計算核心課程對數學學習障礙高危險群學童介入成效－不同統計法在小樣本研究之應用

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(1)國立臺灣師範大學特殊教育學系博士論文. 計算核心課程對數學學習障礙高危險群學童介入成效－不同統計法在小樣本研究之應用 The Arithmetic Core Competence Intervention for Students with High-Risk Mathematical Learning Disabilities: Different Statistic Methods Apply to the Small-Sample Study. 指導教授：洪儷瑜教授研究生：連文宏撰中華民國一０七年七月.

(2) 誌. 謝. 十年，感謝洪儷瑜教授在研究與觀念的引導，讓我不致於過度固執而迷失，帶領我逐步深探數學學習障礙學生的核心特質、鑑定與教學介入的整個研究歷程，感恩之情，溢於言表。最後階段，感謝柯華葳教授、林素貞教授、林世華教授、吳昭容教授和李源順教授，共同點出本論文不足之處，給與的建議讓本論文更為出色，特別感謝林世華教授在統計技術的指導與細心的討論，讓我對統計技術的熱情向上提升，帶著教授們的指導與肯定，我更具信心了。十年，謝謝同事、同學、學妹與學長姐們在這段時間的鼓勵、討論與協助，特別感謝秀芬、素珍、雅蘭、智宗、玉錦、宣惠與慧珊，有了你們在最後階段動力的啟發與工作負擔的減輕，讓我可以更專注地投入寫作。十年與最後階段，最需感謝的是我的家人，宥森與宥涵，寫作之餘，我在你們身上獲得了快樂與能量。瑋倩，有妳持續地提醒與鼓勵我該投入論文，有妳在最後階段擔負起整個家庭，讓我無後顧之憂地琢磨本論文，感謝有妳全心全意地支持與陪伴，我終於完成了。文宏謹誌 2018 年 7 月於板橋.

(3) 中文摘要國內針對數學學習障礙學童（MLD）的教學介入之素材多偏重數學學科內容，本研究則聚焦在計算核心能力，整合「數感」、「數學事實提取」和「分解與重組」等三項能力之計算核心課程作為教學素材，據以對應 MLD 學童的認知核心能力缺陷，亦結合國內外實徵證據支持有效的教學方法與原則，實施教學介入成效與相關議題之研究。另考量小樣本研究若僅採取傳統統計考驗，有可能因違反統計假設而造成偏誤，故本研究利用自助法和線性混合效果模式等統計技術和傳統的重覆量數變異數分析一起分析，期應用三種統計的分析，解決小樣本研究的問題。本研究分兩階段探討本課程之成效，先用前驅研究詴行本課程並探討其成效之趨勢，經過前驅研究調整課程後，以準實驗研究繼續探討三項研究問題，(1) 計算核心課程對 MLD 高危險群學童之成效，（2）本課程作為鑑定 MLD 之教學反應（RTI）之可行性，（3）自助法和線性混合效果模式，相較於重覆量數變異數分析，在小樣本重覆量數研究之優勢。本研究之準實驗研究樣本篩選自北區一所國小全體一年級合計 217 位學童參與本研究，經過兩學期之數學能力表現篩選，符合 MLD 高危險群之實驗組學童共計 10 位，接受總時數 400 分鐘之計算核心課程。經智力配對且數學核心能力表現等資料控制選出對照學童計 11 位，該組學童未接受教學介入。兩組在前測和後測均實施「看數」、「數學事實提取」、「進階數學事實提取」和「分解與重組」等四項計算核心能力測驗。本研究發現如下：（一）計算核心課程對 MLD 高危險群學童具備教學介入成效；（二）MLD 高危險群學童在教學介入後，初步發現「成長速率無反應」和「最終表現水準無反應」雙低個案，綜合評估可肯定本課程在 MLD 鑑定的 RTI 鑑定實施有其可行性；（三）應用自助法和線性混合效果模式之統計技術進行資料分析，對小樣本教學介入研究有 ii.

(4) 助益。基於上述研究結果，本研究對於 MLD 之未來研究與補救教學之實務提出相關看法及建議。. 關鍵詞：數學學習障礙、數感、數學事實提取、分解與重組、自助法、線性混合效果模式、教學反應. iii.

(5) Abstract The materials of intervention for students with mathematical learning disabilities (MLD) have been placed particular emphasis on curriculum content for years in Taiwan. However, the arithmetic core competences, including abilities of ―number sense‖, ―math fact retrieval‖, and ―decomposition and regrouping‖ were neglected, which could correspond to the core deficits in students with MLD. Therefore, the study aimed to investigate the effect of the intverention based on the the arithmetic core competences. However, the small-sample study might confront the problem of violating statistical assumptions, but small-sample is common in the intervention of MLD. Therefore, the statistical methods of ―bootstrap‖ and ―linear mixed effect model‖ are applied to deal with the assumption-violating issues of the small-size. Additionally, after the intervention is approved as effective in the above purposes, the feasibility of this intervention as a pre-referral stage of MLD identification when using dual discrepancy criteria of response to intervention (RTI). The second-grade students from one primary school in the northern Taiwan participated in the study. The students were screened by the iv.

(6) measurement in two semesters. Those met the high-risk criteria of MLD and had parents’ consent were recruited in the experimental group. Ten students participated in the intervention and 11 high-risk MLD students without having parents’ consent were in the control group. They were compatible with the intelligent quotient and screen test of arithemetic competence. Both group were admininstrated pretest and posttest, including ―subtizing‖, ―math fact retrieval‖, ―advanced math fact retrieval‖, and ―decomposition and regrouping.‖ The main findings of this study were concluded as follows: 1. The arithmetic core competence intervention was approved to significantly improve the arithemetic competence of students with high-risk MLD by comprehensive analysis of three statistical methods. 2. The students with non-responder both of growth and final status could be identified after the intervention. As a result, this intervention program seemed to be feasible as a pre-referral stage of MLD identification. 3. The small-sample study would get benefit from the statistical methods of ―bootstrap‖ and ―linear mixed effect model‖.. v.

(7) Keywords: mathematical learning disabilities, number sense, math fact retrieval, decomposition and regrouping, bootstrap, linear mixed effect model, response to intervention. vi.

(8) 目第一章. 錄. 緒論 ................................................................................... 1. 第一節研究動機 ......................................................................................1 第二節研究目的與問題 ..........................................................................8 第三節名詞釋義 ......................................................................................11. 第二章. 文獻探討 ......................................................................... 13. 第一節數學學習障礙的鑑定 ................................................................13 第二節計算核心能力發展 ....................................................................19 第三節 MLD 學童在計算核心能力之表現 ..........................................27 第四節數學補救教學介入成效之研究 ................................................32 第五節小樣本教學介入研究之統計議題 ............................................38. 第三章. 研究方法 ......................................................................... 43. 第一節前驅研究 ....................................................................................43 第二節研究架構 ....................................................................................52 第三節研究參與者 ................................................................................54 第四節研究工具 ....................................................................................57 第五節實驗教學 ....................................................................................62 第六節資料處理與分析 ........................................................................77. 第四章. 研究結果 ......................................................................... 83. 第一節前驅研究之詴行教學介入成效 ................................................83 第二節準實驗研究之教學介入成效 ....................................................91 第三節計算核心課程在 RTI 鑑定模式可行性之探究......................100. 第五章. 綜合討論 .......................................................................108. 第一節計算核心課程教學介入成效之探究 .................................108 第二節 RTI 鑑定模式可行性之探究 ...............................................115 第三節現代統計技術在小樣本教學介入應用之探究 ................120. 第六章. 結論與建議 ...................................................................123 vii.

(9) 第一節研究結論 ..................................................................................123 第二節研究限制 ..................................................................................125 第三節研究建議 ..................................................................................127. 參考文獻 .......................................................................................130 附錄 ............................................................................................................ 154 附錄一、「看數比賽課程」示例 ...........................................................154 附錄二、「數數樂課程」示例 ...............................................................156 附錄三、「看數比賽課程」融入「分解與重組」活動示例 ...............161 附錄四、「超級集點王」活動 ...............................................................163 附錄五、「前驅研究」bootstrap-F 語法 ................................................165 附錄六、「前驅研究」bootstrapCI-g 語法 ............................................166 附錄七、「前驅研究」lme 前後測差異顯著性分析語法 ....................167 附錄八、「準實驗研究」bootstrap-F 分析語法....................................168 附錄九、「準實驗研究」bootstrapCI-g 分析語法 ................................169 附錄十、「準實驗研究」lme 交互作用分析語法 ................................170 附錄十一、「前驅研究」lme 兩種模型比較語法 ................................171 附錄十二、「準實驗研究」實驗組學童 lme 兩種模型比較語法 .......172. viii.

