第四章 1723~1820 年間借根方與天元術的發展
1723~1820 年間是借根方與天元術在清朝紮根的時期，經由此時期算學家的 努力，借根方與天元術逐漸地成為算學家必備的基本知識。在紮根的過程中，借 根方與天元術間的互動，著實是這一時期算學發展最具特色的一環，亦充分反應 了當時的學術與社會背景。本章將透過內容中載有借根方、天元術的算書，來探 討此期算學家對借根方與天元術的研究，這些算書包括何夢瑤的《算迪》、梅 成的《赤水遺珍》、李銳的重校《測圓海鏡》與《益古演段》、《弧矢算術細草》、
《句股算術細草》、焦循的《天元一釋》、張敦仁的《緝古算經細草》、駱騰鳳的
《藝游錄》、《開方釋例》、安清翹的《學算存略》、張作楠的《量倉通法》、《方田 通法補例》、《倉田通法續編》、羅士琳的《比例匯通》。
借根方與天元術在 1723~1820 這近一百年時間中的互動，又以 1797 年為分 水嶺，本章第一節將分析 1797 年以前的借根方與天元術的發展，第二節則是分 析 1797~1820 年間的天元術發展，最後一節則為 1797~1820 年間的借根方發展。
4.1 1723~1796 年間的借根方與天元術
借根方雖在康熙晚年就由傳教士傳入清朝，但當時除了康熙本人及少數參與
《數理精蘊》編纂的算學家外，絕大多數的算學家仍不知借根方為何物。直至雍 正元年 (1723)《數理精蘊》頒行後，清朝算學家才得以經由《數理精蘊》習得 借根方。而在筆者所得見的算書中，何夢瑤的《算迪》一書是《數理精蘊》頒行 後，最早介紹借根方內容的算書。
圖七 《算迪》卷六
4.1.1 何夢瑤《算迪》一書中的借根方
借根方在 1723 年隨《數理精蘊》傳入民間後，便陸續有算學家以它為研究 對象，並載入自己所著的算書之中，何夢瑤的《算迪》即是一例。《算迪》中的 第六卷與第七卷就是何夢瑤從《數理精蘊》中習得的借根方。《算迪》卷六先說 明借根方的定位、加、減、乘、除法，接著解釋如何解帶縱平方、帶縱立方，最 後則是線類的問題與解法。卷七則先是面類的問題與解法，接著是體類，最後是 諸乘方表。雖然此一順序與《數理精蘊》略有出入，但看得出何夢瑤是遵循《數 理精蘊》的架構與內容。不過，從《算迪》卷六中，亦可發現何夢瑤對借根方的 內容作了一些改變：
1. 何夢瑤並未介紹《數理精蘊》中的多號「┴」、少號「┬」，而是「多者記Δ，
少者記、」，1「Δ」、「、」記在數字之上方或右邊，請參閱下列圖八、圖九、
圖十及圖十一。
2. 在算式的表達形式方面，何夢瑤不僅將《數理精蘊》中的橫式算式改成直式，
2在實際運算上亦與《數理精蘊》有所不同。例如在做加法時（參閱圖八），3 何夢瑤是「用格眼粉板，旁列立、平、根、真字號，以定位。隨對位直列二 數，數雖多，不逾本格。隨列隨記多、少，多者記Δ，少者記、。」4首先，
1 參閱何夢瑤，《算迪》卷六，頁 2a。
2 這應是何夢瑤受梅文鼎之影響。梅文鼎在《筆算》中表示：「筆算易橫為直，以便中土，蓋直 下而書者，中土聖人之舊而吾人所習也。」(引自梅文鼎，《筆算》，頁 3a。)
3 圖八是在作「四十二立方多十三平方少四根多十五真數與五立方多十二平方多一百二十七根少 一百三十五真數相加」。至於接下來的圖九是在作「四三乘方多二立方少四平方少五根多八真數 內減三三乘方多三立方少三平方少七根少四真數」。圖十是在作「二平方少三根與二根多四真樹 相乘」。圖十一是在作「十五三乘方多十一立方少十六平方多四十三根少三十五真數以五平方少 三根多七真數為法除之」。
4 引自何夢瑤，《算迪》卷六，頁 2a。
圖八 加法 圖九 減法 圖十 乘法 圖十一 除法
「格眼粉板」是《數理精蘊》中所未提及的； 其次，無論是加、減、乘、除 法，何夢瑤皆是「旁列立、平、根、真字號」、「隨對位直列二數」、「隨列隨記多、
少」，這種表示方式十分近似於中算「方程」的表示方式，而與《數理精蘊》
中的表示方式大不相同。
3. 何夢瑤將《數理精蘊》中的多號與少號理解成表示數字的正與負。筆者如此 認定的理由有四：一是在減法和乘法的計算中，何夢瑤將數字與所屬之「Δ」、
「、」記在同一格內；二是在《數理精蘊》中，首位是不標示多、少的，但 在《算迪》中，何夢瑤在減法減餘的首位標示「Δ」（參閱圖九），相同的情 形亦出現在乘法的法、實、得數上（參閱圖十）；三是何氏對於算式的表示法 十分近似「方程」；四是何夢瑤在《算迪》中明白指出，借根方之減法是「與 方程正負併減理同」6。由這四點可知，何夢瑤在對借根方的算式表示上，深 受中國傳統算學「方程」的影響，於是，以「方程」中的正、負來理解借根 方的多號、少號，也就不足為奇了。
4. 《數理精蘊》皆是先給出加、減、乘、除法的法則，然後再舉例題演示。何 夢瑤在《算迪》中卻是反其道而行，先給例題，然後透過例題分別呈現這些 法則。不僅如此，何夢瑤儘量用較少的例題來演示這些運算法則，最典型的 例子就是他對減法的處理。《數理精蘊》給出五個減法法則：多與多減且原數 大、少與少減且原數大、多與多減且減數大、少與少減且減數大、多與少減 或少與多減，7然後舉了八個例題演示。相較於《數理精蘊》的洋洋大觀，何 夢瑤只舉了一個例題：
如有四三乘方、多二立、少四平方、少五根、多八真數，內減三三乘方、多三 立方、少三立方、8少七根、少四真數，問所餘若干？9
以今日的符號表示：(4X4＋2X3－4X2－5X＋8)－(3X4＋3X3－3X2－7X－4)。
顯然何夢瑤便只透過這一例題，就同時呈現了《數理精蘊》中的五個減法法 則。
5. 《數理精蘊》不但給出加、減、乘、除法的法則，還一一作出算理上的解釋，
不過，這種方式並未被何夢瑤採納。何夢瑤僅僅對乘法法則進行解釋外，其
5 何夢瑤在《算迪》卷一說明如何用筆算計算數的加法時，就已提到「格眼粉板」（參閱《算迪》
卷一，頁 1a），但亦未對它多作說明，可見何夢瑤認為「格眼粉板」是相當基本的東西。筆者在 其他算書中亦未曾見到，類似的則有《算法統宗》中的「鋪地錦」。
