國小五年級學童因數與倍數文字題解題歷程之研究

全文

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授:胡豐榮 博士

國小五年級學童因數與倍數文字題

解題歷程之研究

研究生:陳珠惠 撰

中 華 民 國 一 百 零 一 年 六 月

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摘要

本研究旨在探討國小五年級學童因數與倍數文字題解題歷程表現及 錯誤類型。採研究者自編之「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」為施 測工具。施測資料採量化統計分析,並經由質性晤談,分析學童解題歷程 的思考模式與錯誤類型。 研究結果可歸納如下: 一、受試學童於「問題轉譯」步驟表現最佳,其他依序為「問題整合」步 驟、「解題計畫與監控」步驟及「解題執行」步驟之表現。 二、高數學成就之學童於因數與倍數解題歷程表現測驗各步驟之得分均優 於低數學成就學童。 三、受測學童於各解題步驟的解題表現均有顯著相關。 四、解題歷程之四個步驟(問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控、解題 執行)皆可歸結對應之錯誤類型。 關鍵字: 數學文字題、因數、倍數、公因數、公倍數、解題歷程

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Research of 5th Grade Students' Multiple and Factor

Word Problem Solving Process

Abstract

This research aimed to test elementary school 5th grade students’ performance on solving factor/multiple mathematical word problem and to explore their typical error types under Mayer R.E.’s mathematical problem solving analytical framework.

The finding summary was as below.

1. Among the four problem solving processes, students performed best in “Translation”, better than “Integration”, “Planning and Monitoring”, and “Execution”.

2. Students with higher math achievement in school performed better than those with lower math achievement in school in the test.

3. The scores of different problem solving processes were highly correlated. 4. Students’ typical error types could be defined within each problem solving

process.

Keywords: Mathematical word problem、Factor、Multiple、Common Factor、 Common Multiple、Mathematical problem solving processes.

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目錄

中文摘要... i 英文摘要... iii 目錄... v 表次... vii 圖次... ix 第一章 緒論... 1 第一節 研究動機... 1 第二節 研究目的... 3 第三節 名詞解釋... 4 第二章 文獻探討... 7 第一節 數學文字題及解題歷程相關理論... 7 第二節 國小因數與倍數教材分析... 16 第三節 因數與倍數之相關研究... 21 第三章 研究方法... 25 第一節 研究架構... 25 第二節 研究流程... 26 第三節 研究對象... 28 第四節 研究工具... 28

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第五節 資料分析... 34 第四章 研究結果與分析... 37 第一節 施測結果描述性分析... 37 第二節 不同數學成就學童解因數與倍數文字題之差異... 43 第三節 題解題歷程錯誤類型分析... 47 第四節 綜合討論... 66 第五章 結論與建議... 69 第一節 結論與討論... 69 第二節 研究建議... 71 參考文獻... 73 附錄一... 77

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表次

表2-1 Schoenfeld的解題階段及相關問題表...

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表2-2 因數與倍數相關能力指標...

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表2-3 因數與倍數相關能力指標及分年細目表...

17

表 2-4 因數、倍數、公因數、公倍數相關研究...

23

表3-1 因數與倍數解題歷程測驗試題與Mayer解題理論對照...

29

表 3-2 「因數與倍數解題歷程表現測驗」評分標準...

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表 3-3 評分範例...

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表 3-4 測驗預試項目難度、鑑別度分析表...

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表 3-5 學習概念與 Mayer 解題歷程步驟雙向細目表...

34

表 4-1 因數與倍數解題歷程表現測驗題號與學習概念...

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表 4-2 因數與倍數解題歷程表現測驗各題組得分表現...

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表 4-3 因數與倍數解題歷程表現測驗各概念得分表現...

39

表 4-4 因數與倍數解題歷程各步驟得分表現...

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表 4-5 不同性別「因數與倍數解題歷程表現測驗」各概念得分...

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表 4-6 不同性別於「因數與倍數解題歷程表現測驗」各步驟得分....

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表 4-7 因數與倍數文字題解題歷程各步驟相關分析...

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表 4-8 不同數學成就於各概念表現...

44

表 4-9 不同數學成就於各步驟表現...

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表 4-10 因數文字題題號及內容...

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表 4-11 倍數文字題題號及內容...

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表 4-12 因數文字題題號及內容...

59

表 4-13 公倍數文字題題號及內容...

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圖次

圖 2-1 Mayer 之解題階段及知識類型...

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圖 2-2 因數與倍數教材地位說明圖...

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圖 2-3 因數與倍數概念網絡...

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圖 3-1 研究架構...

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圖 3-2 研究流程...

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第一章 緒論

本研究以臺中市某國小五年級學童為對象,探討國小五年級學童因數 與倍數文字題解題歷程表現及錯誤類型。採研究者自編之「因數與倍數文 字題解題歷程表現測驗」為施測工具。施測資料採量化統計分析,並經由 質性晤談,分析學童解題歷程的思考模式與錯誤類型,以便教師在進行因 數與倍數文字題教學時參考。本章將說明研究動機、研究目的、名詞解釋。

第一節 研究動機

數學解題(mathematical problem solving)是數學教育的重點之一。「九年 一貫課程綱要」闡明數學能力的發展始於流利的基礎運算及對數學概念的 理解,而目標在引導學童懂得利用推論去解決數學問題,包括理解和解決 日常問題(教育部,2008)。美國數學教師協會(NCTM)在其所公佈的「數 學課程原則與標準」中也指出:數學教育的原則應講求實用化;數學教育 的目標在培養學生能將數學知識與生活連結,應用於解決日常生活的問題 (NCTM,2000)。數學文字題於達成此願景上扮演相當重要的角色( Chang, 2010)。 文字題就是以學童日常生活事件為素材,並且用語文來描述問題情境 的數學問題(古明峰,1998;張景媛,1994),其功能在於訓練學童能運用 學校所教授的數學知識來解決日常生活會面臨的數學問題,於學童數學學 習成果的衡量具有相當重要的意義。九年一貫課程綱要教材教法要點中也 揭示小學階段應用問題(文字題)的教學,是揉合兒童的生活經驗、直觀和 抽象思考方法的教學活動,文字題的教學活動是兒童在國中學習抽象的代 數以及其他學科時,絕佳的前置經驗(教育部,2008)。 然而,對國小學童來說,數學文字題的解題並不容易,學童對數學文 字題一直存有相當大的恐懼。身為國小現職教師,研究者從自身之數學教

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學經驗中發現,國小學童普遍覺得文字題解題非常困難。國內研究亦持有 類似的看法與結論,指出學童解文字題的表現比基本運算題型的表現要 差。 而造成此現象的原因亦有相當多的研究進行探討。張景媛(1994)認為 解文字題時涉及計算能力及概念理解的能力,其中概念理解更涉及複雜的 認知歷程,而不論是計算或概念理解皆會產生一些錯誤的迷思,造成解題 上的困難。解數學文字題時需將題目的語文敘述加以轉譯,並與數學知識 作連結與整合,因此要成功解文字題,解題者需要具備比解計算題更複雜 的能力,而 Lewis and Mayer(1987)認為學童對文字題感到最困難的地方, 就是如何將語文式的敘述轉換成數學算式。 綜合歸納,學生普遍於文字題表現不佳之原因可能是因為學生在解數 學文字題時,不僅要能理解文字題的語意、分析問題的解題目標及解題有 關、無關的條件,還要將語文形式轉譯成數學算式並熟悉計算的方式,才 能順利解出文字題,如此複雜的解題過程,造成學童解題的困難。 國內的國小數學教材於國小五年級起開始進行因數與倍數的課程。與 一至四年級的數學課程相較,因數與倍數的課程顯得較抽象,因而造成學 童學習上的困難(黃國勳、劉祥通,2003)。而根據研究者個人的教學經驗, 學童於因數與倍數文字題和因數與倍數基本運算問題之解題表現上更有 顯著落差。林珮如(2002)及邱慧珍(2002)之研究亦發現,學童在各類型因 數、倍數、公因數與公倍數問題的答題表現中以文字題之表現錯誤率最 高。但國內對於國小學童因數與倍數文字題解題表現之相關實證研究仍待 充實。因此研究者認為國小五年級學童於因數與倍數文字題之解題表現是 一個值得探討之議題。 Mayer(1992)將數學文字題的解題歷程及解題步驟涉及的知識作分 析,將解題歷程分為「問題表徵」(problem representation)以及「問題解

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為「問題轉譯」(problem translation)、「問題整合」(problem integration)、 「解題計畫及監控」(solution planning & monitoring)、「解題執行」(solution

execution) 四個步驟,將各步驟所需要的知識分為五種類型,包含語言知 識、語意知識、基模知識、策略知識、程序性知識,Mayer之解題理論架 構完整,透過對受測學童解題歷程的分析可較明確的區分學童於解題的哪 一個步驟開始出現錯誤,也比較能夠瞭解學童於何種解題相關知識上的理 解較不足。 因此本研究以Mayer的解題理論為主要依據,編製「因數與倍數文字 題解題歷程表現測驗」,藉由測驗了解國小五年級學童解因數與倍數文字 題時的解題歷程表現,據以分析學童答題時的錯誤類型,並藉由晤談,探 討國小五年級學童解因數與倍數文字題時的迷思概念,以作為未來教材編 製及教師教學上之參考。

第二節 研究目的

本研究以國小五年級學生為對象,藉由研究者自編的「因數與倍數文 字題解題歷程表現測驗」探討學生在學習因數與倍數文字題時,可能出現 的問題,並分析學生的解題歷程表現瞭解學生的錯誤類型,以便教師在進 行因數與倍數文字題教學時作為參考。 壹、研究目的如下: 一、探討學童解因數、倍數、公因數、公倍數文字題解題歷程各步驟的答 題表現。 二、分析不同能力之學童在因數與倍數文字題解題歷程之差異性。 三、探討學童在因數、倍數、公因數、公倍數文字題的解題錯誤類型。 貳、根據上述的研究目的,待答問題如下: 一、學童在解因數、倍數、公因數、公倍數文字題解題歷程各步驟的答題

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表現為何? 二、不同能力之學童在因數與倍數文字題解題歷程之差異性為何? 三、學童在因數、倍數、公因數、公倍數文字題的解題錯誤類型為何?