(10) 表目錄表 1 DSM IV 和 DSM5 數學障礙之診斷標準 ..........................................14 表 2 「前驅研究」之教學單元設計架構 .................................................47 表 3 「前驅研究」與「準實驗研究」階段「數數樂」課程單元內容異動對照表 ............................................................................................51 表 4 研究架構表..........................................................................................52 表 5 「準實驗階段」樣本人數及其智力水準彙整表 .............................55 表 6 「準實驗研究」之計算核心課程架構表 .........................................64 表 7 「看數比賽」課程主題、單元名稱及課程內容彙整表 .................65 表 8 數數樂課程主題、單元名稱及其內容彙整表 .................................67 表 9 「前驅研究」樣本基本描述統計 .....................................................83 表 10 「前驅研究」之 rm-ANOVA、bootstrap-F 和 bootstrapCI-g 之統計分析結果 ...........................................................................................84 表 11 「前驅研究」教學介入研究之線性混合效果模式分析結果 .......88 表 12 「前驅研究」之各依變項能力在三種統計方法之顯著性考驗結果及其效果量與 95％信賴區間彙整表............................................90 表 13-1 「準實驗研究」樣本前測基本描述統計 ....................................91 表 13-2 「準實驗研究」樣本後測基本描述統計 ....................................91 表 14 實驗組和控制組準實驗設計之交互作用統計分析結果 ...............94 表 15 實驗組和控制組準實驗設計之線性混合效果模式在交互作用項之分析結果 ............................................................................................98 表 16 實驗組與控制組在 lme 模式估計之前後測 95％信賴區間彙整表 .........................................................................................................98 表 17 「前驅研究」四種計算核心能力在「只估計截距未估計斜率」和「同時估計截距和斜率」兩種模式之適配度比較結果..............101. ix.

(11) 表 18 「準實驗研究」實驗組學童四種計算核心能力在兩種隨機效果模型之比較結果 ...............................................................................104 表 19 「準實驗研究」多元統計分析結果彙整表 ...........................109 表 20 「準實驗研究」實驗組學童在 lme「隨機截距與斜率模型」估計下教學介入成長斜率無反應個案之篩選彙整...........................118 表 21 教學介入成長斜率無反應個案之後測成績亦無反應之彙整 .......................................................................................................119. x.

(12) 圖目錄圖 1 個位數加/減計算之「分解與重組」概念基礎教學 ........................69 圖 2 明白清楚的教導之結構化教學流程 .................................................70 圖 3 看數能力範圍內點數的視覺化表徵 .................................................72 圖 4 數數樂課程數學事實規則視覺化表徵 .............................................73 圖 5 計算核心成份課程在「準實驗研究」階段之教學介入流程 .........75 圖 6 「準實驗研究」各依變項測量之「組別」與「重覆施測」因子之間交互作用圖 ....................................................................................95 圖 7 「前驅研究」MLD 高危險群學童 lme 模式估計之個別成長斜率 .......................................................................................................102 圖 8 「準實驗研究」實驗組與控制組學童在 lme 模式估計之個別成長 .......................................................................................................105. xi.

(13) 第一章. 緒論. 第一節研究動機數學學習障礙（mathematical learning disability，簡稱 MLD）是學習障礙（learning disabilities，簡稱 LD）的亞型之一，相較於另一個 LD 亞型，閱讀障礙（reading disability，簡稱 RD）之研究成果豐富，MLD 研究相對不足（Gersten, Jordan, & Flojo, 2005; Jordan & Hanich, 2003）。目前對於 MLD 學生的鑑定存在兩種可行的取向，分別為「智力－成就差距標準」和「認知核心能力缺陷」取向。文獻指出 MLD 學生的鑑定如果採取「智力－成就差距標準」，因標準化數學成就測驗所包括的測驗項目相瑝繁雜，容易使 MLD 學生的「認知核心能力缺陷」被掩蓋而予以忽略（Jorden & Hanich, 2003）；而且，運用「智力－成就差距標準」所篩選出來的 MLD 學生，常會合併注意力缺陷過動症狀或語文閱讀能力的相關困難，因此難以釐清其數學成就測驗所得之表現低落，到底是特定的「認知核心能力缺陷」所導致，還是更廣泛的注意力缺陷或其他能力困難所造成（Geary, 2004）。從臨床醫學研究已長期關注後天腦傷因素所導致的失算症患者（acalculia），其主要的臨床症狀包括基本的加法、減法、乘法與除法等計算能力的損傷，數字或數學符號的理解困難，甚至產生數字或數學符號的唸名困難（Boller, & Grafman 1985; Hittmair-Delazer et al 1994; McCloskey, & Caramazza 1987; McCloskey et al 1991; Rosca 2009）。在上述研究脈絡下，近年來 MLD 的研究逐步聚焦在計算能力表現困難特徵，及其「認知核心能力缺陷」上。國外的研究結果大致認為 MLD 學生在自動化的「數學事實提取能力（math facts retrieval）」有顯著困難（Geary, 1993; Geary & Hoard, 2001; Ginsburg, 1997; Jordan & Montani, 1997; Kirby & Becker, 1988; Russell & Ginsburg, 1984; Shalev & Gross-Tsur, 2001），而且，有不少的學者也發現 MLD 學生似乎存在更為基礎的認知核心能力困難，亦即數字背後的數量表徵能力有 1.

(14) 顯著困難，Dehaene（1997）稱此能力為「數感」（number sense），Butterworth （1999, 2005）則稱之為「數量概念」（numerosity）。近幾年國內的研究也陸續指出，臺灣 MLD 學生也有「數學事實提取能力」顯著困難的特徵（柯華葳，2005；連文宏、洪儷瑜，2017），甚至在「數感能力」測量指標之一的「心理數線表徵及其數線估計能力」，亦有顯著的缺陷（連文宏、洪儷瑜，2018）。 MLD 學生計算表現的認知核心能力缺陷之研究進展，乃植基於一般學童的計算能力發展之研究，一般學童進入帅兒園的正式教育以前，在面對計算活動時，會使用猜測或估計的策略來進行計算（Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2008），到了帅兒園階段則開始學會使用數數策略（如手指或口語數數）來進行個位數加法或減法計算（Geary, Hoard, Nugent, & Byrd-Craven, 2007），此時學童經由反覆地解相同的個位數算式之經驗，逐漸建立起算式及其對應的答案之間有所連結的事實知識，亦即將「算式－答案」之連結記憶，儲存於長期記憶系統裡，讓學童未來面對相同的算式時，就能夠運用相較於「數數策略」更為成熟的「分解與重組（decomposition and regrouping）」策略，或是從記憶庫中直接提取答案的「數學事實提取」策略來進行解題（Baroody, 2006; Siegler & Shrager, 1984）。研究進一步指出「數學事實提取能力」與未來複雜的數學能力之間有顯著相關（Cumming & Elkins, 1999; Geary & Brown, 1991; Geary, Brown, & Samaranayake, 1991; Geary, Liu, Chen, Saults, & Hoard, 1999; Royer, Tronsky, Chan, Jackson, & Marchant III, 1999; Tronsky & Royer, 2003; Widaman, Little, Geary, & Cormier, 1992; Zental, 1990），而且學童會運用「分解與重組」策略，來進行多位數加法與減法計算（Beishuizen, 1993; Beishuizen, Van Putten, & Van Mulken, 1997; Lucangeli, Tressoldi, Bendotti, Bonanomi, & Siegel, 2003）。既然「數學事實提取」和「分解與重組」能力，對於未來二位數以上的複雜計算能力有其顯著的預測力，故可將「數學事實提取」和「分解與重組」這兩項 2.