6 引自何夢瑤，《算迪》卷六，頁 4a。
7 參閱《數理精蘊》下編卷三十一，頁 13a~13b。
8 根據何夢瑤所列之算式，「三立方」應改為「三平方」。
9 引自何夢瑤，《算迪》卷六，頁 3a。
餘則付諸闕如。有趣的是，筆者在前文 2.1.3 節「《數理精蘊》下編第三十一 卷的內容分析」中，曾提到《數理精蘊》對「少與少乘為多」的解釋，是建 立在幾何圖示上的，但不知何故並未畫出，不過，此圖示倒可在乘法該節的 例題五中清楚地看到。10想必何夢瑤亦十分清楚這一點，所以，他就以此例題 來解釋為何「少與少乘為多」，且無論是用詞或是圖形，皆與《數理精蘊》十 分相近。11
由上述五點可以看到，雖然何夢瑤《算迪》中的借根方內容是以《數理精蘊》
為本，但何夢瑤並非只是一味地抄襲。相反的，他是在吸收、消化了借根方的內 容後，再以自己屬意或是認為合適的方式表現出來。而在這整個過程當中，我們 可以清楚地看到固有知識（方程）對何夢瑤所產生的影響。一是在理解借根方的 多號與少號上，何夢瑤將它們分別解讀成正號與負號；二是在算式的呈現上，何 夢瑤將借根方的橫式算式，改成近於方程的直式形式。因此，可以說何夢瑤的借 根方是融合了中算方程的借根方，與原來《數理精蘊》中的借根方有著不同的風 貌。
《算迪》一書除了曾被何夢瑤拿來教學外，對借根方在清朝的傳播發揮了什 麼樣的作用，目前仍無法確定。相較於此，梅 成《赤水遺珍》的影響可就明顯 而深遠。
4.1.2 梅 成的「天元一即借根方解」及其影響
梅 成《赤水遺珍》一書「共二十九頁，其中有十三頁（頁 8~20）論及『借 根方』與『天元術』之對比，是清代數學家會通中西代數的起點。」12他在該書 的〈天元一即借根方解〉這一節中，敘述自己在蒙康熙授以借根方後，
竊疑天元一之術頗與相似，復取《授時歷》草觀之，乃渙然冰釋。殆名異而實同，
非徒曰似之已也。13
梅 成舉《授時歷》、《測圓海鏡》各一題、《四元玉鑑》兩題，先載其天元術草，
再以借根方解之，14以證明天元術與借根方的確是「名異而實同」。例如《測圓 海鏡》中，「或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之，問城徑 幾步？」一問，梅 成在對原細草改正、註釋後（見圖十二），再以借根方解之：
10 參閱本文 2.1.3 節「《數理精蘊》下編第三十一卷的內容分析」。
11 參閱何夢瑤，《算迪》卷六，頁 6a~6b。
12 引自洪萬生，〈數學典籍的一個數學教學的讀法：以《赤水遺珍》為例〉，《中國科技史同好會 會刊》第一卷第二期 (2000.7)，頁 35。
13 引自梅 成，《赤水遺珍》，頁 9a。
14 參閱同上，頁 11a~18b。
圖十二 借一根為半徑，於南行步內減去半
徑，得四百八十步少一根為餘股，
於東行步內減去半徑，得二百步少 一根為餘句，兩數相乘，得九萬六 千步少六百八十根多一平方為城 徑冪之半。存之。 又置一根自乘，
倍之得二平方，亦為城徑冪之半，
與存之之數相等，乃加減之，兩邊 各減一平方、各加六百八十根，得 一平方多六百八十根與九萬六千 步為相等。乃以九萬六千為實，六 百八十為縱，用帶縱平方開之，得 一百二十步為一根之數，即城之 半徑也。15
由上可以看出，梅 成以借根方解天元術，其實就是將天元術的術文，用借根方 的方式表示出來，對於天元術的列位、計算則隻字未提。不僅如此，他還用借根 方中的概念與術語來在解釋天元術的術語時，例如筆者所引述的這一題中，梅 成對天元術相消的解釋為「蓋左、右各消去一天元羃，則右餘一天元羃，與左餘 九萬六千少六百八十根相等。」（見圖十二）。因此，從現在的眼光來看，梅 成 不能算是真正地解讀天元術，他所呈現的天元術，是帶有借根方知識內涵的天元 術。不過，梅 成倒是深信自己確是證明了借根方與天元術「名異而實同」，因 此，在接連成功地以借根方解天元術之後，他對於李冶被唐順之譏為藝士著書一 事，提出一套平反說詞：16
《測圓海鏡》一書，前立圖解，條分縷晰，觀其自序：不計人之憫笑，而惟求自 得於心。似非有意秘惜者，但其細草，不將加減乘除之數寫出，而惟以號式代之，
在當下非不明顯，無如傳寫失真，竟至不可思議。然著書時初未計及於此也。17
自梅 成以借根方解天元術後，清朝算學家終於可對《測圓海鏡》與《益古 演段》中的天元術進行解讀。不過，梅 成證明天元術與借根方「名異而實同」
並不只有算學上的考量，還有為「西學中源說」尋得更有力的證據：
15 引自同上，頁 13b~14a。
16 有關明朝算學家唐順之、顧應祥對李冶《測圓海鏡》的批評，見本文第二章「2. 天元術」。
17 引自梅 成，《赤水遺珍》，頁 16b。
夫元時學士著書，臺官治歷，莫非此物，18不知何故遂失其傳。猶幸遠人慕化，復 得故物，東來之名，彼尚不能忘所自……19
此一說法得不僅得到官修《四庫全書》的支持：
歐邏巴人始以借根方進呈，聖祖仁皇帝授蒙養齋諸臣習之，梅 成乃悟即古立天 元一法，於《赤水遺珍》中詳解之。且載西名「阿爾熱巴拉」，即華言「東來法」，
知即冶之遺書流入西域又轉而還入中原也。今用以勘 西法，一一 合， 成所 說信而有徵……20
而且，它更幾乎成了後人對天元術與借根方的共識，不斷地被重述與引用，梅 成《赤水遺珍》一書對後世影響之鉅，由此可見。
梅 成的影響，不僅在借根方源自天元術一說上。在《赤水遺珍》之後、1797 年之前，整個清朝算學界對天元術的認識與論述，都是建立在他「天元一即借根 方解」之上，例如，四庫館員校《測圓海鏡》與《益古演段》、孔廣森批校《測 圓海鏡》，21都是利用借根方來解天元術。而戴震則是將梅 成的說法，延伸到 對秦九韶《數學九章》「大衍術」中「立天元一」的解讀：
