研究動機與目的

本研究主要是探討國小學童的立體圖畫表徵，以Mitchelmore (1978)的「國 小學童立體徒手畫發展階段」以及van Hiele 的幾何層次理論為基礎。本章共分 為四節，分別來探究本研究的研究動機與目的、待答問題、名詞定義與研究限制 等。

第一節 研究動機與目的

一.研究動機

表徵(representation)是呈現數學概念最基本的方式，藉由表徵人們可以瞭解 以及使用數學的概念，美國數學教師協會(National Council of Teachers of

Mathematics, 簡寫 NTCM, 2000, p67）在其出版的「數學教育的原則與標準」中 曾如此宣示，表徵是從幼稚園到高中三年級都必須要有的數學教育標準，也說明 表徵是學習數學概念最基本的方式(NTCM, 2000)。九年一貫數學課程的基本理 念，相當重視數學溝通能力，溝通包括理解與表達兩種能力，就是希望能擁有及 瞭解數學表徵的能力（教育部，2003）。

表徵這個主題應用在許多數學領域，在立體幾何裡的立體表徵卻是少人去研 究的，洪萬生（2003）指出在本國數學教育過程中，「立體幾何」的教學沒有受 到應有的重視，國小階段只利用幾何模型的操弄，只能學到立體幾何的一點知 識。但是並沒有因為九年一貫課程的重視能力之培養，立體幾何的學習與課程安 排上，而獲得大家應有的重視。於是洪萬生努力於國中立體幾何研究，但並沒有 做有關國小立體幾何的研究，而洪教授也呼籲希望有人做國小立體幾何研究。張 英傑(2001)也指出在小學的數學教育裡，幾何的地位與重要性更需要提高，應該 更進一步去研究分析國小數學觀念中有關幾何的內容，但張英傑有研究平面圖形

的表徵，立體圖形的表徵少有探討過。

最近在國內數學教育幾何研究都停留在平面幾何，如吳德邦、藍同利

（2004）：「一位國小六年級觸覺型兒童在三角形概念之個案研究~從Duval 理論 的觀點」，是以平面為主，並無探討立體方面。吳德邦、薛建成（2004）：依據 van Hiele 幾何思考理論─探究臺灣中部地區國小學童幾何概念發展之研究，是研 究平面圖形的幾何能力，也無觸及立體幾何方面。吳德邦（2005）：「國小學童 在van Hiele 幾何層次一的幾何概念」，探討平面幾何圖形，並沒有探討立體幾 何van Hiele 幾何層次一的幾何概念。吳德邦（2005）：「一位觸覺型兒童在三角 形概念之個案研究~從van Hiele 和 Duval理論的觀點」，也是平面為主。

對於立體幾何的研究大都是以空間能力方面，沒有類似於立體表徵方面的研 究，如吳明郁（2004）：「國小四年級學童空間能力學習的研究，以立體幾何展 開圖為例」：探討國小四年級學童在以強調探索、觀察、實作的「非形式幾何」

精神為設計依據的「立體幾何展開圖」教學活動中，其空間能力的學習成效，但 是以空間能力為主，沒有去探討學生的立體表徵能力。劉再興（2004）：「國小 六年級幾何教學對空間能力提昇之研究─以柱體與錐體為例」，探討國小六年級 幾何教學對其空間能力提昇的影響，透過六年級現有立體幾何課程－柱體與錐體 的單元教學實驗觀察，分析幾何教學對空間能力提昇的可能，但也是以空間為 主。吳文如（2004）「國中生空間能力與數學成就相關因素之研究」，探討國中生 不同年級、不同性別的空間能力與數學學習成就之間的差異及相關因素，也是以 空間為主，並沒有談及立體表徵。陳鎮潦（2004）：「高工製圖科學生學習立體 圖與提昇空間能力相關之研究」，主要目的在探討高工學生學習立體圖與提昇空 間能力兩者之相關性，研究發現學習立體圖確實可以提升立體幾何的空間能力，

但並沒有針對國小學童。

立體圖形的表徵，可以發現學童對於立體物的認知與掌握的能力，換句話 說，學童的立體表徵可以呈現學童對於立體物的瞭解。Duval（1995）曾指出當 在構圖的過程中，也就是學童在畫立體圖時的造型活動、或者是描述該圖形的結

