GA 之基因型定義及公式

在GA 應用於 A³的公式發展之前，首先必須定義所有必須引用之參數。由於GA 之目的是以 PWM 中之元素值為基礎，進而能夠計算出該準則項目相對重要性矩陣 之特徵向量(eigenvector)，因為該特徵向量即為各準則項目所對應之最終權重值，故 首要工作是將PWM 中所有的矩陣元素均須清楚地定義出來。由於所建構之 PWM 是 一個各元素沿對角線所形成的正倒數方陣，因此僅僅只需要定義 PWM 對角線之上 三角形元素值即可，並可經由倒數關係定義其他位置上的元素，可以以公式(4.3)來 表示。

ij

ji a

a 1

= (4.3)

其中：aij 代表 PWM 中第 i 列及第 j 行之元素值。因為建構 PWM 僅需要 2

2 n

n − 個

元素值(即對角線之上三角形元素值數量)，因此在 GA 中亦僅需定義 2

2 n

n − 個元素之

參數即可(其中 n 為 PWM 中準則項目之數目)。而以 GA 方法所架構的 A³ 中，所定 義之個別基因(individual gene)則稱為基因型(genotype)，在其基因型上的每一個參數 是一個染色體(chromosome)，故依據前述，在 PWM 中共有

2

2 n

n − 個元素值是必須以 GCs 來編碼。例如：一個 3-digit 的實數可以快速的以 10-digit 的 GC 來編碼，而在 GC 中的每一個 digit 不是 0 就是 1。

此外，除了在PWM 中的 2

2 n

n − 個元素值必須被定義外，另有下列3 個實數值亦 必 須 被 記 錄 在 每 一 個 基 因 型 中 ：(1) 相 對 重 要 性 矩 陣 之 最 大 特 徵 值 (maximum eigenvalue, λmax)；(2)調修後的基因型與原始基因型間之差異指標(difference index, DI)；(3)整合執行 CR 及 DI 結果之總體指標(overall index, OI)。各說明如下：

1. 最大特徵值(λmax)

λmax為GA 運算之第一目標函數值。因為由公式(3.5)及表 3.3 可知，Satty 所提之 傳統AHP 中之 CR 值可以公式(4.1)表示，其中 RC 為常數，可由表 3.3 求得，CR 值 與λmax成正比關係，故求得較低的特徵值即可算得較低的CR 值。

2. DI 值

DI 值為 GA 運算之第二目標函數值（即由初始基因型之差異求得）。有許多不同 的方法來計算DI 值(例如：利用兩基因型之間的 Hamming 距離，或兩基因型間之所 有元素值差異平方根總和(the summation of square difference))。本研究提出之 A³所定 義DI 值之計算方式如公式(4.2)所示。

3. OI 值

基因型的最後一個參數是兩個目標之總體評估(overall evaluation)值，顯然本研究

提出的A³之目標主要是希望能夠降低DI 及 OI 值。由前述可知，第一個目標值(λmax) 較低之目的是希望得到較佳的一致性結果(即 CR 值越小越好)；而第二個目標值(DI) 較低之目的是希望調修後的PWM 能與決策者原始的決策判斷一致(或接近)。因此，

本研究簡單地將總體指標OI 值定義為λmax 與 DI 之和，然而從最低的λmax值是n (準 則項目數目)及最低的 DI 值是 1 (即當兩個基因型完全相同時)之條件，故 OI 值之計 算可定義如公式(4.4)所示。

) 1 ( )

( _max− + −

= n DI

OI λ (4.4)

完成所有參數之定義後，一個基因型的資料結構即可表示如圖 4.3 所示。並由 該資料結構型式可得到一個基因型全部共有 ₃₎

( 2

2

− n+

n 個元素。其中第一項 2

2 n

n − 個

元素為GC 型式(0 或 1)，而最後 3 個元素(λmax、DI、OI)則為實數。

圖4.3 GA 應用於 A³之genotype 資料結構

4.1.2.4 A³中GA之運算

GA 運算流程的第一步驟即是建立 GA 之初始群族(initial population)。GA 中的群 族是基因型群族之選擇，而一個世代(generation)代表一個群族執行一個 GA 的運算 循環。GA 的運算因子主要包括複製(reproduction)、配對交換(crossover)及突變 (mutation)，而 GA 的運算過程，僅僅考量其基因型之母代經由一個循環的運算後，

選擇得到最佳的執行結果，再將該結果傳給下一世代。特別是一個決策者僅僅只進 行一次兩兩相對重要性訪調即可得到初始PWM，而原始基因型即是從初始的 PWM 中之右上三角形矩陣元素中所得到，這原始基因型被複製20 次，並複製出 20 個相 同的基因型，然後所有基因型均進行突變，但只有一個與原始基因型完全相同，並 進而產生一個初始群族，其餘19 個基因型則均與原基因型有些微的不同。

chromosome 1 chromosome 2 …

OI

λ

1 0 0 1 0 0 1

GA 運算流程的第二步驟是將初始群族與自已配對交換而繁衍 400 (=20×20)個子 代，但其中只有一個子代與原始基因型完全相同， 其他 399 個都是新產生出來的新 的基因型。這所有400 個子代基因型均須進行評估，且被篩選出來的最佳 20 組基因 型亦更須深入計算與評估，當所有的基因型均相同，或目標執行後均無法作任何的 改變時，該計算程序就會停止。因此，有最佳客觀性能的基因型被選擇成為最後的 基因型，調修後的 PWM 即是由最後的基因型來建立，故由調修後之 PWM 所算得 之特徵向量即為準則項目之最後相對權重值。故無論有多少數量之準則項目，將GA 運用於本研究提出之A³方法，則能真正達到反映出決策者初始判斷原意之目的，並 且可以得到比符合一致性需求(即 CR≤0.1)更低的 CR 值，這實際的運用將於第 4.2 節之實例操作中得到驗證。如果準則項目的數量太大時，決策者雖經由多次的重新 訪調，但要符合 CR 值之一致性要求仍然是非常困難，這主要是因為以人們的能力 要準確的表達其知識(knowledge)的判斷來降低問題的複雜性是較困難的。這些現象 的結果亦可由本研究第4.2 節之實例分析中得到驗證。

