字題列式的類 型進行分類,參考相關文獻的分類將常見的代數文字題分為合併類、比較 類、改變類以及分配類,以自編的「列式試卷」測試 152 位台北縣的國二 學生,探討他們在代數文字題列式方面有何困難。研究發現: (1)學生在 未知數假設、合併類列式的答對率幾乎都在 60%以上,比較類列式的答對 率接近 60%,而改變類與分配類列式答對率卻只有約 30%。(2)大多數 的學生未能完整、清楚地寫出未知數假設。 (3)無論哪一類型的列式,當 問題中含有數學詞彙或敘述,如速率、二位數等,學生的答對率較低。 (4) 學生的列式表現並沒有顯著的性別差異。 (5)學生的列式表現與在校的國 文成績及數學成績均呈現高度相關。 此外,本研究希望探討學生使用「表列法」學習代數文字題列式的成 效。先從目的一的 152 位受試學生中調查意願選出 16 位做為實驗組,進 行四節課「表列法」列式的實驗教學,課程中融入波利亞啟思法的精神; 另外,再挑選 16 位與實驗組背景類似的學生作為控制組,不進行教學, 兩組皆以目的一的列式試卷作為前測。待實驗組課程結束後,兩組學生再 進行後測。結果顯示:(1)實驗組學生在接受「表列法」列式的課程後, 列式表現皆優於控制組,在未知數假設、比較類列式及分配類列式的表現.

(3) 幾乎達顯著差異。 (2)實驗組學生在經過啟思法的引導及「表列法」課程 的教學後,他們在後測時,會嘗試畫圖或寫出相關公式幫助了解問題。 (3) 在使用表列法列式時,男女生的寫法有些差異,男生會用更簡單的文字敘 述、較少的拆解過程來呈現,女生則會詳細地寫出問題的敘述以及拆解, 最後再列出完整的式子。 基於上述的研究發現,建議教師教學時應留意學生在改變類、分配類 列式問題的學習情形,需做較多的引導。對於數學程度中、下的學生,教 師可以使用波利亞「怎樣解題表」的方式提問,並使用「表列法」加強他 們列式的能力。. 關鍵字:代數文字題、列式表現、波利亞、表列方程式.

(4) Abstract A Study into Eighth Graders’ Performance on Setting up Equations for Word Problems and the Effectiveness of Teaching Polya’s approach of Setting up Equations to an experimental group of students Chiao-Li, Chen Setting up equations for algebraic word problems is almost tested in the Basic Competence Test for junior high school students. According to the results of the Basic Competence Test from 2001 to 2006 and my teaching experience, it’s difficult for junior high school students to set up equations for word problems. Polya presented the approach of setting up equations in his book ’How to Solve it?’(1957) The study first aims to explore eighth graders’ performance on setting up unknowns and equations for word problems with two unknowns. Secondly, it also examines the effectiveness of Polya’s approach of setting up equations. For the first purpose , in the beginning, the researcher consults related references and then classifies common word problems in the textbooks into four types-- combing type, comparing type, changing type and distributing type,. The test designed by the research is used to explore the performance of 152 eighth graders. Regarding the first purpose, it was found that: (1) The answer rate of the eighth graders was over 60% in setting equations in setting unknowns and combining type, almost 60% in comparing type, but about 30% in changing type and distributing type. (2) Most students didn’t see setting unknowns as important, they always didn’t writing the whole meaning of unknowns. (3)It’s difficult for them to set equations when there are mathematical keywords in the statement, such as rate and bidigitate number. (4)Their performance of setting equations didn’t show the difference of genders, and was highly related to their performance in Chinese and mathematics at school. The second purpose in this research is to explore an effective approach to help students to set up equations for word problems. There are 16 students chosen from 152 students that did the test of the first purpose as the experimental group. They are taught by teaching Polya’s approach of setting up equations. Another 16 students are chosen as the control group, but they are not taught by any method. After the approach finished, both two groups do the posttest. Considering the second purpose, it shows that: (1)The experimental group that was taught the method of “setting equations with graphs” performed better than the control group in the performance of.

(5) setting equations. (2)It’s significantly better in setting unknowns, comparing type and distributing type. In addition, the experimental group that was taught Polya’s methods tried to draw graphs and write rational formulas to help them understand the problem. (3) There are some differences by gender of using Polya’s method to set up equations. Boys use simpler steps to show their process, but girls write the statement in detail and do more steps to set up equations. Based on the result of this study, it is suggested that teachers pay more attention to the situation of students in learning the word problems with changing type and distributing types. Teacher should try to use Polya’s method and ask questions as those in the list in the book, ”How to Solve It” to lead students to understand the problems. Besides, teachers should help students with how to set equations, especially those who have mid-low achievement in mathematics..

(6) 目. 錄. 第一章 緒論 ....................................... 1 第一節 研究動機 .........................................1 第二節 研究目的 .........................................4 第三節 研究問題 .........................................5 第四節 名詞釋義 .........................................6 第五節 研究範圍與限制 ...................................8. 第二章 文獻探討 ................................... 9 第一節 符號表徵 .........................................9 第二節 數學文字題的分類 ................................13 第三節 國中代數課程—一次方程式單元之探討 ..............15 第四節 中學階段代數的學習與教學策略 ....................16 第五節 波利亞的啟思法與表列方程式 ......................21. 第三章 研究方法 .................................. 25 第一節 研究設計 ........................................25 第二節 研究對象 ........................................27 第三節 研究步驟與流程 ..................................28 第四節 研究工具 ........................................39 第五節 資料處理與分析 ..................................49. I.

(7) 第四章 資料分析 .................................. 53 目的一學生列式表現之資料分析 .................... 53 第一節 基本資料分析 ....................................54 第二節 未知數假設表現之資料分析 ........................58 第三節 列方程式表現之分析 ..............................63 第四節 列式表現之性別比較 ..............................75 第五節 列式表現相關因素之探討 ..........................76 第六節 列式試卷訪談分析 ................................78. 目的二「表列法」教學之資料分析................... 84 第七節 兩組學生前、後測表現之共變數分析 ................88 第八節 兩組學生前、後測列式表現的比較 ..................94 第九節 實驗組學生使用「表列法」列式策略的細部分析 .....101 第十節 實驗組學生使用「表列法」列式的性別比較 .........112 第十一節 實驗組學生的成長與改變 ........................115. 第五章 研究結果與建議 ........................... 119 第一節 本研究的結論 ...................................119 第二節 檢討與建議 .....................................123. II.

(8) 參考文獻 一、中文文獻 ...............................................128 二、英文文獻 ...............................................130. 附錄 [附錄一]基本資料表 ..........................................133 [附錄二]專家審核表 ..........................................135 [附錄三]代數文字題列式試卷 ..................................141 [附錄四]表列法教學之課程設計 ................................147 [附錄五]表列法課程之學習單 ..................................152 [附錄六]後測試題 ............................................164. III.

(9) 表. 次. 表 1-1. 90 年第二次基測問題........................................................................ 3. 表 2-1. Mayer(1981)代數教科書文字題分析 .......................................................13. 表 2-2. 教科書一元一次方程式文字題的列式分析 ...........................................15. 表 2-3. 波利亞怎樣解題書表列法例一 ................................................................23. 表 2-4. 波利亞怎樣解題書表列法例二 ................................................................24. 表 3-1. 目的二之研究設計 ....................................................................................25. 表 3-2. 改良後表列方程式範例一 ........................................................................36. 表 3-3. 改良後「表列方程式」範例二 ................................................................36. 表 3-4. 研究流程與步驟 ........................................................................................38. 表 3-5. 列式試卷題目內容分析表 ........................................................................40. 表 3-6. 預試問卷專家審核表修正的結果 ............................................................43. 表 3-7. 實驗教學課程計畫 ....................................................................................46. 表 3-8. 後測試題歸類 ............................................................................................48. 表 4-1. 參與補習活動之分析表 ............................................................................54. 表 4-2. 學習方程式單元情形的自我評估之分析表 ............................................55. 表 4-3. 上課聽講態度之比例分析 ........................................................................55. 表 4-4. 遇到數學困難時的解決方法之分析表 ....................................................56. 表 4-5. 未知數假設表現之分析表 ........................................................................61. 表 4-6. 四類型列式平均得分之分析 ....................................................................68. 表 4-7. 合併類列式表現之分析表 ........................................................................69. 表 4-8. 比較類列式表現之分析表 ........................................................................70. 表 4-9. 改變類列式表現之分析表 ........................................................................71. 表 4-10. 分配類列式表現之分析表 ........................................................................72 IV.

