計算核心能力發展

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）在 1989 年出版學校數學課程與評量標準（The Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），強調帅兒園到 12 年級數 學課程的內涵應著重於數感（number sense）、估算（estimation）以及合 理性推論（reasoning）等能力的培養，而且能在廣泛的數學範疇得到展 現，數學課程不應強調記憶性的數學事實或計算程序的訓練（NCTM, 1989），其中不應強調數學事實或程序性算則演練的觀點，到了 2000 年 出版的學校數學教育原則與標準（Principles and Standards for School athematics），除了仍強調數感能力的培養外，亦將「計算流暢性（compute fluently）」納入「數與運算（number and operations）」的學習目標之中。

在此教育革新的思維下，國內許多數學教育學者也紛紛提出對於「數感」

的論點、定義與教學研究，包括支毅君（1997）、楊德清（1997、1998、

2000、2002）、林素微（2002）、吳明隆與王玉珍（2005）、劉曼麗與 侯淑芬（2006）等，甚至李源順（2014）以更為宏觀的角度倡導數學感 的教學。由於本研究所指「數感」乃聚焦在認知心學家的研究觀點，以 人類天生數感能力作為範疇，整理所累積的科學實徵證據，認為 MLD 學生應該是「腦神經功能失常」所致，其核心困難應該先在天生數感能 力有困難者，而數學課程內的數感應該是正式教育後所習得者，因此本 研究之「數感」將限於 MLD 的「認知核心能力」，因此本節所討論之

「數感」異於國內數學教育學者所討論之觀點。

壹、數感能力之發展

「數感」是指與生俱來的快速判斷或知覺到數量多寡大小的表徵能 力，個體能據以進行數量的操弄與比較（Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; Izard, Sann, Spelke, & Streri, 2009），瑝個體學到數字符號後，就會 與其天生的數量表徵系統進行對應（Barth, La Mont, Lipton, & Spelke,

2005; Mundy & Gilmore, 2009），Butterworth（1999）指出瑝孩童表現底 number line representation）及其數線估計能力亦被視為是「數感」能力 之一，原因在於「心理數線表徵能力」是一種獨立於語言能力，對數字 背後的數量大小，進行小數字在左而大數字在右的類比式表徵能力，而 且實徵研究也支持這種類比式且具方向性的數字表徵型態之看法（analog and one-dimensional representation of numbers）（Dehaene, 1997; Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005; Nieder, 2005）。

就看數能力而言，動物行為觀察研究指出，野生母獅子能從獅吼聲 法判斷超過 5 的數量大小比較（McComb, Packer, & Pusey, 1994）；印度 恆河猴的實驗也發現，牠們可以看著眼前的實驗者在其雙手先後放置不 同數量的蘋果切片於兩個桶子並退開後，判斷這兩個桶子內蘋果切片的 數量多寡，據以先吃多再吃少，同樣地，其數量多寡判斷的限制仍為 4 以內的數量（Hauser, Carey, & Hauser, 2000）；此外，四個月大的嬰兒透 過習慣化與去習慣化的實驗現象，顯示他們能進行 3 個點以內的數量有

所差異的判斷（Stakey & Cooper, 1980），甚至能進行 4 以內數量加/減 1 後為多少的判斷（Wynn, 1992），數個研究證據指出學前帅兒已具備 3 或 4 點的看數能力，而且與其年齡有相關，Gelman 和 Tucker (1975)的研 究發現 3、4、5 歲帅兒在「3 點看數能力」的正確率分別為 58%、77%

和 90%，在「4 點看數能力」的正確率則分別為 19%、48%和 69%；Starkey 和 Cooper (1995)指出看數能力範圍從 3 點轉換到 4 點，大致發生在 3.5 歲左右。因此，「看數能力」是跨種係存在的天生數感能力之一（Nieder ,

