國民小學數學領域「量與實測」題庫的建置研究

國立臺中師範學院數學教育研究所碩士論文

指導教授：楊志強 博士

國民小學數學領域「量與實測」

題庫的建置研究

研究生：王文良 撰

中華民國九十四年六月

謝 辭

感謝指導教授楊志強老師的悉心指導，讓人生的過程中，又增添全新的歷

鍊。感謝口試委員許天維老師、曹雅玲老師的指導與建議，並且指正許多研究

的盲點，使論文內容更加完整。

感謝學校老師的教導與關心，使得學習基礎更加紮實。感謝學校工作人員，

提供一個安全、舒適、美麗的學習校園。

感謝研究所的同窗的支援討論與建議，使得學習障礙減少許多，使得學習瓶

頸化解許多。感謝許多優秀國小老師、在試題編製及施測上給予方便與協助。

感謝家人們在論文撰寫期間給予全力支持與精神上的鼓勵，能渡過此段時間

的種種困難。最後，將完成碩士學位的喜悅獻給我最親愛的家人及所有關心我

的人。

王文良 謹致

九十四年七月

中文摘要

摘 要

本研究以國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫建置為例，建立一套試

題的編製與測驗的分析模式，讓題庫的建制有完善的規則及試題分析檢驗機

制，本研究利用試題檢核表、信效度檢驗、難易度指數、鑑別度指數及選項誘

答力分析，並使用核平滑化無參數試題特徵曲線估算法畫出選項特徵曲線，利

用圖形化的方式來紀錄或比較質料及數據做分析。本研究建立之試題的編製與

測驗的分析模式，能有效篩選試題，可供教學實務者及教育相關研究人員在進

行發展題庫時之參考。

關鍵字: 題庫建置、測驗編製

英文摘要

Abstract

The purpose of this research is to develop a Mathematics test item pool for the

Elementary Schools’ Nine Year One Curriculum. There needs to set up a systematic

mechanism for analyzing how test items are formed and analyzing tests model in

order to have perfect guidelines for forming test items and for analyzing test items.

This research uses test item checkup lists, validity examinations, difficulty indexes

and discrimination indexes to conduct statistical information for tests and analyze the

item distractor power. It also uses Kernel Smoothing Approaches to Nonparametric

Item Characteristic Curve Estimation to estimate the option characteristic curves

(OCC). The researcher found the systematic mechanism in the research is effective

for developing the test item pool. It might provide a substantive guideline to

teachers and related researchers in developing a test item pool.

目 錄

第一章緒論

第一節 研究動機……… 1

第二節 研究目的……… 4

第三節 研究問題……… 4

第四節 名詞解釋……… 4

第二章文獻探討

第一節 九年一貫課程內涵……… 7

第二節 九年一貫數學領域課程內涵……… 14

第三節 「量與實測」學習主題相關研究……… 28

第四節 試題的編製與測驗的分析……… 37

第三章研究方法

第一節 研究對象……… 61

第二節 研究工具……… 62

第三節 實施程序……… 63

第四節 資料處理……… 71

第五節 研究限制………

…

……… 72

第四章研究結果與討論

第一節 試題性質分析……… 73

第二節 誘答力分析……… 79

第三節 試題選項特徵曲線之分析……… 81

第五章結論與建議

第一節 結論……… 87

第二節 建議……… 90

第三節 未來研究……… 91

參考文獻

一、中文部分……… 93

二、英文部分……… 95

附錄

附錄一 國小學童「量與實測」測驗正式題本……… 97

附錄二 試題檢核表……… 102

附錄三 國小學童「量與實測」主題測驗試題專家效度調查表… 103

附錄四-1 量與實測評量題庫之建置誘答力分析……… 107

附錄四-2 量與實測評量三年級誘答力分析……… 112

附錄四-3 量與實測評量四年級誘答力分析……… 117

附錄四-4 量與實測評量五年級誘答力分析……… 122

附錄五 正式題本試題選項特徵曲線之分析圖表……… 127

附表目次

表2-1 九年一貫課程架構……… 11

表2-2 學習領域階段畫分表……… 13

表2-3 各年級每週學習節數分配表……… 13

表2-4 試題難易度等級表……… 47

表2-5 鑑別度評鑑標準表……… 49

表2-6 為提高區辨力時不同題型應取的答對率……… 56

表3-1 評量題庫預試題本的雙向細目表……… 64

表3-2 預試題庫試題其難易度指數及鑑別度指數表………… 65

表3-3 量與實測評量題庫之建置雙向細目表……… 71

表4-1 試題Cronbach＇s α之信度係數……… 73

表4-2 試題難易度一覽表……… 75

表4-2-1 試題難易度一覽表（難易度指數) ……… 76

表4-3 試題之鑑別度一覽表……… 77

表4-3-1 試題難易度一覽表（鑑別度指數) ……… 78

表4-4 A 型之正答選項特徵曲線統計表……… 81

表4-5 B 型之正答選項特徵曲線統計表……… 82

表4-6 C 型之正答選項特徵曲線統計表……… 82

表4-7 D 型之正答選項特徵曲線統計表……… 83

表4-8 E 型之正答選項特徵曲線統計表……… 83

表4-9 a 型之誘答選項特徵曲線統計表……… 84

表4-10 b 型之誘答選項特徵曲線統計表……… 85

表4-11 c 型之誘答選項特徵曲線統計表……… 85

表4-12 d 型之誘答選項特徵曲線統計表……… 86

表4-13 e 型之誘答選項特徵曲線統計表……… 86

附圖目次

圖1-1 Glasser 的基本教學歷程圖……… 3

圖2-1 三題試題的試題特徵曲線……… 50

圖2-2 選項特徵曲線……… 52

圖2-3 試題編制模式……… 60

圖3-1 研究流程圖……… 63

圖4-1 全樣本試題17 之正答選項特徵曲線圖……… 81

圖4-2 全樣本試題16 之正答選項特徵曲線圖……… 82

圖4-3 全樣本試題24 之正答選項特徵曲線圖……… 82

圖4-4 全樣本試題 2 之正答選項特徵曲線圖……… 83

圖4-5 全樣本試題29 之正答選項特徵曲線圖……… 83

圖4-6 全樣本試題 6 之誘答選項特徵曲線圖……… 84

圖4-7 全樣本試題23 之誘答選項特徵曲線圖……… 85

圖4-8 全樣本試題 2 之誘答選項特徵曲線圖……… 85

圖4-9 三年級樣本試題22 之誘答選項特徵曲線圖………… 86

圖4-10 全樣本試題21 之誘答選項特徵曲線圖……… 86

第一章緒論

學校的數學領域教學活動一般包含了三方面的要素，一是學生，二是老師，三是數學教 材。因此良好的數學教學活動中老師應該教學生什麼內容就應該考量以下的問題：數學教材 內容是否適合學生？那個層次的數學概念或那些能力指標適合那個年級的學童？學童有那些 數學上的迷失概念或是經常犯的錯誤？他們在數學領域上的學習有些什麼優缺點？這一些等 等問題，要回答這些疑問那就須使用數學診斷工具。 本研究由對九年一貫數學領域課程的探討，建置國民小學九年一貫數學領域評量診斷題 庫，並以此評量題庫診斷國小數學領域量與實測的基本能力，提供教師了解每位學生數學領 域量與實測中各方面的能力水準以及學習的準備度；另一方面可評估及診斷學生的學習成 效，提供未來教師教學時的參考，此外也可以用來對於數學領域學習因難的學生篩選，了解 學生在那一個能力指標上應該給予協助與補救教學。且提供教師學習建立診斷題庫的方式內 容。本章將說明研究動機、目的、待答問題、並對本研究所需之特有名詞加以釋義界定。

