屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算表現之研究

全文

(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文. 指導教授：劉曼麗. 博士. 屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算表現之研究. 研究生：黃寶葵. 撰. 中華民國一百零二年六月.

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(5) 謝. 詞. 終於走到了這一步，我要畢業了，回想起就讀研究所的三年時光，心中有著萬分的高興與感謝。高興的是在這裡認識了許多良師益友，也學到了做研究的態度；而感謝的則是這一路走來許許多多幫助過我的人。首先我要感謝我的指導教授劉曼麗老師，在和老師學習的三年時光中，發現老師一直默默的為數學教育奉獻，也一直不厭其煩的教導我們，除了教導我們知識更教導我們做學問的態度，為的只是希望我們能運用所學而在教學現場學以致用。在此對老師說聲：「謝謝老師，您辛苦了！」接著我要感謝班導徐偉民老師，因為有您指點方向，而使我們撰寫論文時能更加順利。也謝謝辛苦為我口考的蘇順德老師，感謝您細心看完論文後，提供了許多的寶貴意見。接下來要謝謝我們的讀書團隊，有妙如、文邦、職鴻、國家和我，因為有了大家的互相幫忙與扶持，才讓我一直保有前進的動力，感謝你們陪我度過了美好的時光。此外，我還要感謝太源國小的同事以及我的親朋好友，感謝你們經常對我的鼓勵與加油，以及試卷發放時的用心幫忙，才能讓我順利完成研究論文。還有最重要的，我要感謝我的家人，謝謝你們在我寫作低潮時陪伴我支持我，尤其是辛苦扶養我長大的媽媽，常常在我挑燈夜戰時，適時的關心我。另外，還要感謝我的老婆玲禧，這段時間除了上班及做家事外，還要挑起照顧我們小寶貝宣曄的責任，好讓我能安心的寫論文，真是辛苦了。最後，我要將我的喜悅與榮耀獻給所有曾經幫助過我的人，以及我最敬愛的父親，希望他在天之靈也能和我一樣同感喜悅。. I.

(6) II.

(7) 屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算表現之研究. 摘. 要. 本研究目的在探討屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算的表現，並進一步探討不同族群（漢族、新住民以及原住民）、不同地區（一般地區、偏遠地區以及特偏地區）、不同家庭社經地位（低家庭社經地位、非低家庭社經地位）和不同性別（男、女）之學童在分數乘除法運算是否有差異情形。本研究方法為調查研究法。研究對象選取方式為分層叢集抽樣，從屏東縣一般、偏遠、特偏地區國小共選取 383 位學童。研究工具為自編的「分數乘除法運算試卷」。試卷主要分為分數乘法運算和分數除法運算二部分。資料蒐集方式為筆試。研究資料處理採描述性統計及單因子多變量變異數分析。本研究主要發現如下：一、國小六年級學童在分數乘法運算的答對率為 0.65，而在分數除法運算的答對率為 0.54。由此顯示學童在分數乘除法運算答題表現並不好。二、不同族群學童在分數乘除法運算的答題表現達顯著差異，「漢族」學童的表現顯著優於「原住民」學童，而「漢族」學童和「新住民」學童之間，以及「新住民」學童和「原住民」學童之間在分數乘除法運算的答題表現無顯著差異。三、不同地區學童在分數乘法運算的答題表現達顯著差異，「一般地區」學童的表現顯著優於「特偏地區」學童，而「一般地區」學童和「偏遠地區」學童之間，以及「偏遠地區」學童和「特偏地區」學童之間在分數乘法運算無顯著差異。另外，在分數除法運算的答題表現無顯著差異。四、不同家庭社經地位學童在分數乘法運算的答題表現無顯著差異。而在分數除法部分則非低家庭社經地位之學童的表現顯著優於低家庭社經地位之學童。. III.

(8) 五、不同性別學童在分數乘除法運算之答題表現未達顯著差異。. 關鍵詞：分數乘除法運算、不同背景因素、多變量變異數分析. IV.