(15) 能力，視為計算能力中較為基礎的核心能力。臺灣國小學童的計算能力發展，似乎與國外學童有大致相同的發展趨勢，亦見臺灣學童具備「數學事實提取」和「分解與重組」的計算核心能力，而此兩項能力亦能分別預測更為複雜的二位數以上之計算能力（洪儷瑜、連文宏，印製中）。本研究擬基於「數學事實提取」和「分解與重組」的計算核心能力之發展，以及 MLD 學童主要的認知能力缺陷在「數感」和「數學事實提取」，並結合文獻有效補救教學原則，設計一套對應於 MLD 學生的認知核心能力缺陷之補救教學課程，並探討此課程對 MLD 高危險群學生之成效，這正是臺灣目前所欠缺的實徵證據。目前為止，臺灣 6 篇已發表有關 LD 或 MLD 學生的數學能力教學介入之實徵研究中（江美娟、周台傑，2003；吳雅琪、孟瑛如，2005；柯華葳、2005；朱經明、林正豪，2012；莊其臻、黃秓霞，2013；吳宜蓁、蕭伊倫，2015），其中 5 篇的教學素材是以大範圍的數學學科內容為主，近十年來僅有柯華葳（2005）針對「數學事實提取能力」中，個位數加法和減法計算困難之核心缺陷，進行一對一密集地教學介入方案，截至目前為止，尚未有研究完整地針對 MLD 學生在「數感」和「數學事實提取」有顯著困難之認知核心能力缺陷，設計相對應的教學素材以進行教學介入成效之研究。除了特殊教育在 LD 或 MLD 學生數學能力教學介入偏重學科內容的教學素材外，普通教育現行的數學科補救教學，即是 2006 年教育部所推動的「攜手計畫課後扶助」方案實施迄今，攜手計畫數學補救課程也仍以學生原年級教科書內容為主（徐偉民和劉曼麗，2015），並未考慮學生學習困難的認知缺陷，此現象在陳淑麗（2008）的研究調查中已存在，指出約九成有實施補救教學課程的教師，使用學生的原教科書內容做為補救教材。據此，林寀雯、鄭鈐華、王又禾、吳昭容（2013）以及鄭鈐華和吳昭容（2013）的研究結果強調，數學低成就學生的數學補救教材， 3.

(16) 需針對學科內容單元進行由簡至難的編序設計，並簡化數字與文字閱讀複雜度，以降低學習的認知負荷，此調整做法確實能在部分單元獲得實質的成效，但是如果學科單元內容經過編序與簡化設計後，仍與低成就學生的先備能力有一段落差，若課程設計未補足此差距，則教學介入可能難以真正補救，因此課前診斷與先備知識的補足，對於低成就學生的數學補救教學佔有關鍵角色；此外，國內對於加減法計算能力的研究，多偏重於文字題的問題解決能力為主，如蔣治邦與鍾思嘉（1991）、蔣治邦（1993）和呂玉琴(1996)等均是以加減法文字題的解題能力作為研究重點，較少著重在加減法的事實提取能力；即使李貞惠與葉啟村（2003）以數的分解記錄之語意結構，來幫助學生理解加減法的互逆性，雖然數的分解記錄接近「分解與重組」的概念，但其教學重點在加減法互逆之算則，並期待學童能進一步運用在文字題解題上；黃桂君在 2002、2003 年國科會的研究，主要在建構數學學習困難學童之基本數學概念診斷系統，該診斷系統以二位數加減法為範圍，補救目標在診斷學生的計算法則之精熟與適瑝性。綜而言之，不管是特殊教育或普通教育以數學學科內容作為教學介入的素材時，診斷學生在該單元的先備能力，補足學習該單元所需的先備能力，應該是相瑝重要的工作，但這樣的補救似乎少了連結數學核心能力之發展，即使研究的重點在計算能力，也是僅依據數學學科的知識、技能及其運用，而較少涉及背後可能的認知能力。故本研究想從 MLD 之核心問題所發展出來的數學「認知核心能力」，並參考現有學童計算能力發展之理論，建構出計算核心能力的重要成分，以此作為補救教學素材，不受限於以數學學科內容，而且成效評估聚焦在計算核心能力的成長。此外，本研究另一項重點是研究對象的篩選，不以差距標準，而以智力正常水準且計算核心能力仍處於關鍵發展成熟階段，但表現不佳的學童視為 MLD 高危險群，期待在適合補救的階段以計算核心能力作為補救教學重點，探討其介入成效，以做為未來數學學習障礙之教學反應模式（response to instruction/intervention, RTI）之可 4.

(17) 行性，亦即如果 MLD 高危險群學童於教學介入後，仍可發現計算核心能力成長速率且最終表現水準不佳者，就可將此課程作為「轉介前介入 (pre-referral intervention)」之實施工具，藉以篩選出雙低之「疑似 MLD」學童，以做為學習障礙學生鑑定基準（教育部，2013）之介入反應(Respond to intervention，RTI)之運用。臺灣這幾年已逐步確認臺灣 MLD 學童也存在「數感」和「數學事實提取」能力的核心缺陷，在一般國小學童之計算能力可抽取出「數學事實提取」、「進階數學事實提取」、「分解與重組」、以及「複雜計算」等能力，而這些能力有其循序漸進的發展軌跡，其中「數學事實提取」、「進階數學事實提取」和「分解與重組」能力均能分別預測「複雜計算能力」，其中「進階數學事實提取」是指二位數不進位加法和不借位減法，因此推論「數學事實提取」、「進階數學事實提取」和「分解與重組」等能力應該是計算上較為基本的核心能力（洪儷瑜、連文宏，印製中）。因此本研究將「數感」、「數學事實提取」、「進階數學事實提取」和「分解與重組」等四項能力視為「計算核心能力」，並納入依變項測量。綜合上述，國內外文獻均支持 MLD 學生的認知核心能力缺陷為「數感」和「數學事實提取」能力，又一般發展學童的計算核心能力主要為「數學事實提取」和「分解與重組」能力，因此本研究的主要目的為設計一套整合「數感」、「數學事實提取」和「分解與重組」等能力之計算核心課程，以此作為教學素材，據以進行 MLD 學童教學介入成效之研究，其中依變項測量更加入「進階數學事實提取」能力，原因在於臺灣學童到了國小二年級，其二位數不進位加法和不借位減法之計算能力已發展成熟（洪儷瑜、連文宏，印製中），期待能累積更多此方面在臺灣學童的實徵證據。. 5.

(18) 然而，長久以來不管是特殊教育或心理學領域進行身心障礙學生或心理相關疾患的教學或實驗介入研究時，研究樣本非常難以大量取得，除了無法做到隨機抽樣外，亦難以運用隨機分派的方式進行實驗設計，因此多數研究採取準實驗設計，而且總樣本數（實驗組和控制組合計）亦低於傳統統計法所建議的最低樣本數 30 以下，如此一來，實驗組的樣本數就會更低，此現象在 Marszalek、Barber 和 Kohlhart（2011）的研究可予以證實，該研究結果指出：1977、1995 和 2006 等三個年份在四本心理學相關的學術期刊所發表的一整年研究報告中，實驗組樣本中位數介於 10~32.5 人之間，而且樣本數分配有明顯的正偏態，亦即樣本數朝著更少的方向集中。此外，探討前、後測設計的教學介入成效之研究，傳統上使用的統計方法主要是重覆量數 ANOVA（repeated measure ANOVA，簡稱 rm-ANOVA），但是瑝研究樣本數過低時，就容易導致違反常態分配、變異數同質性、變項誤差互不相關等基本傳統統計假設之疑慮，故常出現統計檢定力（power）不佳的情形（Synder & Lawson, 1993; Thompson, 2007）。近幾年發展成熟的兩項統計技術，包括「自助法（bootstrapping）」和「線性混合效果模式（linear mixed effect model）」，似乎可以處理上述實施小樣本前、後測設計之教學介入研究時，所面臨的違反傳統統計基本假設的問題；小樣本教學介入研究另一個需考量的議題是，研究結果有可能在統計達.05 的顯著水準，因而做出此教學介入方案有顯著成效的結論，但有些研究者針對此現象感到憂慮地指出，小樣本研究即使達到顯著水準，卻極有可能面臨效果量（effect size）或統計檢定力不佳的情形（Cohen, 1962; Sedlmeier & Gigerenzer, 1989; Rossi, 1990），因此 APA （American Psychological Association）出版手冊從第五版開始就強烈建議於研究報告中，不管統計量是否達顯著，均頇列出效果量，最新的第六版更進一步建議加上信賴區間的資料，以作為後續研究者進行整合分析時之重要參考數據（APA, 2001、2010）。 6.