構時，必須同時對圖形作構圖性的瞭解。而所謂構圖性的瞭解，即在構圖的過程 中，圖形的不同單位元件會依序的浮現。

1957 年，荷蘭數學教育家 P. M van Hiele 和 Dina van Hiele-Geldof 二氏，根 據完形心理學的結構論，以及Piaget 的認知理論提出幾何思考模式（Hoffer, 1983），主張個體的幾何思考概念可以存在五種思考層次，van Hiele 認為在視覺 的層次中，學童藉著視覺觀察各種具體的事物，依據物體的外觀輪廓來辨別物體 的種類（吳德邦，2001），而近年來，利用van Hiele 的幾何層次理論來研究學童 幾何能力是很常見的，但大部分都停留在平面的幾何，在立體幾何上的應用卻是 很少，目前國中有：「青少年的數學概念學習研究」，調查臺灣青少年幾何形狀概 念發展情況，並研擬我國學生幾何形狀學習的學習路徑臆測（陳創義，2003）， 但是對象是國中生，並不是國小學童，目前國小有作此研究，只有筆者所參與的 國科會計畫，「國小學生立體幾何概念之發展研究－從van Hiele 理論的觀點」（吳 德邦，2005）有類似的研究。

將學童心中對於立體物的概念形象表達出來，就是學童的立體圖畫表徵，可 以從學童對於物體外觀輪廓的掌握，知道學童對於這個立體物的認識，那是不是 可以藉由van Hiele 的幾何層次來瞭解學童的立體圖畫內容，那 van Hiele 的幾何 層次與學童所畫的立體表徵的關係又是什麼呢？而學生畫立體物時的造型活 動，當然與學生的立體幾何概念有關，當學校美術老師說到，學生素描立體物畫 的不好，數學老師要負責任時，是不是在說明數學與美術之間的關係，以及數學 與美術之間的課程統整教學，對立體幾何的瞭解有其重要性。

吳德邦、鄭佳昇（2001）「由表徵觀點初探國小兒童立體幾何概念之研究」， 研究結果顯示，國小階段學生對於立體幾何的立體物徒手畫表徵能力可以分為兩 階段，第一階段：完全以平面幾何的認知來擴展立體幾何知識，第二階段：能夠 直接分析立體圖形。他們研究裡說明學生只有兩種階段，雖依據 Piaget 理論根 據，但只是將學生統計，大致分類，而且只有兩種階段，一種是平面，一種是立

體圖的圖畫表徵，並不是只有這兩種類型。

Mitchelmore (1978)所發表的「國小學童立體徒手畫發展階段」裡清楚的說 明，有正規立體物幾何特性的學童，將影響立體表徵發展的程度。學童畫立體物 的表現發展有四個連續的階段（一）概像平面的圖(plane schematic)（二）概像立 體的圖(solid schematic)（三）接近實際的圖(prerealistic)（四）實際完整的圖 (realistic)。Mitchelmore(1980)又在美國做了類似的研究。Mitchelmore (1978)只有 做出四種類型的立體物表徵：長方體、圓柱、四角錐、正方體。但在本國國小課 程裡，立體物的種類有正方體、長方體、圓柱、圓錐、角柱與角錐。Mitchelmore (1978)有一些沒有研究的類型，是值得去探討的，而 Mitchelmore (1978)所做的研 究是非洲人的生活形態，文化，教育，也許與我國有些差異，加上我國並沒有類 似的研究，我國國小學童的立體表徵能力確實有其需要探討的地方。

綜合以上的討論，研究者因此發現立體表徵在國內很少人做相關的研究，而 吳德邦、陳東村（2004）：「國小學童立體圖畫表徵之研究—以長方體為例」，是 以Mitchelmore (1978)所發表的「國小學童立體徒手畫發展階段」為基礎，去分 類國小學童在長方體的立體表徵，但只研究長方體，其他立體幾何，比如圓柱、

圓錐、三角柱、三角錐等的圖畫表徵呢？基於上述說明，本研究擬將國小學童的 立體圖畫表徵加以探究。

二、研究目的

依據上述研究動機，本研究的研究目的如下：

（一）利用Mitchelmore（1978）所發展的「學童立體圖畫表徵發展階段」

的理論內容，研究國小學童對於五種基本幾何立體（長方體、圓柱、

圓錐、三角錐、三角柱）圖形的立體表徵能力與類型，研究其男女 的差異、不同年級的差異、以及發展新的立體物的表徵階段。

（二）探討國小學童van Hiele 的幾何層次與立體圖畫表徵發展階段的關係。