(10) 表 4-11. 含數學詞彙列式表現之分析表 ................................................................74. 表 4-12. 列式試卷男女生平均得分 ........................................................................75. 表 4-13. 「列式表現」與各因素之相關 ................................................................77. 表 4-14. 訪談中所使用的表列法 ............................................................................80. 表 4-15. 兩組學生特質 ............................................................................................85. 表 4-16. 兩組在校國文、數學平均成績與標準差 ................................................86. 表 4-17. 兩組前測各類型平均得分與標準差 ........................................................87. 表 4-18. 兩組學生後測平均得分與標準差 ............................................................88. 表 4-19. 兩組「後測減前測」平均而得的進步得分 ............................................89. 表 4-20. 兩組學生未知數假設與後測試卷之共變數分析摘要表 ........................90. 表 4-21. 兩組學生合併類列式與後測試卷之共變數分析摘要表 ........................91. 表 4-22. 兩組學生比較類列式與後測試卷之共變數分析摘要表 ........................91. 表 4-23. 兩組學生改變類列式與後測試卷之共變數分析摘要表 ........................92. 表 4-24. 兩組學生分配類列式與後測試卷之共變數分析摘要表 ........................93. 表 4-25. 兩組「未知數假設」前、後測答題進步人數表 ....................................94. 表 4-26. 兩組「未知數假設」前測第 3 題(後測第 5 題)答題人數表 ............95. 表 4-27. 實驗組「合併類列式」前、後測答題人數表 ........................................95. 表 4-28. 兩組「合併類列式」前測第 15-1 題(後測第 15-1 題)答題人數表..96. 表 4-29. 實驗組「比較類列式」前、後測答題人數表 ........................................96. 表 4-30. 兩組「比較類列式」前測第 8-1 題(後測第 9-1 題)答題人數表......97. 表 4-31. 實驗組「改變類列式」前、後測答題人數表 ........................................97. 表 4-32. 兩組「改變類列式」前測第 7 題(後測第 3 題)答題人數表 ............98. 表 4-33. 實驗組「分配類列式」前、後測答題人數表 ........................................99. 表 4-34. 兩組「分配類列式」前測第 14-1 題(後測第 14-1 題)答題人數表..99. 表 4-35. 實驗組各類型平均進步分數之性別比較 ..............................................112. V.

(11) 圖. 次. 圖 2-1. Post、Behr 和 Lesh (1988)表徵分類 .........................................................9. 圖 2-2. 畫個圖的例子.............................................................................................22. 圖 3-1. 未知數假設 1 分的範例.............................................................................50. 圖 3-2. 未知數假設 0 分的範例.............................................................................51. 圖 3-3. 列方程式 1 分的範例(1)............................................................................52. 圖 3-4. 列方程式 1 分的樣卷(2)............................................................................52. 圖 4-1. 第 2 題學生未知數假設之表現(2)............................................................58. 圖 4-2. 第 3 題學生未知數假設之表現(1)............................................................58. 圖 4-3. 第 3 題學生未知數假設之表現(2)............................................................59. 圖 4-4. 第 6 題學生未知數假設之表現(1)............................................................59. 圖 4-5. 第 7 題學生未知數假設之表現(1)............................................................59. 圖 4-6. 第 2 題學生未知數假設之表現(3)............................................................60. 圖 4-7. 第 2 題學生未知數假設之表現(4)............................................................60. 圖 4-8. 第 6 題學生未知數假設之表現(2)............................................................60. 圖 4-9. 第 2 題學生未知數假設之表現(1)............................................................61. 圖 4-10. 第 2 題學生列式之表現(1)........................................................................63. 圖 4-11. 第 7 題學生列式之表現(1)........................................................................64. 圖 4-12. 第 8 題學生列式之表現(1)........................................................................65. 圖 4-13. 第 8 題學生列式之表現(2)........................................................................65. 圖 4-14. 第 6 題學生列式之表現(1)........................................................................65. 圖 4-15. 第 6 題學生列式之表現(2)........................................................................66. 圖 4-16. 第 13 題學生列式之表現(1)......................................................................66. 圖 4-17. 第 13 題學生列式之表現(2)......................................................................66. VI.

(12) 圖 4-18. 第 13 題學生列式之表現(3)......................................................................66. 圖 4-19. 第 6 題學生列式之表現(3)........................................................................67. 圖 4-20. 第 7 題學生列式之表現(2)........................................................................67. 圖 4-21. 第 7 題學生列式之表現(3)........................................................................67. 圖 4-22. 第 11 題學生合併類列式之表現...............................................................69. 圖 4-23. 第 2 題改變類列式之錯誤.........................................................................72. 圖 4-24. 列式表現之性別比較.................................................................................75. 圖 4-25. 兩組各類型列式表現平均得分之比較.....................................................87. 圖 4-26. 兩組學生「後測減前測」平均進步分數之比較.....................................89. 圖 4-27. 學生 S11 在前測第 1 題未知數假設之呈現 ..........................................101. 圖 4-28. 學生 S11 在後測第 7 題使用「表列法」假設未知數之呈現 ..............101. 圖 4-29. 學生 S4 在前測第 6 題未知數假設之呈現 ............................................102. 圖 4-30. 學生 S4 在前測第 6 題未知數假設之呈現 ............................................102. 圖 4-31. 學生 S12 在前測第 7 題未知數假設之呈現 ..........................................103. 圖 4-32. 學生 S12 在後測第 3 題未知數假設之呈現 ..........................................103. 圖 4-33. 學生 S9 在作業一合併類與比較類「表列法」列式之呈現 ................104. 圖 4-34. 學生 S13 在作業三「合併類列式」列式之呈現 ..................................104. 圖 4-35. 學生 S13 在作業一改變類「表列法」列式之呈現 ..............................105. 圖 4-36. 學生 S4 作業一「改變類列式」列式之呈現 ........................................106. 圖 4-37. 學生 S4 後測「分配類列式」列式之呈現 ............................................106. 圖 4-38. 學生 S5 前測「平均體重」問題列式之呈現 ........................................107. 圖 4-39. 學生 S5 後測「平均體重」問題列式之呈現 ........................................107. 圖 4-40. 學生 S9 在前測二位數問題列式之呈現 ................................................107. 圖 4-41. 學生 S9 在後測二位數問題列式之呈現 ................................................108. 圖 4-42. 學生 S7 在課堂挑戰題使用「表列法」列式之呈現 ............................109. 圖 4-43. 學生 S13 在挑戰題使用「表列法」列式之呈現 ..................................110 VII.

(13) 圖 4-44. 學生 S3 在後測第 4 題使用「圖示」來幫助了解問題 ........................110. 圖 4-45. 學生 S5 在後測第 5 題使用「相關公式」來幫助了解問題 ................111. 圖 4-46. 學生 S15 在後測第 5 題回憶「相關公式」來幫助了解問題 ..............111. 圖 4-47. 實驗組平均進步分數性別比較之折線圖...............................................112. 圖 4-48. 學生 S4(女)在作業三分配類「表列法」列式之呈現 .....................113. 圖 4-49. 學生 S8(男)在作業三分配類「表列法」列式之呈現 .....................114. 圖 4-50. 學生 S4 前測「改變類列式」的表現 ....................................................115. 圖 4-51. 學生 S4 後測「改變類列式」的表現 ....................................................116. 圖 4-52. 學生 S5 前測二位數問題的表現 ............................................................116. 圖 4-53. 學生 S5 後測二位數問題的表現 ............................................................117. 圖 4-54. 學生 S11 前測「比較類與合併類列式」問題的表現 ..........................117. 圖 4-55. 學生 S11 後測「比較類與合併類列式」問題的表現 ..........................118. VIII.