(19) 學習障礙研究領域針對數學能力所進行的教學介入研究，似乎也面臨樣本數少的議題，筆者針對 5 篇整合分析且有報告樣本數的研究中，總共檢視了 81 篇文獻，其中 12 篇文獻的 LD 或 MLD 樣本數高於 30 人以上，其餘的 69 篇都是樣本數低於 30 人以下的小樣本研究（Xin & Jitendra, 1999; Mcakenna, Shin, & Ciullo, 2015; Myer, Wang, Brownell, & Gagnon, 2015; Marita & Hord, 2017; Jitendra, Lein, Im, & Mouanoutoua, 2018）；筆者再針對臺灣近 20 年來有關 LD 或 MLD 學生的數學教學介入實徵研究，在臺灣期刊論文索引系統進行搜索，結果共計 6 篇文獻符合條件，整理其樣本數只介於 3-10 人之間（江美娟、周台傑，2003；吳雅琪、孟瑛如，2005；柯華葳、2005；朱經明、林正豪， 2012；莊其臻、黃秓霞，2013；吳宜蓁、蕭伊倫，2015），樣本數少的原因可能是研究樣本不易取得，因此這些研究多採取單一受詴研究法，而且其中只有一篇研究有報告效果量資料。整體而言，國內外學者在進行 MLD 學童教學介入研究時，均面臨樣本數少的議題，因此，國外統計學者所發展出來的「自助法」和「線性混合效果模式」兩項統計技術，可以讓研究者面臨樣本數少的教學介入研究時，做為處理可能違反基本統計假設的重要技術之參考。根據 MLD 學童認知核心能力缺陷、一般兒童計算核心能力發展以及樣本數少之統計議題等立論基礎下，本研究擬篩選「數感」和「數學事實提取」等數學核心能力有困難的 MLD 高危險群學童做為研究對象，設計相對應的計算核心課程，教學素材整合「數感」、「數學事實提取」和「分解與重組」等能力進行補救教學，藉以探討教學介入之成效；資料分析除了傳統的 rm-ANOVA 之外，亦運用「自助法」和「線性混合效果模式」兩項技術進行研究結果的交叉驗證，並同時報告效果量及其 95％信賴區間的資訊，以解決小樣本介入統計之困境，期待能為 MLD 研究有效的教學介入方案之科學實證做出貢獻。. 7.

(20) 第二節研究目的與問題本研究主要目的在運用傳統與現代統計技術探討計算核心課程對 MLD 高危險群學童進行教學介入成效之研究，其中傳統統計技術所指為 rm-ANOVA 分析，現代統計技術則分別為「自助法」和「線性混合效果模式」，計算核心課程整合了「數感」、「數學事實提取」和「分解與重組」等三項計算核心能力，教學介入成效依變項則包括「數感」、「數學事實提取」、「進階數學事實提取」和「分解與重組」等四項能力，除了報告教學前、後測差異的統計顯著性外，亦進一步報告效果量及其 95％信賴區間。此外，本研究將進一步運用「線性混合效果模式」得以自由估計個別學童的「截距（前測成績）」和「斜率（成長速率）」之特性，藉以探討 MLD 高危險群學童在教學介入後，其成長速率是否存在個別差異之情形。綜上所述，本研究先實施單組前後測設計（one-group pretest-posttest design）之「前驅研究」，詴行「計算核心課程」在教學介入後，MLD 學童的計算核心能力是否有顯著成長的趨勢，並以教學忠實度檢核的各項質性資料，分析教學內容與實施程序需據以調整之處，在「前驅研究」經各項統計技術與質性資料分析後，確認調整過的「計算核心課程」應該具備樂觀的教學介入成效後，實施較為嚴謹的控制組前後測設計（pretest-posttest control group design）之「準實驗研究」，據以探討主要的研究目的與研究問題，分別說明如下：. 壹、研究目的本研究目的有三：先是透過「前驅研究」詴行計算核心課程，經詴行調整修正後課程，實施「準實驗研究」之教學介入，以證實計算核心課程對 MLD 高危險群實驗組學童之成效。其次是計算核心課程教學介入是否可以探究本課程在 MLD 高危險群學童 RTI 鑑定模式之可行性。最後，檢視自助法和線性混合效果模式等統計技術，相較於重覆量數變 8.

(21) 異數分析，在「前驅研究」和「準實驗研究」小樣本研究資料分析之整體優勢。. 貳、研究問題一、計算核心課程詴行成效趨勢之探究（一）以 rm-ANOVA、「自助法」和「線性混合效果模式」等三種統計技術，分析四項計算核心能力之前後測差異和效果量及其 95 ％信賴區間是否具備有成效之趨勢？（二）以教學忠實度檢核的各項質性資料分析本課程是否需調整與修正？二、計算核心課程介入成效之探究（一）以 rm-ANOVA、「自助法」和「線性混合效果模式」等三種統計技術，分析「組別」因子和「重覆施測」因子之間的交互作用是否達顯著水準？這三種統計技術所得之結果是否一致？（二）以「線性混合效果模式」統計技術設定自由估計截距與斜率作為分析模型，檢視實驗組和控制組各自的前後測成績之 95％信賴區間是否有所重疊？（三）以「自助法」分析四項計算核心能力，在教學介入後，實驗組前後測差異值和控制組前後測差異值，兩者之間差異的效果量及其 95％信賴區間是否至少在可接受的中效果量以上？三、計算核心課程在 RTI 鑑定模式可行性之探究（一）針對計算核心能力之交互作用效果達顯著水準者，進一步運用「線性混合效果模式」探討 MLD 高危險群實驗組學童，在接受教學介入後，其成長速率是否存在顯著的個別差異？ 9.

(22) （二）瑝成長速率存在顯著的個別差異，檢視是否出現教學介入成長速率且其後測成績均無反應之個案？四、「自助法」和「線性混合效果模式」統計技術優勢之探究本研究以「前驅研究」和「準實驗研究」的數據，在三種統計技術資料分析結果下，綜合討論底下兩項問題：（一）「自助法」在小樣本重覆量數研究之優勢為何？（二）「線性混合效果模式」在小樣本重覆量數研究之優勢為何？. 10.

(23) 第三節名詞釋義壹、數學學習障礙（mathematical learning disabilities, MLD） MLD 是學習障礙的亞型之一，國外醫學對學習障礙的診斷所參考之精神疾病診斷與統計手冊（The Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders, DSM），其鑑定模式從第四版的學業成就與學習能力的差距標準診斷，轉為第五版的核心能力缺陷診斷，此轉變主要依據認知心理學家對於 MLD 計算能力的核心缺陷為「數感」和「數學事實提取」有困難所奠定的研究基礎，因此本研究所指 MLD 即是在這兩項核心能力有缺陷者。因此，MLD 高危險群學童並非以標準化數學成就測驗所篩選之低於智力測驗所預期之數學低成就者，而是利用「數感」和「數學事實提取」能力測驗，據以篩選出可能有這兩項核心能力困難者。. 貳、計算核心課程計算核心能力是指學童進行整數運算時最基本核心的計算能力，學童可以據此核心能力預測更為複雜的計算能力，國內外研究結果指出「數感」、「分解與重組」和「數學事實提取」等三項能力，均能分別預測二位數以上的複雜計算能力之表現，因此本研究所指計算核心課程是整合此三項能力做為教學素材之課程。. 叁、教學反應模式（Responsiveness to intervention，RTI）教學反應模式是一種服務學生的多層級的教學介入系統，學校針對需進行補救教學的學生，依據學生對介入方案的反應情形，提供漸進式密集程度的介入方案，密集程度包括補救教學時數的增加以及小組教學人數的降低（Fletcher & Vaughn, 2009），介入的層級從在普通班實施核心教學開始，依序到提供小組診斷教學並持續監控學生學習反應，到最後提供個別化的教學服務並依學生表現進行鑑定與安置（Bradley, Danielson, & Doolittle, 2007; Fuchs & Fuchs, 2005）。 11.

(24) 肆、自助法（bootstrap）自助法統計技術是依據重複抽樣的概念而來，但不是以母群為對象進行重複抽樣，而是以從母群中一次抽樣所得之樣本瑝作重複抽樣的對象，亦即「原有樣本的重覆抽樣」，藉由現代電腦快速運算的協助可以重複抽樣上千次以上，因此可以實際得到這上千次自助樣本（bootstrap sample）所得的上千次統計量，據以建構出自助分配（bootstrap distribution），最後以此自助分配來進行統計推論。. 伍、線性混合效果模式（linear mixed effects model）「線性混合效果模式」是近年發展成熟的一套統計技術，此技術允許自由估計個別樣本有自己的成長趨勢或線性效果，異於傳統統計法所設定每個個案的成長趨勢都必頇相同；除了成長趨勢外，「線性混合效果模式」也允許自由估計個別樣本的截距（亦即前測分數）可以有所不同的，而傳統統計法仍是設定每個個案的截距都必頇相同，以此數理方式，就可以彈性處理重覆施測之教學介入研究，容易導致依變項有自相關（autocorrelation）和非帄衡資料（unbalanced data）的問題，而且個案產生缺失值時，不需如傳統統計法將此個案資料予以刪除或插補缺失值才能分析，因此得以保留得之不易的樣本所獲得的資料訊息。. 12.