第一節 研究動機

教育政策協助教育改革並解決教育問題，因此，世界各國為尋求教育改革方向，無不以 教育政策作為教育改革的指引。也就是說，教育改革是各國調整教育的發展手段，而教育政 策則指引著教育改革的永續發展。是以，教育改革及教育政策間的關係是一體二面。 行政院教育改革審議委員會在教育改革總諮議報告書中指出（1995），教育現代化的方 向是人本化、民主化、多元化、科技化與國際化；另外，為因應新世紀的到來，教育改革亦 應把握住"未來導向"。 一、人本化：教育活動是以人性為基礎，以人文為內容，相信人性本善；因此教育目的 即在開展個體潛能，引導使人向善的過程。是以，教育的本質必須回歸到以學生為主體，並 保障學生的學習權。人本化重視的是全人發展，實現自我的願景。 二、民主化：現代化國家要符應民主自由法治的特質。而教育的民主化，首要強調教育 的自主性及尊重教師的專業自主權。教育權的鬆綁下放，民主開放的學校氣候，將有助於教

育改革的落實。民主化培育的是民主參與，守法樂群的國民。 三、多元化：開放社會的特徵，是對多元價值的寬容，並能尊重社會上的少數或弱勢群 體，而提供適才適性的教育。因此，在保持精英教育的水準之外，尤應重視普及教育的提升， 亦即在發展教育功能的同時，又能維護社會的公義。多元化陳現的是多姿多樣，活潑創新的 氣象。 四、科技化：未來社會與國家的競爭力，將建立在民眾的行動能力與解決問題的能力上。 因此，教育歷程應重視科技的運用及培養使用科技知識的能力，唯有科技融合人文思維，才 能帶領人類走向更寬的未來。科技化關注的是知識普及，能力導向的培養。 五、國際化：教育國際化的意涵，一方面促使國民理解、欣賞世界各地歷史文化、尊重 其他族群傳統，另方面亦應發揮本土化的優點，建立對本土化的熱愛與珍惜，並將本土化之 優良文化推廣至世界各地。國際化強調的是立足本土，胸懷世界的情操。 六、未來化：教育的目的是培養適應未來生活能力的國民，並引領社會的進步。因此， 教育活動要跟得上時代的腳步，培養帶著走的能力。以傳統文化為基礎，造就更新與創進的 社會文化。未來化著眼的是積極負責，追求卓越的理想。 新世紀、新時代，資本、設備、天然資源，等物力的內容已不再能是制勝的保證，而腦 力、科技新知、解決問題的各項能力與團隊能力才是必勝的關鍵。未來是腦力產業的時代， 而教育必然扮演提昇國家競爭力最關鍵的角色（蘇育琪，1998)。九年一貫課程強調的是，培 養學生＂帶得走的能力＂，這能力指的就是＂十大基本能力＂，當然能力的培養絕不是靠知 識的堆積，而必須在師生有機互動情境中，透由學生主動參與的過程，探索、發現、思考、 了解等，進而解決問題、建構知識並內化於心。在教育改革的聲浪中，政府體認到要順應當 前世界教育改革的潮流，因應當前社會對教育品質提昇的需求，有必要強化學校教育課程革 新，因此，發展出具前瞻性、國際性與本土性的「九年一貫課程」，並自九十學年度起逐年實 施。將教育體制由零碎知識，改為培養帶著走的基本能力，加強學生分析、推理、判斷、抉 擇及綜合等適應變遷、問題解決的能力，養成手腦並用的做事習慣，也就是說九年一貫的教 育在著重於提昇學生理解所學知識的能力，進而應用所學的知識解決問題。因此，在九年一

貫制的課程架構下，國小數學教育納入主要的學習領域中，藉由課程的推展，讓學生了解數 學的發展與生活經驗的關係，並培養邏輯思考、欣賞與溝通媒介，體會數學對於促進人類生 存發展的意義與價值。因此，「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」其所揭櫫的課程理念及內 涵為何？也成為為本研究的研究動機之一。 知識生命週期的短暫，在社會迅速轉型與政經變革劇烈的二十一世紀中，更凸顯生存競 爭的壓力；今日的知識不再是明日優勢的保證，保有＂終生學習＂的素養，才可能不為知識 的洪流中吞噬. 1996 年聯合國教科文組織所出版的＂學習：內在的財富＂一書，便極有前瞻性的指出-未來人類要能適應變遷，必須進行四種基本學習，即四大學習支柱，同時形成了各國終身教 育學習內涵的主流概念: 一、學會認知(learning to know)-即學習如何學習的能力. 二、學會做事(learning to do)-即解決問題、知識轉化行動的能力

三、學會共同生活(learning to live together)-即與人合作、相處的能力 四、學會發展(learning to be)-即發揮潛能、自我實現的能力 教學評量是整個教學過程中重要的一環， Glasser（1962）提出的基本教學歷程如下圖： 教學目標 起點行為 教學活動 教學評量 提供回饋 圖 1-1 Glasser 的基本教學歷程圖（引自 Glasser，1962；p.6） 由上圖可知教學評量居於起承轉合的地位，透過教學評量的實施可以了解教學目標有沒 有達成；了解起點行為的評估是否適切；了解教學活動是否有效率等，以作為是否進入下一 個單元的學習的依據，所以教學評量在整個教學活動中可說是具有關鍵性的地位。近日因各 界對於九年一貫的教學方式有多方的討論與質疑，教育部為檢視九年一貫課程的執行成效， 也準備對國小四、六年級及國中二年級做學習成效檢測，因此發展有效且具有系統的試題分 析方式的試題模式提供教學者做為教學的評鑑，也成為為本研究的研究動機之一。

第二節 研究目的

研究者綜合上述的幾點理由的論述，認為九年一貫課程將數學領域列為主要的七大學習 領域中，除了要以達成九年一貫之教教目標，培養學生十大基本能力的同時，對於學童在數 學學習領域中應達到的能力指標內容之能力培養有其重要性。因此本研究主要在以九年一貫 數學領域中的能力指標為主，建置一份九年一貫國小數學領域「量與實測」的評量題庫，並 提供一套建置數學領域評量題庫試題特性分析的方式，根據此模式編製數學評量，就試題的 特性分析，期能以有效且簡易的方式提供教師編製試題，評量受試者的數學能力，提供從事 第一線教學工作者對於數學教育的實施時，在課程規劃、教學方法、教學活動、教學環境及 教學評量，提供微薄的助益。

第三節 研究問題

根據上述的研究目的，提出下列七個研究問題： 一、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的信度為何？ 二、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的效度為何？ 三、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的難易度為何？ 四、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的鑑別度為何？ 五、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的誘笞力為何？ 六、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的選項特徵曲線為何？ 七、國民小學九年一貫數學領域量與實測題庫的建置模式為何？

第四節 名詞釋義

為了能更清楚瞭解本研究的用語，茲將本研究涉及的幾個特定名詞提出釋意如下：

壹、九年一貫課程

本研究中、九年一貫課程是指教育部依據行政院核定之「教育改革行動方案」，進行國民教育

階段之課程與教學革新於民國八十九年九月三十日台（89）國字第 89122368 號函公佈之「國 民中小學九年一貫課程暫行綱要」中所規劃之課程與教育部修定於民國九十二年十一月十四 日台國字第 0920167129 號函公佈之「國民中小學九年一貫課程綱要」中所規劃之課程。據此 以檢視九年一貫課程在培養具備人本情懷、統整能力、民主素養、鄉土與國際意識，以及能 進行終身學習之健全國民。引導學生致力達成下列等十項目標。 〈一〉、了解自我與發展潛能 〈二〉、欣賞、表現與創新 〈三〉、生涯規劃與終身學習 〈四〉、表達、溝通與分享 〈五〉、尊重、關懷與團隊合作 〈六〉、文化學習與國際瞭解 〈七〉、規劃、組織與實踐 〈八〉、運用科技與技術 〈九〉、主動探索與研究 〈十〉、獨立思考與解決問題