(9) The Performance in Fraction Multiplication and Division for Sixth grade Students in Pingtung County. Abstract The present study aimed at exploring the performance of the sixth grade students of elementary school in fraction multiplication and division in Pingtung County.. The. study,. moreover,. aimed at. exploring the. differences of the performances in fraction multiplication and division for students of different ethnic groups, different regions, different social status, and different sexes. The subjects of the study were chosen by the hierarchy cluster sampling method. The 383 subjects were chosen from general schools, schools in suburban (or outlying) areas, and schools in remote areas. The instruments of the study were self-written tests on the subject of fraction multiplication and division. The tests were classified into two sections: Multiplication of fractions, Division of fractions. The main data collecting method was written tests. The data analysis of the study was through descriptive statistics and one-way multivariate analysis of variance. The main findings are as follows: 1. Sixth graders performed not good enough in fraction multiplication and division operations. In which, the students’ correct rate of fraction multiplication is just sixty-five percent, and the students’ correct rate of fraction division is only fifty-four percent. 2. Different ethnic students were significantly different performances in fraction multiplication and division. The Han students performed significantly better than indigenous students. "Han" students and the "New residents". students. showed. no. significant. difference. between. the. performances in fraction multiplication and division. "New resident". V.

(10) students and "Aboriginal" students showed no significant difference between the performances in fraction multiplication and division operations. 3.. Students. of. different. areas. showed. significantly. different. performances in fraction multiplication. In fraction multiplication, the students of general schools performed significantly better than those of remote areas, whereas, there was no significant difference between the students of general areas and suburban areas , and suburban areas and remote areas. In Students' performances in the fraction division operation, there were no significant differences in different areas. 4. Students of different social status showed no significantly different performances in fraction multiplication. In the fraction division operation, the students of non-low socioeconomic status performed significantly better than the students of low socioeconomic status. 5. There were no significant different performances between the students of different sexes in fraction multiplication and division.. Keywords: Fraction multiplication and division, background factors, one-way MANOVA.. VI.

(11) 目謝. 次. 詞 ..................................................................................................... I. 中文摘要 ................................................................................................ III 英文摘要 ................................................................................................. V 目. 次 ................................................................................................... VII. 圖. 次 .................................................................................................... IX. 表. 次 .................................................................................................... XI. 第一章. 緒論 ........................................................................................... 1. 第一節. 研究動機 ............................................................................ 1. 第二節. 研究目的與問題 ................................................................. 5. 第三節. 名詞釋義 ............................................................................ 6. 第四節. 研究限制 ............................................................................ 8. 第二章. 文獻探討 ................................................................................... 9. 第一節. 國小分數課程內容探討 ..................................................... 9. 第二節. 分數乘除法運算的相關研究 ............................................ 16. 第三節. 教育公平性及多元文化教育 ............................................ 20. 第四節. 背景與學業成就之相關研究 ............................................ 25. 第三章. 研究方法 ................................................................................. 31. 第一節. 研究設計與架構 ............................................................... 31. 第二節. 研究假設 .......................................................................... 33. 第三節. 研究對象 .......................................................................... 33. 第四節. 研究工具 .......................................................................... 36. 第五節. 資料處理與分析 ............................................................... 41. 第六節. 研究步驟 .......................................................................... 42. 第四章. 研究結果與討論 ...................................................................... 45. VII.

(12) 第一節. 國小六年級學童在分數乘法運算和分數除法運算的答題表現 .............................................................................. 45. 第二節. 不同族群學童在分數乘法運算與分數除法運算答題表現的差異情形 ................................................................... 49. 第三節. 不同地區學童在分數乘法運算與分數除法運算答題表現的差異情形 ................................................................... 53. 第四節. 不同家庭社經地位學童在分數乘法運算與分數除法運算答題表現的差異情形 ................................................ 56. 第五節. 不同性別學童在分數乘法運算與分數除法運算答題表現的差異情形 ................................................................... 60. 第六節第五章. 綜合討論........................................................................... 63. 結論與建議 .............................................................................. 67. 第一節. 結論 .................................................................................. 67. 第二節. 建議 .................................................................................. 68. 參考文獻 ................................................................................................. 71 一、中文部份 .................................................................................. 71 【附錄】 ................................................................................................. 81 附錄一. 學童基本資料問卷 ................................................................... 81. 附錄二. 分數乘除法運算試卷--第一次預試 ................................. 82. 附錄三. 分數乘除法運算試卷--第二次預試及正式施測 .............. 84. VIII.