(14) 第一章 緒論. 本章共分為四節,第一節說明研究動機,第二節說明研究目的與問題, 第三節針對本研究所使用的相關名詞加以界定並提出說明及解釋,最後一 節說明本研究的範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 十七世紀法國偉大的哲學家兼數學家笛卡兒(Descartes, 1596~1650) 曾說過一段話: 「一切問題都可以轉化為數學問題,一切數學問題都可以轉 化為代數問題,而一切的代數問題都可以轉化為方程式,如此一切的問題 都將迎刃而解。」著名的科學家牛頓(Newton, 1642~1727)曾說: 「要解答 一個問題,如果問題裡面包含有數量間的抽象關係,只要把問題從日常語 言轉譯成代數來研究就可以解決。」美國國家數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM)在 2000 年「學校數學的 準則與標準」一書當中指出了代數在學校數學的重要性:代數不只是學校 數學中一個重要的部分,而且有助於整合學校數學。無論學生未來是要工 作或繼續升學,所有的學生都必須學習代數。而研究者分析國內在歷經幾 次課程的改革之後,代數這單元在國民中學三年期間的學習仍然佔了三分 之一以上的時間,涵蓋一元一次方程式、二元一次聯立方程式,以及一元 二次方程式等。民國 89 年教育部頒布的「九年一貫課程暫行綱要草案」將 代數主題從小學五年級向下延伸,算式填充題(如:3+( )=8 等)已出現 於小學二年級的數學教材當中。. 代數是數學領域中很重要的一個分支,是算術的延伸與抽象化。根據 1.

(15) 皮亞傑(Piaget)的認知發展理論,國中生正值形式運思發展時期,他認為學 生在這階段應有能力從事抽象符號的假設及演繹推理的工作,所以世界各 地也多在七或八年級將文字符號的概念納入課程(謝和秀,民 90)。在目前 九年一貫的數學課程當中,學生在小學高年級開始接觸代數以□代表未知 數,到國一階段才學習以文字符號代表數,以及一元一次方程式、二元一 次方程式,接下來到國二階段繼續學習一元二次方程式。研究者在教學現 場時常發現:在文字敘述與代數式的轉換時,大部分學生都能夠順利列出 代數式,一旦面臨有情境的文字題時,學生卻常不知該從何下手,似乎在 某些類型的文字題學生也特別容易有困難。. 數學文字題比一般的計算涉及更多的認知歷程,常常以日常生活事件 為材料,用語文的型態來描述的數學問題情境(張景媛,1994;Cummins, 1991)。教育部在民國 89 年提出的九年一貫數學的代數課程目標中,強調 學生要能培養可以帶著走的基本能力,注重生活實用性,有效地運用數學 方法,來解決生活上的問題,而不再是帶不走的知識,因此各種學科的知 識必須融入在日常生活的脈絡中,成為培養學生基本能力的工具。數學的 文字題敘述也常以生活情境的問題呈現,期望學生能將數學與生活做結 合,並培養解決問題的能力。學生進行文字題的解題時,首先必須要了解 題意,把「語文理解」轉換成「形式數學」 ,在轉換過程中,解題者的一般 語文知識與相對應的數學概念,均扮演著重要的角色(古明峰,1998)。. 除了在教學現場發現學生對於某些類型的文字題特別容易有列式的困 難之外,研究者又蒐集並分析民國 90 年~95 年的基測試題發現:代數文字 題的列式在歷年的基測中幾乎都是必考題,據悉大部分的列式問題國三學 生的答對率大約在六成~八成之間,但在 93 年第一次基測試題中出現的問 題:「三年一班有男生 a 人、女生 b 人。已知男生的平均體重為 58 公斤, 2.

(16) 女生的平均體重為 50 公斤。若全班的平均體重是 55 公斤,請你依照題意 列出 a 和 b 的關係式。」答對率只有四成;另外,在 90 年第二次基測試題 中的問題:「某地區山泉水的售價,每逢假日以特價出售,如下表 1-1。若. 阿惠假日到此地區遊玩,用販賣的水桶裝 6 公升回家飲用,共花了 330 元,則山泉水的特價每公升為多少?」. 表 1-1 90 年第二次基測問題. 這問題國三學生的答對率也只有五成。為. 項目. 單價. 何在代數文字題列式方面有些問題答對率. 山泉水. 70 元/公升(平日) ?元/公升(特價). 高達八成,但有的問題答對率卻只有四成. 水桶. 呢?由基測答對率的統計資料顯示,國內. (容量 3 公升). 60 元/個. 有些國中學生在文字敘述轉譯為代數式時是有困難的。. 另外,國外學者 Loftus 和 Suppes(1972)及 Mayer(1982)的研究發 現學生通常最有困難的問題是包含有關係性敘述(relational propositions: 表示變數間的一種量的關係)的問題的列式,例如: 「瑪莉兩年前的年齡是. 貝蒂年齡的兩倍,如果瑪莉現年 40 歲,請問貝蒂現年幾歲?」文字敘述與 代數符號轉譯的困難也同樣發生在成人身上,最著名的例子就是”某大學學 生(s)人數是教授人數(p)的六倍”,就連主修科學的大學生有 37%的錯 誤率,列出”6s=p”這樣的錯誤式子(Clement, Lochhead & Monk, 1981) 。研 究者的教學觀察以及國內外的文獻資料都顯示出:某些代數文字題的列式 對學生來說有困難,這引發了研究者想要了解,國中生在什麼類型的代數 文字題比較有列式的困難呢?. 研究者在碩二的課程當中,讀到波利亞(Polya, 1957)的著作<<怎樣解 題>>(How to Solve It) ,作者在書中提到了一個列表「建立方程式」 (setting up equations)的單元,幫助學生了解問題條件後,把各個部分拆開,列出 相對應的代數式。首次看到這樣有系統的列式方法,令研究者印象非常深 3.

(17) 刻,當時研究者曾用這個方法,嘗試了一節課的教學,發覺這方法對於不 知該如何分析問題列式的學生會有所助益。因此,研究者希望能用有系統 的方式了解國二學生代數文字題列式的困難,並探討教導波利亞提出的表 列法是否能對國二學生的列式有幫助。. 第二節. 研究目的. 基於上述的研究動機,本研究的目的有兩個:一為探究國二學生處理 代數文字題時對於未知數的假設及列方程式的表現有何困難;二則是探討 學生在接受波利亞「表列法」的方式教學後,其列方程式的表現是否有改 進。本研究希望在學生經過一系列四節課的「表列法」教學後,透過分析 他們在教學前後測表現的差異,能夠整理出一些建議如何教導學生列式的 教學。. 4.

(18) 第三節. 研究問題. 基於上一節所述之研究目的,本研究的研究問題如下:. 目的一、探討國二學生在常見代數文字題之列式表現及困難。 1、. 國二學生在代數文字題之未知數假設表現如何?. 2、(a) 國二學生在常見的合併類文字題列式的表現如何?有哪些困難? (b) 國二學生在常見的比較類文字題列式的表現如何?有哪些困難? (c) 國二學生在常見的改變類文字題列式的表現如何?有哪些困難? (d) 國二學生在常見的分配類文字題列式的表現如何?有哪些困難? 3、. 比較國二學生在四種代數文字題列式的表現有何差異?. 4、. 比較國二學生在代數文字題列式的表現是否有性別差異?. 5、. 根據學生的基本資料,探討列式表現的相關因素有哪些?. 目的二、探討為國二學生設計的波利亞「表列法」對於他們在代數文字題 列式的表現是否有助益。 1、. 接受表列法教學後,國二學生在代數文字題未知數假設方面的表現是 否有所提昇?. 2、. 接受表列法教學後,國二學生在代數文字題之列方程式方面的表現是 否有提昇?. 3、. 接受表列法教學後,國二學生在代數文字題的列式表現方面是否有性 別差異?. 5.

(19) 第四節. 名詞釋義. 一、 代數文字題(algebraic word problem). 數學文字題就是用日常生活的事件為材料,以語文的型態來描述數學 問題(古明峰,1998;張景媛,1994)。解題者可以將問題轉換為代數式, 再解此代數式的問題(古明峰,1998)。數學文字題又常被稱為”應用題”,在 問題的描述當中除了數學語言之外,還會包含許多日常生活的情境及語 言。本研究的代數文字題將以 94~95 年國中數學課本、相關教材中「二元 一次聯立方程式」單元,及 90~95 年基本學力測驗出現的應用問題為主要 討論範疇。. 二、列式表現. 本研究所指的列式表現為國二學生在代數文字題中,將問題之文字敘 述轉譯為代數式的表現,分別從兩個部份來探討學生的表現,一為未知數 假設,二為列方程式。在第四章資料分析時,會從兩個方向來探討: (1)當問題以給定未知數假設時,便單從學生列方程式的情形做探討。 (2)若問題當中未給定未知數,學生則必須自行完成未知數假設及列方程 式兩個部份的任務。. 三、表列法. 此方法為研究者改良波利亞提出”建立方程式”(setting up equations)的 方法,波利亞認為列方程式就像是在進行語言文法的翻譯,將普通語言翻 譯成代數語言。解題者在進行翻譯時,可以用兩欄式的表示法來列式,將 6.