貳、數學學習領域

本研究中、數學學習領域是指教育部於民國八十九年九月三十日台（89）國字第 89122368 號函公佈之「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」與修定於民國九十二年十一月十四日台 國字第 0920167129 號函公佈之「國民中小學九年一貫課程綱要」中所規劃之課程中七大學 習領域所指之數學學習領域。期望學生達成下列目標： 1. 掌握數、量、形的概念與關係。 2. 培養日常所需的數學素養。 3. 發展形成數學問題與解決數學問題的能力。 4. 發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。 5. 培養數學的批判分析能力。 6. 培養欣賞數學的能力。

為了達成這些目標，數學課程的發展應以生活為中心，配合各階段學生的身心與思考 型態的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方式，據以發展數學學習活動。數學學 習活動應讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強 化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動的過程中建立數學知識。

參、數學學習基本能力

本研究中、數學學習領域是指教育部於民國八十九年九月三十日台（89）國字第 89122368 號函公佈之「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」與修定於民國九十二年十一月 十四日台國字第 0920167129 號函公佈之「國民中小學九年一貫課程綱要」中所規劃之課程 中數學學習領域之分段能力指標。依其數學內容與數學內部的連結，數學領域將九年國民 教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級， 階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大 主題。此外，數學內部的連結可貫穿前述四個主題，來強調解題能力的培養；數學外部的 連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。 具備這些能力，一方面增進學生的數學素養，能適切地應用數學，來提高生活品質，另一 方面也能加強其數學的思維，有助於個人在生涯中求進一步的發展。並因此作為數學教學 活動設計時的基準，在教學中達成其能力。例如： 數與量 N-1-17 能使用日常測量工具測量一個量，理解其單位和刻度結構，並作同單位量的 比較、加減與簡單整數倍。 其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統 計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段； 第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。

肆、國小學童

本研究所謂「國小學童」，係指九十二學年度就讀於公立國民小學三、四、五年級學生。

第二章 文獻探討

本研究的主要目的在於建置國民小學九年一貫課程數學領域「數與量」主題中『量與 實測』評量題庫，並分析題庫中能否有效評鑑學童的九年一貫數學領域「數與量」主題中 『量與實測』的基本能力。因此共分五節，本章第一節將針對九年一貫課程內涵加以探討， 第二節針對九年一貫數學領域課程內涵，另外也就國民小學九年一貫課程數學領域「量與 實測」學習主題相關研究、試題的編製，及良好試題應具有之相關準則等層面加以探究。

第一節 九年一貫課程內涵

二十一世紀將是一個什麼社會？從二十世紀中，人類對於未來充滿好奇與期待，未來 學者或預測專家如：托夫勒（Ａ.Toffler）在 1970 年出版的『未來的衝擊』與 1980 年出 版的『第三波』；奈思比和奧伯汀（Ｊ.Naisbitt & P.Aburdene）在 1982 年與 1990 年分別 所發表的『大趨勢』、『公年二千元大趨勢』論述與預測人類社會未來變遷的方向。說明二 十一世紀的社會將是一個高度科技化、資訊豐富、國際密切互動、多元價值與終身學習的 社會(國立台灣師範大學教育研究中心，1995，2-6)。為迎接所面臨的二十一世紀，世界各 國都致力於教育改革和課程改革，以因應新世紀資訊社會、知識本位經濟、科技日新月異 與未來世界的需求，要教育學生成為一個有能力的人、恣永續發展成長與不斷創新的人。 而在我國也致力於教育的改革，發展出九年一貫課程，希望跟上世界的脈動，促進社會進 步，提昇國家競爭力。這一節將就九年一貫課程的基本理念、課程目標、基本能力、學習 領域及特色加以說明。

壹、基本能力

民國八十九年九月三十日台（89）國字第 89122368 號函公佈之「國民中小學九年一貫 課程暫行綱要」與教育部修定於民國九十二年十一月十四日台國字第 0920167129 號函公佈 之「國民中小學九年一貫課程綱要」中明確的說明：教育之目的以培養人民健全人格、民 主素養、法治觀念、人文涵養、強健體魄及思考、判斷與創造能力，使其成為具有國家意 識與國際視野之現代國民。(教育部，2000,2002) 因此跨世紀的九年一貫新課程應該培養

具備其下列五大基本內涵包括： 一、人本情懷方面：包括瞭解自我、尊重與欣賞他人及不同文化等。 二、統整能力方面：包括理性與感性之調和、知與行之合一，人文與科技之整合等。 三、民主素養方面：包括自我表達、獨立思考、與人溝通、包容異己、團隊合作、社會服 務、負責守法等。 四、鄉土與國際意識方面：包括鄉土情、愛國心、世界觀等(涵蓋文化與生態)。 五、終身學習方面：包括主動探究、解決問題、資訊與語言之運用等。

貳、課程目標

「課程綱要」裡強調國民中小學之課程理念應以生活為中心，配合學生身心能力發展 歷程；尊重個性發展，激發個人潛能；涵泳民主素養，尊重多元文化價值；培養科學知能， 適應現代生活需要。 國民教育之學校教育目標在透過人與自己、人與社會、人與自然等人性化、生活化、 適性化、統整化與現代化之學習領域教育活動，傳授基本知識，養成終身學習能力，培養 身心充分發展之活潑樂觀、合群互助、探究反思、恢弘前瞻、創造進取的健全國民與具世 界觀之公民。為實現國民教育階段學校教育目的，須引導學生致力達成下列課程目標： 一、增進自我瞭解，發展個人潛能。 二、培養欣賞、表現、審美及創作能力。 三、提升生涯規劃與終身學習能力。 四、培養表達、溝通和分享的知能。 五、發展尊重他人、關懷社會、增進團隊合作。 六、促進文化學習與國際瞭解。 七、增進規劃、組織與實踐的知能。

八、運用科技與資訊的能力。 九、激發主動探索和研究的精神。 十、培養獨立思考與解決問題的能力

參、基本能力

為達成上述十項課程目標，所以擬具十項國民教育基本能力為指標。國民教育階段的 課程設計應以學生為主體，以生活經驗為重心，培養現代國民所需的基本能力。(教育部， 2000,2002) 一、瞭解自我與發展潛能 充分瞭解自己的身體、能力、情緒、需求與個性，愛護自我，養成自省、自律的習慣、 樂觀進取的態度及良好的品德；並能表現個人特質，積極開發自己的潛能，形成正確的價 值觀。 二、欣賞、表現與創新 培養感受、想像、鑑賞、審美、表現與創造的能力，具有積極創新的精神，表現自我 特質，提升日常生活的品質。 三、生涯規劃與終身學習 積極運用社會資源與個人潛能，使其適性發展，建立人生方向，並因應社會與環境變 遷，培養終身學習的能力。 四、表達、溝通與分享 有效利用各種符號(例如語言、文字、聲音、動作、圖像或藝術等)和工具(例如各種媒 體、科技等)，表達個人的思想或觀念、情感，善於傾聽與他人溝通，並能與他人分享不同 的見解或資訊。 五、尊重、關懷與團隊合作 具有民主素養，包容不同意見，平等對待他人與各族群；尊重生命，積極主動關懷社 會、環境與自然，並遵守法治與團體規範，發揮團隊合作的精神。