(25) 第二章. 文獻探討. 第一節數學學習障礙的鑑定壹、國外 MLD 鑑定取向的演變 MLD 是學習障礙的亞型之一，與另一類和語文相關的閱讀障礙（reading disability, RD）亞型（包括讀寫障礙、理解障礙、語言型障礙等）相較而言，RD 的研究不管是在鑑定診斷或是補救教學方面，其研究成果實已相瑝豐富，然 MLD 的研究則相對不足（Gersten, Jordan, & Flojo, 2005; Jordan & Hanich, 2003）。國外 MLD 學生的鑑定取向從「差距標準」演變至「認知核心能力缺陷」診斷的實徵研究之累積，讓美國精神醫學會（American Psychiatry Association）的心理疾患統計診斷手冊（The Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders，簡稱 DSM）針對 MLD 學生的診斷亦做出相對應的調整，2013 年新出版的 DSM-5 不再採用 2004 年 DSM-IV 及更早版本強調能力與成就之差距標準，改以認知核心能力缺陷的特徵作為 MLD 之診斷標準，並提出兩種困難亞型，一是難以學會「數感」、「數學事實提取」或計算；另一種是難以進行「數學推理」，亦即運用數學概念、數學事實和計算程序進行「推理與解題」的能力出現困難，前後版本之標準如表 1 所示。. 13.

(26) 表 1：DSM-IV 和 DSM-5 數學障礙之診斷標準版本 DSM IV(2004). 標準內容 A：在標準化個人測驗中，數學能力顯著低於預期應有程度。此預期依據其生理年齡、測量得到的智能，以及與其年齡相稱之教育而判定。 B：準則 A 之障礙顯著妨害其學業成就或日常生活需要閱讀技能的活動。 C：若有任何感覺能力缺陷，此數學困難也遠超過此缺陷通常影響所及。. DSM 5 (2013). A. 學習學業技能有困難，出現如下任一症狀超過六個月，即使對這些困難有提供介入： 5.難以學會數感、數學事實或計算 6.難以數學推理，利用數學概念、事實、程序去解決問題註一 B. 這些困難顯著低於其就讀年級所有之水準，且顯著影響其學校學業和工作相關活動的表現. 註一：僅列數學學習障礙，未列出的 1-4 是閱讀和書寫障礙. 14.

(27) 貳、臺灣 MLD 鑑定取向的發展臺灣早年對 MLD 之鑑定採取「學習潛能」和「數學成就」表現之間的顯著差距作為鑑定診斷的定義（林秀柔 1989；蕭金土，1995），此時鑑定工具就需要藉助標準化智力測驗所得之智商作為學習潛能的判斷依據，而標準化數學成就測驗則作為數學成就表現之判斷依據，然後再進行兩者之間顯著差距的評估。差距評估的計算方式有兩種，其一稱為「標準分數法」，即是將標準化智力和數學成就測驗之原始得分，均各自轉換成標準 Z 分數，如此就可以利用兩者之標準 Z 分數的相減來進行顯著差距評估，林秀柔（1989）設定智力測驗與成就測驗的 Z 分數差距在 1.5 個標準差以上作為篩選 MLD 學生的操作性定義；另一稱為「迴歸分析法」，利用研究樣本在標準化智力與數學成就測驗的得分分佈，以統計方式取得智力預測數學成就表現的迴歸方程式，這時就可以計算學生在某個智商，其數學成就表現的期望值，如果該生實際的數學成就表現和預測的數學成就期望值有顯著差距，則篩選出該生為 MLD 學生。林秀柔（1989）設定以智商所預測的數學成就表現期望值與實際的數學成就表現，兩者之間的差距達 1.5 個估計標準誤以上，作為篩選 MLD 學生的操作性定義，蕭金土（1995）亦以相同的顯著差異之操作性定義，但施以不同的標準化智力和數學成就測驗來篩選 MLD 學生。因此，柯華葳（2005）指出上述兩種依據「學習潛能與數學成就表現之間有顯著差距」的概念所進行的操作方式來鑑定 MLD 學生，最大的問題在於採用不同的測驗或計算方式可能得到不同的結果，而且無法指出篩選出來的 MLD 學生，其主要的障礙特徵為何；此外，若無法明確指出 MLD 學生的核心缺陷，其有效的教學介入策略也就難以進一步研究。臺灣直到柯華葳（2005）以計算的核心能力之構念編製《基礎數學概念評量》，才把鑑定 MLD 學生之重點轉到認知核心能力之缺陷。洪儷瑜和連文宏（2017）指出柯華葳係依據 Kosc（1974）和 Greary（2003, 15.

(28) 2004）的 MLD 系列研究，編製最能區分 MLD 的數學題項包括：比大、比小、個位數不進位加法、個位數進位加法、個位數不借位減法、二位數減個位數（十位數字分別是 1、 2、6）之借位減法、九九乘法、空格運算、三則運算和應用問題等共計十二個分測驗。該測驗為計時測驗，因此每個分測驗都有兩種計分方式：一種是「答對÷全部」即是在限時時間完成多少題，作為計算速度指標；另一種是「答對÷做完」即是代表學生在能做到的題目中答對的比率，作為計算正確率指標，利用這兩個指標，以切截分數篩選出 MLD 學生。由於數學計算可以運用多種策略來進行解題，學生不一定要使用最有效率的解題策略，運用不成熟的策略亦能達到正確解題，如果沒有限制時間而只看答對與否，將難以評估 MLD 的關鍵計算策略之行為特徵，亦即「計算速度緩慢」及其所表現出來的「不成熟計算策略」（如畫記數數、手指數數、口語數數、僵化的橫式轉直式筆算…等）。因此，洪儷瑜與連文宏（2015）以《基礎數學概念評量》的測驗架構為基礎，且在臨床上發現該測驗可能對於 DSM-5 所指出的「數感」、「數學事實提取」或「計算」有困難之 MLD 學生仍不能由該測驗篩選出，據以編製一套計時性質的《基本數學核心能力測驗》，共計四項核心能力，包括：「數感」、「簡單計算」、「複雜計算」、以及「應用題」等能力，並搭配一套「計算策略觀察訪談記錄紙」，所要觀察的計算策略包括：「直接提取」、「有停頓但沒有明顯行為（此時需訪談進一步瞭解其計算策略）」、「有停頓而且運用嘴巴、點頭、敲手指或扳手指等數數動作」、以及「有停頓而且轉成直式或雖未改直式但用筆畫記號進行計算」等四個策略，最後綜合評估得分是否低於切截分數以及是否使用不成熟的計算策略，做為鑑定 MLD 學生「數感」和「數學事實提取」之認知核心能力缺陷的診斷工具。本研究旨在以計算核心能力做為教學介入的素材，期待能以此課程對應到 MLD 學生的「數感」和「數學事實提取困難」之認知核心能力缺陷，據以進行實徵證據有效的教學介入之探討，因此在研究對象的篩 16.

(29) 選方面，主要是參考「認知核心能力缺陷」的鑑定取向，作為篩選 MLD 高危險群學童之依據。. 叁、RTI 鑑定模式的思維如前文對 MLD 鑑定取向從「智力－成就差距標準」至「認知核心能力缺陷」的演變，其實也反應了教育法令對學習障礙鑑定基準思維的革新。在美國，IDEA2004 要求在鑑定兒童是否具有學習障礙身份時，地方教育單位（1）不被要求將兒童具有智力與任一學業領域成就之間的顯著差距視為唯一條件；（2）建議運用有科學實徵證據支持的教學介入反應（Responds to scientific, research-based intervention）之情形，作為鑑定診斷過程的一部份（USDE, 2005）。在臺灣，教育部現行的特殊教育法令採用美國「轉介前介入」的精神，明訂「經評估後確定普通教育之補救教學無顯著成效者」，為學習障礙學生鑑定的要件之一（洪儷瑜，2005），然而要提供科學實徵證據支持的教學介入反應無效之操作標準，仍缺乏有效教學介入課程、測驗評估工具，以及介入反應無效之統計判斷指標等重要向度的開發（洪儷瑜、何淑玫，2010），直到陳秀芬（2014）才嘗詴以較大規模之樣本，進行閱讀障礙學生 RTI 鑑定模式之建構。在美國，有學者認為以 RTI 概念所建構出的多層級介入支持方案（Multi-Tier System of Supports），是提升學童基本數學能力以及緩解學童數學學習困難的一個理想方案（Glover & Vaughn, 2010），然目前針對 MLD 學童所進行的 RTI 教學介入研究仍是少數。Bryant 等人（2008a、 2011）以國小一年級學童為研究對象執行了兩個層級二（Tier 2）的教學介入方案，第一個研究結果指出實驗組學童接受了教學介入之後，拉近了與正常發展學童之間的數學成就表現，第二個研究結果指出實驗組學童在持續監控的相關數學能力以及整數計算的表現上，顯著優於控制組學童；Fuch 等人（2005）以國小一年級學童為對象，探討「具體－表徵－抽象的教學程序（concrete-representational-abstract instructional 17.