第三節 名詞解釋

壹、國小五年級學童 本研究所指的國小五年級學童,是指在五年級上學期接受「因數與倍 數」單元教學後的學童。 貳、 因數(factor) 依據九年一貫數學學習領域課程綱要之標準名詞解釋,有 a、b 兩個 正整數,若 a 數能被 b 數整除,稱 b 數為 a 數的「因數」。例如:3 可以整 除 12,3 就是 12 的「因數」。本研究所指之因數還包括公因數(common factor) 之相關概念。 參、倍數(multiple) 依據九年一貫數學學習領域課程綱要之標準名詞解釋,有 a、b 兩個 正整數,若 a 數能被 b 數整除,則 a 數為 b 數的倍數;例如:12 可以被 3 整除,12 是 3 的「倍數」。本研究所指之倍數還包括公倍數(common multiple) 之相關概念。 肆、 公因數 依據九年一貫數學學習領域課程綱要之標準名詞解釋,一正整數 a 同 為兩個以上正整數的因數時,則 a 為這些數的公因數。例如:6 和 8 有共 同的因數「2」,我們稱「2」是 6 和 8 的「公因數」。 伍、 公倍數(common multiple) 依據九年一貫數學學習領域課程綱要之標準名詞解釋,一正整數 a 同 為兩個以上正整數的倍數時,則 a 為這些數的公倍數。。例如 12 是 4 的

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倍數,同時也是 6 的倍數,則 12 是 4 和 6 的「公倍數」。 陸、數學文字題 數學文字題,亦稱應用問題,文字題就是以日常生活事件為素材,並 且用語文來描述問題情境的數學問題(古明峰,1998;張景媛,1994)。 柒、解題歷程 本研究之解題歷程指的是 Mayer(1992)所提出之解題歷程理論,Mayer 之解題歷程分為問題表徵(problem representation)及問題解決(problem solution)兩階段。並將此兩階段涉及的不同知識做分析,依所需的知識之 不同,劃分出四個步驟: 一、「問題轉譯」步驟需具備「語言知識」和「語意知識」, 二、「問題整合」步驟需運用「基模知識」以整合問題。 三、「解題計劃與監控」步驟則需具有「策略知識」以決定解答計劃並監 控。 四、「解題執行」步驟的實施則與「程序性知識」有關。 捌、錯誤類型 本研究之錯誤類型是指學童在「因數與倍數文字題解題歷程表現測 驗」中,對因數與倍數文字題解題之錯誤形式,包含概念理解或計算技能 的錯誤。

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第二章 文獻探討

本研究藉由研究者自編的「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」, 探討國小五年學生在學習因數與倍數文字題時,可能出現的瓶頸,並分析 學生的解題歷程表現瞭解學生的錯誤類型,以便教師在進行因數與倍數文 字題教學時作為參考。本章分三小節,第一節為數學文字題及解題歷程相 關理論;第二節為國小因數與倍數教材分析;第三節為因數與倍數之相關 研究。

第一節 數學文字題及解題歷程相關理論

壹、數學文字題

文字題相對於一般的計算題,涉及較複雜的認知歷程。學生在解文字 題時需先閱讀題意,把「語言理解」轉換成「形式數學」後再進行計算。 在轉換過程中解題者本身的語言知識是否能理解題意,和是否具備相對應 的數學概念,為能否成功解題的重要因素(古明峰,1998)。根據張景媛 (1994)之研究指出數學學習時常要使用到聽、說、讀、寫等各種不同形 式的語言活動。因此,在數學的學習上,語言很可能是造成學生理解數學 障礙的原因之一。 Yancy 曾提出十項文字題的特徵敘述,來說明解文字題的困難。分列 如下(引自古明峰,1998,頁 64): (1)題目中並未將需要計算的資料依序列出。 (2)許多無關資料夾雜在題目中。 (3)題目呈現時,並未伴隨輔助圖表出現。 (4)必要的資料需從題目中推論出來。 (5)需借用許多計算步驟,才能得到答案。 (6)有許多線索字,須特別注意。

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(7)字彙通常適合於或高於學生的閱讀程度。 (8)題目內容通常不為學生所熟悉的。 (9)計算過程較複雜與沉悶。 (10)題目中,通常不用“數字”表示觀念,(例如用“一半”或”二 倍”等字眼,而不用 1/2 或 2 倍)。 國內外眾多研究亦確認了閱讀理解能力與語文能力愈好之學童於數學 文字題之表現愈佳的現象。如曹宗萍(1988)研究語文能力與閱讀理解能 力與國小六年級學童四則問題的解題表現相關性,研究發現,語文能力與 閱讀理解能力越高的學童,在解題的過程表現愈好。林美惠(1997)研究 國小二年級學生在文字題、短語題、圖畫題等三種不同表徵形式題目時的 解題表現,指出高閱讀能力組的學生解題表現優於低閱讀能力組的學生。 黃俊仁(2003)探究國小五年級學童於數學文字題解題表現之相關因素, 指出學生的閱讀理解能力與解傳統數學文字題及有情境的數學文字題能 力有顯著正相關,學生的閱讀理解能力愈好,解文字題的表現也愈好。 Martiniello (2008)的研究也指出語文能力影響數學文字題解題表現。 由以上研究發現可知,閱讀理解能力及語文能力與數學文字題解題表 現有正相關,亦即高數學成就的學童其閱讀理解能力也較佳。突顯了閱讀 理解能力在文字題解題表現上的重要性。 林麗華總結學生對數學文字題閱讀理解的困難主要在於以下幾點(引 自林麗華,2006,頁 16):(1)解題者對數學詞彙理解不佳影響閱讀理解。 (2)解題者之先備知識不足影響其理解與類推。(3)解題者對程序性知 識的理解影響其實作表現。(4)解題者對數學圖示理解困難影響其閱讀。 (5)數學文字題題意的難度影響解題者之閱讀理解。(6)解題者之一般 語文能力影響數學閱讀理解。 蔡佳錚(1997)研究國小不同數學能力與不同年級學生在文字題解題

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息形式轉換」、「訊息保留」與數學學習有密切的關係,而不同數學能力的 學生在「語言知識」、「表徵知識」、「基模知識」等各種不同的解題歷程知 識成份上有顯著差異。Hegarty, Mayer, and Monk (1995)研究指出成功的解 題者在解題時會依問題結構來建構解題的模式,而不成功的解題者則是依 問題字面上的數字及關鍵字直接作解題。以上之研究文獻可提供文字題教 學時豐富的參考資料。而研究者進一步認為可藉由各家學者所主張之解題 歷程理論作為結構性的分析工具。

貳、解題歷程相關理論

數學解題歷程包含許多複雜的心智運思活動與認知歷程。以下分別提 出Polya、Scheonfeld、Mayer等研究者的解題歷程模式,茲介紹如下。 一、Polya的解題歷程 對解題歷程有系統的提出,始自1945年Polya所著「怎樣解題」(How to solve it)開始。 Polya(2004)將解題歷程分為四個步驟,步驟如下:

(一)了解問題(understand the problem):解題者須能理解問題、找出 題目中的已知數、未知數、條件。

(二)擬定計畫(devise a plan):找出已知條件及未知條件之間的關係、 考慮與題目類似的問題並據以擬定解題計畫。

(三)執行計畫(carry out the plan):依據解題計畫執行計算,檢查每一 個步驟的正確性。

(四)檢查與回顧(look back):驗算答案是否正確、回顧全部的解答過 程。

二、Schoenfeld的解題理論

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(一)資源(resources):指解題者所具有的數學程序性知識。 (二)捷思(heuristics):指解題的技巧和策略,例如利用畫圖來幫助 解題。 (三)控制(control):指解題時擬定解題計畫,即決定該運用何種解 題資源、解題策略、解題技巧及決定使用的時機。 (四)信念系統(beliefs system):指解題者的數學觀,數學觀影響解 題者的解題行為及解題方法。 Schoenfeld將解題歷程分為讀題(reading)、分析(analysis)、探索 (exploration)、計劃-執行(planning-implementation)、驗證(verification)、 過渡(transition)六個階段,各階段及其相關引導提問如表2-1:

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表2-1 Schoenfeld的解題階段及相關問題表 一、讀題(reading) R1:是否有注意到問題的所有條件?條件是明顯的?或是模糊的? R2:是否有正確了解目標狀態?目標狀態是明顯的?或是模糊的? R3:是否有評估解題者現有知識與問題的關係? 二、分析(analysis) A1:選擇什麼觀點?觀點是明顯的或是不明顯的? A2:是否有根據問題條件採取行動? A3:是否有根據問題目標採取行動? A4:條件和目標有何關聯? A5:解題者的行動(A1-A4)合理嗎? 三、探索(exploration) E1:本階段是問題的條件導向嗎?或目標導向的? E2:所採行動有方向或重點嗎?行動有目的嗎? E3:有無監視行為?監視結果對解答有何影響? E4:解題者所採取的行為是否合理? 四、計劃-執行(planning-implementation) PI1:是否有計畫行為? PI2:計畫與解題有關係嗎?是否適當?是否有良好的架構? PI3:受試者是否有評估計畫的相關性、適切性、結構性? PI4:執行是否依計畫有系統的進行? PI5:是否在局部或整體層次評估執行? PI6:有無評估對結果的影響為和? 五、驗證(verification) V1:解題者是否有重新檢查解答? V2:是否有考驗解答,如果有的話,是如何考驗? V3:有無歷程及解答的評估,對解答的正確性有多少信心? 六、過渡(transition) T1:有無評估解答的當前狀態?若放棄一種解答途徑,是否企圖利用其中有用的部 份。 T2:有無評估先前放棄的解題途徑對解答所產生的影響大小為何?所採取的行動適 當而必要嗎? T3:在採取新途徑前,是否有先評估採取新途徑可能造成短程及長程的影響為何? 或直接採取新的方法? T4:採取新途徑後是否有評估採取新途徑造成短程及長程的影響為何?所採取的行 動適當而必要嗎? (資料來源:引自涂金堂,1999,頁301-302)