以定數、奇數求乘之語下載立天元一算式，按立天元一法，見於元郭守敬之《歷 源》、李冶之《測圓海鏡》及四海之借根方者，皆虛設所求之數為一，與所有實數 反覆推求，歸於少廣諸乘方，得其積數與邊數，或正負廉隅而止；次用除法或開 方法得所求數，此數命定數為一，與奇數反覆商較，至餘一實數而止，其奇數所 積即為乘數。蓋其用不同，而法則無二也。22
正是因為戴震認為秦、李之「立天元一」「其用不同，而法則無二也」，所以，他 也就理所當然地認為秦九韶必曉天元術，只是並非以李冶書中的形式表達出來。
例如在注解《數學九章》卷三上第二問時，戴震就認為秦九韶「必如此費算者，
殆欲用立天元一法，不求分積即得所問之總積也。」23此種認知，也就造成了他 在注解《數學九章》卷三上時，多次以（他當時所認知的）天元術解題，並自得 地表示：
此卷以方圓斜直冪積相求，即方田、少廣、勾股諸法，而術中累乘累除，錯綜變
18 「此物」即指天元術。
19 引自梅 成，《赤水遺珍》，頁 9a。
20 引自〈測圓海鏡提要〉，《四庫全書總目提要》卷二十，頁 93。
21 孔廣森的批校見李儼，〈測圓海鏡批校〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第八卷，頁 28~36。
22 引自秦九韶，《數學九章》（《四庫全書》文淵閣本）卷一上，頁 1b~2b。
23 引自秦九韶，《數學九章》（《四庫全書》文淵閣本）卷三上，頁 8b。
換，與常法迴[殊]，然其本，則出於立天元一法，今擇其難解者以立天元一法明之，
皆不攻自破矣！24
總而言之，梅 成「天元一即借根方」不僅使得清朝算學家深信借根方確是 源自天元術，也使得算學家紛紛以借根方解天元術。一時之間，帶有借根方知識 內涵的天元術，成了算學圈所認識的天元術，而這種情形，一直到了 1797 年李 銳校完《測圓海鏡》之後，才有所變化。
4.1.3 小結
總結 1723~1796 年間的借根方與天元術的發展，梅 成著實扮演了十分關鍵 的角色。就筆者所得見的算書看來，在梅 成之前，清代算學家對借根方的研究 並不十分熱絡，除了何夢瑤外，幾乎沒有其他的算學家在所著的算書中討論借根 方。25李銳在嘉慶元年 (1796) 亦曾感嘆借根方未受到應有的重視：
凡九章所能御者，借根方盡能御之，九章所不能御者，借根方獨能御之。梅徵君 稱算法莫精於方程，銳謂借根方非方程所能及，國朝算學名家，梅總憲而外未見 有深明此術者，以故其學猶未大顯。26
李銳所謂「國朝算學名家，梅總憲而外未見有深明此術者」，雖不盡屬實，不過 倒也間接證明在梅 成之前，算學家研究借根方的風氣並不興盛。筆者認為造成 此種情形的可能原因有三：一是借根方對當時的算學家而言，是全新的知識內 容，在《數理精蘊》未刊之前，鮮有算學家能夠接觸到借根方，所以，在《數理 精蘊》刊行之後，算學家需要一段時間去學習、消化借根方的內容，何夢瑤就是 最明顯的例子。二是雖然《數理精蘊》有刊行，但從其繁浩的內容推估，其售價 應不是一般人所能輕鬆負擔的。屈曾發著《數學精詳》的原因之一就是「惜薄海 內外窮儒寒畯，未獲悉 [《數理精蘊》]全書」27；何夢瑤在舊作中加入《數理 精蘊》中的內容，也是因為鑑於《數理精蘊》「卷帙浩繁，難於購與讀」；28即使 到了道光年間，購《數理精蘊》亦非一件易事，江藩在〈算迪敘〉中指出：
寒士有志于九章、八線之術者，力不能購欽定諸書……。29
24 引自同上，頁 1a。
25 在 1723 年《數理精蘊》頒布前，陳厚耀著有《借根方比例》一冊，收入《陳厚耀算書》中，
參閱《中國數學史大系》第七卷，頁 351~357。
26 引自李銳寫給焦循的信，此信見郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，《談天三 友》，頁 133。
27 引自屈曾發，〈數學精詳自序〉，《數學精詳》。
28 參閱何夢瑤，〈算迪自序〉，《算迪》。
《數理精蘊》售價不斐，必定會延緩借根方的流傳。30三是借根方對當時的算學 家來說，並不具有必需性。借根方在數學上，比較接近於一種解題工具或方法，
不像是球面三角學或是八線，在數學上有明確的討論對象與應用領域；而作為一 種解題工具或方法，借根方又欠缺獨佔性，31 例如在《數理精蘊》卷三十四到 卷三十五中，共舉線類、面類、體類題目 141 題，而在每一題後面，《數理精蘊》
編者都會指出還可用何種方法解此題，比方說可用三色方程、雙套盈朒等等非借 根方的方法。編者此舉應是在展示借根方可用以解決許多種類的問題，但從另一 個角度來看，此舉卻也顯示除非算學家能充分認識到借根方在解題上的優勢，否 則，在短期之內，算學家將不會有強烈的動機去學習借根方，因為用舊有的算學 知識、解題工具就足以應付算學家所面臨的問題。也就是說，算學家可能會因此 忽略了借根方所能發揮的效用，例如屈曾發只將其視為「西人用算之捷徑」，又 因其「卷帙浩繁」而未載入《數學精詳》之中。32
借根方未得到算學界重視的情形，自梅 成後有了明顯的改變。在梅 成賦 予借根方「西學中源之證據」的光環後，借根方不但得到了乾嘉學派的重視，也 開始在算學家間形成一股風潮，四庫館員、戴震、孔廣森皆以借根方興復古學。
由此可見，梅 成的確對算學界產生了巨大的影響，不僅加速借根方在清朝的流 傳，亦讓算學家們為復興宋元數學累積必備的能量。
不過，儘管四庫館員所校之《測圓海鏡》、《益古演段》與戴震所校之《數學 九章》均收入《四庫全書》之中，但《四庫全書》在當時並不易見。33這對想要 一窺天元術究竟的算學家而言，仍是十分地不便，例如李銳就曾寫信請焦循代為 尋找此二書；34焦循亦曾經表示
然李氏書雖嘗版刻，而海內不多有，故學者習學借根方法，而於天元一之蘊，或
29 引自江藩，〈算迪敘〉，《算迪》。
30 雖然清朝此時的算學家亦常常向他人借算書來閱讀、抄錄，但以《數理精蘊》繁浩的內容，
抄錄必定要花費不少光陰。