六、文化學習與國際瞭解 認識並尊重不同族群文化，瞭解與欣賞本國及世界各地歷史文化，並體認世界為一整 體的地球村，培養相互依賴、互信互助的世界觀。 七、規劃、組織與實踐 具備規劃、組織的能力，且能在日常生活中實踐，增強手腦並用、群策群力的做事方 法，與積極服務人群與國家。 八、運用科技與資訊 正確、安全和有效地利用科技，蒐集、分析、研判、整合與運用資訊，提升學習效率 與生活品質。 九、主動探索與研究 激發好奇心及觀察力，主動探索和發現問題，並積極運用所學的知能於生活中。 十、獨立思考與解決問題 養成獨立思考及反省的能力與習慣，有系統地研判問題，並能有效解決問題和衝突。

肆、學習領域

此次課程綱要中強調課程統整與合科精神，期能透過教學創新，培養國民應具備之基 本能力，國民教育階段之課程以個體發展、社會文化及自然環境等三個面向，提供語文、 健康與體育、社會、藝術與人文、數學、自然與生活科技及綜合活動等七大學習領域。並 對學習領域一般相關事務均有明確的規範，例如學習領域結構、學習領域主要內涵、學習 領域階段之畫分、學習節數之分配、教學評量等。分別禪述如下 一、學習領域結構 (一)學習領域為學生學習之主要內容，而非學科名稱。 (二)各學習領域之實施，應掌握以統整之精神。其學習領域結構如下表 2-1：

表 2-1 九年一貫課程架構 年級 學習 領域 一 二 三 四 五 六 七 八 九 本國 語文 本國 語文 本國 語文 本國 語文 本國 語文 語文 本國 語文 本國 語文 本國 語文 本國 語文 英語 英語 英語 英語 英語 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 健康與 體育 社會 社會 社會 社會 社會 社會 社會 社會 藝術 與 人文 藝術 與 人文 藝術 與 人文 藝術 與 人文 藝術 與 人文 藝術 與 人文 藝術 與 人文 藝術 與 人文 自然 與 生活 科技 生 活 自然 與 生活 科技 自然 與 生活 科技 自然 與 生活 科技 自然 與 生活 科技 自然 與 生活 科技 自然 與 生活 科技 自然 與 生活 科技 數學 數學 數學 數學 數學 數學 數學 數學 數學 數學 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 綜合 活動 由表中了解，一、二年級有五大領域課程(本國語文、健康與體育、生活、數學、綜合 活動)，三至九年級將生活領域課程分為社會、藝術與人文、自然與生活科技三個學習領域 課程，而成為七大領域課程(語文、健康與體育、社會、藝術與人文、自然與生活科技、數 學、綜合活動) 二、學習領域主要內涵： (一)語文：包含本國語文、英語等，注重對語文的聽說讀寫、基本溝通能力、文化與習俗 等方面的學習。 (二)健康與體育：包含身心發展與保健、運動技能、健康環境、運動與健康的生活習慣等 方面的學習。 (三)社會：包含歷史文化、地理環境、社會制度、道德規範、政治發展、經濟活動、人際 互動、公民責任、鄉土教育、生活應用、愛護環境與實踐等方面的學習。

(四)藝術與人文：包含音樂、視覺藝術、表演藝術等方面的學習，陶冶學生藝文之興趣與 嗜好，俾能積極參與藝文活動，以提升其感受力、想像力、創造力等藝術能力與素 養。 (五)自然與生活科技：包含物質與能、生命世界、地球環境、生態保育、資訊科技等的學 習、注重科學及科學研究知能，培養尊重生命、愛護環境的情操及善用科技與運用 資訊等能力，並能實踐於日常生活中。 (六)數學：包含數、形、量基本概念之認知、具運算能力、組織能力，並能應用於日常生 活中，了解推理、解題思考過程，以及與他人溝通數學內涵的能力，並能做與其他 學習領域適當題材相關之連結。 (七)綜合活動：包含各項能夠引導學習者進行實踐、體驗與省思，並能驗證與應用所知的 活動，如童軍活動、輔導活動、家政活動、團體活動、及運用校內外資源獨立設計 之學習活動。 三、學習領域學習階段： 各學習領域學習階段係參照該學習領域之知識結構及學習心理之連續發展原則而畫 分，每一階段均有其能力指標。 (一)語文學習領域中的本國語文及健康與體育學習領域，皆分為三階段，第一階段為一至 三年級、第二階段為四至六年級、第三階段為七至九年級。 (二)語文學習領域中的英語分為兩階段，第一階段為五至六年級、第二階段為七至九年 級。 (三)數學學習領域分為四階段，第一階段為一至三年級、第二階段為四至五年級、第三 階段為六至七年級、第四階段為八至九年級。 (四)社會、藝術與人文、自然與生活科技、綜合活動等四個學習領域，皆分為四階段， 第一階段為一至二年級、第二階段為三至四年級、第三階段為五至六年級、第四階 段為七至九年級。 (五)一至二年級社會、藝術與人文、自然與生活科技學習領域統合為生活課程。

各學習領域階段畫分情形如表 2-2 整理： 表 2-2 學習領域階段畫分表 年級 學習領域 一 二 三 四 五 六 七 八 九 本國語文 本國語文 語文 本國語文 英語 英語 健康與 體育 健康與體育 健康與體育 健康與體育 數學 數學 數學 數學 數學 社會 社會 社會 社會 藝術與 人文 藝術與 人文 藝術與 人文 藝術與人文 自然與 生活科技 生活 自然與 生活科技 自然與 生活科技 自然與 生活科技 綜合活動 綜合活動 綜合活動 綜合活動 綜合活動 四、學習節數： (一)授課日數：依課程綱要規定，全年上課以 200 天原則，每節上課 40～45 分鐘。 (二) 各學習領域授課之比例：語文學習領域占領域學習節數的 20%～30%，其他如健康與 體育等六個學習領域，各占領域學習節數之 10%～15%。學校應依前揭比例，計算各 學習領域之全學年或全學期節數，並配合實際教學需要，安排各週之學習節數。 (三)「領域學習節數」與「彈性學習節數」：新課程將學習總節數分為「領域學習節數」與 「彈性學習節數」。各年級每週分配情形如表 2-3。 表 2-3 各年級每週學習節數分配表 節數 年級 學習總節數 領域學習節數 彈性學習節數 一 22～24 20 2～4 二 22～24 20 2～4 三 28～31 25 3～6 四 28～31 25 3～6 五 30～33 27 3～6 六 30～33 27 3～6 七 32～34 28 4～6 八 32～34 28 4～6 九 33～35 30 3～5

(四)「彈性學習節數」：由學校自行規畫辦理全校性和全年級活動、執行依學校特色所 設計的課程或活動、安排學習領域選修節數、實施補救教學、進行班級輔導或學生 自我學習等活動。 五、教學評量： (一)有關學生之學習評量，應參照學生成績評量準則之相關規定辦理，其辦法由教育部另 定之。 (二)教育部為配合高中職多元入學制度之推動，應參酌本課程綱要內容舉辦「國民中學 基本學力測驗」，據以檢視學生學習成效，其分數得作為入學之參據。 (三)有關國民中學基本學力測驗之編製、標準化及施測事宜，應參照國民中小學暫行課 程綱要之能力指標及相關法令之規定辦理。 本研究將依據九年一貫課程領域中數學學習領域課程內涵，建置國民小學九年一貫數學 學習領域課程評量題庫，並以此評量題庫診斷國小數學領域量與實測的基本能力，提供教師 了解每位學生數學領域量與實測中各方面的能力水準以及學習的準備度；另一方面可評估及 診斷學生的學習成效，幫助達成以基本能力作為課程目標的目的。

第二節 九年一貫數學領域課程內涵

數學是科學與科技的基礎，，在整體國力上扮演著重要的角色(Lofland, 1993)。因此， 此科學之母—數學更是國家競爭力的碁石，而全民數學素養的提昇，更是社會理性發展的原 動力。世界各國莫不重視國民教育中數學基礎的紮根工作，致力推展數學教育，並重視學生 的數學學習。本節將闡述「數學」學習領域之基本理念、課程目標、分段能力指標、能力指 標與十大基本能力的關係、「數與量」主題說明、實施要點分項說明。