(20) 問題的文字敘述寫在左欄,右欄寫出對應的代數符號, (範例在第二章第五 節詳細說明) 。除此之外,研究者為了幫助學生更清楚地找出未知數與已知 敘述,改良了波利亞原本的方法,再加上橫線將未知數與已知敘述做區隔, 若是遇到較複雜或敘述較長的問題時,可以再用橫虛線將已知敘述做區 隔。本研究所指的是研究者所改良的列式方法。(範例詳見第三章第三節教 學期的說明). 四、了解題意. 這是波利亞在<<怎樣解題>>一書中提到解題活動的第一個步驟。解題 者要能夠清楚地了解問題的敘述,指出「什麼是未知數?」「什麼是已知 數?」 「有哪些已知條件?」如果題目需要圖形的輔助,那就畫個圖,在圖 上標示出未知數和已知數。在本研究教學期「表列法」課程進行當中,每 個問題都會要求學生重述問題的敘述,首先找出問題的未知數和已知條 件,幫助學生了解題意,配合問題的敘述有必要時可以畫個圖或是找出相 關的公式輔助。. 五、擬定計畫. 波利亞認為擬定計畫是解題活動的第二個步驟,在了解題意後,解題 者必須了解問題當中存在的關係,例如未知數和已知條件之間有何關係 等,根據這些關係擬定計畫,這是解題過程當中最重要的任務。波利亞認 為老師最大的任務就是要能不著痕跡地幫助學生,要引導學生回想有哪些 類似或已經學過的相關問題或公式,並且要如何利用它們。在本研究教學 期時,研究者會引導學生找出未知數和已知條件的關係後,將這些關係的 文字敘述劃線或框起來。. 7.

(21) 第五節. 研究範圍與限制. 一、本研究的範圍僅限於國中二年級學生二元一次聯立方程式單元的代數 文字題的學習情形,文字題的來源為 94~95 年國一教科書及 90~95 年基測試題。. 二、本研究以 Polya 解題步驟之前兩個步驟「了解題意」、 「擬訂計畫」,並 配合改良的表列方程式的方法進行教學,研究進行當中所使用的教 案、課程學習單、教具等都是研究者參考相關教材自行設計,雖經過 前導實驗,但第一次實施,仍然有許多地方需要改善。. 三、本研究在教學期採準實驗研究法,僅針對實驗組學生進行「表列法」 的教學,控制組學生則不進行教學,主要希望探討實驗組學生接受「表 列法」教學後,他們列式表現的成效如何。. 四、本研究的範圍只限於國中階段「二元一次聯立方程式」單元,希望透 過本研究,日後此教學法可以嘗試推廣到其他單元的代數文字題。. 8.

(22) 第二章 文獻探討 本章將從文獻的回顧當中,探討與本研究相關的五個主題,一為代數 符號的學習,二為從國外的研究來探討數學文字題的分類,三為國中代數 課程之分析,四為中小學階段代數的學習,分別從國內外的文獻來做探討, 五為介紹波利亞表列方程式的方法。. 第一節 符號表徵. 王懷權 (1987)指出符號的功能之一,在於使數學家將冗長的敘述化成 簡短的式子,而此功能正是數學語言威力最顯著其中一個的因素。表徵 (representation)是將不同的事物以不同種類的符號來表示的歷程,就認知心 理學的訊息處理的角度來看,是指訊息處理的過程中,將訊息編碼轉譯成 另一種形式,以便處理的歷程(張春興, 1996)。Post、Behr 和 Lesh(1988) 將表徵分類有五類:實物情境、具體操作物、圖形、語言、符號。如下圖:. 圖2-1 Post、Behr 和 Lesh (1988)表徵分類. Resnick 和 Clement(1980)認為教師在教學時應當以多元表徵的方式,讓 9.

(23) 學生做多方面的學習。Bell(1979;引自謝和秀, 2000)將表徵轉換的能力視 為學生學習數學的基本能力之一。. 美國數學教師協會(National Council of Teacher Mathematics,簡稱 NCTM) ,在 2000 年的『學校數學的原則和標準』 》 (Principles and Standards for School Mathematics)當中可以看出美國很重視符號表徵的教學,他們將 表徵(representation)列入十個標準之一,明白揭示數學課程必須強調數學表 徵可以幫助教學,使學生可以:(1)創造且使用表徵去組織、紀錄與溝通數 學想法;(2)發展可以有意義地、靈活地、適當地使用一套數學表徵;(3)使 用表徵去建模與解釋物理的、社會的、數學的現象。我國自民國 89 年起的 九年一貫課程當中,也強調學生數學溝通能力的重要性,希望學生能透過 不同的表徵方式,用精確的數學語言表達自己的想法,並與他人溝通。 Silver(2001, 引自 Capraro, 2006)提到,中學生需要發展表徵的技能才能順利 理解線性方程式。. 數學與符號有著密不可分的關係,無論是代數或幾何等數學的學習, 學生都會面臨許多新的符號定義,符號的使用也會因為情境的不同而有所 不同,符號表徵的使用是國一學生學習的重點之一,學生對於符號的操弄 與表徵會影響到學生往後解題的表現。初進入國一的學生面對數學問題 時,他們需要從算術的思維過渡到代數抽象的思維,謝佳叡(2002)在<<從算 術思維過渡到代數思維>>一文當中提到了:符號化便是學生跨入代數思維 的第一步,但符號化絕對不是學生自然、直觀的想法,因此在九年一貫數 學領域的代數主題中,安排了很長的時間培養學生的符號理解以及使用, 並針對不同認知程度的學生採用循環、螺旋式的方式,期許學生累積了足 夠的經驗之後能更順利地進入代數的領域。. 10.

(24) 代數(Algebra)是數學領域中很重要的一個分支,是算術的的延伸與抽 象化,它將算術精簡並一般化,由數字、變數及運算所組成的數學語言將 數字關係與數學概念符號化。代數本身包含了兩個重要的主題:一是以符 號來表徵的代數式,另一個是解題的運算。. Kuchemann(1981)以 3000 名 13 到 15 歲的英國中學生為研究對象,透 過紙筆測驗調查這些學生代數的學習成就,將他們對文字符號的成就依照 分為四個認知層次:. 層次一、學生能進行文字符號的求值(可用嘗試錯誤或具體的方法,不需 具備解方程式的能力)、忽略文字符號。 層次二、能作較為複雜的文字符號問題,但無法一貫地處理特定未知數、 一般數及變數的問題。 層次三、能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數,但僅限於結構簡 單的問題。 層次四、能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數,且能處理結構較 為複雜的問題。. 另外,Klausmeier, Ghatala and Frayer(引自 Sowder, 1980)他們認為數學 概念學習主要分為以下五個階段:. 1、具體期:學生能夠理解一個先前經驗過的例子。 2、恆等期:學生可以了解一個經歷過的例子,即使是這例子是從不同 的時空觀點或不同形式來觀察的。 3、分類期:學生能夠區別正例與反例。 4、生產期:學生可以自行舉出關於該概念的例子。 11.

(25) 5、形式期:學生可以說出此概念的定義。. 他們認為若是在學生周遭出現的例子,則不太需要教學便能夠達到前 兩個時期。代數的學習,必須學習數學的語彙與技巧;整個數學的語言就 是符號的廣泛應用,不同的語言之間都有些限制與溝通的困難,但唯有數 學語言是全世界性的(王懷權,1987) 。代數的主要功能就是將一型式轉換為 另一個型式,使得問題更容易解決!代數的轉換就像是語言文法的翻譯 (Polya, 1957),但學起來並不是那麼容易,學生的認知階段在發展到符號 代數期之前,他們對符號的認知與運用會受到限制,不容易發展出變數的 概念,這也是學生學習代數的困難之一。. 由以上文獻的彙整,本研究在進行教學時,研究者會考慮到學生對數 學概念以及符號認知的層次給予學生提示,在進行教學時,對於含有特殊 數學詞彙的代數文字題,若學生對於該詞彙的定義不熟悉,研究者需要舉 實際的例子來幫助學生回憶數學概念。. 12.