31 筆者所謂某種方法具有獨佔性，意思是說某些很重要的問題非得用該方法才解的出來，或是 用該方法後，解題過程會變得十分容易。
32 參閱屈曾發，〈例言〉，《數學精詳》，頁 2b~3a。屈曾發未將借根方收入《數學精詳》的作法，
就招致清末算學家劉光蕡的批評：「屈氏為《九數通考》，取《比例規解》，遺《借根術》，昧其旨 矣！」（引自劉光蕡，〈九數通考補借根方序〉，此文可見於李儼，〈清季陜西數學教育史料〉，《李 儼錢寶琮科學史全集》第八卷，頁 312。）
33 《四庫全書》成書後，一共抄寫了七部，分別放置在北京皇宮中的文淵閣、北京郊區圓明園 中的文源閣、盛京（今瀋陽）故宮中的文溯閣、承德避暑山莊中的文津閣、江蘇鎮江的文宗閣、
揚州的文匯閣與浙江杭州文瀾閣，其中江浙三閣中的《四庫全書》允許士子借閱。除這七部之外，
在清宮翰林院中還有一部（也就是俗稱的第八部），供京師詞館諸臣和北方學人士子抄閱，不過，
翰林院中的這一部並非全是抄本，當中有許多是編纂《四庫全書》時所依據的底本。參閱黃愛平，
〈翰林院《四庫全書》底本考述〉，《清代學術文化史論》，頁 384
34 參閱郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，《談天三友》，頁 131。
有未窺者也。
因此，算學家大都只能間接地從梅 成的《赤水遺珍》獲得與天元術有關的內容。
36而梅 成由借根方入天元術的方式，也成為算學家研讀天元術的唯一途徑，談 泰便說：「泰於天元算例亦從西人入手。」37李銳與焦循在未見到《測圓海鏡》、
《益古演段》之前，亦只能就借根方討論天元術。38這種以借根方解天元術的情 形，到了 1797 年後，便出現了明顯的改變。
4.2 1797~1820 年間的天元術
《測圓海鏡》與《益古演段》在清朝流傳不廣的情形，在 1795 年阮元調任 浙江學政後，39出現了轉機。阮元憶道：
……立天元者，自古算家之秘術，而《海鏡》者，中土數學之寶書也，惜流傳之 本不可多得。元視學浙江，從文瀾閣《四庫全書》中鈔得一本，寧波教授丁君小 雅杰又以所藏書本見贈，但通之者鮮，細草多偽，因屬元和李君尚之銳算校一過。
40
乙卯，41君[按：指焦循]在元署中，得《益古演段》、《測圓海鏡》二書，急寄尚之，
尚之為之疏通證明。42
《測圓海鏡》、《益古演段》在阮元從《四庫全書》鈔出，經李銳算校 (1796~1797)，
最後由鮑廷博分別刊入《知不足齋叢書》第二十、二十一集後 (1798)，初步解 決了此二書不易見的問題。43而李銳這一校，不僅校出了天元術的原貌，也影響 了借根方與天元術在算學界勢力的消長。此消長之現象，可說是始自李銳對借根 方態度的轉變，因此，我們有必要對李銳接觸借根方與天元術的歷程作一考察。
4.2.1 李銳校李冶書的影響
35 引自焦循，《天元一釋》上卷，頁 1a~1b。
36 《赤水遺珍》一書附於《梅氏叢書輯要》之後，而《梅氏叢書輯要》於 1759 年出版，在算學 界流傳頗廣。
37 引自談泰，〈天元一釋序〉，《天元一釋》。
38 參閱郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，《談天三友》，頁 133。
39 參閱劉德美，〈阮元學術年表〉，《阮元學術之研究》。
40 引自阮元，〈重刻測圓海鏡序〉，《測圓海鏡》。
41 年代應是「丙辰」而非「乙卯」，參閱郭世榮，〈清代中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，
《談天三友》，頁 137。
42 引自阮元，〈通儒揚州焦君傳〉，《揅經室集》，頁 445。
43 參閱阮元，〈重刻測圓海鏡細草序〉，《測圓海鏡》。
筆者在前文 3.3.3 節「李銳」中介紹李銳的生平時，已提過李銳真正攻讀算 學，是在 1791 年拜入錢大昕門下之後：
憶自辛亥之冬，銳肆業紫陽書院，從先生受算學，先生始教以三角、八線、小圓、
橢圓諸法，復引而進之於古。44
雖然李銳接觸西法是由錢大昕引進，但李銳對借根方的熟悉，應該是自學而來 的。筆者持此論的理由有二：一是錢大昕並未有借根方的相關論述；二是李銳還 在錢大昕門下時曾說：「國朝算學名家，梅總憲而外未見有深明此術[按：指借根 方]者。」45所以，若李銳對借根方的認識是來自錢大昕的授業，那就不會出現此 語了。再說，以李銳在算學上的才華，自力讀懂借根方應不是件困難的事。筆者 對李銳如何習得借根方這麼慎重的原因，在於李銳對借根方的認識，著實是清朝 算學家的一大突破。梅 成對借根方在清朝傳播的貢獻前文已多所論及，但無論 是梅 成，或是後來的四庫館員、戴震與孔廣森，他們對借根方的認識並未觸及 整個數學架構的問題，不若李銳指出：
借根方即立天元一，則有天元一而後有借根方，有借根方而後有八線表，有八線 表而後有弧三角法，有弧三角法而後測驗密，測驗密而後推步精。46
不僅如此，李銳還大大推崇借根方的優越性，並歎其學之未顯：
凡九章所能御者，借根方盡能御之，九章所不能御者，借根方獨能御之。梅徵君 稱算法莫精於方程，銳謂借根方非方程所能及，國朝算學名家，梅總憲而外未見 有深明此術者，以故其學猶未大顯。47
李銳對借根方地位及優越性之說是否適宜，在此姑且不論，但值得注意的是，這 乃是李銳在深入了解借根方後，評論借根方的肺腑之言。48李銳這段對借根方的 陳述見於嘉慶元年 (1796) 五月初十寫給焦循的信中，當時李銳尚未見到《測圓 海鏡》與《益古演段》二書，仍以為借根方與天元術並無差別，所以，也就對借 根方相當地友善與推崇。但這種友善看待借根方與天元術關係的態度，在同年稍 晚校《測圓海鏡》與隔年校《益古演段》時，卻有了明顯的改變。
44 引自李銳，〈三統術鈐跋〉，《三統術鈐》。
45 引自李銳寫給焦循的第三封信，此信見郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，《談 天三友》，頁 133。
