AHP 應用之基本原理

AHP 是由 Satty 於 1970 年所提出，主要應用在不確定情況下及具有數個評估準 則之選擇或優先排序的決策問題(Saaty 1978, 1980)。一般結構複雜之最佳化多準則決 策問題的類型可以下列公式(3.1)表示： 有目標最佳化假設成效用(或價值)函數(utility or value functions)型式，且該函數為單 調遞增(monotonically increasing)(例如資金的效益等是最佳的)，基此公式(3.1)之 MCDP 的問題可表示成公式(3.2)。

{

}

Max ₁( ), ₂( ),L, _n( ) .. ∈ , (3.2)

但對於一些效用函數(utility functions)而言，將單調遞減乘以-1 後即可變成單調 遞增。故在MCDM 的問題中，公式(3.2)仍然無法解決前述決策目標最佳化的問題，

用(或價值)函數上，而這個附加效用函數之必要條件則是目標準則(criteria)必須喜好 或偏好獨立(preferentially independent) (Brysonand and Mobolurin 1994, Keeney and Raiffa 1976)。若在 MCDP 中若已假設各目標準則已優先獨立，則在決策的過程中僅 剩下的工作就是計算公式(3.3)中之權重值(w)。計算權重值的基本考量則是必須要能 夠真正反映出決策者在許多個目標準則中對其相對重要性的看法(或判斷)，此基本考 量即為 AHP 可以用來輔助決策之處。

AHP 方法是利用每一成對目標(或準則)間之兩兩相對比較(pairwise comparison) 其重要性來求算公式(3.3)中之權重值，其中必須將每個兩兩相對重要性比較值轉換 成Saaty 所提出之 9 個不連續的尺度值(如表 3.2 所示)。而將所有準則項目之交叉成 對重要性比較尺度值之判斷結果以一組互為倒數之實數矩陣 A = {aij}(其中 aij = aik×akj (如圖 3.1 所示))表示時，即為 AHP 方法中之兩兩成對權重矩陣(pairwise weighting matrix, PWM)。

表3.2 Saaty 所提出之 9 個不連續的尺度值(Saaty 1970)

尺度數值 定義

1 相同重要(Equal importance)

3 稍微重要(Weak importance of one over another) 5 重要(Essential or strong importance) 7 相當重要(Demonstrated importance) 9 極重要(Absolute importance)

2,4,6,8 內插中間值(Intermediate judgments between two adjacent judgments)

Z1 Z2 L Zn

圖3.1 AHP 之成對權重矩陣(PWM)

對照圖3.1 中之 PWM 可知aij = w w

i j

，其中wi為第i 個目標(即 Zi)之權重值。若 將A 矩陣轉換成權重向量 w^T = (w1, w2,..., wn) 表示式，則待求解之關係式即可表示 成如公式(3.4)之線性方程式。

nw

Aw= (3.4)

根據線性理論，獲得 w 向量之非劣解(nontrivial solution)的唯一方法是求解 0

) I

(A−n w= ，其中det(A− nI)=0，這是一個眾所周知的特徴值(eigenvalue)求解問 題，其中n 是 A 矩陣之特徵方程式的根。Saaty (1978)表示矩陣 A 為單位序列(即每一 列是第一列的恆定倍數)，且 A 矩陣之最大特徵值所對應的特徵向量(eigenvector)即 是代表所有準則項目所對應之權重值(即 w1, w2,..., wn)，將這些權重值代入公式(3.3) 中即可求得x 之解。AHP 方法是由多層級之決策程序所組成，對在每一層級之次目 標(sub-objective)來說，都是一個關聯性 A 矩陣(associated A matrix)，Saaty 亦以這個 方法為條件，彙集不同層級之權重矩陣；然而在進行彙集之前，得先將由公式(3.4) 中之特徵向量所算得之權重向量正規化(normalized)，使其所有向量的總和等於 1；

兩個臨近層級的彙集程序是一個簡單的乘法運算，即較低層級之權重值等於其正規 化後之權重向量乘以較高層級之權重值。因此，最低層級之考量目標的貢獻是將所 有的權重沿著層級路徑從最高目標到所考量目標之乘積的累積。

如上所述，在MCDM 的方法中，AHP 方法是一個有組織、有系統且有效益之 計算準則項目相對重要性權重值的方法，但是根據 Saaty 的 9 個不連續的尺度值，

以及在計算權重時因人為判斷過程中造成相對重要性兩兩相對比較結果之不一致性 (unconsistency)，對於所彙集之權重向量計算結果是不可被接受的。Saaty 認為在描 述A 矩陣中之係數的不一致性是一個困擾的問題，因此將公式(3.4)之 Aw = nw 修正 為 Aw’ = λmaxw’， 而該不一致性可以被表示為準則項目數(n)與λmax 兩數值間之差 異，這證明了互為倒數的A 矩陣，僅僅在 n = λmax時之結果才一定可以符合一致性 要求。因此，Saaty (1980)首次提出一套透過估算一致性指標(consistency index, CI) 的方法來量測權重矩陣之不一致性，其中CI 值之計算如公式(3.5)所示。

1

max

−

= − n CI λ n

(3.5)

公式(3.5)中 n 及 λmax 詳如前述之定義；而 CI 值則是經由隨機一致性指標 (Random Consistency Index, RC)算得一致性比(consistency ratio, CR)，即 CR =

RC CI

( RC 值如表 3.3 所示)，當 CR 值大於 0.10 時，則兩兩相對重要性比較結果之 PWM 是無法被接受的，故必須針對各準則項目重新進行兩兩相對重要性調查，直到 CR 值小於或等於0.10 為止。雖然這個概念可以被遵循而發展一套更好的兩兩相對比較 結果，但當時間急迫時，前述Satty 所提僅只有 9 個不連續尺度值之限制，以及缺乏 自動化機制來改善CR 值之缺點，將使傳統 AHP 方法變得較不實用(或較不可能)被 用來解決MCDM 之問題。

表3.3 Satty (1980)提出之隨機一致性指標(Random consistency index, RC)

準則項目數目 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RC 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45