壹、基本理念

教育應該是持續穩定的事業，任何教育改革都必須與教育傳統之間，求取傳承與更新之 間的平衡。因此，教育改革中適度的反省與評估是必需的，這在數學教育裡更有其必要性。

首先，數學的學習注重循序累進的邏輯結構，由於此嚴謹的結構性，教材的變動常會引 起牽一髮而動全身的效應。因此，過去國內外數學教材的演進，概能遵循此邏輯結構，以保 證數學教育的穩定性。 再者，數學是較能進行國際性評比的學習領域，教學的成效亦有較客觀的標準。因此， 數學教育改革的反省與評估確有其基礎，藉此讓我們能夠了解傳統數學教育中的優點是否被 保持、數學教育的改革是否有成效。 數學領域為國民教育的基礎課程，有三個重要的原因： 一、數學是人類最重要的資產之一 數學被公認為科學、技術及思想發展的碁石，文明演進的指標與推手。 二、數學是一種語言 簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。 三、數學是人類天賦本能的延伸 人類嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，形與數的初等直覺。經過文明累積的 陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數學知識，並形成更有力量的邏輯思維能力。 九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目 標。數學知識及數學能力，成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知反映 出四大需求： （一）數學能力是國民素質的一個重要指標 （二）了解數學是人類重要資產 （三）教學應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展 （四）數學作為基礎科學的工具性特質 基於上述理念，協助學童數學智能的發展，需要長期及多面向的關照，如: 1.素質指標： 充分認識重要的數學概念及提昇厚實數學能力。提供學生做有意義及有效率學習的機

會，使學生能學好重要的核心數學題材，因為這些重要的數學概念和精熟的演算能力，是九 年一貫所強調「帶著走」的能力。 2.數學能力： 除了數學知識外，計算能力、抽象能力及邏輯推演能力的培養是整個數學教育的主軸。 是我們要培養學生數學能力的三個具體面向。所謂的數學能力，是指對數學掌握的綜合性能 力以及對數學有整體性的感覺。 3.演算能力： 傳統數學教學上，常把觀念與演算截然二分。然數學演算並不只是機械式計算操作而 已。某類型數學問題演算的純熟，常能同時促使新舊數學觀念的連結與落實。演算亦是學童 獲得新數學經驗的方法，新的經驗將會再形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗。 4.教材教法： 我們認為數學課程的規劃，教科書呈現的方式和教學法均同等重要。能力指標、課程規 劃與課本編排均要有合理性。課程、教學、教科書都是學生學習環境的一環，合理審慎地處 理這些環節，將能讓學生專注於學習，減少學生失誤的挫折，提昇學生的學習興趣。 5.教師關懷： 教師對學童的愛與關懷，是在數學學習過程中，幫助兒童渡過難關最重要的助力。依靠 教師敏銳的觀察與分析，貼心地協助學生，結合其舊有的經驗往前到新的經驗，這正是因材 施教的要點。 6.對家長的建議： 對於輔導學童學習數學的家長，「學習數學應該是一種快樂的經驗」是重要的學習理念。 7.數學史的重要性： 在教師教學裡，引進與主題相關的數學史題材，對學童的學習會有很正面的意義，尤其 能協助學童將抽象觀念具體化。 上述都是在局部層次上如何協助學童學好數學能力。建立豐富且多元發展方向的流通資 訊，對我們的教學品質的促進將有立即的效應。

貳、課程目標

數學領域新題材的學習（包括操作觀察、概念學習、新演算方法或應用問題解題等）， 往往需要較寬裕的時間來融會貫通；而且，數學領域相較於其他領域學習場所多樣化的特質， 其學習仍以課堂活動為主體，家庭作業與溫習僅能輔助學習，因此上課時數不足將直接影響 數學教學的成效。在既有限制之下，九年一貫數學領域的課程綱要，是由下列四個原則來界 定： 一、參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材 二、採用國際間數學課程必備的核心題材 三、考慮數學作為科學工具性的特質 四、現有學生能夠有效學習數學的一般能力 具體而言，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為： (1)培養學生的計算能力、抽象能力及邏輯推演能力 (2)學習應用問題的解題方法。 (3)奠定下一階段的數學基礎。 (4)培養欣賞數學的態度及能力。 其中，國民小學階段目標為： (5)在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。 (6)在在第二階段（四至五年級）能熟練自然數直式運算與混合四則運算，培養流暢的數 字感。 (7)在小學畢業前，能熟練正數的混合四則運算、理解估算的概念，並運用在演算上；能 認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理 解其概念。 上述是「數學」學習領域需達成的目標，為了達成這些目標，數學課程的發展應以生活

為中心，配合各階段學生的身心與思考型態的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方 式，據以發展數學學習活動。數學學習活動應讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法， 激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動的過程 中建立數學知識。此外「量」的部分在第一階段殊為重要目標。

參、分段能力指標

數學領域根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，將九年國民教育區分為四階段：階 段一(1-3 年級)、階段二(4-5 年級)、階段三(6-7 年級)和階段四(8-9 年級)。將數學內容分 為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結等五大主題。前四項主題的分段能力指標 分別表示「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」和「代數」四個主題 除了上述四個主題外，數學領域還有「連結」這一主題。數學內部的連結可貫穿前四個 主題，強調的是解題能力的培養，數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、 轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。具備這些能力，一方面增進學生在日常生活方面的 數學素養，能廣泛應用數學，提高生活品質，另一方面也能加強其數學式的思維，有助於個 人在生涯中求進一步的發展。 能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、 「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第 一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。雖以主題 與階段來區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾何」，以強調其 連結，此類指標皆以相關連結編碼註記。再者，由於「量」的教學（除「時間」外）概皆遵 循固定的發展過程，我們以同樣的指標（N-1-16, N-1-17）來描述「量」的發展。但各類「量」 的成熟早晚有別，因此部分「量」的完成，會延續到第二階段 以下先就五大主題條列數學領域之能力指標如下： 數與量 N-1-01 能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大小，並作位值單位的換算。

N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的加減法問題，並運用加減法驗算。 N-1-03 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。 N-1-04 能理解除法的意義，解決生活中有關除法的問題，並理解整除、商與餘數的概念。 N-1-05 能熟練加減直式計算。 N-1-06 能熟練九九乘法。 N-1-07 能理解乘除直式計算，熟練較小位數的乘除直式計算，並適當運用乘除來驗算。 N-1-08 能解決生活中簡單的四則混合問題。 N-1-09 能理解加、減、乘、除的估算方法。 N-1-10 能在已等分的情境中，認識單位分數，進而認識真分數的記法與意義，並作比較。 N-1-11 能以單位分數的概念，認識假分數，並作同分母分數的比較、加減與簡單整數倍的問 題。 N-1-12 能認識一位小數的概念，並作其比較、加減與簡單整數倍的問題。 N-1-13 由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，能標記整數及一位小數，也能理 解在數線（刻度尺模型）上作比較與加、減、乘、除運算的意義。 N-1-14 能報讀時間，認識常用的時間單位，並做簡單的估算。 N-1-15 能對兩個同類量作直接比較。 N-1-16 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。 N-1-17 能使用日常測量工具測量一個量，理解其單位和刻度結構，並作同單位量的比較、加 減與簡單整數倍。 N-2-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數，並作位值單位的換算。 N-2-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決日常生活的相關問題。 N-2-04 能理解因數、倍數、質數、合數的概念。 N-2-05 能理解公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數的概念與計算方式，以及兩數互質 的意義。