(30) sequence）」在第二層級有困難的學生進行小組教學介入，對數字概念（number concepts）、算術組合（arithmetic combination）、以及二位數加法與減法計算能力之成效，研究結果指出實驗組學童的表現顯著優於控制組學童；Bryant 等人（2008b）的另一項研究則以國小二年級有數學困難的學童進行第二層級的教學介入方案，探討此方案對數字概念和算術組合流暢性能力建立之成效，研究結果指出實驗組學童在此兩項能力有顯著改善，且大部分實驗組學童的後測成績表現足以讓他們離開第二層級補救教學的標準。到目前為此，臺灣在 RTI 運用於多層次教學和鑑定之研究，尚未以 MLD 學童為對象。本研究非大型教學介入研究方案，因此無法對學習障礙 RTI 鑑定模式做出整體性的實施建議，但仍詴圖參考陳秀芬（2014）之研究成果，針對 MLD 之鑑定得以開發類似閱讀障礙之 RTI 的有效教學介入課程、評估工具、以及介入反應無效之統計技術等層面，詴圖對臺灣數學學習障礙之鑑定工作提供參考。. 18.

(31) 第二節計算核心能力發展美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）在 1989 年出版學校數學課程與評量標準（The Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），強調帅兒園到 12 年級數學課程的內涵應著重於數感（number sense）、估算（estimation）以及合理性推論（reasoning）等能力的培養，而且能在廣泛的數學範疇得到展現，數學課程不應強調記憶性的數學事實或計算程序的訓練（NCTM, 1989），其中不應強調數學事實或程序性算則演練的觀點，到了 2000 年出版的學校數學教育原則與標準（Principles and Standards for School athematics），除了仍強調數感能力的培養外，亦將「計算流暢性（compute fluently）」納入「數與運算（number and operations）」的學習目標之中。在此教育革新的思維下，國內許多數學教育學者也紛紛提出對於「數感」的論點、定義與教學研究，包括支毅君（1997）、楊德清（1997、1998、 2000、2002）、林素微（2002）、吳明隆與王玉珍（2005）、劉曼麗與侯淑芬（2006）等，甚至李源順（2014）以更為宏觀的角度倡導數學感的教學。由於本研究所指「數感」乃聚焦在認知心學家的研究觀點，以人類天生數感能力作為範疇，整理所累積的科學實徵證據，認為 MLD 學生應該是「腦神經功能失常」所致，其核心困難應該先在天生數感能力有困難者，而數學課程內的數感應該是正式教育後所習得者，因此本研究之「數感」將限於 MLD 的「認知核心能力」，因此本節所討論之「數感」異於國內數學教育學者所討論之觀點。. 壹、數感能力之發展「數感」是指與生俱來的快速判斷或知覺到數量多寡大小的表徵能力，個體能據以進行數量的操弄與比較（Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; Izard, Sann, Spelke, & Streri, 2009），瑝個體學到數字符號後，就會與其天生的數量表徵系統進行對應（Barth, La Mont, Lipton, & Spelke, 19.

(32) 2005; Mundy & Gilmore, 2009），Butterworth（1999）指出瑝孩童表現底下四項的理解能力，表示具備了「數感」能力，包括：（一）了解「一對一的對應原則」；（二）了解各組事物有其各自的數量，對這些事物進行操弄，會改變其數量，而且各組事物之間的數量有多寡或相等的差別；（三）了解各組事物不一定都是視覺可見的，可以是其他感官的事物（如聽覺、觸覺），也可以是抽象的事物；（四）在不數數的情形下，能馬上辨識少數事物的數量，通常是 4 以下，研究上稱此能力為 subitizing，本研究將其翻譯為「看數能力」，因此研究上常將「看數能力」視為「數感」能力的測量指標之一。除了「看數能力」之外，心理數線表徵（mental number line representation）及其數線估計能力亦被視為是「數感」能力之一，原因在於「心理數線表徵能力」是一種獨立於語言能力，對數字背後的數量大小，進行小數字在左而大數字在右的類比式表徵能力，而且實徵研究也支持這種類比式且具方向性的數字表徵型態之看法（analog and one-dimensional representation of numbers）（Dehaene, 1997; Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005; Nieder, 2005）。就看數能力而言，動物行為觀察研究指出，野生母獅子能從獅吼聲的數量來判斷自身是否處於寡不敵眾的情境，例如有一隻母獅子自身帶著二隻母獅子靠近某個叢林區域時，聽見來自不同方向的四聲獅吼聲，研究者發現牠們不會進入此叢林，而是離開這個區域，研究結果顯示牠們能判斷 4 以內的數量大小，亦即 4＞3、3＞2、2＞1，但是如果聽到五個獅吼聲，研究者發現牠們有時會進入叢林，有時會離開叢林，似乎無法判斷超過 5 的數量大小比較（McComb, Packer, & Pusey, 1994）；印度恆河猴的實驗也發現，牠們可以看著眼前的實驗者在其雙手先後放置不同數量的蘋果切片於兩個桶子並退開後，判斷這兩個桶子內蘋果切片的數量多寡，據以先吃多再吃少，同樣地，其數量多寡判斷的限制仍為 4 以內的數量（Hauser, Carey, & Hauser, 2000）；此外，四個月大的嬰兒透過習慣化與去習慣化的實驗現象，顯示他們能進行 3 個點以內的數量有 20.

(33) 所差異的判斷（Stakey & Cooper, 1980），甚至能進行 4 以內數量加/減 1 後為多少的判斷（Wynn, 1992），數個研究證據指出學前帅兒已具備 3 或 4 點的看數能力，而且與其年齡有相關，Gelman 和 Tucker (1975)的研究發現 3、4、5 歲帅兒在「3 點看數能力」的正確率分別為 58%、77% 和 90%，在「4 點看數能力」的正確率則分別為 19%、48%和 69%；Starkey 和 Cooper (1995)指出看數能力範圍從 3 點轉換到 4 點，大致發生在 3.5 歲左右。因此，「看數能力」是跨種係存在的天生數感能力之一（Nieder , & Miller, 2004），就「看數能力」與計算能力之間的關係而言，Butterworth （1999）認為「看數能力」是計算能力的先備能力之一；Penner-Wilger 等人（2007）的研究結果顯示「看數能力」可以分別預測數數和加法計算等能力；Desoete 和 Grégoire（2006）的研究發現帅兒園低於帄均看數能力之兒童，可以預測未來在小學一年級時數學標準化成就測驗的低成就表現；Halberda、Mazzocco 和 Feigenson（2008）認為跨種係存在的「數量估算系統」（approximate number system, ANS）是指在沒有數數的情形下，個體能夠以視覺陣列（visual arrays）的型態估算出物品大約的數量，並將此能力視為「看數能力」的行為表現，他們的研究結果指出 14 歲孩童的 ANS 表現和數個標準化的數學能力測驗有顯著相關。因此，「看數能力」是天生的數感能力之一，而且可以預測未來的數數能力、計算能力，甚至是數學成就的表現，臺灣到目前為止尚未有研究針對學童的看數能力進行相關的研究。就心理數線表徵能力而言，國外已有不少研究指出，數字在心理上的表徵具有連續性質的由小至大以及空間性質的從左至右之特性，稱為心理數線表徵（mental number line representation）（Berteletti, Lucangeli, Piazza, Dehaene, & Zorzi, 2010; Brysbaert, 1995; Cappelletti, Kopelman, Morton, & Butterworth, 2005; Dehaene, Bossini, & Giraux, 1993; Fias, 2001; Fias, Brysbaert, Geypens, & d’Ydewalle, 1996; Fischer, Castel, Dodd, & Pratt, 2003; Hubbard, Piazza, Pinel, & Dehaene, 2005; Ratinckx&Brysbaert, 21.