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Schoenfeld的解題歷程中,各階段彼此有重疊及交互作用的情形,例如: 「分析」階段與「探索」階段皆於「讀題」階段後便展開,兩者之差異在 於「分析」與「探索」相較,「分析」是較具系統與結構化的形式。而「過 渡」階段所提的相關問題,則是一個階段接續下一個階段時所產生的行 為,在每一階段中皆有運作(涂金堂,1999)。 三、Mayer的解題歷程理論 Mayer 強調數學解題是一複雜的認知運思活動,數學教學不應只是訓 練學生解得正確答案而已,更應該重視問題解決的歷程表現及學生對數學 概念是否有完整的理解。Mayer(1992)之解題歷程分為問題表徵(problem representation)及問題解決(problem solution)兩階段。並將數學解題歷程 及各解題步驟涉及的知識做分析。Mayer 認為在解題歷程中,每個步驟所 需運用的知識並不相同,「問題表徵」階段轉譯問題的過程需具備「語言 知識」和「語意知識」,並需運用「基模知識」以整合問題,「問題解決」 階段則需具有「策略知識」以擬定解題計劃與監控,解題的執行則有賴「程 序性知識」的運作。 Mayer 解題歷程理論各類型知識之定義與解析,以地磚問題(Mayer, 1992)來說明: 地磚問題:地磚是以邊長 30 公分的正方形來出售。如果每塊地磚的售 價是 0.72 美元,那麼以此種地磚鋪滿一個長邊為 7.2 公尺、寬邊為 5.4 公尺的長方形房間,總共要花多少錢? (一)語言知識(linguistic knowledge): 語言的知識,如認字、舉例:能分辨地磚(Floor tiles)及磚(tiles) 指涉同一物體,且能確認該房間為長 7.2 公尺、寬 5.4 公尺之矩形面積。 (二)語意知識(semantic knowledge):

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個等長的邊。 (三)基模知識(schematic knowledge): 關於問題類別的知識,如知道面積問題可透過計算公式,面積=長× 寬。 (四)策略知識(strategic knowledge): 使用不同類別的知識用於規劃與監控解題的技巧,以地磚問題為例, 解題者必須設定多個必要的次目標,例如求出房間的面積及求出共需要幾 塊地磚等,並進行計劃及監控。 (五)程序性知識(procedural knowledge): 如何執行一系列操作的知識,例如:如何將 38.88 除以 0.09。 以上資料整理為圖 2-1:

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圖 2-1 Mayer 之解題階段及知識類型(整理自 Mayer,1992) Mayer 之解題階段及步驟,分別說明如下(引自林清山,1997): (一)問題表徵階段:解題者於此階段透過「語言知識」轉譯問題敘述,理 解問題,並決定解題目標為何。再透過「基模知識」整合問題為一個 內化的心理表徵。此階段包含下述兩個步驟: 1、問題轉譯:將每一個陳述句做轉譯,以理解之語句轉化為個人能理 解的內在符號。需使用到「語言知識」及「語意知識」,解題者若 問題解決階段 解題計畫 解題執行 問題表徵階段 問題轉譯 問題整合 階段 階段 階段 階段 問題描述 解答 知識類型 知識類型 知識類型 知識類型 語意知識 語言知識 基模知識 策略知識 程序性 知識 以地磚問題為例 以地磚問題為例以地磚問題為例 以地磚問題為例 矩形房間長 7.2m 寬 5.4m 1 公尺等於 100 公分 面積=長×寬 1. 先求出矩形房間的面積 2. 計算出每塊地磚的面積 3. 以矩形房間總面積除以每 塊地磚的面積求得所需要 的地磚數量 4. 將所需要的地磚個數乘以 每塊地磚的單價得出總價 運算 7.2 × 5.4 = 38.88 0.3 × 0.3 = 0.09 38.88 ÷ 0.09 = 432 432 × 0.72 = $ 311.04

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缺乏這兩樣知識,就會造成問題轉譯的困難,包含重述問題的已知 條件、重述問題的解題目標等解題技巧。 2、問題整合:就是將題目中所有的陳述句整合成連貫一致的問題表 徵。問題整合須具備「基模知識」以區辨題型和整合問題。包括辨 識問題的類型、認識解題相關及不相關的資料、決定解答問題所需 要的資料、用圖示或畫圖的方式表示問題。 (二)解決問題階段:於此階段,解題者透過「策略知識」來進行解題計劃 與監控,透過「程序性知識」來執行解題。分為兩個步驟: 1、解題計畫及監控:能運用「策略知識」,選擇正確的解題計畫進行 解題並監控。「策略知識」例如將題目分成較小的次目標、下結論 等,都有助於成功解題。 2、解題執行:解題執行是指利用「程序性知識」,也就是執行運算的 法則,例如進行單純計算、進行連續計算。 由以上的討論可知,成功的解題首先要對題目有正確的了解,運用 「捷思法」或「策略知識」根據題目中所給予的各項資料及條件進行分析 及整合,以便決定策略、擬定解題計畫及執行監控並回顧,以達到解決問 題的目的。各家學者對於解題歷程的看法各有其不同的觀點。而 Mayer 的 解題歷程理論不僅將解題各階段定義分明,且對於解題各步驟所需要的各 項知識類型亦有充分的操作型定義與詮釋,作為文字題解題表現之分析架 構顯得相當明確與完整。

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第二節 國小因數與倍數教材分析

壹、九年一貫數學課程綱要

依據2008年教育部所公佈之國民中小學九年一貫課程綱要,國民中小 學九年一貫課程綱要(教育部,2008),將數學內容分為「數與量」、「幾何」、 「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。因數與倍數的教材歸屬於 「數與量」的主題中。茲將國小階段因數與倍數相關的能力指標加以整 理,如表2-2。 表2-2 因數與倍數相關能力指標 階段別 能力指標 說明 第一階段 (國小一、二年級) N-1-04 能理解乘法的意義,解決生活中簡 單整數倍的問題。 第一階段 (國小一、二年級) N-1-06 能理解九九乘法。 第二階段 (國小三、四年級) N-2-04 能理解除法的意義,解決生活中的 問題,並理解整除、商與餘數的概 念。 第三階段 (國小五、六年級) N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍 數。 第三階段 (國小五、六年級) N-3-04 能認識質數、合數,並能用短除法 做質因數分解。 第三階段 (國小五、六年級) N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與 兩數互質的意義,並用來將分數化 成最簡分數。 課程綱要的能力指標是依五大主題與四個學習階段的學習能力而訂

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定,但因多數指標須採分年教學,因此,依據階段能力指標演繹出分年細 目及分年細目的詮釋,以利教科書編輯及教師教學參考。茲將能力指標及 其分年細目整理如表2-3。 表2-3 因數與倍數相關能力指標及分年細目表 對照能 力指標 階段別 分年細目 備註 N-1-04 一年級 1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、 10 個一數等活動。 連結 N-1-01 N-1-04 二年級 2-n-06 能理解乘法的意義,使用×、 =做橫式紀錄與直式紀錄,並 解決生活中的問題。 連結 A-1-01 N-1-06 二年級 2-n-08 能理解九九乘法。 連結 A-1-02 N-2-04 三年級 3-n-05 能理解除法的意義,運用÷、 =做橫式紀錄(包括有餘數的 情況),並解決生活中的問題。 N-3-03 五年級 5-n-04 能理解因數和倍數。 N-3-03 五年級 5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍 數、最大公因數與最小公倍 數。 N-3-04 六年級 6-n-01 能認識質數、合數,並用短除 法做質因數的分解 (質數<20,質因數<20,被 分解數<100)。 N-3-05 六年級 6-n-02 能用短除法求兩數的最大公 因數、最小公倍數。 N-3-05 六年級 6-n-03 能認識兩數互質的意義,並將 分數約成最簡分數。 註:有若干分年細目採跨指標方式編列,於備註欄中註記。 由表 2-3 可知,依國民中小學九年一貫課程綱要規劃,國小學童於五 年級時正式接觸因數、倍數概念,綱要中明定國民小學高年級因數與倍數

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的教學單元須達成之教學目標、分年細目及分年細目詮釋整理如下: 一、能理解因數、倍數、公因數與公倍數(N-3-03):以 1-n-07(幾個一數), 2-n-08(九九乘法),3-n-05(除法)為前置經驗,理解因數、倍數的概 念。學生應學習基本的因數判別法,其中 2、5、10 較容易,3 的因 數判別法則由教師告知,11 暫不需要教學。用列表的方式,尋找兩 數的公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。學童應知道兩整數 的乘積一定是此兩數的公倍數,此可用於分數之通分。五年級時,只 是初步認識這些概念,學生只需用列表解題。短除法算則則在六年級 配合因數之短除法一起教學(6-n-02)。 二、能認識質數、合數,並能用短除法做質因數分解。(N-3-04):在 5-n-04(理解因數、倍數)製作整數的因數表時,可以發現有一些整 數不能再被分解,這些數稱為質數,他們的因數只有 1 與自己而已。 大於 1 且不是質數的整數(或有 3 個以上因數的整數)稱為合數。在 對一數做因數分解的練習裡,發現遇到質數就必須停下來。同時在 記錄分解的樣式及整理中,發現不管怎麼分解,形式都一樣。在小 學時,質因數分解的乘積不寫成指數形式。牽涉因數分解,都應遵 循如下原則:質因數<20,被分解數<100。學童應熟悉 2、3、5、 7、11、13、17、19 在 100 以內的倍數。最後,將上述經驗整合為 常用的短除法算則。可以要求學童將最後的分解由小到大排列,但 使用短除法時則不應對順序設限。 三、能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。(N-3-05):最大公 因數、最小公倍數的初步教學,以列舉觀察為主,熟悉其意義 (5-n-05)。本細目則更進一步以求質因數的短除法經驗(6-n-01), 發 展 以 短 除 法 計 算 兩 數 最 大 公 因 數 與 最 小 公 倍 數 的 方 法 (6-n-02),數目大小原則參見 6-n-01。學童應在過程中觀察到互質

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的意義,小學只處理兩個數的最大公因數和最小公倍數。兩數的最 大公因數是 1 稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如:14 與 15 雖然都是合數,但兩者互質。知道透過約分,可以將分數化成分 子和分母互質的分數,稱為最簡分數(6-n-03)。

貳、現行國小因數與倍數教材地位說明分析

現行國小五年級數學課本因數與倍數單元,內容最主要可分為因數、 倍數、公因數及公倍數四部份,因數與倍數在現今國小數學教材中的地位 說明如圖2-2,以康軒文教事業第九冊數學科教學指引為例:由圖2-2可 知,國小五年級時的因數與倍數單元學習重點為認識因數、倍數、公因數、 公倍數、瞭解因數與倍數的關係。而它又與整數的乘法、除法計算(如第 四冊第四單元、第七冊第三、五單元、第八冊第五單元),以及分數的約 分和擴分、通分、分數的四則運算(第九冊第五單元)有密切的關係,更是 升上六年級後,學習質數及合數、質因數分解、互質等概念的基石。若擁 有正確的因數、倍數、公因數、公倍數概念,將有助學習者後續於分數、 質數與合數等單元的成功學習,為重要的數學概念學習基礎。

