實驗組學生使用「表列法」列式策略的細部分析

此部份將根據實驗組學生前測的列式表現與後測試卷、回家作業使用

「表列法」列式的情形進行質性分析。

一、「未知數假設」方面

在未知數假設方面，原本不知道未知數是什麼的學生，嘗試用表列的 方法將未知數列出來，也有些學生在前測試卷未能明白表示未知數意義，

在後測時，他們能夠清楚地在表格當中分別寫出x、y 代表的意義。

以前測第4 題（後測第 1 題）為例，實驗組學生 S11 前測試卷只有寫 出「設兩人為x、y」(如下圖 4-27)，在後測試卷當中，他可以用表列法將 未知數分別列出來並寫出對應的符號(如下圖 4-28)，雖然該生仍然未能將未 知數的敘述完整寫出，但他已能夠表示出來「姐x，妹 y」，可以看得出來 這位學生對未知數的了解有所改變。

圖4-27 學生S11 在前測第 1 題未知數假設之呈現

圖4-28 學生S11 在後測第 7 題使用「表列法」假設未知數之呈現

又看到學生S4 在前測試卷中，每一個問題的未知數假設，她會用等號 來代表文字敘述與代數符號的關係，例如第6 題（後測第 2 題）寫出「設 個位數＝x，十位數＝y」（如圖 4-29），雖然沒有清楚第指出 x 與 y 代表的 是個位數字與十位數字，但從該生列出來的第一個式子，可以得知學生的 意思。在接受「表列法」教學後，該生在後測試卷，每一題都很有耐心地 用「表列法」呈現，二位數的這個問題，可以完整地將x、y 所代表的意義 寫出來（如圖4-30）。

圖4-29 學生S4 在前測第 6 題未知數假設之呈現

圖4-30 學生S4 在前測第 6 題未知數假設之呈現

最後，以前測試卷第7 題（後測第 3 題）為例，學生 S6 在前測列式試 卷當中，完全沒有進行未知數假設，直接用算術的方式想要算出這題的答 案（如圖4-31），但在後測時，該生會用 x 來表示七年前父、y 來表示子，

雖然未將能未知數的完整描述寫出來，但從該生的列式可以得知她想要以

「x＋y＝59」來表示「七年前，父親的年齡是兒子的 8 倍」(如圖 4-32)。

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圖4-31 學生S12 在前測第 7 題未知數假設之呈現

圖4-32 學生S12 在後測第 3 題未知數假設之呈現

二、合併類與比較類列式

第一節課的作業首先讓學生如何使用「表列法」，因此研究者在作業單 中會給予較多的提示，讓學生在空格內填入已知敘述及對應的符號，學生 S9 能根據空格的提示順利地完成列式，如下圖 4-33：

圖4-33 學生S9 在作業一合併類與比較類「表列法」列式之呈現

實驗組學生 S13 在前測試題空白未作答，經訪談後了解，該生表示不 知道該怎麼列式，在接受「表列法」課程期間，雖然不是每次的回家作業 都會寫，但他都會花30 分鐘左右的時間去思考，從作業三到後測的列式表 現可以看得出來該生的進步。該生在作業三的表現，該生能夠假設未知數，

找出已知敘述並列出對應的符號，最後再將列出來的部分合併起來。

圖4-34 學生S13 在作業三「合併類列式」列式之呈現

三、改變類列式

從學生列式試卷的分析結果發現，學生在改變類列式時，容易只有注 意到其中一個未知數的變化，忽略了另一個未知數也要做改變，因此這類 的問題在使用「表列法」時，會將兩種情境的已知敘述用虛線隔開，並分 別呈現出兩個未知數的變化，這是一般學生在沒有學習「表列法」時，不 會做的動作，該位學生S13 在前測時對於無法找出未知數寫出假設，在實 驗教學時第一節課的回家作業時，該生S13 能在提示的空格當中填入未知 數、將已知敘述做拆解分成段落，填入5 年前及 3 年後父與子的年紀對應 的符號（如下圖4-35）。

圖4-35 學生S13 在作業一改變類「表列法」列式之呈現

該生S13 雖然可以根據提示列式，能夠列出 5 年前及 3 年後父的年紀、

子的年紀，但是在使用括號的情形還有待加強，像他要列出「5 年前父的年 紀是子的4 倍」，該生仍然會忘記要使用括號而列出「x-5=y-5．4」這樣的 方程式，可見該生對括號的使用是不熟悉的。

另一位學生S4 在作業一改變類列式問題的寫法，該生能夠根據提示的 空格將5 年前及 3 年後，父親與兒子的年齡用符號代表，最後組合起來列 出方程式。

圖4-36 學生S4 作業一「改變類列式」列式之呈現 四、分配類列式

實驗組學生 S4 在每次的上課及回家作業都很認真地配合，是實驗組學 生當中進步最多的其中一位，該生在含有數學敘述的分配類問題當中進步 最多。前測時，該生不知該如何列式，是沒有作答的，但在經過「表列法」