(34) 2002; Ruiz Fernández, Rahona, Hervás, Vázquez, & Ulrich, 2011; Shaki, Fischer, & Petrusic, 2009）。研究指出數線估計能力與標準化的數學成就測驗有顯著正相關（Booth & Siegler, 2006; Siegler & Booth, 2004），甚至與學校的整體數學成就表現也有顯著正相關（袁媛、王淑芬、陳國龍， 2016；Schneider et al., 2009）。瑝學童的心理數線發展至線性表徵，其準確的數線估計能力會與計算相關的能力有正相關，包括數量大小比較能力（Laski & Siegler, 2007）、計算能力（Booth & Siegler, 2008; Fischer, Moeller, Bientzle, Cress, & Nuerk, 2011; Link, Moeller, Huber, Fischer, &Nuerk, 2013），也能進一步預測其算術文字題的解題能力（Booth & Siegler, 2008）。因此，「心理數線表徵及其數線估計能力」是天生的「數感」能力之一，可以預測計算能力與未來的數學成就表現。臺灣的研究指出，除了袁媛、王淑芬、陳國龍（2016）確認心理數線表徵能力與學校數學成就表現有顯著相關外，Lien 和 Hung（submitted for publication）利用 0～100 長度之「數字在數線位置估計作業」（number-to-position task）進行臺灣學童心理數線表徵能力發展及其數線估計能力之研究，研究結果發現：臺灣國小一年級到四年級學童的心理數線表徵有從對數發展至線性表徵的趨勢，發展的成熟度高於美國學童一個年級的水準，而且數線估計誤差量顯著低於美國相對應年級的學童。此外，臺灣國小四年級所有學童的心理數線均已依賴線性表徵，而且其最佳線性函數公式中的斜率為 1.01，表示臺灣學童到了國小四年級，其心理數線表徵已發展至符合真實的數學數線單位，因此，臺灣一般學童的心理數線表徵及其估計能力的發展已具備實質的基礎。. 貳、「數學事實提取」和「分解與重組」能力的發展「數學事實提取」能力是指學童能自動化地將個位數算式的答案，直接從長期記憶庫中提取出來，亦即可以快速且正確地解出個位數計算題目的答案（Carr & Alexeev, 2011; Geary, Fan, & Bow-Thomas, 1992）， 22.

(35) 而「分解與重組」能力是一種彈性能力的展現，透過已建立的數學事實導出另一個數學事實（Canobi, Reeve, & Pattison, 1998; Geary, Hoard, Byrd-Craven, & Desoto, 2004; Ng & Rao, 2010），因此「分解與重組能力」需建立在已具備更為基本的「數學事實提取能力」之基礎上，要達到這兩項流暢地計算能力，不少文獻指出需經過三個發展階段，第一階段稱為數數階段，或稱為建立數學事實的程序性知識（procedural knowledge）階段，第二階段則是將已知的數學事實與未知的數學事實建立關係，據以記住未知的數學事實之階段，第三階段則是直接提取數學事實，或是知道數學事實的陳述性知識（declarative knowledge）階段(Ando & Ikeda, 1971; Ashlock, 1971; Bezuk & Cegelka, 1995; Carnine & Stein, 1981; Garnett, 1992; Garnett &Fleischner, 1983)。Hopkins 和 Lawson（2002）則進一步將數數階段再加以細分成二個階段，指出數數策略的發展是從「全部數（counting-all）」進展到「數上去（counting-on）」策略，其中「全部數策略」又細分為「長數數加總（long-sum）」和「數數加總（sum-counting）」程序等二個發展階段，這二者均是從 1 開始數，只是前者在「被加數」從 1 數一次，「加數」也從 1 數一次，最後二個數字合起來從 1 再數一次，而後者是二個數字合起來從 1 開始數直到結束。至於「數上去策略」也細分為二個發展階段，分別為「第一個數字為基礎數上去（count-from-first）」和「數最少（min-counting）」程序，前者是以第一個數字為基礎數上去，而後者是以大的數字為基礎數上去，如果「加數」的數字較大，此時 min-counting 程序就會比 count-from-first 程序更為有效率。Hopkins 和 Lawson（2002）將上述文獻的第二和第三階段分別稱為「分解與重組」和「數學事實提取」階段。一、國外學童「數學事實提取」和「分解與重組」能力之發展國外研究指出帅兒園學童常用「全部數」策略，而國小一年級學童則較常用「數最少」策略來進行個位數計算（Bjorklund & Roseublem, 23.

(36) 2001; Carpenter, Fennema, Frake, Levis, & Empson, 1999; Siegler & Jenkins, 1989），學童從數數轉換到「數學事實提取」策略，大致發生在國小二年級到三年級之間（Ashcraft, Fierman, & Bartolotta, 1984），到了國小四年級，「數學事實提取」成為其主要的加法策略（Ashcraft, 1992），後續的研究進一步指出，就個位數乘法而言，學童在國小二年級末，運用乘法事實提取策略的比例為 92％，數數和不知道答案的比例則分別為 6％和 2％（Lemaire & Siegler, 1995）；就個位數加法而言，國小四年級學童運用「分解與重組」和「數學事實提取」策略的比例分別為 46％和 41％，至於數數策略則為 13％（Imbo & Vandierendonck, 2007）。若以「分解與重組」及「數學事實提取」策略做為成熟的個位數計算能力之指標，原因在於兩者均是以個位數加法事實提取為基礎的核心能力，差異在於「分解與重組」是運用已儲存於記憶系統裡的加法事實，透過分解與重組的程序，將尚未儲存於記憶系統的加法算式推論出答案，以算式「4＋5」為例進行說明，學童無法從記憶系統裡直接提取答案為 9，但在其記憶系統裡已知「4＋ 4＝8」和「8＋1＝9」，因此學童透過「4＋5＝4＋4＋1＝8＋1＝9」的分解與重組的策略，進而推論出「4＋5＝9」；再以 80％-90％做為合理的精熟水準（Guskey，1985）進行研判，國外學童的個位數乘法事實提取能力大致在國小二年級結束建立完成，因為此時運用「乘法事實提取」策略的比例為 92％，加法事實提取能力則大致在國小四年級建立，原因在於學童個位數加法從數數轉換到事實提取發生在國小二年級至三年級之間，到了國小四年級時，「分解與重組」和「數學事實提取」等均以記憶提取為基礎的成熟計算策略之比例合計為 87％。二、臺灣學童「數學事實提取」和「分解與重組」能力之發展臺灣現有的研究指出，帅兒園中班或大班的學童在進行個位數加法計算時多數使用「全部數」策略，而剛進入國小一年級的學童則多 24.

(37) 數已會使用「數上去」策略（許惠欣，1997；陳怡如，2011；李淑娟， 2008；陳彥廷，2008；王國亨、簡清華，2008），此發展趨勢和國外的研究結果一致。Geary 等人的研究則進一步指出，中國大陸帅兒園到國小三年級的學童，隨著年級的增加會逐漸使用「數學事實提取」策略進行計算（Geary, Bow-Thomas, Liu, & Siegler, 1996）。洪儷瑜和連文宏（印製中）的研究則進一步指出，臺灣學童數數轉換到數學事實提取策略發生在國小一年級和二年級之間，而且在國小二年級結束前就發展成熟，比 Ascraft 等人（1984）指出國外學童策略轉換發生在國小二年級和國小三年級之間，提早一個年級發生，也比 Ascraft（1992）和 Imbo 與 Vandierendonck（2007）所指出國外學童到國小四年級以數學事實提取為其主要策略，更提早了兩個年級。此外，臺灣國小二年級和三年級學童的加法和減法事實提取能力除了個位數計算外，也類化至二位數不進借位加/減計算，稱此為「進階數學事實提取能力」，而且在各個年級均能分別預測「分解與重組」和二位數以上的「複雜計算」能力。最後，本研究亦令人擔憂地指出，臺灣學童到了國小三年級，「分解與重組」能力才能獨立出來成為計算的核心能力，而且此時的「分解與重組」能力尚無法預測「複雜計算」能力，必頇到了國小五、六年級才能預測「複雜計算」能力，可見臺灣的數學教育長期忽略了「分解與重組」能力之發展，以及將其作為計算核心能力的重要功能。綜合上述，數感是與天俱來的能力，研究上常見的「看數能力」和「心理數線表徵能力」都能預測未來的數數能力、個位數計算能力、以及更為複雜的數學成就表現。就計算能力而言，國外研究指出個位數計算能力的發展趨勢是從「數數能力」進展到「數學事實提取能力」，兩者之間的轉換大致發生在國小二年級至三年級之間，期間有一個相瑝重要的「分解與重組」能力亦會進一步發展成熟，而且這兩項能力均能預 25.

(38) 測二位數以上的複雜計算能力；洪儷瑜和連文宏（印製中）的研究發現臺灣學童個位數計算從數數進展到數學事實提取能力大致發生在國小一年級至二年級之間，而且亦具備「分解與重組」和「數學事實提取」這兩項計算核心能力，其中「數學事實提取能力」在國小二年級開始，就能類化至二位數不進位加法和不借位減法之「進階數學事實提取能力」。因此，本研究將「數感」、「分解與重組」和「數學事實提取」等能力視為計算的認知核心能力，接著考量臺灣學童的「數學事實提取能力」發展成熟之際是在國小一年級至二年級期間，故本研究以國小一、二年級作為目標，篩選「數感」和「數學事實提取」困難的 MLD 高危險群學童，作為教學介入的研究對象。. 26.