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第四冊第四單元 ◎能在具體情境中,認識 乘法交換律 第七冊第三、五單元 ◎熟練數百乘以整十、數千 乘以整十、數百乘以整百 ◎熟練三、四、五位數乘以 二位數的直式計算 ◎熟練二位數除以二位數 的直式計算 ◎熟練三、四、五位數除以 二位數的直式計算 第八冊第一單元 ◎熟練二、三位數乘以三 位數的直式計算 ◎熟練四、五位數除以三 位數的直式計算 第九冊第二單元 ◎了解整除的意義與因數的關係 ◎認識正整數的因數及兩數的公因數 ◎認識正整數的倍數及兩數的公倍數 ◎理解因數與倍數的關係 ◎觀察並理解倍數的規律(2、3、5、10 的倍數) 第九冊第五單元 ◎能用約分與擴分處理等值分數的換 算 ◎能用因數與倍數來理解約分、擴 分,並作等值分數的換算 ◎在具體情境中理解通分的意義 ◎用通分作簡單異分母分數的比較與 加減 第十一冊第一單元 ◎認識質數與合數 ◎認識質因數並作質因數分解 ◎能利用列舉法或短除法,找出兩數的 最大公因數 ◎能利用列舉法或短除法,找出兩數的 最小公倍數 ◎認識兩數互質的意義 ◎能將分數約分成最簡分數 圖 2-2 因數與倍數教材地位說明圖 (資料來源:引自康軒文教事業第九冊數學科教學指引,2011)

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第三節 因數與倍數之相關研究

國小五年級時的因數與倍數單元學習重點為認識因數、倍數、公因 數、公倍數、瞭解因數與倍數的關係。而因數與倍數又與整數的乘法、除 法計算(四年級課程),以及分數的約分和擴分、通分、分數的四則運算(五 年級課程)有密切的關係。若擁有正確的因數、倍數、公因數、公倍數概 念,將有助學習者後續於分數的約分和擴分、通分、分數的四則運算等單 元之成功學習,為重要的數學概念學習基礎。有研究指出,因數與倍數概 念是學生理解比例概念、等值分數的先備知識,也是往後學習因式、倍式、 多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎(沈明勳、劉祥通,2002;黃 國勳、劉祥通,2003)。以上正可以說明因數與倍數學習的重要性。因數 與倍數概念的學習儘管相當重要,但許多研究發現,國小學童的因數、倍 數、公因數、公倍數知識之學習表現並不理想(林珮如,2002;邱慧珍, 2002)。因數與倍數的學習不僅概念上不易學習,學習因數與倍數概念亦 需重要的先備知識,因數與倍數概念與整數的乘除法形成一緊密的概念網 絡(劉秋木,1996),如圖2-3顯示,加減法及乘除法互為逆運算,加法為 乘法之下位概念,減法為除法之下位概念,乘除法概念延伸至因數與倍數 之概念。因此學生若未具備整數乘除法的能力則學習因數與倍數時會產生 困難。 乘法 除法 倍數 因數 公因數 公倍數 加法 減法 圖 2-3 因數與倍數概念網絡(修改自劉秋木,1996)

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研究者擔任五年級數學教師時,亦發現學生在學習因數、倍數、公因數、 公倍數單元時,對於因數、倍數、公因數、公倍數的相關概念理解並不透 徹,常有概念混淆的情形。根據何欣玫(2004)的研究也指出,學生因為 不了解數學特定的專有名詞,導致對因數、公因數概念的混淆不清。 因數及倍數教材的文字題解題更是許多學童深感困難的題型。林珮如 (2002)研究學童因數解題迷思概念發現:學童解因數、公因數的文字題 錯誤率均高於 85%,各類型因數問題中,以公因數文字題正確率最低,只 有 2.8﹪的學童做法和概念完全正確。而邱慧珍(2002) 研究學童倍數解題 迷思概念也發現:學童解公倍數、最小公倍數的文字題錯誤率均高於 40 %,是學童較感困難的部分。因數及倍數的概念較抽象且解題計算過程繁 複,學生常常陷入學習的困境,而因數與倍數的文字題更是學童學習因數 與倍數知識時,最大困難之所在。茲將國內因數與倍數相關之研究整理如 表 2-4:

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表 2-4 因數、倍數、公因數、公倍數相關研究 研究者 研究面向 研究發現 陳清義 (1996) 因數、倍數學習 瓶頸 1、質數、合數等概念的定義混淆不清。 2、解文字題時缺乏判斷題意之能力。 3、以關鍵字解題阻礙高能力學童自行思考解題的能力。 林珮如 (2002) 因數概念學習及 迷思概念 1、因數的錯誤解題策略有:乘除解題錯誤連結、誤解題意、關鍵 字解題錯誤、計算粗心。 2、迷思概念共有概念混淆不清、概念遺漏、概念錯誤。 邱慧珍 (2002) 倍數概念學習及 迷思概念 1、倍數的錯誤解題策略有:以乘除符號直接判斷是否為倍數、將 專有名詞誤解、認為 1 是倍數、遺漏數字本身是倍數、用猜測的 方式找解題策略、關鍵字解題、計算粗心、空白未作答。 2、迷思概念類型:概念混淆、概念遺漏或概念錯誤。 何欣玫 (2004) 因數與倍數解題 溝通之錯誤類型 1、語言概念錯誤:包括題意了解錯誤、語意知識不足、專有名詞 概念混淆; 2、認知概念錯誤:包括運思能力不足、粗心錯誤、運算系統錯誤、 直觀法則影響; 3、策略概念錯誤:解題策略錯誤、計劃監控失誤; 4、個人態度錯誤:包括厭惡思考、猜測。 陳渝 (2011) 低成就學生因數 與倍數之補救教 學 1、「專有名詞和概念混淆不清」的情況,透過實物的輔助教學與 教師的引導,可幫助學童學習理解數學語言。 2、透過補救教學活動,可減少「直觀法則與關鍵字解題」發生的 情況。 3、「誤解或看不懂題意」的情況相當普遍,透過具體物的操作, 可幫助學童理解文字題的題意。 周素萍 (2011) 因數、倍數的 概念結構 1、倍數為下位概念,而因數為上位概念,因此,在課程設計上建 議先引入倍數教材,再引入因數教材,以符合學童的認知發展。 2、部分學生缺乏因數與倍數為互逆的概念,也缺乏對文字的理解 能力,以致無法正確解釋因數與倍數的關係。 綜上之研究指出,學童於因數與倍數學習常見迷思概念及影響學童因 數與倍數成功解題之因素。然而國內針對因數與倍數學習之研究雖不少, 但多為因數、倍數概念學習或概念結構之探討,較缺乏聚焦於因數與倍數 文字題解題歷程之研究。故本研究擬以Mayer的解題歷程理論為主要架 構,透過研究者自編之試題瞭解學童於各解題步驟的表現,以得知學童是

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否真正的掌握因數與倍數等主題之概念,並透過晤談瞭解學生的解題歷 程,歸納出學生於因數與倍數文字題的解題策略,並歸結其錯誤類型,以 提出教學改善建議。

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第三章 研究方法

本研究採調查研究法,本章說明本研究之設計與實施方式,內容共分 五節。各節的主題分別為:研究架構、研究流程、研究對象、研究工具、 資料分析。

第一節 研究架構

本研究依據 Mayer(1992)解題理論,自編因數與倍數文字題解題 歷程測驗,根據施測結果,探討臺中市某國小五年級學童在因數、公因數、 倍數、公倍數文字題及其解題歷程四個步驟的表現。施測資料採量化統計 分析,並經由質性晤談,分析學童解題歷程的思考模式與錯誤類型。研究 架構如圖 3-1 圖 3-1 研究架構 因數與倍數文字題 解題歷程表現測驗 施測及晤談 不同數學成就學童解題歷 程的差異性 學童在不同解題步驟的解 題表現 學童在各解題步驟的錯誤 類型

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第二節 研究流程

本研究主要分成三個階段進行,說明如下:

壹、準備階段

首先蒐集數學文字題及因數與倍數研究的相關文獻,與指導教授討論 後決定論文的研究方向、研究方法,編製因數與倍數文字題解題歷程的研 究測驗工具。

貳、施測階段

先與指導教授及國小現職老師討論預試試題並作修改,然後進行預 試,作為試題分析、修改之依據,而後進行正式施測,做分析資料的搜 集。

參、報告撰寫階段

將施測的資料,用SPSS 12.0電腦軟體進行分析,了解五年級學童因 數與倍數文字題的解題歷程做答表現,而後進行晤談,並分析學童在因數 與倍數文字題解題上的錯誤類型。 綜合上述,整理本研究的實施步驟以流程圖呈現,如圖3-2所示:

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文獻蒐集及探討 研究目的及研究方法選定 編製因數與倍數文字題 解題歷程測驗 試題分析與修正 專家審查及試題修正 進行預試 正式施測 進行資料處理、統計分析 及晤談 結論及建議 圖 3-2 研究流程

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第三節 研究對象

本研究的對象是國小五年級的學童,受限於時間、人力及經費等因 素,以臺中市某一國小為選用的樣本,詳細說明如下。

壹、預試樣本

預試時間為100年12月,樣本取自臺中市某國小五年級1個班級,共 30名學童進行施測,剔除其中兩份做答不完整,有效樣本為28人,其中 男生14人、女生14人。

貳、正式樣本

正式施測樣本來自同一學校不同班級,時間為101年1月。正式施測 樣本數28人,其中男生15人、女生13人。

第四節 研究工具

壹、測驗編製

研究工具的編製,除了參考國內外相關文獻(王思佳,2010;何欣玫, 2004;林清山,1997;陳世杰,2005),並參考各版本國小五年級的數學教 科書內容,依據Mayer(1992)的解題架構中「問題轉譯」、「問題整合」、 「解題計畫與監控」、「解題執行」四個解題步驟,把每一題文字題細 分為四個子題,以了解學童對此四個解題步驟的掌握程度。茲將四個解 題步驟和五種知識類型在解題歷程中,與試題敘述的對照情形,整理如表 3-1。