(26) 第二節 數學文字題的分類. Hinsley, Hayes and Simon(1977)研究過學生對文字題的分類,給受試 學生一連串的代數文字題要求他們分類,發現學生的分類一致性很高,學 生為將代數文字題包含三角形、平均、距離-速度-時間、面積、混合、水流、 工作、級數、物理及數字等十八類不同表徵的問題,學生利用問題敘述中 的相關主題來分類,另外他們也發現學生對問題基模的判定會影響他們如 何閱讀問題。. 認知心理學家 Mayer(1981, 1982)分析一些具代表性的中學代數教科 書中的文字題,發現大約有 100 種問題型式,各類型問題又包含了多種變 型在其中,例如: 「距離-速度-時間」問題就至少有 12 種變型,包括「追趕」 、 「終止」、 「來回」、 「改變速度」及「反向」等。教科書中各類型出現的比 例不甚相同,下表 2-1 列出一些常見的問題類型,類型相似的歸在同一各 類型族中,括號內的數字代表教科書中該類型的百分比。. 表2-1 Mayer(1981)代數教科書文字題分析 類型族. 問題(佔全部百分比). 每單位時間的數(Amount-per-time ) 移動(13%) 、水流(5%) 、工程(11%) 每單位的價錢(Cost-per-unit). 單價(4%) 、金錢(7%) 、乾混合(6%). 總和內的分配(Portion of total). 利息或投資(12%) 、獲利或折扣(2%). 每數量的數量(Amount-per-amount). 正比(16%) 、反比(3%) 、溼混合(6%). 數字文字題(Number story). 等分(4%) 、年齡(3%) 、連續利息(1%). 幾何(Geometry). 矩形或框(3%) 、圓(1%) 、三角形(1%). 由 Hinsley, Hayes and Simon(1977)以及 Mayer(1981, 1982)等研究 13.

(27) 我們可以看出當學生面臨一個數學代數問題時,他們會從問題敘述中的提 示線索中去決定要使用何種基模來解決該問題。研究者在本研究第二階段 時參考以上文獻進行代數文字題分類,但不希望學生在列式時是根據關鍵 字來判斷問題類型,而是要去找出問題敘述中未知數與已知之間的關係, 因此研究者再擴大文獻搜尋的關鍵字為「文字題」、 「word problem」或是 「story problem」。 Greeno(1980)根據題目的語意結構將加減法的文字題分為「改變」 、 「合併」和「比較」三類。Riley, Greeno 和 Heller(1983)將小學階段算術 文字題依照困難度來分類,分為改變(change)類型、相等(equalize)類 問題、組合(combine)類問題以及比較(compare)的問題。其中「改變 類」問題描述會涉及數量改變的情境; 「相等類」問題目標為要達成數量相 等的情境; 「組合類」問題會包括有兩個子集組被組合成為一個較大的集合 組;「比較類」問題指的是要比較兩個不同組別之間的數量差異。. 14.

(28) 第三節 國中代數課程—一次方程式單元之探討. 我國代數課程從國小階段利用符號,如:□、甲、乙……等開始建立 學生起未知數的觀念,到國中階段待學生熟練正、負數的四則運算之後, 開始進入使用 x、y……作為未知數的代數領域。其中方程式的單元是國中 生學習代數的主要課題,包含了一元一次方程式、二元一次聯立方程式, 及一元二次方程式等單元。研究者在進行本研究表列方程式實驗教學,首 先遇到的問題是要選擇一元一次方程式單元,或是二元一次聯立方程式單 元呢?. 研究者經過與研究小組討論後,首先針對根據正式綱要編排的教科書 來作分析,也就是根據教育部民國 92 年公布之國民中小學九年一貫數學學 習領域課程綱要的版本,挑選了南一版、康軒版以及翰林版三個版本的教 科書。在正式綱要的教科書編排當中,國中學生在第一學期首先學習一元 一次方程式單元,第二學期學習二元一次聯立方程式單元,根據研究者的 經驗,當學生學習到以二元的方程式來解文字題時,普遍學生會反應,用 聯立方程式的列式比一元一次方程式的列式容易得多。. 研究者根據南一版、康軒版以及翰林版這三個版本教科書當中一元一 次方程式單元之文字題進行分析,發現:這三個版本的教科書之一元一次 方程式問題中都有六成以上的問題是可以也用二元的方式來列式,如表 2-2: 表2-2 教科書一元一次方程式文字題的列式分析. 可用二元列式 之問題比例. 南一版. 康軒版. 翰林版. 62.5%. 76.9%. 85.7%. 15.

(29) 基於以上的分析結果,研究者決定選擇以二元一次聯立方程式單元的 文字題為例來進行本研究。. 第四節 中學階段代數的學習與教學策略. 本小節分為三個部分來探討,第一部分為代數學習困難的相關研究, 第二部分為文字題錯誤概念之相關研究,第三部份為代數教學策略的相關 研究。. 一、代數學習困難的相關研究. 1976 年英國倫敦大學教育學院(Institute of Education)的中學數學及科 學概念研究小組,簡稱 CSMS (Concepts in Secondary Mathematics and Science)研究了 3000 位國二到高一的學生學習代數所面臨的問題 (Kuchemann, 1981),學生在符號化簡與去括號時產生困難。. 1982 年美國國家教育進步評量(National Assessment of Educational Progress, NAEP),研究發現學生對於文字符號概念的成就低落。Carpenter 等人(1982)以 13 到 17 歲的學生為研究對象,並根據學生的表現去歸納其代 數技能及了解情形;他們發現 91%的學生能利用□的觀念去解一些簡單的 方程式問題,有 65%的學生能解使用文字符號的方程式問題,運算的數字 變大,正確的答對情形則降至 30%,甚至 17 歲的學生只有 58%能夠正確列 出「比 t 大 9 的數」表示為「t+9」。 16.

(30) Capraro (2006) 針對了 25 所中學的 668 位七~八年級學生,用三個列式 問題,包含兩題選擇及一題非選擇題,調查了他們轉譯英文到數學符號的 情形,只有 58 位(9%)的學生可以完全答對這三個問題,他認為學生必須同 時擁有概念的理解、字詞的意義,學生才能夠正確地轉譯這些數學字詞到 數學符號,以及線性方程式。. 國內在民國 77 年郭汾派教授參考了英國 CSMS 小組所設計的題目,配 合台灣的課程及文化自行設計題目,並擬出了一份「國中生文字符號概念 之發展」的測驗卷,當年進行全國分區抽樣測試了 25 所國中一、二、三年 級共約 2900 位學生,分析國中生在文字符號概念的主要錯誤型態。接下來 在民國 82、83 年,林清山、張景媛又以國二學生為對象,進行了質性的研 究,探討學生如何建構出正確的數學概念,並根據學生的錯誤類型,設計 符合內化理論的數學教學策略,並透過實徵研究的方法進行實驗教學的研 究。他們認為:教師應該瞭解學生可能犯錯的概念,使教師在教學時能注 意學生的學習困難,而改善其教學方式。. 國內研究者謝和秀(2000)探討不同智商等級的國一學生在文字符號概 念的表現,發現無論那一個智商等級的學生對「文字符號可當作一般化的 數字」及「文字符號當作變數」這兩類概念有困難,而中智商等的學生在 「文字符號可忽略不用」 、「文字符號當作物體」及「文字符號當作特定的 未知數」等概念有困難。他認為學生主要的錯誤類型是不了解文字符號在 問題中所代表的意義,以及學生會將算術與代數的運算規則混淆。. 二、文字題錯誤概念之相關研究. Loftus and Suppes(1972)在分析影響問題困難度的因素時,發現通常最 17.

(31) 困難的問題包含有”相關性”的敘述句,例如: 「瑪麗兩年前的年齡是貝蒂年 齡的兩倍,瑪麗現年 40 歲,請問貝蒂現年幾歲?」在國外的文獻中(Clement, Lochhead and Monk, 1981),某些類型在轉譯方程式時就連大學生也有很高 的錯誤率。例如「某大學學生人數是教授人數的六倍」 ,主修科學的學生有 37%的錯誤率,列出「6s=p」。 Rosnick(1981)延伸探討了學生對方程式中 符號的了解,當他把這教授與學生的比例改為 4:5 時,錯誤的比例竟然超 過 73%,另外他調查了 33 位大一新生及主修商科的大三學生,和 119 位主 修社會科學的大二學生,發現這 152 位大學生中有超過 40%的學生無法判 斷 P 所代表的教授的人數,同樣地有超過 43%的比例不了解 S 代表的是學 生的人數。. MacGregor and Stacey(1993)探討學生將文字描述轉譯為代數式的表 現,學生列式時存在著某些心理模式,最常犯錯置的錯誤(reversal error), 例如:班上有 x 個女生,y 個男生。若女生的人數比男生人數多 10 人,請 問 x 和 y 的關係式為何?其中學生最常出現的錯誤列式為「x+10=y」。. Crowley,Thomas and Tall (1994)認為符號可以用來運算數學問題或用 來思考數學上的關係,學生在文字題的列式也不完全只是照著文字敘述的 順序逐一列出,企圖使他們寫的東西有意義。另外,當問題的敘述變得複 雜時,學生會採用算術的運算規則,將計算的過程寫在等號的左邊。. Muth(1991;引自張景媛, 1994)的研究指出:學生對數學文字題的解題能 力會受到文字題當中無關訊息的干擾而無法解決問題;Low and Over(1993) 提到,女生比男生容易受到無關訊息的影響。MacGregor and Stacey(1993) 歸納了建立代數式時所可能的錯誤原因包括:(1)語法上的直譯(syntactic translation);(2)代數字元的迷失(misinterpretation of algebra letters);(3)與自 18.