& Miller, 2004），就「看數能力」與計算能力之間的關係而言，Butterworth

（1999）認為「看數能力」是計算能力的先備能力之一；Penner-Wilger 等人（2007）的研究結果顯示「看數能力」可以分別預測數數和加法計 算等能力；Desoete 和 Grégoire（2006）的研究發現帅兒園低於帄均看數 能力之兒童，可以預測未來在小學一年級時數學標準化成就測驗的低成 就表現；Halberda、Mazzocco 和 Feigenson（2008）認為跨種係存在的「數 量估算系統」（approximate number system, ANS）是指在沒有數數的情 形下，個體能夠以視覺陣列（visual arrays）的型態估算出物品大約的數 量，並將此能力視為「看數能力」的行為表現，他們的研究結果指出 14 歲孩童的 ANS 表現和數個標準化的數學能力測驗有顯著相關。因此，「看 數能力」是天生的數感能力之一，而且可以預測未來的數數能力、計算 能力，甚至是數學成就的表現，臺灣到目前為止尚未有研究針對學童的 看數能力進行相關的研究。

就心理數線表徵能力而言，國外已有不少研究指出，數字在心理上 的表徵具有連續性質的由小至大以及空間性質的從左至右之特性，稱為 心理數線表徵（mental number line representation）（Berteletti, Lucangeli, Piazza, Dehaene, & Zorzi, 2010; Brysbaert, 1995; Cappelletti, Kopelman, Morton, & Butterworth, 2005; Dehaene, Bossini, & Giraux, 1993; Fias, 2001;

Fias, Brysbaert, Geypens, & d’Ydewalle, 1996; Fischer, Castel, Dodd, &

2002; Ruiz Fernández, Rahona, Hervás, Vázquez, & Ulrich, 2011; Shaki, Fischer, & Petrusic, 2009）。研究指出數線估計能力與標準化的數學成就 測驗有顯著正相關（Booth & Siegler, 2006; Siegler & Booth, 2004），甚至 與學校的整體數學成就表現也有顯著正相關（袁媛、王淑芬、陳國龍，

2016；Schneider et al., 2009）。瑝學童的心理數線發展至線性表徵，其 準確的數線估計能力會與計算相關的能力有正相關，包括數量大小比較 能力（Laski & Siegler, 2007）、計算能力（Booth & Siegler, 2008; Fischer, Moeller, Bientzle, Cress, & Nuerk, 2011; Link, Moeller, Huber, Fischer,

&Nuerk, 2013），也能進一步預測其算術文字題的解題能力（Booth &

Siegler, 2008）。因此，「心理數線表徵及其數線估計能力」是天生的「數 感」能力之一，可以預測計算能力與未來的數學成就表現。臺灣的研究 指出，除了袁媛、王淑芬、陳國龍（2016）確認心理數線表徵能力與學 校數學成就表現有顯著相關外，Lien 和 Hung（submitted for publication）

利用 0～100 長度之「數字在數線位置估計作業」（number-to-position task）

進行臺灣學童心理數線表徵能力發展及其數線估計能力之研究，研究結 果發現：臺灣國小一年級到四年級學童的心理數線表徵有從對數發展至 線性表徵的趨勢，發展的成熟度高於美國學童一個年級的水準，而且數 線估計誤差量顯著低於美國相對應年級的學童。此外，臺灣國小四年級 所有學童的心理數線均已依賴線性表徵，而且其最佳線性函數公式中的 斜率為 1.01，表示臺灣學童到了國小四年級，其心理數線表徵已發展至 符合真實的數學數線單位，因此，臺灣一般學童的心理數線表徵及其估 計能力的發展已具備實質的基礎。

貳、「數學事實提取」和「分解與重組」能力的發展

「數學事實提取」能力是指學童能自動化地將個位數算式的答案，

直接從長期記憶庫中提取出來，亦即可以快速且正確地解出個位數計算 題目的答案（Carr & Alexeev, 2011; Geary, Fan, & Bow-Thomas, 1992），

而「分解與重組」能力是一種彈性能力的展現，透過已建立的數學事實 導出另一個數學事實（Canobi, Reeve, & Pattison, 1998; Geary, Hoard, Byrd-Craven, & Desoto, 2004; Ng & Rao, 2010），因此「分解與重組能力」

需建立在已具備更為基本的「數學事實提取能力」之基礎上，要達到這 兩項流暢地計算能力，不少文獻指出需經過三個發展階段，第一階段稱 為數數階段，或稱為建立數學事實的程序性知識（procedural knowledge）