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表3-1 因數與倍數解題歷程測驗試題與Mayer解題理論對照 解題歷 程步驟 知識類型 牽涉之解題技巧 試題敘述 問題轉譯 語言知識 語意知識 1.重述問題的已知條件 2.重述問題的解題目標 1.下面哪一句話是錯 的? 2.這個問題要你回答 的是什麼? 問題整合 基模知識 1.認識問題的類型 2.區辨問題中有關及無 關的條件 3.決定解答問題所需要 的資料 1.和這個題目類似的 題型是? 2.與算出答案無關的 資料是? 解題計畫 與監控 策略知識 以數字語句、方程式或 算式來表示問題 你要用何種方法來算 出答案? 解題執行 程序性知識 進行單純計算或連續計 算 這題的答案是?(請列 出算式及計算過程) 依據九年一貫數學領域課程綱要,五年級因數與倍數學習內容,涵 蓋因數、倍數、公因數、公倍數四個概念,因此,本測驗包含因數文字 題2個題組、倍數文字題2個題組、公因數文字題2個題組,和公倍數文字 題 3個題組,共計九個題組的測驗(如附錄一)。 測驗初稿完成後,研究者請三位不同程度之五年級學童接受施測, 藉以修改語意不清之題目,並請三位五年級教師審核試題敘述及內容, 修改題目以作為預試之版本。而後經過預試作為篩選題目之依據,才成 為正式施測之版本。

貳、評分標準

評分標準為單選題答對得 1 分,答案錯誤 0 分,數學列式給分方式係 參照何欣玫(2004)之文獻,將算式分成四部份給分,評分標準如表 3-2、 評分範例如表 3-3。

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表 3-2「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」評分標準 題號 題型 得分 評分標準 1-1、2-1、3-1 4-1、5-1、6-1 7-1、8-1、9-1 單選題 (問題轉譯) 1 分 答案正確 0 分 答案錯誤 1-2、2-2、3-2 4-2、5-3、6-2 7-2、8-4、9-2 單選題 (問題整合) 1 分 答案正確 0 分 答案錯誤 1-3、2-3、3-3 4-3、5-3、6-3 7-3、8-3、9-3 單選題 (解題計畫 與監控) 1 分 答案正確 0 分 答案錯誤 1-4、2-4、3-4 4-4、5-4、6-4 7-4、8-4、9-4 數學列式 (解題執行) 4 分 *解題方向正確 *四個算式皆完整且正確 3 分 *解題方向正確 *一個算式遺漏或不正確 2 分 *解題方向正確 *兩個算式遺漏或不正確 1 分 *解題方向正確 *三個算式遺漏或不正確 0 分 *解題方向錯誤 註:每一題的算式分成A、B、C、D四個部分作為給分依據

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表 3-3 評分範例 題號 試題內容 解答範例 評分標準 第 1 題 (因 數) 老師去書局買彩虹筆要當作 禮物送給班上的小朋友,每枝 筆4 塊錢,共買了 16 枝,要 怎麼分才可以使每個人分到 的筆一樣多,又可以剛好分 完,共有多少種分法? 16÷1=16 16÷2=8 16÷4=4 16÷8=2 16÷16=1 16 的因數有:1、2、4、8、 16---CCCC 答:有 5 種分法---DDD D A、B、C、D 每個步驟各 1 分,滿分 為 4 分。 若能完整寫 出 C,則 A、 B 步驟可省 略 第 2 題 (公因 數) 森林小學五年一班要舉辦小 組話劇比賽,需將全班的男 生、女生混合分組,分成 1~7 組,全班有 30 位學生,其中 有 18 位男生和 12 位女生,要 如何分組,才能使每一組的男 生、女生人數一樣多,且剛好 分完?有幾種分法? 18 的因數有:1、2、3、6、 9、18---AAA A 12 的因數有:1、2、3、4、 6、12---BBBB 12 和 18 的公因數:1、2、 3、6---CCCC 答:有 4 種分法---DDDD A、B、C、D 每個步驟各 1 分,滿分 為 4 分。 第 3 題 (倍 數) 花媽想買水果送人,看到蘋果 特價一顆 7 元,於是買了一大 簍蘋果回家,數量大約在 100 個至 120 個之間,回到家後, 將蘋果每 14 個裝成一盒禮 盒,剛好裝完,這ㄧ簍蘋果可 能有多少個? 120÷14=8 餘 8---AAAA 100÷14=7 餘 2---BBBB 14×8=112---CCCC 答:112 個蘋果---DDDD A、B、C、D 每個步驟各 1 分,滿分 為 4 分。 第 4 題 (公倍 數) 技安有一箱紅色及綠色的彈 珠,這箱彈珠有 200 多顆的彈 珠,其中紅色比綠色多 14 顆,每 16 顆分成一籃可以剛 好分完,每 20 顆分成一籃也 可以剛好分完,請問這箱彈珠 有多少顆? 200÷80=2 餘 40---AAAA 300÷80=3 餘 60---BBBB 80×3= 240---CCCC 答:240 顆彈珠--- DDD D A、B、C、D 每個步驟各 1 分,滿分 為 4 分。

A

B

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參、試題分析

一、測驗之難度分析: 因本測驗中以多元計分方式計分,因此試題難度採用以下公式作為難 度指數計算方式: 透過難度指數分析可知道這份試卷是否適合五年級的學童,過於簡單 ( p >.8)或過於困難( p < .3)應加以修正或刪除,本測驗之難度如表 3-4。 二、測驗之鑑別度分析: 本測驗之鑑別度分析採用“皮爾森積差相關係數分析法”作為本測 驗 的 鑑 別 度 分 析 法 。 此 分 析 法 透 過 統 計 學 的 相 關 係 數 (correlation coefficient),以表示該題的鑑別度。若該題得分越高,其總分亦越高,則 相關係數為正相關(positive correlation),顯示該題具有鑑別度;反之則否。 本測驗各試題之難度為.03 至.08 之間,難度適中;r 值皆大於 0,皆為正 相關,鑑別度佳。如表 3-4。 P (難度) X (該題平均得分) M (該題總分) P = X M

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表 3-4 測驗預試難度、鑑別度分析表 題號 難度 鑑別度 題組 1 0.50 0.51** 題組 2 0.63 0.61*** 題組 3 0.61 0.75*** 題組 4 0.68 0.57** 題組 5 0.38 0.47* 題組 6 0.45 0.60*** 題組 7 0.67 0.65*** 題組 8 0.79 0.71*** 題組 9 0.77 0.60*** * p < .05 ** p < .01 ***p < .001 三、測驗之信度分析: 本研究以克朗巴赫α信度(α信度)作為信度分析之工具,本試卷之 α信度為.84,顯見本試卷之內部一致性頗佳,信度良好。 四、測驗之效度分析: 採內容效度及專家效度方式分析之。 (一)內容效度 本研究之測驗是依據Mayer(1992)的解題理論,將解題歷程分為四個解 題步驟,因此配合因數、倍數、公因數、公倍數等四個概念,列出雙向細 目表,作為試題編製依據,建立內容效度,詳如表3-5。

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表 3-5 學習概念與 Mayer 解題歷程步驟雙向細目表 解題歷 程與試 題題號 問題表徵 問題解決 題數總計 問題轉譯 問題整合 解題計畫 與監控 解題執行 因數 1-1 5-1 1-2 5-2 1-3 5-3 1-4 5-4 8 公因數 2-1 8-1 2-2 8-2 2-3 8-3 2-4 8-4 8 倍數 3-1 6-1 3-2 6-2 3-3 6-3 3-4 6-4 8 公倍數 4-1 7-1 9-1 4-2 7-2 9-2 4-3 7-3 9-3 4-4 7-4 9-4 12 題數 總計 9 9 9 9 36 (二)專家效度: 本測驗編製過程中經指導教授、兩位任教五年級數學科教師及一位具 數學教育碩士資格之現職教師,檢視題目之適當性,以建立專家效度。

第五節 資料分析

本研究者正式施測問卷回收後,利用 Excel 軟體整理原始答題資料, 再以 SPSS 12.0 統計軟體進行量化分析,再以晤談作質性之探討。本研究 使用的方法如下所述: 壹、描述性統計 一、分析不同概念(因數、倍數、公因數、公倍數)及不同解題步驟之解題 平均得分及答對率。 二、分析不同性別的解題表現。 三、分析不同數學成就學童於解題歷程測驗之差異情形。 貳、皮爾森積差相關 利用皮爾森積差相關探討因數與倍數文字題解題歷程各步驟表現之

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間的相關性。 參、晤談法

利用與學童晤談方式了解學童解題時之思考模式,以歸納出學童解因 數與倍數文字題之錯誤類型。

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第四章 研究結果與分析

本研究旨在探討國小五年級學童因數與倍數文字題的解題歷程表現 並進而探究其錯誤類型。本章依據施測以及晤談所得的資料,分析五年級 學童解因數與倍數文字題時的解題表現,及其解因數與倍數文字題所產生 的錯誤類型,進而探究其背後的迷思概念。茲將研究結果分為三節加以討 論。第一節為施測結果描述性分析;第二節為不同數學成就之學童在因數 與倍數文字題解題歷程表現測驗之差異性;第三節為學童解因數與倍數文 字題的錯誤類型。

第一節 施測結果描述性分析

本問卷受試者有效樣本數共 28 位國小五年級學生,其中男生 15 名, 佔全部人數的 53.57%;女生有 13 名,佔全部人數的 46.43%。 研究者自編之「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」共有 9 個題組, 每組題目包含「問題轉譯」1 題,「問題整合」1 題(以上皆為單選題,每 題 1 分),主要在測驗學童對文字題題意之理解程度;另外還有「解題計 畫與監控」1 題(為單選題,每題 1 分)和「解題執行」1 題(需受試學童 自行列式並計算答案,每題 4 分),目的是要了解學童在文字題解題上的 表現。單一題組之滿分皆為 7 分。各題組之學習概念如表 4-1。

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表 4-1 因數與倍數文字題解題歷程表現測驗題號與學習概念 題號 概念 題號 概念 題組 1 因數 題組 6 倍數 題組 2 公因數 題組 7 公倍數 題組 3 倍數 題組 8 公因數 題組 4 公倍數 題組 9 公倍數 題組 5 因數