(32) 然語言的衝突(interference from natural language),所以他在設計題目時,刻 意避開這些可能產生錯誤的原因,結果發現學生還是產生了許多的錯誤; 於是他觀察學生的錯誤解題表現,提出學生的認知模型,他認為學生試圖 表現被比較的不等量(compared unequal quantities),而此一模型是適用於一 般性的語言但卻不適用於數學語言。而國外研究者的這些發現,有部分是 與國內學生的情況類似,但因為英文句型造成學生轉譯的困難,在國內尚 無這方面的研究。. 國內研究者張景媛(1994)及羅榮福(2003)的研究發現,國中學生在解文 字題時,無法充分了解某些關鍵詞的意義,例如「三年前」 、 「四年後」 、 「倍 增」等,謝和秀(2000)也發現,有些學生會對某些關鍵詞的意義有直接反應, 例如看到問題敘述「每人分 10 個,則剩下 6 個」 ,敘述中有”分”這個字就 以為要使用除法,學生對於問題當中出現「剩」或「不足」等詞彙,不會 用數學式來表示。林清山和張景媛(1994)的研究發現,學生對於問題中哪些 是沒有用的條件並不清楚,以為問題當中的每個敘述或數字都要用上。戴 文賓和邱守榕(1999)的研究也指出,當文字題的問題敘述較長或較複雜時, 學生無法掌握問題的重點,往往不知道該從何下手。. 三、教學策略之相關研究. 傳統的數學教學著重在教師講述,學生被動地接收教師所傳達的知 識,九年一貫課程強調學生基本能力的培養,注重生活實用性,培養可以 帶得走的基本能力,而不再是背不動的書包與繁重的知識教材,課程設計 應以學生為主體,以生活經驗為重心,教師不再只是知識的傳播者。波利 亞(1957)認為教師最重要的任務之ㄧ就是幫助學生,並且是要適度且自然而 不顯眼地幫助學生。Miller(1992)的研究發現:教師在代數課程的教學當中, 19.

(33) 對學生數學的理解程度要有所了解,這有助於教師修正調整自己的教學方 法。. Rubenstein 和 Thompson (2001)認為學生在學習符號的過程當中,可能 會遇到口語、閱讀以及書寫三種挑戰,他們建議教師首先從學習動機著手, 讓學生先了解以流暢的數學符號表達的重要性,提出了三種學習策略:(1) 語言策略,請學生說出問題的意義,教師適度地保持緘默,(2)視覺策略, 善用圖示,(3)運用計畫,從一些錯誤的例子當中理解符號的意義。. 林清山和張景媛(1993)的研究指出:學生在課堂進行當中,會因為語言 溝通的問題而產生錯誤概念,教師須加強學生的語文能力,方能使學生了 解問題,進而完成解題任務。張景媛在民國 83 年時曾針對國二學生以「代 數應用題解題策略訓練課程」與「後設認知與動機信念訓練課程」進行實 驗教學研究,使用簡化問題、重述問題、繪圖法、問答法等解題策略並運 用內化理論所強調的互動原則進行教學,這些解題策略確實改善了數學低 成就學生的學習成效,但「後社認知與動機信念訓練課程」對學生卻難產 生立即性的成效。研究結果顯示:良好的教學策略可以對學生的學習產生 立即性的學習成效,但要提升學生的動機與學習態度,並非短時間內可以 改善。. 戴恩清(2005)分析了大量應用題的解題策略,總結了解方程式的規律, 提出一連串新的解題策略,他認為要列一元一次方程式的方法有三個步 驟:(1)弄清題意和題目當中的數量關係,用字母表示問題中的一個未知 數,(2)找出能夠表示應用問題全部含意的一個相等關係,(3)根據找到 的相等關係列出需要的代數式,最後再列出完整的方程式。建議教材當中 須為學生提供完整、具體、明確且直觀的解題範例,幫助學生學習。 20.

(34) 王如敏(2003)的研究以引導式應用問題測驗探討國二學生解一元一次 方程式應用問題的表現,發現:在解應用問題時,多數學生在解題的第一 個步驟「了解題意」假設出未知數便產生極大的困難。填充引導方式對中 等程度學生助益最大,更能適當地引導學生思考、幫助學生了解問題,教 師可以從中發現學生的解題困難及錯誤的原因。. 第五節 波利亞的啟思法與表列方程式. 波利亞在其 1957 年的著作<<怎樣解題>>一書中提出了解題的四個步 驟:一為了解問題,知道未知數、已知數及條件是什麼?二為擬定計畫, 解題者要找出已知數和未知數之間的關係,若無法找出這關係時,試著從 一些相關或類似的問題著手,再試著讓這些類似的問題更接近我們要找的 未知數;三為執行計畫,檢查每一個步驟,把解題計畫付諸實現;最後為 驗算與回顧,檢查我們所得到的答案。同樣地在解決代數文字題時,解題 者的第一要務為了解問題,要如何對題目所給的條件有整體的了解後,列 出方程式後進行解方程式的任務才能夠將該問題解決。當解題者在列方程 式的過程中,常常需要把每個條件分開並寫下來,找出對應的代數符號, 列出完整的方程式。. 在閱讀完一個問題後,要如何能夠繼續完成解題的任務,根據波利亞 提出的步驟,他認為:首先是要能夠了解問題,老師要如何能夠確定學生 是否真的了解題意,老師可以請學生將問題重述一次,並且能夠找出問題 的未知數、已知數以及已知的條件等,所以老師在進行教學時,提問「什 21.

(35) 麼是未知數?」 「什麼是已知數?」 「有哪些已知條件?」是在幫助學生能 夠更清楚地了解問題。. 老師在引導學生思考的過程中,除了提醒學生思考未知數、已知數與 已知條件之外,如果遇到的題目需要圖形的輔助,那就應該要畫個圖並且 在圖形上標出未知數與已知數。例如:求一個三角形,已知ㄧ邊為 a,垂直 於該邊的高為 h,以及該邊的對角為 α。應該要能夠找出未知數是一個三角 形,已知數是高 h、底邊是 a,以及對角 α,畫出像下圖的三角形。. α h. a. 圖2-2 畫個圖的例子. 但是,這幾個提示有時候仍然不夠幫助學生了解問題,那麼得更深入 地了解問題,把問題當中的主要部份找出來,逐一地考慮這些部分,並用 不同的組合方式來考慮它們。波利亞的這些想法在他<<怎樣解題>>書當中 的「怎樣解題提示表」當中都有清楚的條列出來,他建議老師可以向學生 提問提示表中的問題,可以幫助學生解決問題。. 波利亞(1957)認為列方程式就像在進行「翻譯」的工作,把代數文 字題的文字敘述,以數學符號來表示,就像是把一般的日常生活語言翻譯 成為數學語言。要能夠進行這翻譯的工作,解題者必須了解文字敘述的意 義,同時也要熟悉數學符號的意義。而文字敘述中的慣用語或專有名稱, 無法從字面上的意義去了解,有時候我們需要重組一下條件的順序。無論 是任何問題,解題者都要能夠了解條件,並將它的各部份拆開寫下來,寫 22.

(36) 出它們對應的數學符號。. 波利亞在書中舉了兩個代數的例子來說明這個列方程式的方法,先用 垂直線分成兩欄,將題目的文字敘述拆開成合適的段落寫在左欄,是題目 的文字敘述;在右欄,寫出對應的代數符號。如範例一與範例二所示:. 範例一、試求兩數,其和為 78,積為 1296。. 表2-3 波利亞怎樣解題書表列法例一 x與y. 試求兩數 和為 78. x+y=78. 積為 1296. xy=1296. 範例二、有一個底面為正方形的直角柱,體積為 63 立方英吋,表面積為 102 平方英吋,試求此直角柱的高,及底面的寬度。. 23.

