數學上的表徵

本研究乃是探討學童的立體圖畫表徵能力，立體圖畫表徵是數學表徵上的一 種類型，希望藉由探討數學上的表徵內容，能更深入瞭解圖畫表徵的含意，進而 對研究有些幫助。本節分為 3 部分，分別是表徵（representation）的定義、表徵 的形式、表徵的功能、來進行探討。

一、表徵（representation）的定義

表：顯顯著。徵：有效驗（高樹藩，1971）。表徵：事實表現足資徵信者（賴 明德，1987）。藉由字典上的表徵意義，再藉由許多學者對於表徵的定義，去瞭 解表徵真正的定義。

所謂的表徵，則專指是概念的再表現（representing）的活動產品，而且特別 說明表徵與語言一樣，自然有其所指，對於具體的解題活動上，用有關數學表徵 的意義來進行（von Glasersfeld, 1995 ; Kaput, 1991）。

表徵的本身只是信號並非符號，因為所描述的語言或是姿勢是否具有意義，

必須藉由同一群人對於這個表徵的回應，雖然這些表徵是敘述者產物。同理，寫 出來的文字或是記號，也是兼具有社會學的與心裡學的特定意義，於是為了溝通 的目的，而去要求學童自己去描述解答活動類型，是屬於社會學的也是屬於心裡 學的，也就是說，表徵是個人的產品，這個產品是為了達與團體溝通的目的而產 生，以及文化之間的相容，基於這些目的，個體才調適（accommodate）屬於自 己的產品成為約定俗成的格式（甯自強，1996）。

Lesh(1987)指出：表徵是心智過程模式化所使用的符號系統，個體將內心的 概念轉成看的見、顯著且具體化表現於外的信號。

Bruuner(1966)指出：表徵是運思的材料，利用運思的觀點將表徵區分為三種 形式：動作的（enactive）表徵、圖像的（iconic）表徵、符號的（symbolic）表

在認知心裡學上，表徵是指將外在現實世界的事物以另外一種較為抽象或是 符號化的形式來代表的歷程，認知心裡學的訊息處理取向上，表徵是指訊息處理 過程中，經訊息經譯碼（coding）而轉換成另一種形式（張春興，2000）。

表徵是用某一種型式（物理或心理），將一種事、物、或想法，重新表現出 來，以達成溝通的目的。在這個說明溝通之下，一定存在一個「表徵」實體，也 必定存在一個「被表徵」的實體，例如有一個長方體放在桌上，用「長方體」的 語言來說明桌上的東西，就是用語言來表徵實物，是用「長方體」這三個文字符 號的型式，來溝通長方體的存在，相反的，可先產生「長方體」的想法，再拿出 長方體的實物來溝通這個想法，此時是用實物來表徵想法(蔣治邦，1994；Palmer, 1977）。

Rumelhart & Norman(1983)指出：表徵是一種替代事物的模式，亦即用某種事 物來取代另一種事物的效應，所以表徵是以圖像、表格、符號、或是內心心像等 不同模式來表現出存在心中的事物。

Kaput(1985)指出：表徵的概念一定包含兩個相關但功能上卻是分離的實體，

表徵的世界與被表徵的世界，這兩個世界有某些程度的一致性。所以每個表徵包 含了五點，被表徵的世界、表徵的世界、被表徵的內容、表徵的內容、兩個表徵 世界裡的一致性性質。

從上述各學者對於表徵所下的定義後，做一個總結，表徵是個體自己的產物，

個體的概念的再表現，表徵是一個信號，它可以以很多種不同的形式存在，可以 是寫作下的產物例如圖畫等，也可以是個體的動作或是姿勢來呈現表徵，表徵是 個體自己的產物，所以表徵本身也是個體對於被表徵事物的瞭解而呈現，藉由表 徵可以瞭解個體對於被表徵事物的概念，而表徵的形式之外，表徵也是運思的材 料，個體可以藉由自己的表徵去進行運思，站在與團體溝通的角度上，個體為了 可以達到溝通的目的，將自己的表徵轉變調適成約定成俗的表徵。

二、表徵的形式

Bruner(1966)是用運思材料的觀點來討論表徵的類別，Lesh（1979）則用溝通 的觀點，重新描述了表徵的類別。Heddens(1984)用學習階段區分，分為具體、

半具體、半抽象、抽象四個連續的階段。Hiebert & Carpenter(1992)用外在與內在 的觀點，將表徵分為兩類。以下由這四種觀點來看表徵的種類：

（一）Bruner（1966）將學習區分成三種被運思的表徵 1. 動作的（enactive）表徵

接受到刺激後，會引發的外在行動反應，藉由實際的行動來掌握事物的 意義或概念，例如幼兒對於長方體的瞭解，在於長方體可以怎麼被操弄。

2. 圖像的（iconic）表徵

圖像的活動是以心像（image）為材料，進行內在的活動，來掌握概念。

例如：長方體已經消失在桌上，但心中還是有保留長方體的心像。

3. 符號的（symbolic）表徵

符號本身是一個隨意選擇的記號，它與實物之間並無任何類似之處，它 代表了實物或心像的抽象意義。符號運思是指用符號來掌握概念，對符 號進行運思。

在行動操弄之後，獲得圖像或符號表徵的意義內涵，當確實瞭解意義內涵 時，才可進一步地使用圖像或符號表徵為材料，進行運思活動。

（二）Lesh（1979）則用溝通的觀點，重新描述了表徵的類別：

1、實物情境（real-world situations）

利用真實世界中存在的東西來解釋或是解決問題情境。

2、操作具體物（manipulative aids）

藉由操作具體物來獲得概念。

3、圖畫（pictures ）

一種靜態的圖形模式，利用圖形模式，內化為心像成為認知，如長條圖。

4、口語符號（spoken symbols）

日常生活中的口語表徵符號 5、書寫符號（written symbols）。

教學上使用的數學算式或是數學符號。

圖 2-1 表徵關係圖(譯自Lesh, Post, & Behr, 1987)