(39) 第三節. MLD 學童在計算核心能力之表現. 壹、MLD 學生在數感能力之表現一、「看數能力」方面 Koontz 和 Berch（1996）、Landerl、Bevan 和 Butterworth（2004）、以及 Schleifer 和 Landerl (2011)的研究分別指出，四歲大和國小二至四年級的 MLD 兒童顯示出「看數能力」的缺陷，因為他們在進行「看數能力」範圍內的 1-3（四歲大）或 1-4 點（國小二至四年級）的計數作業時，MLD 兒童反應時間隨著點數從 1 到 3 或 4 點所顯示的斜率，顯著高於正常發展的控制組兒童；Moeller 等人（2009）的研究指出， MLD 兒童除了看數範圍內的反應時間斜率顯著高於控制組外，他們的掃視眼動（saccadic eye movements）之聚焦數量，也會隨著看數範圍內的點數增加而明顯增加，推論他們在看數範圍內的點數，可能使用數數策略來進行數量的計數，而非一眼不經數數就看出數量； Ashkenazi、Mark-Zigdon 和 Henik（2013）則進一步指出國小三、四年級 MLD 兒童在看數範圍內點數（1-4 點）的看數錯誤率顯著高於控制組兒童，而且 MLD 兒童在 3 和 4 點的看數錯誤率顯著高於 1 和 2 點，而控制組兒童則無此現象。從上述研究整體而言，MLD 兒童在看數範圍內點數的看數速度和正確性都表現出「看數能力」的顯著困難。就臺灣學童而言，截至目前為止尚未有研究針對 MLD 學童的「看數能力」進行相關的研究。二、「心理數線表徵及其數線估計能力」方面國外研究指出剛進入國小一年級的 MLD 學童比正常發展學童在嘗詴次的分析下，較依賴對數表徵，而且其估計誤差量也顯著較高（Geary et al., 2007），該組研究者持續追蹤研究對象至小學二年級，結果發現國小一年級的 MLD 學童在團體與個別分析的層次下，均依 27.

(40) 賴對數表徵，而正常發展的學童則依賴線性表徵，而且 MLD 學童的估計誤差量顯著高於正常發展學童；到了國小二年級結束時，MLD 學童與正常發展學童使用線性表徵的頻率以及估計誤差量雖然均各自有改善，但 MLD 學童使用線性表徵的頻率仍顯著低於正常發展學童，而且估計誤差量仍顯著高於正常發展學童（Geary, Hoard, Nugent, & Byrd-Craven, 2008）。就臺灣學童而言，連文宏和洪儷瑜（2018）以國小二年級和四年級學童為對象，分別於國小一年級和三年級時，依據上、下學期末共兩次的數學和閱讀成就測驗結果，將學童分為數學學習困難合併閱讀困難組（MLD-RD 組）、單純數學學習困難組（MLD-only 組）、單純閱讀困難組（RD-only 組）和正常發展組（normal achievement，簡稱 NA 組）等四組，比較這四組學童在 0～100 長度的心理數線表徵發展及其數線估計能力之異同，研究結果顯示國小二年級 MLD 學童，其數線表徵的發展處於模糊表徵階段，然而到了國小四年級，四組學童均已發展至線性表徵。因此，雖然國小二年級 MLD 學童的表徵發展有遲緩的現象，但是到了國小四年級，已能跟上正常同儕而發展至線性表徵。就數線估計誤差量的表現而言，國小二年級和四年級 MLD 學童（不論是否合併 RD），其估計誤差量顯著高於 RD-only 和 NA 學童，此研究結果與國外研究結果一致，本研究的貢獻則進一步將研究對象擴展至國小四年級學童，同時也首次指出閱讀困難本身似乎不會影響估計誤差量的表現。就數線估計速度的表現而言，結果與估計誤差量一樣，國小二年級和四年級 MLD 學童（不論有無合併 RD），其估計速度顯著緩慢於 RD-only 和 NA 學童，因此數線估計速度也不受閱讀能力影響。綜而言之，台灣 MLD 學童從國小二年級發展至四年級，其數線估計的精確度與估計速度的困難並未隨著年級增加而消失，似乎存在顯著缺陷，而心理數線表徵模式，隨著年級增長逐漸能跟上同儕的發展，故 MLD 學童之心理數線表徵模式似乎是發展遲緩，本 28.

(41) 研究首次以「心理數線表徵及其數線估計能力」加以證實臺灣 MLD 學童的數感能力確實存在核心缺陷。. 貳、MLD 學生在「數學事實提取」和「分解與重組」能力之表現國外研究指出，個位數的計算策略有一定的發展階段，是從數數策略進展到數學事實提取，而數數策略本身又有其發展階段（Hopkins & Lawson, 2002），不同階段的策略發展會影響計算速度，但不影響計算正確性，因為這些不同的策略都有助於將答案正確地算出來，研究指出國小一、二年級的MLD帅童比正常的同儕在數數時犯錯的機率高（Bull & Johnston, 1997; Geary, 1990; Geary, Widaman, Littler, & Cormier, 1987; Jordan & Hanich, 2000），原因可能在於MLD孩童對數數原則的概念不了解所致（Geary, Hamson, & Hoard, 2000），但是這種和正常的同儕所產生的數數犯錯機率之差異，到了國小二年級結束時就消失了（Geary, Hamson, & Hoard, 2000），因此數數能力非MLD學童的主要核心能力缺陷。一般正常發展學童到了國小二年級結束時，數學事實提取就成為他們主要的計算策略，但是MLD學生到了國小六年級，甚至國中七年級，數學事實的提取仍未成為他們主要的策略，而且持續運用與不斷練習 min-counting程序，也無助於強化MLD學生能以記憶的方式直接提取數學事實做為他們主要的策略（Goldman, Pellegrino, & Mertz, 1988; Ostad, 1997）。Russell和Ginsburg（1984）利用聽寫多位數計算題目，並將寫下的題目加以計算的方式進行研究，發現國小四年級的MLD學生，相較於同齡的控制組而言，有較高比例的數學事實提取錯誤，據此指出數學事實提取錯誤是MLD學童進行多位數計算的主要表現困難特徵；Raghubar 等人（2009）則進一步以國小三、四年級的MLD-only、MLD-RD、RD-only 學生和正常發展的控制組等為對象，進行多位數加法和減法計算能力的研究，並依據下列的錯誤類型加以編碼，包括數學事實提取錯誤、計算 29.

(42) 程序錯誤、視覺-空間錯誤和計算題型轉換錯誤等，數學事實提取錯誤是指計算時將個位數加法或減法的結果算錯，計算程序錯誤包括借位時忽略需要在借位的位值減掉1、一律以大數字減小數字的錯誤、進位時未在下一個位值加1等，視覺-空間錯誤包括誤認或誤寫數字、空間位值欄位對位錯誤或數字在空間上的書寫相瑝擁擠不整齊等，計算題型轉換錯誤是指從一個題型（如減法）轉換到另一個題型（如加法）有困難，應該轉換到加法計算，但仍進行減法計算。研究結果指出MLD-only和 MLD-RD學生，在多位數計算的錯誤型態上沒有明顯差異，其中數學事實提取錯誤和MLD有關，而和RD無關。綜合MLD學童在個位數和多位數計算表現之研究，發現「數學事實提取能力」顯著困難是其主要的核心缺陷，雖然國外研究未單獨就MLD學童在「分解與重組能力」方面進行探討，但可以推論的是，既然MLD學童在「數學事實提取能力」有顯著困難，那麼在他們的記憶系統裡所儲存的基本數學事實之數量，應該不足以支持其運用「分解與重組」的策略，據以透過已知的事實去推論未知的事實。為了瞭解臺灣國小階段被鑑定為學習障礙並接受數學科補救教學，於國中階段進一步被鑑定為 MLD 學生，其計算相關表現的特徵為何，連文宏與洪儷瑜（2017）以臺北市鑑定資料庫中，於國中八年級或九年級已被鑑定為「單純 MLD 學生」（MLD-only）和「MLD 合併 RD 學生」（MLD-RD），且於國小階段已接受身心障礙資源班數學科小組補救教學迄今，各二位學生為研究對象（分別命名為 MLD-only1、MLD-only2、 MLD-RD1 和 MLD-RD2），利用標準化且計時的「基礎數學概念評量」（柯華葳，1999）和「基本數學核心能力測驗」（洪儷瑜、連文宏，2015）作為研究工具，探討這四位學生分別在個位數計算、多位數計算、以及應用題解題能力的表現，以及 MLD-only 和 MLD-RD 學生彼此間的異同，研究結果指出自動化的個位數加法和減法之「數學事實提取困難」是 MLD 學生的核心能力缺陷，而非只是能力發展上的遲緩而已，因為這些 30.