46 引自同上。
47 引自同上。
48 雖然這是李銳在「借根方即立天元一」的觀照下所說的，但仍不可否定這是李銳對借根方的 觀點。
根據鄭鳳凰的研究，李銳校《測圓海鏡》與隔年校《益古演段》的方法有三：
一是利用多個版本校勘；二是先歸結出原則，再用此原則去校注；三是以原書的 數學知識為考證基礎。49其中第三點「以原書的數學知識為考證基礎」，是李銳 能夠真正理解天元術的關鍵因素，而這種方法也具體呈現在他的校案之中。以校
《測圓海鏡》為例，天元術首見第二卷第十四問，李銳便在此問中詳盡解釋天元 術的術語涵意、布算方式與規則後，再依此校之後諸題。50李銳堅持忠於原著的 策略，避免了像梅 成、戴震諸人全然以借根方去解讀天元術的缺失，51因此，
李銳才能夠區別借根方與天元術，進而真正校出天元術的原貌。
然則筆者不免好奇，在校書之前仍篤信「借根方即立天元一」的李銳，何以 能夠在校書中及時選擇了正確的策略，而不會重蹈梅、戴等人的覆轍？筆者認為 這個問題可以從其師錢大昕身上找到解釋。錢大昕認為學算當「通乎古」，特別 是對西法，萬不可「習其術而為所愚弄」。52李銳親受錢氏教誨，不僅謹記於心，
更是發願要身體力行：
中法自《三統》以至《授時》、《大統》，載在廿四史者甚備，然史學家自吾師考異 而外，罕言及者。意欲隨術討論，於法之隱奧者詳說之，字之誤者正之，文之脫 者補之，不可考者闕之，俾古人創造之法、愈改愈密之苦心，不致泯沒無傳，則 一願也。53
由上可看出，正是這種「通乎古」的志向與「隨術討論，於法之隱奧者詳說之，
字之誤者正之，文之脫者補之，不可考者闕之」的考證方法，讓李銳得以突破前 人在認識上的侷限，區分出天元術與借根方的不同：
梅文穆公《赤水遺珍》「天元一即借根方解」，發三百年來算家之蒙，可謂有功矣！
惟立天元術相消與借根方兩邊加減實有不同，文穆於此似猶未達其旨。蓋相消之 法大略與方程直除相似，但以右行對減左行，或以左行對減右行，故曰相消。西 人易為加減，雖得數不殊，究不如古法簡易。54
而在《益古演段》的算校中，李銳更是透過對四庫館案的批評，傳達他對利用借
49 參閱鄭鳳凰，《李銳對宋元算學的研究─從算書校注到算學創作》，頁 76~77。
50 參閱本文 2.2.2 節「《測圓海鏡》中的天元術」。
51 雖然李銳亦用借根方的「虛數」、「真數」來解釋天元術的「天元」、「太極」，但他的目的是在 於幫助讀者理解後者，而非以前者取代後者，這由他不再繼續引用借根方的「平方」、「立方」等 可見一斑，參閱本文 2.2.2 節「《測圓海鏡》中的天元術」。
52 參閱本文 3.1.2 節「西學中源說之盛行」一節。
53 引自李銳寫給焦循的第二封信，此信見郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，
頁 130~131。
54 引自李銳，〈測圓海鏡跋〉，《測圓海鏡》。
根方解天元術的不滿：
案所據借根方加減法、平方及多、少字，亦惟借根方用之於古立天元一之文，則 甚無當也！55
相較於之前對借根方持友善態度的李銳，此時的李銳不僅強調借根方不同於天元 術，更強調借根方不如天元術簡易。李銳這種從推崇借根方到獨尊天元術的轉 變，開啟了借根方與天元術在算學界影響力逆轉的歷程。首先呼應李銳的就是阮 元。
阮元深受乾嘉復古之風與「西學中源說」的影響，終其一生皆致力於昌明中 法、證明中法優於西法，因此，我們也就不難理解為何他會特地從文瀾閣中抄出 李冶之書，並囑李銳算校。而阮元確也十分滿意李銳的成果，以「今之敬齋」推 崇李銳。56或許是因為阮元本身在算學學識上的限制，所以，他在收到李銳的成 果之時，並未對李銳天元術與借根方之辨表態，57然李銳獨尊天元術的意圖，倒 是為阮元全然接受：
其為術也廣大精微，無所不包，大之而躔離度數，小之而米鹽淩雜。凡它術所能 御者，立天元皆能御之；它術所不能御者，立天元獨能御之。……今歐邏巴本輪、
均輪、撱圓、地動諸法，其密合無以加矣。原其推步之密，由於測驗，測驗既精，
濟以算術，則有弧三角法；所以算弧三角者，則有八線表；所以立八線表者，則 先求六等邊、四等邊以至十八、十四等邊；其求十八等邊、十四等邊二法，則用 益實、減實、歸除；所謂益實、減實、歸除者，究其實即借根方，借根方即立天 元一。然則西法之精符天象、獨冠古今，亦立天元術有以資之也。58
這是阮元在嘉慶三年 (1798) 為重刻《測圓海鏡》所寫的序，茲對比李銳於嘉慶 元年五月初十寫給焦循的第三封信中的部分內容：
借根方即立天元一，則有天元一而後有借根方，有借根方而後有八線表，有八線 表而後有弧三角法，有弧三角法而後測驗密，測驗密而後推步精。……凡九章所 能御者，借根方盡能御克入，但所不能御者，借根方獨能御之。59
55 引自李冶，《益古演段》，頁 887。
56 參閱阮元，〈重刻測圓海鏡細草序〉，《測圓海鏡》。
57 阮元未對此表態的原因，也有可能顧忌借根方乃是御製《數理精蘊》中所載，批評借根方需 冒被指為批評皇室的風險，阮元身居高位，應是深知此理。從這個角度出發的話，阮元在〈重刻 測圓海鏡細草序〉中會說李銳算校乃「發明古人之術，闡釋聖祖之言者」，或許是有其算學外的 考量。
58 引自阮元，〈重刻測圓海鏡細草序〉，《測圓海鏡》。
59 引自李銳寫給焦循的第三封信，此信見郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，《談 天三友》，頁 133。
很明顯地，阮元將西法化約到天元術的手法與李銳如出一轍，不同的是阮元將李 銳對借根方優越性的推崇，轉為對天元術優越性的推崇。由於李銳自嘉慶二年 (1797) 為阮元幕客，為其編寫《疇人傳》，60所以，阮元對借根方與天元術的看 法得自李銳，應是不成問題。由此，我們亦再度看到李銳在借根方 vs.天元術態 度上的轉變。尤有進者，李銳對借根方態度的轉變，透過阮元而對清朝算學產生 十分深遠的影響，這可以徵之於後人不斷地呼應阮元〈重刻測圓海鏡細草序〉中 對天元術優越性的推崇：