N-2-06 能認識概數的意義，用四捨五入、無條件進入、無條件捨去等方式，對某數量在指定 位數取概數，並作加、減、乘、除之估算。 N-2-07 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-08 能認識帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較與加、減、整 數倍與除數為整數的計算。 N-2-09 能理解等值分數、約分、擴分、最簡分數的意義，並使用約分與擴分做異分母分數的 比較與分數的化簡。 N-2-10 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的加減計算。 N-2-11 能認識多位小數，理解其比較，及進行加、減、整數倍與除數為整數的直式計算。 N-2-12 能理解整數的小數或分數倍的意義及其運算格式。 N-2-13 能理解整數除以分數或小數的意義及其運算格式。 N-2-14 能做簡單分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-15 能認識百分率及其應用，並作相關之換算。 N-2-16 能理解時間的單位換算，並處理時間的計算問題。 N-2-17 能認識測量的常用單位，應用到生活中的實測和估測活動中，並處理相關的計算問題。 N-2-18 能理解常用單位間的關係，並在描述一個量時，作不同單位間的換算。 N-2-19 能用正方形與正方體為單位度量面積與體積，並理解長方形面積與長方體體積的公 式。（S-2-08） N-2-20 能理解容量和容積（體積）間的關係。 N-2-21 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形、梯形與菱形的面積公式。（S-2-09） N-3-01 能理解分數乘法、除法的意義與運算格式。 N-3-02 能理解小數乘法、除法的意義，並熟練其直式計算。 N-3-03 能熟練分數與小數互換的方法，並標記在數線上。 N-3-04 能熟練整數、分數、小數的四則混合運算。 N-3-05 能理解比、比例、比值、比率的意義，並解決日常生活的相關問題。

N-3-06 能理解速度的概念與應用，認識速度的常用單位及換算，並處理相關的計算問題。 N-3-07 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。（A-3-05） N-3-08 對曲線圍成的平面區域，能以適當的正方形單位，估算其面積。（S-3-05） N-3-09 能認識圓面積與圓周長的公式，估計π的值，並計算簡單扇形面積。（S-3-06） N-3-10 能理解簡單柱體的體積為底面積與高的乘積。（S-3-07） N-3-11 能計算簡單柱體的表面積。（S-3-08） N-3-12 能認識負數，並將負數標記在數線上，以理解正負數之比較。 N-3-13 能理解加、減運算在數線上的對應操作。 N-3-14 能理解絕對值的意義。 N-3-15 能熟練正負數的混合四則運算 N-3-16 能理解正整數之質因數分解。 N-3-17 能認識指數的記號與指數律。 N-3-18 能認識科學記號，並理解其運算規則。 N-3-19 能熟練比例式的基本運算。 N-3-20 能認識方根及其近似值。 N-3-21 能理解近似值，並能描述其誤差範圍。 N-4-01 能理解方根的四則運算。 N-4-02 能辨識具規則性的數列。 N-4-03 能理解等差數列、等比數列的樣式、規則性及未知量。 N-4-04 能辨識等差級數、等比級數的樣式、規則性及理解未知量求法。 幾何 S-1-01 能由物體的外觀，辨認與分類簡單幾何形體，並認識該形體的常用名稱。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其輪廓線（周界）。

S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-1-06 能描述物體的相對位置。 S-1-07 能認識水平、鉛直、平行、垂直的概念。 S-2-01 能認識簡單幾何形體的組成要素，並透過組成要素間的關係，作不同形體的分類。 S-2-02 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-03 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-04 能理解張開角與旋轉角的意義。 S-2-05 能理解平面圖形的線對稱關係。 S-2-06 能恰當描述物體的位置。 S-2-07 能認識立體形體在平面上呈現的方式。 S-2-08 能用正方形與正方體為單位度量面積與體積，並理解長方形面積與長方體體積之公 式。（N-2-19） S-2-09 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形、梯形與菱形的面積公式。（N-2-21） S-3-01 能使用簡單的幾何性質描述、區分平面圖形。 S-3-02 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-03 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度、面積的影響，並認識比例尺。 S-3-04 能理解平面圖形相對應邊成比例時，形狀可能不同。 S-3-05 對曲線圍成的平面區域，能以適當的正方形單位，估算其面積。（N-3-08） S-3-06 能認識圓面積與圓周長的公式，估計π的值，並計算簡單扇形面積。（N-3-09） S-3-07 能理解簡單柱體的體積為底面積與高的乘積。（N-3-10） S-3-08 能計算簡單柱體的表面積。（N-3-11） S-4-01 能利用形體的幾何性質來定義某一類形體。 S-4-02 能指出合於所給定性質的形體。 S-4-03 能描述複合形體構成要素間的可能關係。 S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題。

S-4-05 能運用面積計算導出商高定理。 S-4-06 能理解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。 S-4-07 能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。 S-4-08 能理解三角形的幾何性質。 S-4-09 能理解多邊形的幾何性質。 S-4-10 能用非形式的方式辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。 S-4-11 能理解垂直、平行的定義。 S-4-12 能檢驗兩平面圖形是否相似。 S-4-13 能運用相似三角形的性質進行測量。 S-4-14 能理解圓的幾何性質。 S-4-15 能利用三角形及圓的性質作推理。 代數 A-1-01 能在具體情境中，認識等號的對稱性與＜、＝、＞的遞移性。 A-1-02 能在具體情境中，識認加法、乘法的交換律、結合律與乘法對加法的分配律，進而協 助簡化心算、筆算、驗算與解題。 A-1-03 能理解加減互逆，並用以作驗算。 A-1-04 能在具體情境中，認識乘除互逆，並用以作驗算。 A-1-05 能解決來自生活中或算術中已列出的算式填充題。 A-2-01 能理解乘除互逆，並用以作驗算。 A-2-02 能將生活中的簡單問題，表達為含有未知數符號的算式，並解釋算式與原問題情境的 關係。 A-2-03 能透過具體情境，解決用未知數符號列出之算式題，並嘗試發展策略驗算其解。 A-2-04 能認識簡單的數量樣式，並說明樣式的規則。 A-2-05 能使用中文簡記式（簡字式）記錄常用的公式。 A-3-01 能在分數與小數的情境中，擴張理解四則運算的性質。

A-3-02 能理解等量公理。 A-3-03 能用 x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量。 A-3-04 能用未知數的等式或不等式，表示生活中或算術中的問題，並解釋算式與原問題情境 的關係。 A-3-05 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。（N-3-07） A-3-06 能發展策略，解決含未知數之算式題，並能驗算其解的合理性。 A-3-07 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。 A-3-08 能熟練一元一次方程式的解法。 A-3-09 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。 A-3-10 能理解二元一次方程式的意義。 A-3-11 能理解平面直角坐標系，並畫出線型函數圖形。 A-3-12 能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。 A-3-13 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義。 A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題。 A-4-01 能熟練乘法公式。 A-4-02 能認識多項式，並熟練其四則運算。 A-4-03 能理解商高定理及熟練其應用。 A-4-04 能熟練多項式的因式分解。 A-4-05 能熟練一元二次整係數方程式的解法。 A-4-06 能理解二次函數的圖形及應用。 A-4-07 能理解拋物線之對稱性。 統計與機率 D-1-01 能將資料做分類與整理，並說明其理由。 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。