的課程後，看得出來該生已能掌握未知數的假設，以及合併類、分配類列 式的關係，能將上山與下山距離不變的關係式「2x=4y」列出來。

圖4-37 學生S4 後測「分配類列式」列式之呈現

五、含有數學詞彙的問題列式

對於問題敘述中含有數學詞彙或敘述的問題，從以下學生的例子可 以得知，若學生不了解問題當中的詞彙或敘述所代表的意義，那麼他們很 難達成列式的任務。例如：「平均體重」的問題。學生S5 在前測時，全班 平均體重55 公斤，會列出「58a÷50a=55」的錯誤式子，經過教學後，仍然 列出「58a+50b=55」的關係式。

圖4-38 學生S5 前測「平均體重」問題列式之呈現

圖4-39 學生S5 後測「平均體重」問題列式之呈現

使用「表列法」及啟思法的優點就在於提醒學生回憶相關的詞彙的意 義，有助於學生了解問題進而列出方程式。下面以「二位數」的問題為例，

實驗組學生S9 在前測時，根據題目敘述「把它的個位數字與十位數字對調 後，所得的新數比原數的2 倍多 7」，列出了「yx=2(xy)+7」這樣的式子，

顯示該生不知道如何將一個二位數的數值用兩個數字來表示。

圖4-40 學生S9 在前測二位數問題列式之呈現

該生在後測時，已能夠掌握如何用數字的關係來表示一個二位數的數 值，能夠表示出新數為「10x+y」，原數為「10y+x」，並根據題目敘述列出

「2(10y+x)+7=10x+y」的式子。

圖4-41 學生S9 在後測二位數問題列式之呈現 六、使用啟思法，找出相關公式欄或畫圖幫助列式

(一)畫圖幫助了解題意

進行「表列法」教學時，研究者首先會讓學生了解波利亞解題步驟，

同時在了解題意的過程中，除了找出問題的未知數、已知敘述之外，在指 導學生使用「表列法」時，也會鼓勵學生畫圖或是回憶相關的公式來幫助 了解問題，以下將從實驗組學生的課堂練習、回家作業以及後測試卷來探 討學生使用「表列法」的情形。

該生 S7 在上課時，學習態度很認真，每次的作業有都認真完成，從該 生挑戰題的呈現可以看出來，該生使用「表列法」時，能夠留意到老師所 提醒的細節，分成文字敘述欄與代數符號欄，用實線將未知數與已知敘述 分開，也用虛線將已知敘述分成兩個段落。顯示出該生在第三節課挑戰題 的課堂練習時，她能夠掌握到畫個圖來幫助理解題意，如下圖4-42：

圖4-42 學生S7 在課堂挑戰題使用「表列法」列式之呈現

在作業二的回家作業中，曾讓學生自己思考並嘗試用不同的方法來拆 解問題，在第三節上課時，給實驗組學生一題挑戰題讓他們先思考該如何 使用表列法列式，待每一位同學都完成後，請一位同學上黑板將自己的方 法寫在黑板上，寫完之後再和其他同學進行討論，討論完畢後請每位同學 將自己所寫的學習單張貼在黑板上，互相學習與觀摩。

另一位學生S13 在挑戰題的呈現可以看出來，該生已經掌握表列法的 欄位區分，會列出文字敘述欄及代數符號欄，會用實線將未知數假設與已 知敘述區隔，也會將較複雜的已知敘述做拆解，最後再將拆解的小部分組 合起來，另外，他也知道要畫個圖幫助了解題意，從該生的圖形上也看到 了他會將未知數符號標在圖形上。如圖4-43：

圖4-43 學生S13 在挑戰題使用「表列法」列式之呈現

最後再來看另一位實驗組學生S3 在使用啟思法幫助了解問題的表現，

該生在接受「表列法」課程的期間算是較不積極的一位，上課時有時候會 東張西望，容易分心，回家作業不是很用心完成，與該班導師訪談後，了 解該生在班上的學習成就算是中下，雖然本性不壞，但是沉迷網路，學習 態度被動、不積極，由於父親工作忙碌無暇顧及孩子課業，放學常會到網 咖去。在了解該生狀況後，課堂練習時，研究者會多給予該生個別指導，

幾次督促後，相較於該生前測都空白的情形，他在後測有些進步。

圖4-44 學生S3 在後測第 4 題使用「圖示」來幫助了解問題

（二）回憶相關公式幫助了解題意

學生 S5 在進行課程當中，每次的作業都很認真地完成，後測試卷雖沒 有劃出表格，但該生掌握了波利亞的精神，列出了「相關公式」幫助他了 解問題，如下圖 4-45，該生能夠掌握波利亞了解題意的精神，這是值得鼓 勵的。

圖4-45 學生S5 在後測第 5 題使用「相關公式」來幫助了解問題

同樣地，學生S15 列出方程式過程雖然步驟很少，但是他也掌握了回 憶相關公式的精神。

圖4-46 學生S15 在後測第 5 題回憶「相關公式」來幫助了解問題

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