馮桂芬〈天元算術序〉：「是書舉衰分、均輸、方程、倉田，以及割圜八線諸法，
無不入以天元，左右逢源，旁通曲鬯，凡以見他術不能馭者，天元能馭之；他術 不能一以貫之者，天元能一以貫之，用心可謂勤矣。」61
葉松亭在《天元一術圖說》「總論」中：「阮芸臺先生云：『少廣著開方之法，方程 別正負之用，立天元一者，融會少廣、方程而加精焉者也。其術廣大精微，無所 不包，大之躔離度數，小之米鹽淩雜，凡他數所能馭者，立天元皆能馭之；他術 所不能馭者，立天元獨能馭之。』」62
李善蘭〈重刻測圓海鏡序〉：「且算術大至躔離交食，細至米鹽瑣屑，法甚繁已，
以立天元一演之，莫不能得其法，故立天元一者，算學中之一貫也。」63
項思勛〈方程演元敘〉：「至於天元之妙，觀尹錫瓚所著之《天元算術》，知割圓八 線諸法，無不可入以天元，凡他術不能馭者，天元能馭之；他術不能一以貫之者，
天元能一以貫之。」64
李銳天元術與借根方不同之論，雖未獲阮元公開支持，但仍獲得當時其他算 學家如談泰、焦循的聲援。談泰在〈天元一釋序〉中表達了他對算學家用借根方 解天元術的不滿：
天元一術顯於元代，終明之世無人能知。本朝梅文穆公知為借根方之所自出，可 謂卓識冠時。而篇中步算仍用西人號式，於李學士遺書未能為之闡明，古籍雖存，
不絕若線矣！……吾儕托生中土，不能表章中土之書，使之淹沒而不著，而數百
60 參閱傅祚華，〈《疇人傳》的編寫〉，頁 231。
61 轉引自諸可寶，〈尹錫瓚〉，收入《疇人傳彙編》，頁 809。
62 引自葉松亭，《天元一術圖說》，頁 12b。此書收入《叢書集成續編》第 76 冊。
63 轉引自諸可寶，〈李善蘭〉，《疇人傳彙編》，頁 836。
64 引自項思勛，〈方程演元敘〉。《方程演元》一書為方貞元著，劉承幹將它收入《吳興叢書》時 改名為《爨桐廬算賸續編》，此書收入《叢書集成續編》第 76 冊。
年來但知西人之借根方，不知古法之天元一，此豈善尊先民者哉！65
談泰曾著有《天元釋例》四卷，66今雖不得見，但由談泰在上引文中的氣憤填膺 看來，此著的目的也就可想而知了。至於焦循則肯定李銳辨天元術「相消」不同 於借根方「兩邊加減」的努力：
吾友元和李尚之銳，精思妙悟，究核李氏全書，復辨別天元之相消異乎借根之加 減，重為挍注，奧秘益彰，信足以紹仁卿之傳而補文穆所不逮也。67
李銳對天元術所提出的澄清與推崇，透過阮元、焦循等人的傳播，很快地就 得到學界的廣泛支持，並引起一股研究、發揚天元術的熱潮。這種情形對李銳而 言，無異是如魚得水，因為此熱潮提供了絕佳的環境，讓李銳得以致力於天元術 的發揚，並兼及其他古算書的研究。例如嘉慶七年 (1802) 他應張敦仁之邀，助 張敦仁以天元術完成《緝古算經細草》，並在隔年助其完成《求一算術》。李銳除 了助人外，自己也有以天元術發揚中法之作，例如《輯古算經衍》一書便是用天 元術注解《緝古算經》，目的在於彰顯天元術之神妙，不過由於此書並未刊刻，
且有史家懷疑此書為張敦仁《緝古算經細草》的藍本。筆者在此先不討論此書，
待下文 4.2.3 節「張敦仁與《緝古算經細草》」一節再作討論。除《輯古算經衍》
一書外，其《弧矢算術細草》亦為發揚天元術之著作：
說弧矢者，肇於《九章》〈方田〉，自是以後，北宋沈括以兩矢冪求弧背，元代李 冶用三乘方取矢度，引信觸類，厥法綦詳矣！明顧箬溪應祥作《弧矢算術》，既如 積之未明，徒開方之是衍，務末遺本，不亦 呼！銳受學師門，泛觀古籍，研九 數者十年，冀千慮之一得，爰集弧矢之問，入以天元之法，凡十三術，都為一卷，
願與海內游藝之士，共審正焉。68
至於李銳另一本與天元術有關的著作─《句股算術細草》，則是為教導其弟子所 作，目的是讓弟子知道「隨問立術有一以貫之者」，69而這「一以貫之者」正是 指天元術。此書雖是李銳為授徒句股知識而作，但李銳在此書中運用天元術有系 統地研究句股問題，讓此書得到如張敦仁、焦循與李潢等人的大加讚賞。70此外，
李銳也用「出入相補」來證明句股定理，使得李銳被認為是第一個揭示劉徽方法 真諦的人，此舉深深影響後來清朝算學家在劉徽注文上研究。71
65 引自談泰，〈天元一釋序〉，《天元一釋》。
66 參閱李迪編，《中國算書目匯編》，頁 86。
67 引自焦循，《天元一釋》上卷，頁 1b。
68 引自李銳，《弧矢算術細草》，頁 1。
69 參閱劉鈍，〈勾股算術細草提要〉，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五，頁 67。
70 參閱同上。
71 參閱同上，頁 69。
4.2.2 焦循與《天元一釋》
在李銳所帶動的這股研究熱潮中，焦循也扮演了一個舉足輕重的角色。焦循 與李銳的友誼始自嘉慶元年起的書信往來，透過書信中對算學的討論，焦循肯定 李銳在算學上的才能，因此，他才會將李銳引薦給阮元。而焦循在嘉慶二年（或 三年）收到《測圓海鏡》李銳所校本及《測圓海鏡》刻本後，便悉心研究天元術，
並用以教授子弟。《天元一釋》一書可視為焦循在天元術方面的研究心得：
循習是術，因以教授弟子。或謂仁卿之書，端緒叢繁，鮮能知要，因會通其理，
舉而明之。72
《天元一釋》成書於嘉慶四年十二月 (1800)，後收入《里堂學算記》再版本刊 行。隨著《里堂學算記》在清朝頗為流傳，直到清末，仍有許多叢書收錄《天元 一釋》。73根據史家的研究，焦循在算學研究上的一大特色是對於算理的重視，
而此特色也在《天元一釋》中充分展現，該書多是對天元術算理的討論與對名詞 的解釋和澄清，少有對天元術算法的說明，這與李銳的校案大相逕庭，李銳多是 針對天元術的算法，而鮮少觸及算理的討論。焦循此書雖是針對天元術而作，但 其內容並不僅限於天元術，還包括對天元籌式的分類、秦九韶與李冶兩人所用增 乘開方法的比較、秦九韶與李冶兩人「立天元一」的辨異、天元術與《九章算術》