(37) 表2-4 波利亞怎樣解題書表列法例二 有一底為正方形的直角柱,求其底面的寬. x. 度. y. 與高 首先,已知體積:. 63. 它是寬為 x 的正方形底面積. x2. 與高. y x2 y=63. 的乘積 其次,已知表面積:. 102. 共包含上下兩個正方形的面積,. 2x2. 以及四個長方形側面的面積,邊長分別為 底面的寬 x 與高 y。. 4xy 2x2+4xy=102. 總表面積為. 波利亞提出來的這個表列方程式的方法,是本研究第三階段實施期進 行實驗教學指導學生列方程式主要的教學法,研究者在本研究第一階段準 備期時,曾用此方法做過前導實驗。. 24.

(38) 第三章 研究方法 本章共分有五節,分別說明本研究之研究設計、研究對象、實施步驟 流程、研究工具,及最後一部分說明資料處理的方式。各項細節詳述如下:. 第一節 研究設計. 本研究目的一採用的是調查研究法,經過準備期文獻的蒐集及非正式 的施測,發展代數文字題列式試卷,為了有系統地分析學生列式的表現, 研究者嘗試將代數文字題進行分類,針對國二共 152 位五個班級的學生進 行施測,探討國二學生代數文字題未知數假設及列方程式的情形。. 目的二所採用的是準實驗研究法,調查目的一 152 位受試學生意願, 隨機挑選出 16 位國二學生作為實驗組接受「表列法」課程,以及 16 位與 實驗組背景相當的國二學生作為控制組。以列式試卷作為前測,透過 Polya (1957)<<怎樣解題>>書中提出的「表列方程式」所提供的想法,針對實 驗組學生進行四節課的代數文字題「表列法」列式的實驗教學。四節的課 程安排中,每節 45 分鐘以 Polya 表列方程式課程教學;另外,控制組的學 生不進行教學,兩組學生皆以列式試卷作為前測,於實驗組課程結束後的 兩天內兩組學生進行後測,兩組進行的流程如下表:.. 表3-1 目的二之研究設計 人數. 前測. 教學. 後測. 實驗組. 16 人. 有. 有. 有. 控制組. 16 人. 有. 沒有. 有. 25.

(39) 本研究實施過程與步驟於第三節中詳述。. 研究者探討國內外代數相關的文獻發現:Capraro and Joffrion(2006)、 MacGregor and Stacey(1993)等人提到了中學生在轉譯代數式的錯誤類型, 如;國內的研究(郭汾派, 1988;張景媛, 1994;謝和秀, 2000)多從解題的 歷程或是文字符號概念來探討學生解方程式或符號概念的表現以及錯誤類 型,並未從學生列方程式的表現再做深入的探討,也未有文獻針對學生列 式方面提出有系統教學計畫,因此研究者希望本研究能夠系統地探討國中 學生在二元一次聯立方程式文字題列代數式的表現,接著根據波利亞提出 來「表列方程式」的方法進行教學。. 最後,將蒐集所得的資料結合質和量的研究方法作進一步說明、分析 與比較。. 26.

(40) 第二節 研究對象. 本研究的研究對象是 96 年度國二的學生,他們所就讀學校是台北縣一 所完全中學國中部,該地區屬工商混合區,常態編班、校風活潑、教學正 常化,學生的平均學業表現在台北縣地區屬於中等程度。選擇他們作為研 究對象有以下幾點原因:. 1、 國二學生在國一階段都已經學習過一元一次方程式及二元一次聯立方 程式,學生已經知道該如何使用等量公理、代入消去法及加減消去法來 解方程式。. 2、 選擇國二學生施測是因為此階段學生沒有國三的升學課業壓力,而且經 過一學年的國一生活,對國中的數學學習狀況已較為熟悉。. 3、 在挑選研究對象的班級時,考量研究者與這些班級的導師溝通良好,方 便課後與導師討論該生的學習狀況。. 4、 教學期實驗組學生共 16 位,包括 8 位男生及 8 位女生,他們來自兩個 不同班級,這兩個班級的學生都接受列式試卷的施測,施測結束後,調 查上課意願並經過家長、導師的同意後隨機挑選參與「表列法」課程的 學生,其中包括 8 位男生與 8 位女生,根據他們國一的學業成就調查顯 示,他們在班上的學業表現屬於中等程度。另外,根據基本資料表從列 式施測班級中挑選背景資料與實驗組相似的學生共 16 位,作為控制 組,其中也包括了 8 位男生及 8 位女生,而控制組不進行教學。. 27.

(41) 第三節 研究步驟與流程. 本研究為了方便讀者閱讀,研究的進行分為五個時期:準備期、調整 期、正式施測期、教學期以及分析回顧期,詳述如下:. 一、準備期. 本研究在一開始先確定本研究的大方向為國中生列代數式的表現情 形。研究者在碩二的時候,曾針對國一、國二學生進行兩次施測,第一次 施測是以國二學生 104 人為對象,採用 David Tall(1997)研究當中的列式 問題共 6 題,包括加法、乘法列式各 3 題,將 David Tall 的列式問題修正為 符合台灣國中生背景的情境,發現這次施測的試題中有 4 題為文字敘述轉 譯代數式,且問題多沒有生活情境為背景,但是國內學生在學二元一次方 程式單元的文字題,並非只有加法、乘法兩種類型,若只探討加法、乘法 兩類問題無法清楚地得知學生列代數式的困難在哪裡。. 在第一次施測完畢的一週之內,研究者針對這本身任教的三個班級 104 位國二學生進行了一節課波利亞表列法的教學,這是一個新的嘗試,教學 完後的問卷當中,大部分的學生都覺得這個表列的方法有幫助,但比較麻 煩些,原因是學生大部分不喜歡寫文字,接下來研究者又從受試學生中挑 選了五位中等程度的學生進行訪談,他們多對這個方法表示肯定,覺得有 助於他們拆解問題。. 有了第一次施測的經驗之後,在第二次施測之前,修正了第一次施測 的試題,並彙整 90~95 年基測試題及各版本教科書中普遍出現的代數文字 題 15 題,以國一學生 76 人為對象進行施測,結果發現在分析該試題時有 28.

(42) 些困難,探究其原因為:各個問題未經過分類,在評分完之後,研究者便 僅能就各問題的情境及題目的文字敘述來分析學生的錯誤,無法有系統地 彙整出學生代數文字題列式的困難。因此經過了這兩次的施測後,研究者 初步掌握了學生列式的情形,經由與指導教授及研究小組成員的討論,考 量由於施測以及教學活動都需要有大量的試題,若只從 94~95 年各版本教 科書(南一版、康軒版以及翰林版)、90~95 年基測試題蒐集代數文字題, 文字題的數量仍然不足,經由指導教授的建議後,決定再蒐集彙整坊間參 考書的試題,建立代數文字題的題庫。基於以上因素研究者決定進行代數 文字題的擴充及彙整,將教科書中常見的代數文字題加入下一次預試的試 題當中。. 在建立題庫時,參考了 Greeno(1980)對加法文字題的分類,以及 Mayer(1981, 1982, 1992)、Hinsley 和 Hayes 以及 Simon(1977)的文字 題分類,分析並歸納彙整 94~95 年各版本國一數學教科書、90~95 年歷 年基測試題、坊間相關講義、參考書等一元一次方程式及二元一次聯立方 程式單元之代數文字題,嘗試找出每個問題所使用的數學概念,研究者希 望透過代數文字題的分類能夠重整資料、能更有系統地分析學生在代數文 字題列式的困難,因此將資料也就是將代數文字題進行分類,期望在進行 實驗教學時,更能夠依照文字題的分類設計有系統課程內容,提升學生列 方程式的成效。. 在建立題庫的過程中研究者發現:在一個可以用二元未知數來表示的 代數文字題當中,列出來的兩個方程式未必使用的是同一類型的數學概 念,若將一整個文字題歸為一個類型的話,在分類時會有很大的困難,研 究者在研究小組討論中經過研究小組成員以及指導教授的建議後,一致認 為根據每個方程式所使用到的數學概念來進行歸類是比較可行的方法。 29.