4.1.2.5 GA設定之參數

綜合前述有關本研究所採用之GA 參數設定為：(1)族群大小為 20；(2)交配率為 0.05(=1/20)，即每個族群複製後，以(

2 1 2

2 − n×

n )的字串長度針對其他複製出來的族

群逐一進行交配(其中 n=準則項目數目)；(3)突變率為

) (

2 1

2 n n − (=

2 4 1

2 − n×

n )，係突

變率隨著準則項目數目n 而改變，即在( 4 2

2 − n×

n )個基因碼數量中，隨機取 1 個進

行突變，故以4 個準則項目為例 (n = 4)，突變率為 24

1 (約為 0.04)；(4)世代數為 400(=20

×20)；(5)設定收斂條件為 CR<0.1 時，不再進行演算，即停止程式。

4.1.3 最有利標廠商之決定

當完成準則項目之權重值計算後，最有利標廠商之決定係依據目前公共工程適 用最有利標決標之法令規定進行決策，其方式概述如下：

1. 即由決策者(即評選委員)依據最低層級之準則項目(或子項目)，針對投標廠商所 投遞之投標文件內容進行評分，再將其評分乘以前述對應之Weighting factors，

即可得到最低層級每一準則項目之加權得分，加總最低層級每一準則項目之加 權得分，即可得到決策者對每一家投標廠商之加權總評分，而加權總評分最高 者，其名次排序為第一，次高者，名次排序為第二，以此類推。

2. 若決策者為多數者(群體決策)，則可由每一位決策者均獨立完成每一家廠商之 加權總評分後，再以平均方式算得平均加權總評分的結果來決定最後名次排 序，或先行算得群體決策者於每一家廠商最低層級每一準則項目之平均加權得 分後，再加總其平均加權得分得到加權總評分方式決定最後名次排序。假如發 生平均加權總評分相同者，得參照最有利標評選辦法中之規定方式來決定廠商 最後的名次排序。

3. 又若以序位法方式評定最後名次排序者，其評定方式與最有利標評選辦法方式 相同，即則可由前述第 1 點方式評定廠商之序位；當為多數決策者時，則將每 一決策者之序位數值加總，序位數值總和最低者其最後名次排序為第一，次低 者，名次排序為第二，以此類推。假如發生序位數值總和相同者，得參照最有 利標評選辦法中之規定方式來決定廠商最後的名次排序。

4. 當總評分或準則項目分數設有門檻值時，則得由前述第 1 點方式之結果中進行 確認廠商之評分結果是否達到門檻標準。惟其門檻值之設定，本研究建議應以 加權得分後之結果為基準，而非以決策者之評分結果為基準，因為每一位決策 者其所算得之準則項目權重值不同，以加權得分後之結果作為門檻值設定之基 準較能符合決策者考量該準則項目之重要性後之獨立評估判斷的結果。

5. 有關前述第 1 點方式中廠商標價之評分方式，建議得採用本研究於第五章所提 出之最有利標標價評審模式進行評分。

4.1.4 注意事項

本研究所提出之A³選商決策模型在運用時，有下列兩點事項須注意：

1. 權重值計算必須依賴初次相對重要性訪調所建立初始 PWM 之元素值

由於本研究所提出之A³主要是在解決當傳統AHP 方法初次進行的相對重要性 調查調查所建立之初始PWM 無法滿足一致性要求時，則運用 GA 方法直接進行初 始PWM 之修正，以取代傳統 AHP 方法必須重新訪調之工作，且快速算得各準則項 目之權重值。故本研究所進行的GA 演算的 input 數值主要為對決策者進行初次 PWC 調查所建立之初始PWM 之元素值。

2. 廠商名次排序方式以最有利標評選辦法規定為基準

雖然近幾年來多準則(或多目標)之選商決策模式已有相當多之新方法被提出 來，但基於國內公共工程採行最有利標決標必須受制於符合最有利標評選辦法之規 定，故本研究提出之A³模型目前僅適用於決定準則項目權重值之計算，在廠商名次 之排序方面，仍須依政府採購法中之最有利標評選辦法所定之評分法或序位法方式 來決定。

4.2 最有利標選商決策方法之實證應用

本案例為國內某財團法人機構之專案工程計畫，為一個工程標案以最有利標決 標方式進行選商決策之實際案例。本案例在承辦單位辦理最有利標評選作業中，除 依政府採購法相關法規規定及程序辦理最有利標評選外，亦經由筆者詢問該採購評 選委員會個別委員之同意後，各委員均接受本研究以學術的角度，用傳統AHP 方式 進行評選項目之權重調查，以作為本研究分析參考之實例。故在本案例之選商決策 問題中，本節除了將驗證本研究提出之 A³方法外，亦將與傳統 AHP 方法及承辦單 位所採用之簡單權重法進行比較，進而探討其差異性，以作為各公部門機關爾後辦 理最有利標選商決策之參考。

4.2.1 案例背景說明

4.2.1.1 工程特性

本工程專案業主為國內某財團法機構下之實驗研究單位，計畫內容主要於南部 科學工業園區興建一座飼養及供特殊實驗使用之實驗動物建築物。所謂實驗動物