的關係等等，74筆者在此並不一一詳述，僅針對下列兩點略論焦循與李銳的不同 之處。
首先是焦循對相消的解釋。李銳在《測圓海鏡》校案中云：「相消即相減，
方程所謂直除是也。」焦循對李銳此說並不贊同，並在《天元一釋》中區分相消 與相減、直除不同之處。為此，他在《天元一釋》下卷第五則中先辨別相消與相 減的異同：
相消與相減，皆同減而異加也。然相減者，有減餘者也，相消者，無減餘者也。75
相消與相減在作法上都是同減異加，但相消是兩相等同數相減，並沒有減餘，所 以，焦循更進一步說：「相消乃相減之一端。」76而在下卷第十則中，焦循不僅 再次重申減餘之有無，是相消與相減不同之處，也說明那是相消與直除相異之
72 引自焦循，《天元一釋》上卷，頁 1b。
73 參閱朱家生，〈天元一釋提要〉，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，頁 1411。
74 參閱鄭鳳凰，《李銳對宋元算學的研究─從算書校注到算學創作》，頁 86~91；蘇俊鴻，《焦循
《加減乘除釋》內容分析》，頁 29~30。
75 引自焦循，《天元一釋》下卷，頁 13a。
76 引自同上，頁 13b。
處。不過，減餘的有無並不是焦循區分相消與直除的唯一依據，兩者在意義上的 不同，才是焦循認為兩者相異的理由，他在下卷第十三則「其同減異加，則盈不 足之義也」說明此點：
同數相消，似于方程，乃細揆之，實為盈不足之理。何也？方程之直除，可同減 異加，亦可異減同加。惟盈不足，則止可同減，不可異減；止可異加，不可同加。
天元一之相消，亦然。77
由上可看出，焦循認為方程之直除可以異加，亦可以同加，而天元術之相消只可 以異加，這是焦循認為直除與相消不同的地方。換言之，焦循會有此見，肇因於 他誤以為方程所謂的直除，指的是（以現在的術語來說）方程組中兩個方程式的 對加或對減，78因此，才會不同意李銳之說。雖然焦循誤解了方程直除的意義，
但透過盈不足術的啟發，他卻有了很重要的發現：
蓋方程之兩色相對，各樹一幟，雖有隱伏，而自備和較之全。盈不足之多數、少 數，止露其端倪，兩行之差，不啻呼吸相關，縷牽身動。和較備者，加減可無定；
止有差者，加減必有定也。天元一下為實數，即盈不足之出率也；上為多數、少 數，即盈不足之兩盈、兩朒、一盈一朒也。79
所以，天元術的寄左數與又數兩行，
必兩相消而後和較乃備，是未消則盈不足之兩行，既消則方程之一色也。80
簡言之，焦循藉由盈不足術指出，方程中作直除的兩行與天元術中作相消的兩 行，在本質上並不相同此一事實。以現今的角度與術語來說，此不同在於天元術 的相消是兩個多項式的相減，而方程的直除則為兩個方程式的相減，也就是說相 消與直除所操作的數學物件 (mathematics object)，在本質上有著多項式與方程式 的差異。雖然焦循未能充分掌握等式的概念，來釐清方程直除與天元術相消的不 同，但他藉由方程的和較與盈不足的多數、少數來闡述，亦可說是往正確的方向 邁了一步。焦循在請李銳為《天元一釋》作序之前，曾將此一心得修書告訴李銳：
77 引自同上，頁 27b~28a。
78 「直除」一詞首見於《九章算術》〈方程章〉第一題中的「以右行上禾遍乘中行，而以直除。」
劉徽對此句的注解為：「為術之意，令少行減多行，返覆相減。」（見郭書春譯注，《九章算術》，
頁 400~401）戴震校此句時謂：「直除猶言對減也。」（見武英殿聚珍版《九章算術》卷八，頁 1b）
李潢則說：「除即減也。」（見李潢，《九章算術細草圖說》卷八，頁 6a）數學史家郭書春則說：
「所謂直除就是整行與整行對減。」（見郭書春，《古代世界數學泰斗─劉徽》，頁 44）由上述可 知，「直除」只有「對減」之意，並無「相加」之意。
79 引自同上，頁 28a。
80 引自同上。
兄謂相消為近方程直除，與借根用加減異，真精確不刊。乃循嘗細推之，天元一 之相減與方程直除亦微有不同。何也？方程兩色各備和較，故可以異加，亦可以 同加，和較備則消息相通也。天元一本消之前，有和而較不備，或有較而和不備，
其寄數、又數兩列，不啻盈不足之有出率、有差數，故止可異加，必不可同加，
亦如盈不足之必用同減異加也。81
不過，從焦循在信中與書中的結論並沒有改變推測，很有可能焦、李兩人並沒有 針對此一見解不同之處，作更深入的討論，原因為何並不清楚。但是焦循在本書 卷首肯定李銳辨別天元術之相消與借根方之兩邊加減不同時，也提醒讀者：
而所論相消、相減，閒與尚之之說差者，蓋尚之主辨天元借根之殊，故指其大概 之所近，循主述盈朒和較之理，故析其微芒之所分，閱者勿疑有異義也。82
顯然焦循希望讀者「勿疑有異義」，透露了他不想在此點上與李銳爭論，而李銳 應是深明焦循的用意，於是在〈天元一釋序〉中，對焦循此一見解不同之處，便 隻字未提。焦、李二人的刻意迴避，也就使得此一事件無疾而終了。83
儘管焦循不同意李銳在天元術相消與方程直除上的看法，但對於李銳借根方 兩邊加減「究不如古法簡易」之說，焦循倒是在《天元一釋》中給予支持。焦循 在《天元一釋》下卷第十則中，詳加解釋「借根之用加減，與相消法異而數同，
何也」後，斷言借根方之兩邊加減乃是「多費一番加減也」，並提醒學者算學未 必皆後人勝於前人。84
筆者針對《天元一釋》所要談的第二點，就是焦循對中、西法的態度。根據 史家對焦循的研究，焦循雖被視為中法派，但與其他中法派的算學家如李銳、張 敦仁、駱騰鳳等人相較之下，焦循對西法持著比較開放、工具論傾向的態度，85 而此一態度亦可從《天元一釋》中窺得端倪，例如上卷第三則「三者互相例，以 成盈朒和較」中：
《九章算術》于盈不足術、粟米、方程、均輸皆以比例齊同之法得之，循于《加 減乘除釋》既詳言之矣。……天元一術不過以子母互為齊同比例而已矣！86