(43) 因此,研究者便仿照 Greeno(1980)的分類方式開始進行分類。研究 者將代數文字題的列式分為四個類型為「合併類」、「比較類」、「改變類」 以及「分配類」 ,其中前三個類型的名稱是 Greeno(1980)所提出來的,雖 採用的是 Greeno 提出的名稱,但考量本研究的列式使用到的數學概念並非 只限於加法,因此將這三個類型做了更完整的定義,並分別舉例說明。另 外,研究者在蒐集問題、建立題庫時發現,國中生常見的一元一次及二元 一次聯立方程式的文字題還會需要使用到某些特殊的數學知識,方能夠順 利地將問題的敘述轉換為代數式,也就是第四個類型「分配類」。. 基於上述的探討,及經過指導教授與研究小組成員討論後,研究者依 照問題的數學概念將一元一次及二元一次的文字題的列式分為以下四類。 研究小組成員共有四位,其中一位是國中數學科在職教師,一位是國小數 學科在職老師,另外兩位為數學主修之研究生,在研究過程中可以聆聽不 同教學經驗者的寶貴建言。. 研究者考慮二元一次聯立方程式的文字題當中所列出來的兩個方程式 未必使用相同的概念來列式,因此,在分析各個問題的類別時,將根據每 個式子所使用到的數學概念來進行分類,其中問題敘述中用方框框起來的 部份即為該題目用來列代數式的文字敘述,舉例及歸類說明如下敘述:. (一)合併類:指利用題目敘述中未知數與已知數的數量總和關係列式的 式子。. (二)比較類:指利用題目敘述中的數量大小、多寡及倍數關係之比較概 念列式的問題。 30.

(44) 【範例】安安與家人到游泳池游泳,買 2 張全票與 3 張學生票共付了 155 元,已知全票每張比學生票貴 15 元。設學生票每張 x 元,全票每張 y 元, 請你列出方程式來表示題目中 x 和 y 的數量關係。 (修改自 95 年第二次基測) 理由:此問題會列出兩個不同類型的代數式,其中在買 2 張全票與 3 張學 生票共付了 155 元這個敘述中,需要利用全票的單價(未知數)與張數(已 知數)的乘積來列式,因此歸為合併類。另外,在全票每張比學生票貴 15 元這個敘述中,需要使用到全票票價與學生票票價做比較,因此歸為比較 類。. (三)改變類:指題目敘述中包含兩個未知數同時經過增加、減少或數量 互換之後,形成另一種數量關係,利用此改變關係列式的問題。. 【範例】哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 10 張後,哥哥的張 數就是弟弟的 2 倍;若哥哥給弟弟 10 張,兩人的張數就一樣多。設哥哥的 張數為 x 張,弟弟的張數為 y 張,依題意列出 x 和 y 的關係式。 (修改自 94 年第二次基測) 理由:在弟弟給哥哥 10 張後,哥哥的張數就是弟弟的 2 倍這段敘述中,哥 哥與弟弟兩人的張數(兩未知數)同時經過改變而有新的數量關係,雖然 這新的數量關係包含了倍數的比較關係,但對於這種情況的問題研究者在 分類時,研究者將此歸為改變類。在若哥哥給弟弟 10 張,兩人的張數就一 樣多這段敘述中,兩人的張數(兩未知數)同時經過改變而有新的數量關 係,亦歸在改變類。. (四)分配類:指使用題目敘述中數量平均分配的數學概念來列式,或者 是轉換成乘法的方式來列出代數式。 31.

(45) 【範例】李先生開的民宿來了好多人,如果每一間房間住 7 個人,就會有 7 個人沒房間住;如果一個房間住 9 個人,就空出一間房間。請問李先生的 民宿共有多少房間?有多少人來到這間民宿?(86 年部編版第二冊數學課 本) 理由:在如果一間房間住 7 個人,就還有 7 個人沒房間住及如果一個房間 住 9 個人,就空出一間房間這兩段敘述中,可以知道需要將一群人平均分 配到房間的住宿而有餘數的問題,會使用到除法的分配概念經過轉換為乘 法的表示方式列出代數式,因此歸在分配類。. 在進行代數文字題分類的過程中,嘗試了很多分類的方式,在與指導 教授與研究小組成員不斷地討論當中逐漸成型,最後再請一位代數專長的 數學系教授審核研究者的分類與定義,修正後決定採用上述四種類型「合 併類」、「比較類」、「改變類」以及「分配類」作為代數文字題列式之 分類。建立出文字題的分類後,研究者開始根據這些分類編彙列式試卷, 在調整期進行列式試卷的審核與修正。. 二、調整期. 文字題的四個類型確認完畢之後,研究者從準備期所建立的題庫當中 挑選出各類型的問題 15 題,經研究小組討論以及指導教授評閱後,編製成 代數文字題列式之試卷。彙整出 15 個問題之後,為了確保問題的敘述為一 般常見的問題,首先請兩位在職的國文老師審核問題的文字敘述。另外, 為了增加代數文字題分類以及該份試題的信度,邀請兩位在職的國中數學 老師及一位數學系教授進行審核。兩位在職的數學老師雖然肯定研究者的 分類,但對於這樣探索性的研究以及為何要進行文字題分類的動機及源由 32.

(46) 並不甚瞭解,因此在與指導教授討論之後,決定再邀請研究生審核,包含 二位科學教育所博士生,及四位碩士班學生進行文字題分類及列式試卷之 審核。. 列式試卷編彙完畢,研究者針對台北縣某完全中學國中部一年級共 97 位來自三個班級學生進行列式試卷的預試,在預試結束後以 SAS 軟體計算 列式試卷的信效度。在調整期時自編代數文字題列式試卷,是希望設計一 份試卷幫助研究者有系統地分析國中學生在常見的代數文字題列式的困 難。. 此外,鑑於在準備期閱讀文獻時發現:國內的研究多從解方程式的歷 程來探討國中生的困難與錯誤類型,但並未提出有系統的方法指導學生列 方程式,又在研究者碩一時,閱讀到波利亞(1957)<<怎樣解題>>書中提 到建立方程式(setting up equations)的主題,對於波利亞提出的表列方程 式的方法頗感認同,加上有了準備期前導實驗的經驗,在經過與指導教授 的討論後,決定嘗試以「表列方程式」的方法進行實驗教學,接著便開始 撰寫「表列方程式」教學的課程計畫、每一節課的教案以及課程的學習單。. 研究者在 95 年寒假期間對國一學生共 8 位,於 2 月 5 日~2 月 9 日寒 假輔導課的五天下午進行了五節課,共計五個小時「表列方程式」之前導 實驗教學,這八名學生是經過導師、家長同意後,自願報名參加的,其中 包括了七位女生,一位男生,這八名學生分別來自兩個班級,在班上都是 屬於中等程度。前導教學結束後,研究者考量在學校一般課程計畫當中, 列方程式的部份老師們大多只用一節課的時間教學,在此設計了五節課似 乎太多,因此與其他數學老師、研究小組成員及指導教授討論後,酌予刪 減課程,減少為四節課的實驗教學,將重點僅放在指導學生學會使用波利 33.

(47) 亞的表列法來列式,同時在課程的設計方面也做了改良,在第三節課時引 入挑戰題進行小組討論的活動。. 另外,研究者在前導教學中發現,八名學生中唯一的一名男學生對此 方法興趣缺缺,回家作業仍是以自己原本所學的方法完成,該生表示因為 沒有其他男同學的陪伴,另外他也表示不喜歡寫很多字。因此在正式的實 驗教學進行時,除了考量讓男女生的比例接近些之外,在教學前及進行課 程當中研究者也會不斷地鼓勵學生不要排斥書寫文字,待他們熟悉列式的 方法之後,便可以用更簡便的方式來列方程式了!. 在課程進行當中,配合使用研究者自編的學習單,學習單的例題來自 各版本教科書、習作、相關參考書以及 90 年~95 年基測試題,範例的類型 內容包括了四種類型的文字題,考量分析各版本教科書的內容發現合併類 列式的問題皆佔了六~七成的比例,因此研究者的在課程的安排便減少該 類型的範例,加強其他三類列式問題。每次上完課後,都有指定作業要求 學生回家完成,下次上課一開始時交給研究者批閱,幫助學生熟練表列方 程式的方法,並加強上課學習之後的印象。. 三、正式施測期. 經過專家審核及預試後所修訂完成的列式試卷,針對台北縣 152 位國二 學生進行代數文字題列式試卷之正式施測,另外也進行了學生的基本資料 的問卷調查。正式施測完畢後,研究者和受試班級導師討論受試學生的表 現,由導師推薦 2 位語文能力及口語表達中上但數學稍弱的受試學生接受 訪談,幫助研究者進一步瞭解學生列式的表現。. 34.

參考文獻

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