壹、因數與倍數文字題各概念得分

因數與倍數文字題解題歷程表現測驗正式施測,各題組得分表現如表 4-2。研究者將全體受試學生各概念(題組)的平均得分除以該概念(題組) 之滿分作為受試者於該概念(題組)的答對率。全體受試者於「因數」概念 之答對率為.44。「倍數」概念之答對率為.66。「公因數」概念之答對率 為.71。「公倍數」概念之答對率為.71。可知全體受試學生於「公因數」、 「公倍數」表現優於「倍數」、「因數」概念之表現(詳見表 4-3)。

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表 4-2 因數與倍數文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現 概念 題號 樣本數 滿分 平均數 答對率 標準差 因數 題組 1 28 7 3.5 0.5 2.53 因數 題組 5 28 7 2.68 0.38 2.39 倍數 題組 3 28 7 4.29 0.61 2.54 倍數 題組 6 28 7 3.18 0.45 2.21 公因數 題組 2 28 7 4.43 0.63 2.2 公因數 題組 8 28 7 5.54 0.79 2.32 公倍數 題組 4 28 7 4.79 0.68 2.22 公倍數 題組 7 28 7 4.68 0.67 2.7 公倍數 題組 9 28 7 5.36 0.77 2.26 表 4-3 因數與倍數文字題解題歷程表現測驗各概念得分表現 概念 樣本數 滿分 平均數 答對率 標準差 因數 28 14 6.18 0.44 3.76 倍數 28 14 7.46 0.53 3.88 公因數 28 14 9.96 0.71 3.83 公倍數 28 21 14.82 0.71 5.70

貳、因數與倍數文字題各解題步驟表現分析

研究者將全體受試者於各步驟的平均得分除以該步驟之滿分作為受 試者於該步驟的答對率。受試者於「問題轉譯」步驟之答對率為.71。「問 題整合」步驟之答對率為.66。「解題計畫與監控」步驟之答對率為.63。「解 題執行」步驟之答對率為.57。可知受試群體於「問題轉譯」步驟表現最 佳,優於「問題整合」步驟、「解題計畫與監控」步驟及「解題執行」步 驟之表現(詳見表 4-4)。

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表 4-4 因數與倍數文字題解題歷程各步驟得分表現 步驟 樣本數 滿分 平均數 答對率 標準差 問題轉譯 28 9 6.39 0.71 1.93 問題整合 28 9 5.96 0.66 2.05 解題計畫與監控 28 9 5.71 0.63 1.98 解題執行 28 36 20.36 0.57 8.46

叁、不同性別因數與倍數文字題各概念得分表現

在「因數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 6.18,其中 男生為 6.13 分,女生為 6.23 分;全體受試者之標準差為 3.76,其中男生 的標準差為 4.09,女生為 3.52。女生於此概念表現優於男生。 在「倍數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 7.46,其中 男生為 7.8 分,女生為 7.08 分;全體受試者之標準差為 3.88,其中男生 的標準差為 3.9,女生為 3.99。男生於此概念表現優於女生。 在「公因數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 9.96,其 中男生為 9.7 分,女生為 10.08 分;全體受試者之標準差為 3.83,其中男 生的標準差為 4.31,女生為 3.38。女生於此概念表現優於男生。 在「公倍數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 14.82, 其中男生為 14 分,女生為 15.77 分;全體受試者之標準差為 5.7,其中男 生的標準差為 5.88,女生為 5.56。女生於此概念表現優於男生(詳見表 4-5)。

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表 4-5 不同性別「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」各概念得分 概念 男生 女生 全體樣本 個數 15 13 28 滿分 平均數 標準差 平均數 標準差 平均數 標準差 因數 14 6.13 4.09 6.23 3.52 6.18 3.76 倍數 14 7.8 3.9 7.08 3.99 7.46 3.88 公因數 14 9.87 4.31 10.08 3.38 9.96 3.83 公倍數 21 14 5.88 15.77 5.56 14.82 5.7 合計 63 37.8 13.2 39.16 13.42 38.43 13.07

肆、不同性別因數與倍數文字題各解題步驟表現分析

整體而言,「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」總分 63 分,全體 受試學生平均分數為 38.43。其中女生平均 39.15 分,高於男生之平均 37.80 分。 在「問題轉譯」步驟表現上,全體受試學生的平均得分為 6.39,其中 男生為 6.2 分,女生為 6.62 分;全體受試者之標準差為 1.93,其中男生 的標準差為 2.34,女生為 1.39。女生於此步驟表現優於男生。 在「問題整合」步驟表現上,全體受試學生的平均得分為 5.96,其中 男生為 5.80 分,女生為 6.15 分;全體受試者之標準差為 2.05,其中男生 的標準差為 2.01,女生為 2.15。女生於此步驟表現優於男生。 在「解題計畫與監控」分步驟表現上,全體受試學生的平均得分為 5.71,其中男生為 5.73 分,女生為 5.69 分;全體受試者之標準差為 1.98, 其中男生的標準差為 1.79,女生為 2.25。顯示男生於此步驟表現優於女 生。 在「解題執行」分步驟表現上,全體受試學生的平均得分為 20.36,

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其中男生為 20.07 分,女生為 20.69 分;全體受試者之標準差為 8.46,其 中男生的標準差為 8.45,女生為 8.80。女生於此步驟表現優於男生(詳見 表 4-6)。 表 4-6 不同性別於「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」各步驟得分 解題步驟 男生 女生 全體樣本 個數 15 13 28 滿分 平均數 標準差 平均數 標準差 平均數 標準差 問題轉譯 9 6.2 2.34 6.62 1.39 6.39 1.93 問題整合 9 5.80 2.01 6.15 2.15 5.96 2.05 解 題 計 畫 與監控 9 5.73 1.79 5.69 2.25 5.71 1.98 解題執行 36 20.07 8.45 20.69 8.80 20.36 8.46 合計 63 37.80 13.20 39.15 13.42 38.43 13.07

伍、因數與倍數文字題解題歷程各步驟相關分析

研究者以受試學童於「問題轉譯」步驟得分與「問題整合」步驟、「解 題計畫與監控」步驟、「解題執行」步驟得分,交叉進行 Pearson 積差相 關分析。結果如表 4-7。 和「問題轉譯」相關係數最高者為「解題執行」,其次為「問題整合」, 最低者為「解題計畫與監控」,r 值分別為.574,.548、.535(p<.01); 和「問題整合」相關係數最高者為「解題計畫與監控」,其次為「解題 執行」,最低者為「問題轉譯」,r 值分別為.803、.746、.548(p<.01); 和「解題計畫與監控」相關係數最高的為「解題執行」,其次為「問題 整合」,最低的為「問題轉譯」,r 值分別為.841、.803、.535(p<.01); 和「解題執行」相關係數最高的為「解題計畫與監控」,其次為「問題

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整合」,最低的為「問題轉譯」,r 值分別為.841、.746、.574(p<.001)。 此分析結果顯示各步驟間均有顯著相關(詳見表 4-7)。 表 4-7 因數與倍數文字題解題歷程各步驟相關分析 問題轉譯 步驟得分 問題整合 步驟得分 解題計畫 與監控步 驟得分 解題執行 步驟得分 問題轉譯 步驟得分 - 問題整合 步驟得分 .548 ** - 解題計畫 與監控階 段得分 .535 ** .803 *** - 解題執行 步驟得分 .574 *** .746 *** .841 *** - **p<.01 ***p<.001

第二節 不同數學成就學童解因數與倍數文字題之差異

研究者以受試者國小五年級上學期之數學成績作為受試者數學成就之 指標,依序取前後 27%定義為高成就組,及低成就組,其他為中成就組。

壹、不同數學成就之學童於因數與倍數文字題各概念表現分析

在「因數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 6.18,其中 「高成就組」為 7.63 分,「中成就組」為 6.42 分,「低成就組」為 4.38 分;全體受試者之標準差為 3.76,其中「高成就組」為 1.92,「中成就組」 為 4.4,「低成就組」為 3.78。「高成就組」優於「中成就組」優於「低成 就組」。

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在「倍數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 7.46,其中 「高成就組」為 9.13 分,「中成就組」為 8.25 分,「低成就組」為 4.63 分;全體受試者之標準差為 3.88,其中「高成就組」為 4.09,「中成就組」 為 2.83,「低成就組」為 3.93。「高成就組」優於「中成就組」優於「低 成就組」。 在「公因數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 9.96,其 中「高成就組」為 11.75 分,「中成就組」為 10.92 分,「低成就組」為 6.75 分;全體受試者之標準差為 3.83,其中「高成就組」為 2.38,「中成就組」 為 2.54,「低成就組」為 4.89。「高成就組」優於「中成就組」優於「低 成就組」。 在「公倍數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 14.82, 其中「高成就組」為 18.25 分,「中成就組」為 16.92 分,「低成就組」為 8.25 分;全體受試者之標準差為 5.70,其中「高成就組」為 3.01,「中成 就組」為 3.32,「低成就組」為 5.34。「高成就組」優於「中成就組」優 於「低成就組」(詳見表 4-8)。 表 4-8 不同數學成就之學童於各概念表現 概念 分組 高成就組 中成就組 低成就組 全體樣本 個數 8 12 8 28 滿分 平均 數 標準 差 平均 數 標準 差 平均 數 標準 差 平均 數 標準 差 因數 14 7.63 1.92 6.42 4.4 4.38 3.78 6.18 3.76 倍數 14 9.13 4.09 8.25 2.83 4.63 3.93 7.46 3.88 公因數 14 11.75 2.38 10.92 2.54 6.75 4.89 9.96 3.83 公倍數 21 18.25 3.01 16.92 3.32 8.25 5.34 14.82 5.70 合計 63 46.75 6.43 42.50 9.62 24.00 11.26 38.43 13.07