81 引自焦循寫給李銳的信，此信見郭世榮，〈清中期數學家焦循與李銳之間的幾封信〉，《談天三 友》，頁 135~136。
82 引自焦循，《天元一釋》，頁 1b。
83 焦循連結天元術與盈不足術此舉，直到清末時，才得到算學家華蘅芳的回應。參閱華蘅芳，《學 算筆談》卷五中的「論盈朒之術與天元相似」。
84 參閱焦循，《天元一釋》下卷，頁 24b~25a。
85 參閱蘇俊鴻，《焦循《加減乘除釋》內容分析》，頁 111~112；洪萬生，〈焦循給李銳的一封信〉，
《談天三友》，頁 147。
86 引自焦循，《天元一釋》上卷，頁 2b~3a。
焦循此說的目的，顯然是為了指出「《九章》中雖未及此術[按：指天元術]，實 自具此理也。」87不過，透過西學的比例來論述，此一手法並不是一般中法派學 者所樂於採用的。《天元一釋》中出現比例概念或術語的並不止於此，例如上卷 第九則、第十一則、下卷第一則、第二則、第三則、第七則、第八則與第十七則，
皆可見「比例」一詞的蹤影，可知焦循使用「比例」並非是無意的。焦循對比例 的喜愛，早在《加減乘除釋》一書中即表露無遺，該書第七卷皆是針對比例的討 論，目的是利用比例將部分傳統中算的算理解釋得更為清楚。88由此推之，焦循 之所以會在《天元一釋》中引進比例，除了對比例的喜愛外，能否清楚解釋算理，
應該也是他的考量之一。89
另一個可看出焦循對西法態度的例子，就是借根方術語的使用。筆者在前文 中已說明，在李銳校《測圓海鏡》之前，算學家所認識的天元術並非是李冶的天 元術，而是以西學借根方為內涵的天元術。90李銳在校《測圓海鏡》與《益古演 段》時，不僅具體指出借根方與天元術的不同之處，在校案中也儘可能地以天元 術原來的詞彙來陳述，而在之後的天元術著作如《弧矢算術細草》、《句股算術細 草》，則全然不見西法的術語了。相較於李銳的嚴守中、西分際，焦循的用詞就 顯得彈性許多，上述的比例即為一例。而對於李銳極力避免的借根方術語，焦循 則在《天元一釋》下卷第九則中，用來解釋《測圓海鏡》中的天元算式：
循按：置南行步減天元者，積數四百八十中少天元一也；置東行步減天元者，積 數二百中少天元一也。91
循按：加于行步之外，則為四百八十步多一天元、二百步多一天元也，……故為 九萬六千步，多六百八十元、一天元冪也。……九萬六千步多六百八十天元一天 元冪，與一千六百步二天元適相等，其義亦猶是也。92
焦循注解中的「多」、「少」與「相等」並非天元術的用語，而是取自借根方的術 語。這種情況亦出現在《天元一釋》下卷第十三則中。焦循之所以會有此舉，應 當與他引進比例的用意相同，也就是說，焦循應當是在幫助讀者理解天元術的目 的下，選擇他認為適合的術語用以解釋說明。從這裡，我們可以再度看出焦循對 算學採取較為開明的態度，並沒有因中、西法之分，而絕對不採西法術語。
87 引自同上，頁 3a。
88 參閱蘇俊鴻，《焦循《加減乘除釋》內容分析》，頁 75~81。
89 例如在《天元一釋》上卷第十一則「以羃例積，則下實中空，而上開方除也。」中，焦循就 以比例來作說明：「積數八十一，天元數九，則平方矣，是為八十一與天元羃比。積數一百六十 二，天元數十八，則二平方矣，是為一百六十二與二天元羃比。」
90 參閱本文 4.1.2 節「梅 成的『天元一即借根方解』及其影響」。
91 引自焦循，《天元一釋》下卷，頁 21a。
總之，雖然焦循《天元一釋》一書，是在研究李銳所校書之後而作的，但其 中所論述的內容，並不全然依李銳的說法，亦有與李銳不合之處，特別是在相消 與兩邊加減之辨異上。從今日的眼光來看，焦循對天元術相消後所餘一行的解 釋，其實是李銳所不及的，但可惜的是，兩人並未繼續在此擦出火花。另外，焦 循對使用西學術語所保有的彈性，亦可反映出兩人對中、西法態度上的差異。
4.2.3 張敦仁與《緝古算經細草》
在張敦仁的算學著作中，與天元術密切相關的，就屬《緝古算經細草》一書。
該書最主要的特色，就是以天元術注解唐朝王孝通的《緝古算經》（又名《輯古 算經》）。以天元術注解《緝古算經》之手法，張敦仁並非是第一人，李銳在《輯 古算經衍》一書中首開此風，根據李銳自己在〈益古演段跋〉中的敘述：
唐王孝通《輯古算經》世稱難讀，「太史造仰觀臺」以下十九問，術文隱密，未易 鑽尋，而以立天元一御之，則其中條理固自秩然，無可疑惑，由是愈歎立天元術 之妙。嘗倣《演段》之例，為《輯古算經衍》一書，急欲刊以問世，匆匆猶未暇 也。93
我們可以看出李銳以天元術解《緝古算經》之目的，實為了彰顯天元術之妙。而 從李銳不尋常地在《益古演段》的跋文中，透露急欲刊刻《輯古算經衍》一書，
當可推知他對此書應是十分地滿意，對此書也抱著相當高的期許。不過，《輯古 算經衍》一書終究並未付梓，原因為何，或可由張敦仁《緝古算經細草》的成書 見到端倪。
張敦仁《緝古算經細草》一書在 1803 年藝學軒首刊時，署名為張敦仁、焦 循、汪萊、李銳同撰，史家郭世榮就表示「此書是在李銳《緝古算經草》基礎上 經他們共同討論定稿的。」94不過，筆者認為應將郭世榮文中所說的《緝古算經 草》改為《輯古算經衍》，理由有二：一是根據郭世榮此文中所呈現的李銳《觀 妙居日記》的資料，李銳在嘉慶元年 (1796) 三月十七日讀《緝古算經》，在同 年八月十六日將其著《緝古算經細草》呈送其師錢大昕，所以《緝古算經草》可 能會讓人誤以為是李銳呈錢大昕的《緝古算經細草》。二是雖然無法確定李銳著
《緝古算經細草》時是否已經收到焦循所寄之《測圓海鏡》，但李銳該書應未以 天元術作為注解的工具，否則稍後李銳再依《益古演段》例作《輯古算經衍》一 書，就顯得多此一舉、有違常理了。話雖如此，《輯古算經衍》是在《緝古算經
92 引自同上，頁 22a~23a。
93 引自李銳，〈益古演段跋〉，《益古演段》。
94 參閱郭世榮，〈李銳《觀妙居日記》研究〉，《談天三友》，頁 156。