Lesh（1979）認為學童能否在不同的表徵方式中自由轉換（translation），也 就是能彈性的轉換表徵形式，表示其概念意義的掌握，例如「長方體」為例，使 用一個長方體具體物來表示，可以用口語說出長方體的樣子與性質，又可以畫出 長方體的圖畫表徵。也就是說，不論使用何種表徵來作為數學上的溝通，而接受 訊息者有能以其他表徵形式來描述，這樣的轉換有助於數學的學習（Lesh, 1981）。表徵系統轉換方式有兩類，一是在某一個表徵系統做轉換:其二是在各個 表徵系統之間的轉換(Brenner, Herman, & Zimmer, 1999)。

書寫符號

操作具體物 圖畫

口語符號 實體情境

（三）Heddens(1984)用學習階段區分，分為具體、半具體、半抽象、抽象四個 連續的階段。

1.具體物表徵階段（concrete level）：運用生活上的具體實務來表徵數學問 題，例如水果、動物、日常用品等

2.半具體表徵階段（semiconcrete）：利用圖片或是照片來表示生活中的實 際物體，有如圖片教學。

3.半抽象表徵階段（semiabstract level）：利用一些簡單的符號或是圖形來 代表實際物體。例如一個圈圈等於一個人。

4.抽象表徵階段（abstract level）：利用約定成俗的符號來學習。

Heddens(1984)主張學習者必須沿著這四個連續的階段，在擁有上一層表徵 能力之後，才能漸進進入下個階段，最後能夠將數學之事賦予抽象化的表徵，學 生才能夠皆真實世界與抽象的符號系統作連結，達到學習數學的目標。

（四）Hiebert & Carpenter(1992)用外在與內在的觀點，將表徵分為兩類：

1.內在表徵(internal representation)：透過不同的編碼，存在個體心中腦海 中的心智運作，屬於個體心中的想法外人無法觀察得知，而個體利用內 在表徵，可以進行想像、推理、構思。

2.外在表徵(external representation)：外在表徵是將內在表徵表現於外，反 映出個體的內在知識表徵，以語言、文字、符號、圖片、實際情境等形 式存在的表徵，透過這些外在表徵，可以達到與人溝通，表達自己想法、

以及瞭解別人想法。這些表徵也透露出表徵的人內心的想法。

三、表徵的功能

在數學活動中，表徵扮演著兩種角色：溝通的媒介與運思的材料，藉由這兩 種性質，可以發現學生對於數學概念的認知，另一方面在教學上的課程設計可以 提供方法，進而達到學習數學概念的功能。

（一）發現學生對於數學概念的認知

從認知心理學的觀點來看數學解題的過程，當學生面對數學問題情境時，會 將所接收到的訊息轉譯內化成為心理表徵，變成自己所能理解的形式。接著再經 由數學問題解題歷程，將學童認知內部思考過程轉變成為外在解題的表徵，作為 溝通數學想法的工具。而表徵是內部數學思考的歷程，以及外在數學形式的展現 (Mayer, 1992)。而透過外在的數學表徵形式，如：圖形、語言、具體物、符號..

等等，可以得知學生內部的數學概念思考(NCTM, 2000)。

Lesh(1987)認為經由不同形式的數學表徵轉換過程，能夠得知學生對於概念 意義的掌控情形。從學生的表徵內容，可以看出學生對於數學概念的瞭解，以及 學生所能用哪種表徵來作運思的材料，進一步的瞭解學生的數學能力。

（二）在教學上的課程設計可以提供方法

表徵本身是溝通的媒介與運思的材料，教師利用表徵來與學生溝通，表徵是 運思的材料，所以提供表徵讓學生達到數學的運思，選擇適當的表徵可以達到數 學教學的目標，而數學表徵是學習數學知識的重要媒介，例如：在數學課中，教 師使用語言來與學童溝通數學問題，學童對教師或其他同學也需要使用某一種方 式，來溝通數學想法、解題過程或結果，在如此學習環境互動中，語言表徵是一 個不可或缺的媒介(蔣治邦，1994; Lesh, 1987)。

美國數學教師協會(NCTM, 1989)指出數學表徵在數學學習裡的一項重要工 具，它可已呈現個體的思考過程也能與他人溝通。NCTM(2000)在「數學課程原 則與標準」裡，表徵是呈現數學概念最基本的方式，藉由表徵人們可以瞭解以及 使用數學的概念。當學生可以越能理解數學的表徵也就越能表現自己的數學概

念，而且他們可以擁有一系列的數學工具，以及擴充他們在數學思考的能力。

念，而且他們可以擁有一系列的數學工具，以及擴充他們在數學思考的能力。