符號表徵

王懷權 (1987)指出符號的功能之一，在於使數學家將冗長的敘述化成 簡短的式子，而此功能正是數學語言威力最顯著其中一個的因素。表徵 (representation)是將不同的事物以不同種類的符號來表示的歷程，就認知心 理學的訊息處理的角度來看，是指訊息處理的過程中，將訊息編碼轉譯成 另一種形式，以便處理的歷程（張春興, 1996）。Post、Behr 和 Lesh(1988) 將表徵分類有五類：實物情境、具體操作物、圖形、語言、符號。如下圖：

圖2-1 Post、Behr 和 Lesh (1988)表徵分類

Resnick 和 Clement(1980)認為教師在教學時應當以多元表徵的方式，讓

學生做多方面的學習。Bell(1979；引自謝和秀, 2000)將表徵轉換的能力視 為學生學習數學的基本能力之一。

美國數學教師協會（National Council of Teacher Mathematics，簡稱 NCTM），在2000 年的『學校數學的原則和標準』》（Principles and Standards for School Mathematics)當中可以看出美國很重視符號表徵的教學，他們將 表徵(representation)列入十個標準之一，明白揭示數學課程必須強調數學表 徵可以幫助教學，使學生可以：(1)創造且使用表徵去組織、紀錄與溝通數 學想法；(2)發展可以有意義地、靈活地、適當地使用一套數學表徵；(3)使 用表徵去建模與解釋物理的、社會的、數學的現象。我國自民國89 年起的 九年一貫課程當中，也強調學生數學溝通能力的重要性，希望學生能透過 不同的表徵方式，用精確的數學語言表達自己的想法，並與他人溝通。

Silver(2001, 引自 Capraro, 2006)提到，中學生需要發展表徵的技能才能順利 理解線性方程式。

數學與符號有著密不可分的關係，無論是代數或幾何等數學的學習，

學生都會面臨許多新的符號定義，符號的使用也會因為情境的不同而有所 不同，符號表徵的使用是國一學生學習的重點之一，學生對於符號的操弄 與表徵會影響到學生往後解題的表現。初進入國一的學生面對數學問題 時，他們需要從算術的思維過渡到代數抽象的思維，謝佳叡(2002)在<<從算 術思維過渡到代數思維>>一文當中提到了：符號化便是學生跨入代數思維 的第一步，但符號化絕對不是學生自然、直觀的想法，因此在九年一貫數 學領域的代數主題中，安排了很長的時間培養學生的符號理解以及使用，

並針對不同認知程度的學生採用循環、螺旋式的方式，期許學生累積了足 夠的經驗之後能更順利地進入代數的領域。

代數(Algebra)是數學領域中很重要的一個分支，是算術的的延伸與抽 象化，它將算術精簡並一般化，由數字、變數及運算所組成的數學語言將 數字關係與數學概念符號化。代數本身包含了兩個重要的主題：一是以符 號來表徵的代數式，另一個是解題的運算。

Kuchemann(1981)以 3000 名 13 到 15 歲的英國中學生為研究對象，透 過紙筆測驗調查這些學生代數的學習成就，將他們對文字符號的成就依照 分為四個認知層次：

層次一、學生能進行文字符號的求值（可用嘗試錯誤或具體的方法，不需 具備解方程式的能力）、忽略文字符號。

層次二、能作較為複雜的文字符號問題，但無法一貫地處理特定未知數、

一般數及變數的問題。

層次三、能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，但僅限於結構簡 單的問題。

層次四、能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，且能處理結構較 為複雜的問題。

另外，Klausmeier, Ghatala and Frayer(引自 Sowder, 1980)他們認為數學 概念學習主要分為以下五個階段：

1、具體期：學生能夠理解一個先前經驗過的例子。

2、恆等期：學生可以了解一個經歷過的例子，即使是這例子是從不同 的時空觀點或不同形式來觀察的。

3、分類期：學生能夠區別正例與反例。

4、生產期：學生可以自行舉出關於該概念的例子。

5、形式期：學生可以說出此概念的定義。

他們認為若是在學生周遭出現的例子，則不太需要教學便能夠達到前 兩個時期。代數的學習，必須學習數學的語彙與技巧；整個數學的語言就 是符號的廣泛應用，不同的語言之間都有些限制與溝通的困難，但唯有數 學語言是全世界性的（王懷權,1987）。代數的主要功能就是將一型式轉換為 另一個型式，使得問題更容易解決！代數的轉換就像是語言文法的翻譯

（Polya, 1957），但學起來並不是那麼容易，學生的認知階段在發展到符號 代數期之前，他們對符號的認知與運用會受到限制，不容易發展出變數的 概念，這也是學生學習代數的困難之一。

由以上文獻的彙整，本研究在進行教學時，研究者會考慮到學生對數 學概念以及符號認知的層次給予學生提示，在進行教學時，對於含有特殊 數學詞彙的代數文字題，若學生對於該詞彙的定義不熟悉，研究者需要舉 實際的例子來幫助學生回憶數學概念。