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貳、不同數學成就之學童於各解題步驟表現分析

在「問題轉譯」步驟得分表現上,全體受試學生的平均得分為 6.39, 其中「高成就組」為 7.13 分,「中成就組」為 7.00 分,「低成就組」為 4.75 分;全體受試者之標準差為 1.93,其中「高成就組」為 1.25,「中成就組」 為 1.41,「低成就組」為 2.31。「問題轉譯」解題表現「高成就組」於優 於「中成就組」優於「低成就組」。 在「問題整合」步驟得分表現上,全體受試學生的平均得分為 5.96, 其中「高成就組」為 7.63 分,「中成就組」為 6.58 分,「低成就組」為 3.38 分;全體受試者之標準差為 2.05,其中「高成就組」為.92,「中成就組」 為 1.31,「低成就組」為 1.06。「問題整合」解題表現「高成就組」優於 「中成就組」優於「低成就組」。 在「解題計畫與監控」步驟得分表現上,全體受試學生的平均得分為 5.71,其中「高成就組」為 6.88 分,「中成就組」為 6.33 分,「低成就組」 為 3.63 分;全體受試者之標準差為 1.98,其中「高成就組」為 1.25,「中 成就組」為 1.56,「低成就組」為 1.60。「解題計畫與監控」解題表現「高 成就組」優於「中成就組」優於「低成就組」。 在「解題執行」步驟得分表現上,全體受試學生的平均得分為 20.36, 其中「高成就組」為 24.63 分,「中成就組」為 23.67 分,「低成就組」為 11.13 分;全體受試者之標準差為 8.46,其中「高成就組」為 5.15,「中 成就組」為 6.68,「低成就組」為 6.49。「解題執行」解題表現「高成就 組」優於「中成就組」優於「低成就組」(詳見表 4-9)。 另外,「高成就組」及「低成就組」的各解題步驟答對率比較:「問題 轉譯」步驟高於「問題整合」步驟高於「解題計畫與監控」步驟高於「解 題執行」步驟。

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表 4-9 不同數學成就之學童於各步驟表現 步驟 分組 高成就組 中成就組 低成就組 全體樣本 個數 8 12 8 28 滿分 平均數 答對率 平均數 答對率 平均數 答對率 平均數 標準差 問題轉譯 9 8 0.89 6.42 0.71 4.75 0.53 6.39 1.93 問題整合 9 7.25 0.81 6.08 0.68 4.5 0.50 5.96 2.05 解題計畫 與監控 9 6.88 0.76 6.33 0.70 3.63 0.40 5.71 1.98 解題執行 36 24.63 0.68 23.67 0.66 11.13 0.31 20.36 8.46 合計 63 46.75 0.74 42.5 0.67 24 0.38 38.43 13.07

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第三節 因數與倍數文字題解題歷程錯誤類型分析

本節依據學童對因數與倍數文字題不同題型的答題反應與答題狀 況,探討其錯誤類型,並經由晤談,深入了解學童解題歷程的思考模式與 迷思概念。在下面的說明和晤談摘要中,S代表受測的五年級學童,Sn表 示受測之第n位學生,T則代表研究者。 本研究測驗中,共有因數文字題、倍數文字題、公因數文字題、公倍 數文字題四種題型。以下將逐一列出各種不同題型的錯誤類型分析與晤談 摘要。

壹、因數文字題的錯誤類型

本測驗因數文字題共有2題,題目內容及正確率如表4-10。 表 4-10 因數文字題題號及內容 題號 內容 正確率 一 老師去書局買彩虹筆要當作禮物送給班上的小朋友,每枝 筆 4 塊錢,共買了 16 枝,要怎麼分才可以使每個人分到 的筆一樣多,又可以剛好分完,共有多少種分法? .5 五 森林國小五年一班舉辦綠化校園種花活動,班上有 28 位 學生,男生 16 位,女生 12 位,每人一棵玫瑰花苗,要種 成長方形花圃,而且每個人都要種,請問共有多少種法? .38 註:因題組內有多元計分之題型,因此,本研究將全體受試學生各題組的 平均得分除以該題組之滿分,作為該題組的正確率。 因數文字題學童答題平均正確率為.44,於本測驗四個概念中解題表 現正確率相對最低。學童作答時的錯誤類型如下: 一、專有名詞混淆誤用

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本測驗部分學童無法明確區辨因數、倍數、公因數、公倍數等專有名 詞不同的定義,以致在口語表達上或運算使用上有誤用的情況,如例一, 此學童第 3 題選擇找 16 的倍數,但其第 4 子題採用的是找 16 的因數解題 策略,不但算式十分完整,解答也非常正確,顯示其有專有名詞誤用的情 形。 例一 (題號一) (3)3.你要用何種方法來算出答案? (1)找 16 和 4 的公倍數 (2)找 16 和 4 的公因數 (3)找 16 的倍數 (4)找 16 的因數 4.這題的答案是(請列出算式及計算過程) 16=1×16 =2×8 =4×4 16:1、2、4、8、16 答:5 種 晤談摘要: T:這一題要你算的是什麼? S26:要算有哪些分法? T:那你覺得要怎麼求出答案呢? S26:找 16 的倍數。 T:16 的倍數有哪些? S26: 1、2、4、8、16。 T:這些是 16 的倍數嗎? S26: 應該是。

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二、無法整合題目原意與解題紀錄 解文字題時,學生沒有正確轉譯題目原意並與解題紀錄整合,以致最 後作答時無法完整陳述答案,造成解題錯誤。如例二、例三的學童能夠完 整找出 16 所有的因數,但卻無法整合題目原意(共有多少種分法?)與所求 出因數代表的意義,因此最後答只列出 1、2、4、8、16,無法寫出完整的 答案。 例二(題號一) (4)3.你要用何種方法來算出答案? (1)找 16 和 4 的公倍數 (2)找 16 和 4 的公因數 (3)找 16 的倍數 (4)找 16 的因數 4.這題的答案是(請列出算式及計算過程) 16 的因數有 1、2、4、8、16 答: 1、2、4、8、16

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例三(題號一) (4)3.你要用何種方法來算出答案? (1)找 16 和 4 的公倍數 (2)找 16 和 4 的公因數 (3)找 16 的倍數 (4)找 16 的因數 4.這題的答案是(請列出算式及計算過程) 16 的因數有 1、2、4、8、16 答: 1 枝、2 枝、4 枝、8 枝、16 枝 晤談摘要: T:你最後答寫的 1 枝、2 枝、4 枝是什麼意思? S19:每個人分 1 枝或每個人分 2 枝或每個人分到 4 枝。 T:為什麼要這樣寫 S19: 因為題目問要怎麼分。 T:題目是問可以怎麼分?還是問有幾種分法? S19:(又讀了一次題目)有幾種分法。 T:所以你的答案是? S19:應該是有 5 種分法。 三、將題目中所有出現的數字不合邏輯的運算 許多學童認為文字題是四則運算的應用,不懂得分析題意來解決問 題,產生題目中所有出現的數字都應該要運用在算式中的迷思(譚寧君, 1992)。

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如例四(題號一) 4.這題的答案是(請列出算式及計算過程) 16÷4=4 答:4 種 四、算則操作熟練但不理解因數的意義 學童能完整找出 16 所有的因數,但卻因為不理解因數的意義,因此 無法說明分法與結果,如例五。 例五(題號一) (4)3.你要用何種方法來算出答案? (1)找 16 和 4 的公倍數 (2)找 16 和 4 的公因數 (3)找 16 的倍數 (4)找 16 的因數 4.這題的答案是(請列出算式及計算過程) 16 的因數有 1、2、4、8、16 答:16 枝 晤談摘要: T:這一題要你算什麼? S24:要怎麼分 16 枝筆。 T:1、2、4、8、16 代表的是什麼? S24:16 的因數。 T:為什麼最後答為 16 枝? S24: 因為最後一個因數是 16。

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五、使用關鍵字解題 根據研究,在傳統教學上或學童解題策略上,會出現使用關鍵字解題 的情況,例如:看到「共」就用加的,看到「分」就用除的,因而得到錯 誤的解題訊息導致解題錯誤(吳沐馨,2009;何欣玫,2004;林碧珍,1989)。 本研究因數與倍數文字題解題歷程表現測驗中第五題為因數文字題,其難 度為.38,解題失敗的學童中,有32%的學生在解題計畫選擇用公因數求 解,經晤談發現,多數學童雖然讀懂題意,但無法辨別應該使用何種運算 策略來解題,因而採用關鍵字解題,認為題目中說每個人「都要」種,所 以應該要找男生和女生的公因數(如例六)。 例六(題號五) (1)3.要用何種方法來算出答案? (1)找 12 和 16 的公因數 (2)找 12 和 16 的公倍數 (3)找 28 的公因數 (4)找 28 的因數 4.這題的答案是(請列出算式及計算過程) 12 的因數:1、2、3、4、6、12 16 的因數:1、2、4、8、16 12 和 16 的公因數:1、2、4 答:3 種 晤談摘要 T:這一題要你回答的問題是什麼? S5:要算出總共可以有多少種不同的種法。 T:很好,那你覺得應該要怎麼算呢?

數據

圖 2-1 Mayer 之解題階段及知識類型(整理自 Mayer,1992)  Mayer 之解題階段及步驟,分別說明如下(引自林清山,1997):  (一)問題表徵階段:解題者於此階段透過「語言知識」轉譯問題敘述,理 解問題,並決定解題目標為何。再透過「基模知識」整合問題為一個 內化的心理表徵。此階段包含下述兩個步驟:  1、問題轉譯:將每一個陳述句做轉譯,以理解之語句轉化為個人能理 解的內在符號。需使用到「語言知識」及「語意知識」 ,解題者若問題解決階段 解題計畫解題執行 問題表徵階段 問題轉譯 問題整

圖 2-1

Mayer 之解題階段及知識類型(整理自 Mayer,1992) Mayer 之解題階段及步驟,分別說明如下(引自林清山,1997): (一)問題表徵階段:解題者於此階段透過「語言知識」轉譯問題敘述,理 解問題,並決定解題目標為何。再透過「基模知識」整合問題為一個 內化的心理表徵。此階段包含下述兩個步驟: 1、問題轉譯:將每一個陳述句做轉譯,以理解之語句轉化為個人能理 解的內在符號。需使用到「語言知識」及「語意知識」 ,解題者若問題解決階段 解題計畫解題執行 問題表徵階段 問題轉譯 問題整 p.24
表 3-2「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」評分標準  題號  題型  得分  評分標準  1-1、2-1、3-1  4-1、5-1、6-1  7-1、8-1、9-1  單選題  (問題轉譯)  1 分  答案正確 0 分  答案錯誤  1-2、2-2、3-2  4-2、5-3、6-2  7-2、8-4、9-2  單選題  (問題整合)  1 分  答案正確 0 分  答案錯誤  1-3、2-3、3-3  4-3、5-3、6-3  7-3、8-3、9-3  單選題  (解題計畫 與監控)  1 分  答案

