波利亞的啟思法與表列方程式

波利亞在其1957 年的著作<<怎樣解題>>一書中提出了解題的四個步 驟：一為了解問題，知道未知數、已知數及條件是什麼？二為擬定計畫，

解題者要找出已知數和未知數之間的關係，若無法找出這關係時，試著從 一些相關或類似的問題著手，再試著讓這些類似的問題更接近我們要找的 未知數；三為執行計畫，檢查每一個步驟，把解題計畫付諸實現；最後為 驗算與回顧，檢查我們所得到的答案。同樣地在解決代數文字題時，解題 者的第一要務為了解問題，要如何對題目所給的條件有整體的了解後，列 出方程式後進行解方程式的任務才能夠將該問題解決。當解題者在列方程 式的過程中，常常需要把每個條件分開並寫下來，找出對應的代數符號，

列出完整的方程式。

在閱讀完一個問題後，要如何能夠繼續完成解題的任務，根據波利亞 提出的步驟，他認為：首先是要能夠了解問題，老師要如何能夠確定學生 是否真的了解題意，老師可以請學生將問題重述一次，並且能夠找出問題 的未知數、已知數以及已知的條件等，所以老師在進行教學時，提問「什

麼是未知數？」「什麼是已知數？」「有哪些已知條件？」是在幫助學生能 夠更清楚地了解問題。

老師在引導學生思考的過程中，除了提醒學生思考未知數、已知數與 已知條件之外，如果遇到的題目需要圖形的輔助，那就應該要畫個圖並且 在圖形上標出未知數與已知數。例如：求一個三角形，已知ㄧ邊為a，垂直 於該邊的高為h，以及該邊的對角為 α。應該要能夠找出未知數是一個三角 形，已知數是高h、底邊是 a，以及對角 α，畫出像下圖的三角形。

圖2-2 畫個圖的例子

但是，這幾個提示有時候仍然不夠幫助學生了解問題，那麼得更深入 地了解問題，把問題當中的主要部份找出來，逐一地考慮這些部分，並用 不同的組合方式來考慮它們。波利亞的這些想法在他<<怎樣解題>>書當中 的「怎樣解題提示表」當中都有清楚的條列出來，他建議老師可以向學生 提問提示表中的問題，可以幫助學生解決問題。

波利亞（1957）認為列方程式就像在進行「翻譯」的工作，把代數文 字題的文字敘述，以數學符號來表示，就像是把一般的日常生活語言翻譯 成為數學語言。要能夠進行這翻譯的工作，解題者必須了解文字敘述的意 義，同時也要熟悉數學符號的意義。而文字敘述中的慣用語或專有名稱，

無法從字面上的意義去了解，有時候我們需要重組一下條件的順序。無論 是任何問題，解題者都要能夠了解條件，並將它的各部份拆開寫下來，寫

a h

α

出它們對應的數學符號。

波利亞在書中舉了兩個代數的例子來說明這個列方程式的方法，先用 垂直線分成兩欄，將題目的文字敘述拆開成合適的段落寫在左欄，是題目 的文字敘述；在右欄，寫出對應的代數符號。如範例一與範例二所示：

範例一、試求兩數，其和為78，積為 1296。

表2-3 波利亞怎樣解題書表列法例一 試求兩數 x 與 y

和為78 積為1296

x+y=78 xy=1296

範例二、有一個底面為正方形的直角柱，體積為63 立方英吋，表面積為 102 平方英吋，試求此直角柱的高，及底面的寬度。

表2-4 波利亞怎樣解題書表列法例二 有一底為正方形的直角柱，求其底面的寬

度 與高

x y

首先，已知體積：

它是寬為x 的正方形底面積 與高

的乘積

其次，已知表面積：

共包含上下兩個正方形的面積，

以及四個長方形側面的面積，邊長分別為 底面的寬x 與高 y。

總表面積為

63 x²

y x² y=63

102 2x²

4xy 2x²+4xy=102

波利亞提出來的這個表列方程式的方法，是本研究第三階段實施期進 行實驗教學指導學生列方程式主要的教學法，研究者在本研究第一階段準 備期時，曾用此方法做過前導實驗。