D-2-01 能報讀生活中分類資料的統計圖。 D-2-02 能將分類資料整理成長條圖，並抽取長條圖中有意義的資訊加以解讀。 D-2-03 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-04 能解讀現成資料之長條圖。 D-3-01 能報讀百分等級與百分位數，並認識個體在群體中相對地位的情形。 D-3-02 能報讀生活中有序資料的統計圖。 D-3-03 能將有序資料整理成折線圖，並抽取折線圖中有意義的資訊加以解讀。 D-4-01 能利用比值和百分率的概念，解讀現成資料的長條圖、折線圖、圓形圖等。 D-4-02 能利用統計量，例如：平均數、中位數及眾數等，來認識資料中心的位置。 D-4-03 能利用統計量，例如：全距、四分位距等等，來認識資料集中、分散的情形。 D-4-04 能以同一群體的兩種特性製作列連表或二維散佈圖，以理解其間的關係。 D-4-05 能在具體情境中認識機率的概念及期望值（加權平均數）的意義。 D-4-06 能嘗試使用電腦軟體處理統計量的計算，並加以應用。 連結 ◎察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-03 能了解其他領域中所用到的數學知識與方法。 C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。 ◎轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。 C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。 ◎解題

C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。 C-S-04 能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般 化、特殊化、模型化、系統化、監控等。 C-S-05 了解一數學問題可有不同的解法，並能嘗試不同的解法。 C-S-06 能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。 C-S-07 能發展應用問題的解題策略。 ◎溝通 C-C-01 了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵。 C-C-02 了解數學語言與一般語言的異同。 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 C-C-04 用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-05 用數學語言呈現解題的過程。 C-C-06 用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。 ◎評析 C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。 C-E-03 經闡釋及審視情境，能重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。 C-E-04 能評析解法的優缺點。 C-E-05 能將問題與解題一般化。

肆、「數與量」主題中的「量與實測」

數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主要概念的形成以及演算能力的 培養均奠基於國小階段，而在國中主要是延伸至包含負數的整條數線的教學。 量的學習也是學生學習連續量的入口，可以與有理數的學習相互加強。其中又以長度的 教學最為關鍵：長度是學生保留概念最早成熟的量，也是最容易操作的量，長度的測量是分 數與小數教學的自然入口，同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗，學生學習如何 在數線上作比較與加減運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾 何的基礎。 量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、 面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何（視覺） 量，處理上可以依賴學生的幾何經驗，比較容易。重量的認識，除了依靠身體的感覺，相當 依賴測量工具，教學上要注意處理。另外，時間在日常生活十分重要，在學習上卻完全仰賴 計時的約定，與其他六種量極為不同，故通常另外處理。 時間以外六種量的學習，大致上要經歷下列四個階段：初步概念與直接比較；間接比較 與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換算。 初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類量作直接比較，最後 是量的複製，這是前置經驗。另外，也包括利用測量工具之刻度直接描述一量。量的複製包 括：整體複製、合成複製與等量合成複製。 間接比較與個別單位：對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，分別作直接比較， 並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念與量的遞移律)。能作間接比較，便能 使用個別單位作測量。 量的保留概念由皮亞傑提出，他從實驗結果知道，未擁有某類量之保留概念的兒童，對 此類量不能進行間接比較。但教師可透過恰當的教學與溝通，運過皮亞傑「同一性」、「互逆 性」與「互補性」三原則，主動誘發學生早日發展保留概念。

常用單位的約定：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，作量的比較、加、減、乘、 除。常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結果。然後再學習 使用單位換算的約定，來進行換算。 量的教學還有幾個教學要點： 一、所有量的教學，都要重視培養量感，學習量的估測，並能與別人溝通觀察的結果。 二、常用單位，一方面遵守中央標準局之約定，另一方面也鼓勵教師，配合生活情境，自 行補充其他日常生活常用的單位。 三、長度、面積與體積作為量來教學，經常與幾何主題有許多重疊之處，因此有一些指標 是量與幾何共用。

第三節「量與實測」學習主題相關研究

通常數概念是可以看成是某量與一單位量之間的關係(甯自強，1993；遠山啟，1978)， 所以量可以說是數的基礎。一般而言，我們所觀察或感覺得到的情形，都會形成特質加以描 述，我們稱此種特質的描述為定性描述；但是某些定性描述能夠產生比較，有大小多寡的感 覺，而且存有刻度工具加以描述情況例如身高、體重等等，這些描述方式我們稱為定量描述。 因此量的意義除有特質外，可以說是使用刻度工具來描述所指涉的特質。所以如果沒有「工 具」也就沒有量；同時有「比較」才有量的產生；重要的是量需要有「定」，也就是「不變性」 (invariance)。

「量」被區分為兩種，即離散量(discrete quantity)與連續量(continuous quantity)。 離散量是不連通(disconnected)的量，對人的認知而言能很快的掌握「１」的單位量，例如 一堆蘋果的量，蘋果與蘋果間的不連通，我們很容易從其分散中掌握「１個」蘋果的單位量； 連續量則是一種連通的量，其單位量來自人類在複雜有計畫的程序下的約定，例如長度的單 位、重量的單位等都是人類在非常嚴謹下的產物。至於「量」為何要區分為離散量與連續量 的理由，源自並沒有分數學習研究顯示，量的子分割活動所操弄的離散量與連續量，兒童一

開始就認為這兩種活動是相同的(甯自強，1993b)，所以此種分法主要來自分數概念建立的需 要。而在連續量中由於要區分可線性與非線性的量，因此將線性(可加性)的量稱為外延量 (extensive quantity)，而非線性的量則稱為內包量(intensivequantity)。外延量例如：長 度、面積、重量、容量、時間、錢幣等等；內包量例如：速度、密度、比重等等。由上可知， 「量與實測」的教材係指連續量方面的內容。這一節將就量的基本內涵、生活中常用七種量 的內涵、「量與實測」的相關研究加以說明。

壹、量的基本內涵

對於量感建基在「實物感覺存有性質」的量，教材上的架構理念是由工具的使用與對物 理現象的掌握齊頭入門的。教材上的發展則依據了測量活動對物理現象的掌握的有效程度加 以序列。具體言之，教材上的發展依其先後可以細分為如下的幾個階段：(謝堅，1996) 一、某量的初步概念： (一)「某量的認識」：此一階段是指透過具體的活動，使兒童能知道，例如像「長度」， 到底在量「什麼」。 (二)「某量的直接比較」：此一階段是指使兒童經由直接比對實物的同類量後，能描述 比較的結果。 (三)「使用以某量為刻度單位的工具」：此一階段是指使兒童經由直接比對工具上的刻 度與實物的同類量後，能讀出工具上的刻度。 二、某量的間接比較： (一)「某量的間接比較」；此一階段是指兒童能運用「某量的保留概念」，透過媒介物或 對實物的同類量予以變形後，再加以直接比較並描述比較的結果。 (二)「某量的個別單位比較與實測」：此一階段是兒童能以一個量做為基準，去累積一 個被測量的量，並用累積的次數報告測量的結果。 三、某量的普遍單位比較： (一)「認識某普遍單位量的意義」：此一階段是指兒童能把一個被普遍使用的單位量，

例如長度中的公分，做為個別單位比較與實測的基準。在「使用以某量為刻度單位 的工具」中，普遍單位已經出現，但是只被當作某特殊量的標籤，並不是個別單位 比較的基準。 (二)「以某普遍單位量為單位，進行實測及估測的活動」：此一階段是指兒童習於使用 一被普遍使用的單位量，例如長度中的公分，做單位比較的實測與估測活動，本階 段強調的重點是僅有一個單位實測或估測活動為原則。 四、某量的測量單位制度概念： (一)「認識甲普遍單位量及乙普遍單位量的關係」：此一階段是指兒童能把甲普遍單位 量，例如長度中的公分，和乙普遍單位量，例如長度中的毫尺，兩者之間的關係， 由實測活動中萃取出來。本階段強調的是兩個或是兩個以上的同類單位量的同時使 用。 (二)「甲普遍單位量及乙普遍單位量的化聚」：此一階段是指兒童能把甲普遍單位量， 例如長度中的公分，和乙普遍單位量，例如長度中的毫尺，兩者之間的關係使用於 實測活動中，以解決量的分解與合成問題。 五、某量的測量公式概念： (一)「透過對某平面圖形或立體的分析綜合，認識該平面圖形或立體上某量的求法」： 此一階段是指兒童能將「切割」平面圖形或立體的內部，例如：長方形的內部，之 後將切割的結果重組成一個或數個已知某普遍單位量的平面圖形或立體的內部，來 求取此平面圖形或立體上的某量。 (二)「某平面圖形或立體上某量求法公式的應用」：此一階段是指兒童能把某平面圖形 或立體上某量求法，例如長方形面積的求法公式，使用於實測活動中，以解決量的 分解與合成問題。 對於量感建基在「刻度上的變化的相對性質」的量，教材上的架構理念是先由工具的使 用入門的。以工具上的不同刻度作為不同情境的指標之後，再以比較紀錄上的差異引入刻度 上的變化概念，從而建立所謂的相對量感；再由等相對量感的不同階刻度的不同變化，引出