表 3-2「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」評分標準

題號 題型 得分 評分標準 1-1、2-1、3-1 4-1、5-1、6-1 7-1、8-1、9-1 單選題 (問題轉譯) 1 分 答案正確 0 分 答案錯誤 1-2、2-2、3-2 4-2、5-3、6-2 7-2、8-4、9-2 單選題 (問題整合) 1 分 答案正確 0 分 答案錯誤 1-3、2-3、3-3 4-3、5-3、6-3 7-3、8-3、9-3 單選題 (解題計畫 與監控) 1 分 答案 p.40
表 3-3 評分範例  題號  試題內容  解答範例  評分標準  第 1 題  (因 數)  老師去書局買彩虹筆要當作 禮物送給班上的小朋友,每枝筆4 塊錢,共買了 16 枝,要怎麼分才可以使每個人分到的筆一樣多,又可以剛好分 完,共有多少種分法?  16÷1=16 16÷2=8 16÷4=4 16÷8=2 16÷16=1  16 的因數有:1、2、4、8、 16--------------CCC C  答:有 5 種分法-----DD D D A、B、C、D每個步驟各1 分,滿分為 4 分。 若能完整寫

表 3-3

評分範例 題號 試題內容 解答範例 評分標準 第 1 題 (因 數) 老師去書局買彩虹筆要當作 禮物送給班上的小朋友,每枝筆4 塊錢,共買了 16 枝,要怎麼分才可以使每個人分到的筆一樣多,又可以剛好分 完,共有多少種分法? 16÷1=16 16÷2=8 16÷4=4 16÷8=2 16÷16=1 16 的因數有:1、2、4、8、 16--------------CCC C 答:有 5 種分法-----DD D D A、B、C、D每個步驟各1 分,滿分為 4 分。 若能完整寫 p.41
表 3-4 測驗預試難度、鑑別度分析表  題號  難度  鑑別度  題組 1  0.50                0.51**  題組 2  0.63  0.61***  題組 3  0.61  0.75***  題組 4  0.68                0.57**  題組 5  0.38                0.47*  題組 6  0.45  0.60***  題組 7  0.67  0.65***  題組 8  0.79  0.71***  題組 9  0.77  0.60

表 3-4

測驗預試難度、鑑別度分析表 題號 難度 鑑別度 題組 1 0.50 0.51** 題組 2 0.63 0.61*** 題組 3 0.61 0.75*** 題組 4 0.68 0.57** 題組 5 0.38 0.47* 題組 6 0.45 0.60*** 題組 7 0.67 0.65*** 題組 8 0.79 0.71*** 題組 9 0.77 0.60 p.43
表 3-5 學習概念與 Mayer 解題歷程步驟雙向細目表  解題歷 程與試 題題號  問題表徵  問題解決  題數總計 問題轉譯  問題整合 解題計畫 與監控 解題執行  因數  1-1  5-1  1-2 5-2  1-3 5-3  1-4 5-4  8  公因數  2-1  8-1  2-2 8-2  2-3 8-3  2-4 8-4  8  倍數  3-1  6-1  3-2 6-2  3-3 6-3  3-4 6-4  8  公倍數  4-1  7-1  9-1  4-2 7-2 9-2  4-3

表 3-5

學習概念與 Mayer 解題歷程步驟雙向細目表 解題歷 程與試 題題號 問題表徵 問題解決 題數總計 問題轉譯 問題整合 解題計畫 與監控 解題執行 因數 1-1 5-1 1-2 5-2 1-3 5-3 1-4 5-4 8 公因數 2-1 8-1 2-2 8-2 2-3 8-3 2-4 8-4 8 倍數 3-1 6-1 3-2 6-2 3-3 6-3 3-4 6-4 8 公倍數 4-1 7-1 9-1 4-2 7-2 9-2 4-3 p.44
表 4-1 因數與倍數文字題解題歷程表現測驗題號與學習概念  題號  概念  題號  概念  題組 1  因數  題組 6  倍數  題組 2  公因數  題組 7  公倍數  題組 3  倍數  題組 8  公因數  題組 4  公倍數  題組 9  公倍數  題組 5  因數  壹、因數與倍數文字題各概念得分      因數與倍數文字題解題歷程表現測驗正式施測,各題組得分表現如表 4-2。研究者將全體受試學生各概念(題組)的平均得分除以該概念(題組) 之滿分作為受試者於該概念(題組)的答對率。全體受試者

表 4-1

因數與倍數文字題解題歷程表現測驗題號與學習概念 題號 概念 題號 概念 題組 1 因數 題組 6 倍數 題組 2 公因數 題組 7 公倍數 題組 3 倍數 題組 8 公因數 題組 4 公倍數 題組 9 公倍數 題組 5 因數 壹、因數與倍數文字題各概念得分 因數與倍數文字題解題歷程表現測驗正式施測,各題組得分表現如表 4-2。研究者將全體受試學生各概念(題組)的平均得分除以該概念(題組) 之滿分作為受試者於該概念(題組)的答對率。全體受試者 p.48
表 4-2 因數與倍數文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現  概念  題號  樣本數  滿分  平均數  答對率  標準差  因數  題組 1  28  7  3.5  0.5  2.53  因數  題組 5  28  7  2.68  0.38  2.39  倍數  題組 3  28  7  4.29  0.61  2.54  倍數  題組 6  28  7  3.18  0.45  2.21  公因數  題組 2  28  7  4.43  0.63  2.2  公因數  題組 8  28  7  5.

表 4-2

因數與倍數文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現 概念 題號 樣本數 滿分 平均數 答對率 標準差 因數 題組 1 28 7 3.5 0.5 2.53 因數 題組 5 28 7 2.68 0.38 2.39 倍數 題組 3 28 7 4.29 0.61 2.54 倍數 題組 6 28 7 3.18 0.45 2.21 公因數 題組 2 28 7 4.43 0.63 2.2 公因數 題組 8 28 7 5. p.49
表 4-4 因數與倍數文字題解題歷程各步驟得分表現  步驟  樣本數  滿分  平均數  答對率  標準差  問題轉譯  28  9  6.39  0.71  1.93  問題整合  28  9  5.96  0.66  2.05  解題計畫與監控  28  9  5.71  0.63  1.98  解題執行  28  36  20.36  0.57  8.46  叁、不同性別因數與倍數文字題各概念得分表現  在「因數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 6.18,其中 男生為 6.13 分,女生為

表 4-4

因數與倍數文字題解題歷程各步驟得分表現 步驟 樣本數 滿分 平均數 答對率 標準差 問題轉譯 28 9 6.39 0.71 1.93 問題整合 28 9 5.96 0.66 2.05 解題計畫與監控 28 9 5.71 0.63 1.98 解題執行 28 36 20.36 0.57 8.46 叁、不同性別因數與倍數文字題各概念得分表現 在「因數」概念得分表現上,全體受試學生的平均得分為 6.18,其中 男生為 6.13 分,女生為 p.50
表 4-5 不同性別「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」各概念得分  概念  男生  女生  全體樣本  個數  15  13  28  滿分  平均數  標準差  平均數  標準差  平均數  標準差  因數  14  6.13  4.09  6.23  3.52  6.18  3.76  倍數  14  7.8  3.9  7.08  3.99  7.46  3.88  公因數  14  9.87  4.31  10.08  3.38  9.96  3.83  公倍數  21  14  5.88  15

表 4-5

不同性別「因數與倍數文字題解題歷程表現測驗」各概念得分 概念 男生 女生 全體樣本 個數 15 13 28 滿分 平均數 標準差 平均數 標準差 平均數 標準差 因數 14 6.13 4.09 6.23 3.52 6.18 3.76 倍數 14 7.8 3.9 7.08 3.99 7.46 3.88 公因數 14 9.87 4.31 10.08 3.38 9.96 3.83 公倍數 21 14 5.88 15 p.51
表 4-9 不同數學成就之學童於各步驟表現  步驟  分組  高成就組  中成就組  低成就組  全體樣本 個數 8 12 8 28  滿分  平均數  答對率  平均數  答對率  平均數  答對率  平均數  標準差  問題轉譯  9  8  0.89  6.42  0.71  4.75  0.53  6.39  1.93  問題整合  9  7.25  0.81  6.08  0.68  4.5  0.50  5.96  2.05  解題計畫  與監控  9  6.88  0.76  6.33  0.

表 4-9

不同數學成就之學童於各步驟表現 步驟 分組 高成就組 中成就組 低成就組 全體樣本 個數 8 12 8 28 滿分 平均數 答對率 平均數 答對率 平均數 答對率 平均數 標準差 問題轉譯 9 8 0.89 6.42 0.71 4.75 0.53 6.39 1.93 問題整合 9 7.25 0.81 6.08 0.68 4.5 0.50 5.96 2.05 解題計畫 與監控 9 6.88 0.76 6.33 0. p.56
表 4-14 因數與倍數文字題解題錯誤類型  解題歷  程步驟  缺乏之知 識類型  錯誤類型  問題轉譯  語言知識  語意知識  1.語意理解力不足(未能找出條件內的倍數) 2.將題目中所有出現的數字不合邏輯的運算  問題整合  基模知識  1.無法區辨題型  2.缺乏解題的基模知識 3.使用關鍵字解題  4.讀題不完整,忽略題目重要條件  5.將題目中所有出現的數字不合邏輯的運算  解題計畫 與監控  策略知識  1.無法整合題目原意與解題紀錄  2.算則操作熟練但不理解因數的意義  3.將題目中所有

表 4-14

因數與倍數文字題解題錯誤類型 解題歷 程步驟 缺乏之知 識類型 錯誤類型 問題轉譯 語言知識 語意知識 1.語意理解力不足(未能找出條件內的倍數) 2.將題目中所有出現的數字不合邏輯的運算 問題整合 基模知識 1.無法區辨題型 2.缺乏解題的基模知識 3.使用關鍵字解題 4.讀題不完整,忽略題目重要條件 5.將題目中所有出現的數字不合邏輯的運算 解題計畫 與監控 策略知識 1.無法整合題目原意與解題紀錄 2.算則操作熟練但不理解因數的意義 3.將題目中所有 p.76

參考文獻

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