階段，第二階段則是將已知的數學事實與未知的數學事實建立關係，據 以記住未知的數學事實之階段，第三階段則是直接提取數學事實，或是 知道數學事實的陳述性知識（declarative knowledge）階段(Ando & Ikeda, 1971; Ashlock, 1971; Bezuk & Cegelka, 1995; Carnine & Stein, 1981;

Garnett, 1992; Garnett &Fleischner, 1983)。Hopkins 和 Lawson（2002）則 進一步將數數階段再加以細分成二個階段，指出數數策略的發展是從「全 部數（counting-all）」進展到「數上去（counting-on）」策略，其中「全 部數策略」又細分為「長數數加總（long-sum）」和「數數加總

（sum-counting）」程序等二個發展階段，這二者均是從 1 開始數，只是 前者在「被加數」從 1 數一次，「加數」也從 1 數一次，最後二個數字 合起來從 1 再數一次，而後者是二個數字合起來從 1 開始數直到結束。

至於「數上去策略」也細分為二個發展階段，分別為「第一個數字為基 礎數上去（count-from-first）」和「數最少（min-counting）」程序，前 者是以第一個數字為基礎數上去，而後者是以大的數字為基礎數上去，

如果「加數」的數字較大，此時 min-counting 程序就會比 count-from-first 程序更為有效率。Hopkins 和 Lawson（2002）將上述文獻的第二和第三 階段分別稱為「分解與重組」和「數學事實提取」階段。

一、國外學童「數學事實提取」和「分解與重組」能力之發展

國外研究指出帅兒園學童常用「全部數」策略，而國小一年級學 童則較常用「數最少」策略來進行個位數計算（Bjorklund & Roseublem,

2001; Carpenter, Fennema, Frake, Levis, & Empson, 1999; Siegler &

Jenkins, 1989），學童從數數轉換到「數學事實提取」策略，大致發生 在國小二年級到三年級之間（Ashcraft, Fierman, & Bartolotta, 1984），

到了國小四年級，「數學事實提取」成為其主要的加法策略（Ashcraft, 1992），後續的研究進一步指出，就個位數乘法而言，學童在國小二 年級末，運用乘法事實提取策略的比例為 92％，數數和不知道答案的 比例則分別為 6％和 2％（Lemaire & Siegler, 1995）；就個位數加法而 言，國小四年級學童運用「分解與重組」和「數學事實提取」策略的 比例分別為 46％和 41％，至於數數策略則為 13％（Imbo &

Vandierendonck, 2007）。若以「分解與重組」及「數學事實提取」策 略做為成熟的個位數計算能力之指標，原因在於兩者均是以個位數加 法事實提取為基礎的核心能力，差異在於「分解與重組」是運用已儲 存於記憶系統裡的加法事實，透過分解與重組的程序，將尚未儲存於 記憶系統的加法算式推論出答案，以算式「4＋5」為例進行說明，學 童無法從記憶系統裡直接提取答案為 9，但在其記憶系統裡已知「4＋

4＝8」和「8＋1＝9」，因此學童透過「4＋5＝4＋4＋1＝8＋1＝9」的 分解與重組的策略，進而推論出「4＋5＝9」；再以 80％-90％做為合 理的精熟水準（Guskey，1985）進行研判，國外學童的個位數乘法事 實提取能力大致在國小二年級結束建立完成，因為此時運用「乘法事 實提取」策略的比例為 92％，加法事實提取能力則大致在國小四年級 建立，原因在於學童個位數加法從數數轉換到事實提取發生在國小二 年級至三年級之間，到了國小四年級時，「分解與重組」和「數學事 實提取」等均以記憶提取為基礎的成熟計算策略之比例合計為 87％。

4＝8」和「8＋1＝9」，因此學童透過「4＋5＝4＋4＋1＝8＋1＝9」的 分解與重組的策略，進而推論出「4＋5＝9」；再以 80％-90％做為合 理的精熟水準（Guskey，1985）進行研判，國外學童的個位數乘法事 實提取能力大致在國小二年級結束建立完成，因為此時運用「乘法事 實提取」策略的比例為 92％，加法事實提取能力則大致在國小四年級 建立，原因在於學童個位數加法從數數轉換到事實提取發生在國小二 年級至三年級之間，到了國小四年級時，「分解與重組」和「數學事 實提取」等均以記憶提取為基礎的成熟計算策略之比例合計為 87％。