及應用不同階刻度間的關係；概念的發展上對文化的適應成分遠勝於對物理現象的掌握成分。

貳、生活中常用七種量的基本內涵

「量與實測」是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、容量、時間、 角度、面積、體積等生活中常用的七種量。以下將對此七種量一一討論： 一、長度 長度是直線段的唯一屬性。直線段在三度空間中存在，剛體運動即以直線段長不變來定 義的。兩直線段可以施行剛體運動而疊合。其教學內容以完成下列幾多課程目標為主：(朱建 正，1993) (一) 長的全等複製，異長累積複製，同長累積複製及複製活動的描述。 複製是有效的集中兒童焦點的方式。先有複製活動的時間歷程的描述，再經濟為複製結 果物的描述。首先 1.應於同一次活動中，重覆複製同一物之長，並改變此物的空間位置。 2.複製完成後應再予疊合確認。 3.複製有不可避免的誤差！不論畫的或擺的，可能不夠直；剪的可能稍長或稍短，教師 應根據兒童努力的情形判斷是否接受，而非根據結果來判斷。 (二)直線物的直接比較 直接比較變成複製活動帶出來的解題活動。能對齊比較物之一端，疊合兩物後，觀察另 一端。以何者較突出比較長短。 (三)彎曲物長的複製 兒童知道彎曲物也有長，可是不是確切知道曲線長的性質。曲線段的長度必須將此曲線 段化直，但是此時此一曲線段已經變形，故與保留概念有關。 (四)間接比較及直線物長的描述 間接比較等於複製後再直接比較。學習問題出在複製物是否能在長度上代替原物的信念 問題。

(五)兒童的長度保留概念 所謂長度保留概念，指具有如下的信念，即直線物的長度，不因空間的移動，做比較的 時刻的改變，或者分割後再重新組合回來等操作而改變。曲線物若能拉直，且不具延長方向 上的彈性，則其長度亦不會改變，也可以視為長度保留概念之一。 二、重量 重量是使用具有刻度的稱重工齡，來描述指涉實物的感覺存有「重」的特質。重量有可 比較、可保存、可分割、可併合等性質。(許天維、鍾 靜，1996) (一) 皮亞傑(Piaget)的重量保留概念 具有重量保留(conservation)概念的兒童可以知道物質經變形或分割後，重量不會改 變，一般兒童大約在９～12 歲發展重量保留概念。兒童此時對下述重量的保留活動有不同的 認知： 1.重量保留概念涉及相隔時間因素 兒童較早發展物質的保留概念，而後發展重量保留概念，此時兒童會知物質與重量有 關，而且同一物體不變質的情況下，你稱的、我稱的、今天稱的、明天稱的重量都是一樣。 2.重量保留概念涉及物體變形因素 兒童發展到具有重量保留概念時，會知物體變形前後、物體位置改變，其重量不會改 變。 3.重量保留概念涉及物體分割因素 兒童發展到具有重量保留概念時，會知物體分割前後，物體的重量不會改變。 4.重量保留概念涉及遞移比較因素 兒童發展到具有重量保留概念時，會知甲物與乙物在稱物工具上刻度一樣表示甲物與 乙物有相等的重量；亦會知甲物與乙物一樣重、乙物與丙物一樣重，就表示甲物與丙物一 樣重。 (二)重量的初步認識 1.重量的認識：透過具體活動，使兒童知道重量在量什麼？

2.重量的直接比較：兒童經直接比對實物的重量後，能描述比較的結果。 (三)重量的間接比較 1.重量的間接比較：兒童能用重量的保留概念，透過媒介物或對實物的同類量予以變形 後，再加以直接比較並描述比較的結果。 2.重量的個別單位比較與實測：兒童能以一個量做為基準，去累積一個被測量的量，並用 累積的次數報告測量的結果。 (四)重量的普遍單位比較 以公斤、公克為單位，進行實測及估測的活動：兒童能習於使用以公斤或公克為一個單 位量，做單位比較的實測與估測活動。 三、容量 容量是物理量，一般物理量的比較方法，有下列幾種：(黃金鐘，1996) (一)容量的比較 1.直接比較：排在一起，直接比對液面高低。 (1)直觀比較：當二個容器的容量差異明顯時，單用眼睛直覺可判斷哪個多。 (2)直接比對：當二個容器同形狀及大小時，比較二個容器的液量時，可將兩容器盡量靠 近，直接比對高度。 2.間接比較：使用其他工具為媒介物來比較 (1)單一媒介物的間接比較：若二個液量互相遠離又無法移動，或不能窺視容器內的液 量，不能直接比較時，則需使用另一容器 C 作為媒介，將 A 與 B 的液量，分別倒入 C 容器，進行比較。 (2)選自被比較物為媒介的間接比較 A 與 B 容器的容量比較時，先把 A 容器裝滿水，再倒入 B 容器水溢出，則知道 A 容器 的容量大於 B 容器的容量；未滿時，則 B 大於 A。

(3)個別單位的間接比較：將容量數值化來比較 以一個量做為基準，去累積一個被測量的量，並用累積次數做為比較。 3、普遍單位比較：全世界被普遍使用的單位，做為個別單位比較 四、時間 釐清時間的量感不是建基在「實物的感覺存有性質」的量，它必需直接由比對刻度觀點 入手，藉比對刻度建立相對於刻度的量感，故稱時間為工具量。有關工具量的教材架構有三： 1.以工具上的不同刻度作為不同情境的指標，2.以比較記錄上的差異引入刻度上的變化概 念，從而建立所謂的相對量感，3.由等相對量感的不同階刻度的變化，引出及應用不同階刻 度間的關係。(鍾靜，1993) (一)以工具上的不同刻度作為不同情境的指標 時間的教學不能從數學邏輯開始，而要從兒童學習的認知發展開始；低年級的時間教材 及部份中年級的時間教材都是在此層次，以工具上的不同刻度作為認識不同時刻的教學。 (二)以比較記錄上的差異引入刻度上的變化概念，從而建立所謂的相對量感 兒童對工具量－－時間的學習，先有了藉比對刻度認識某一時刻的經驗，配合生活中事 件的進行、體驗時間的流逝，到下一個整點鐘，透過重覆的具體活動、經驗時間流逝和刻度 變化的關係。 (三)由等相對量感的不同階刻度的變化，引出及應用不同階刻度間的關係 當兒童能察覺：雖然用不同的一階時間單位計數二個相同時刻（刻度）間的時區（時間）， 但是其經歷事件發生的相對量感是一樣時，就將進入此層次的教學；引出 1 日等於 24 時、1 時等於 60 分的二階單位換算等，認識年、月、日、時、分、秒間的關係及化聚，並能做時間 的實測。 五、角度 數學上的角概念和日常生活中所談到的角，所表示的意義有時是不太一樣的。兒童角概 念的認知，有其發展的順序性，先由具體的經驗、察覺，漸進發展至抽象概念的理解。(劉好，