(13) 圖. 次. 圖 2-1-1. 分數知識架構圖 ................................................................... 10. 圖 3-1-1. 研究架構圖 ........................................................................... 32. 圖 3-6-1. 研究流程 ............................................................................... 43. 圖 4-1-1. 屏東縣六年級學童在分數乘除法運算之平均答對率統計圖 ......................................................................................... 46. 圖 4-2-1. 屏東縣不同族群學童在分數乘除法運算之平均答對率統計圖 ...................................................................................... 50. 圖 4-2-2. 屏東縣不同族群學童在分數乘除法運算之標準差統計圖 ............................................................................................. 51. 圖 4-3-1. 屏東縣不同地區學童在分數乘除法運算之平均答對率統計圖 ...................................................................................... 54. 圖 4-3-2. 屏東縣不同地區學童在分數乘除法運算之標準差統計圖 ............................................................................................. 54. 圖 4-4-1. 屏東縣不同家庭社經地位在分數乘除法運算之平均答對率統計圖 ............................................................................... 58. 圖 4-4-2. 屏東縣不同家庭社經地位在分數乘除法運算之標準差統計圖 ....................................................................................... 58. 圖 4-5-1. 屏東縣不同性別學童在分數乘除法運算之平均答對率統計圖 ...................................................................................... 62. 圖 4-5-2. 屏東縣不同性別學童在分數乘除法運算之標準差統計圖 ............................................................................................. 62. IX.

(14) X.

(15) 表. 次. 表 2-1-1. 92 課綱數學領域有關「分數」課程之分年細目表 .............. 11. 表 2-1-2. 97 課綱數學領域有關「分數」課程之分年細目表 .............. 13. 表 2-1-3. 92 正綱與 97 正綱分年細目中有關分數乘除法運算課程比較表 ...................................................................................... 15. 表 3-3-1. 預試對象統計表 ................................................................... 34. 表 3-3-2. 屏東縣六年級學童抽樣人數一覽表 ..................................... 35. 表 3-4-1. 「分數乘除法運算測驗」內容分析表 ................................. 37. 表 3-4-2. 國小六年級學童分數乘除法預試試題之難度和鑑別度 ....... 39. 表 4-1-1. 屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算之平均數、標準差和答對率 ...................................................................... 46. 表 4-2-1. 不同族群學童在分數乘除法運算的平均數、標準差以及答對率................................................................................... 49. 表 4-2-2. 不同族群在分數乘除法運算之多變量變異數分析摘要表 ............................................................................................... 51. 表 4-2-3. 不同族群在分數乘除法運算之單變量變異數分析及事後比較摘要表 ........................................................................... 52. 表 4-3-1. 不同地區學童在分數乘除法運算的平均數、標準差以及答對率................................................................................... 53. 表 4-3-2. 不同地區在分數乘除法運算之多變量變異數分析摘要表 ............................................................................................... 55. 表 4-3-3. 不同地區在分數乘除法運算之單變量變異數分析及事後比較摘要表 ........................................................................... 56. 表 4-4-1. 不同家庭社經地位學童在分數乘除法運算的平均數、標準差以及答對率 ................................................................... 57. 表 4-4-2. 不同家庭社經地位在分數乘除法運算之多變量變異數分. XI.

(16) 析摘要表 ............................................................................... 59 表 4-4-3. 不同家庭社經地位在分數乘除法運算之單變項變異數分析及事後比較摘要表 ............................................................. 60. 表 4-5-1. 不同性別學童在分數乘除法運算的平均數、標準差以及答對率 .................................................................................... 61. 表 4-5-2. 不同性別在分數乘除法運算之多變量變異數分析摘要表 .... 63. XII.

(17) 第一章. 緒論. 本研究旨在探討屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現，並分析國小六年級學童在不同族群、地區、家庭社經地位與性別等四個因素下的表現是否有差異。本章緒論部份分為四節：第一節為研究動機，第二節為研究目的與問題，第三節為名詞釋義，第四節為研究限制。兹分節說明如下：. 第一節. 研究動機. 一、國小分數乘除法運算的重要性「數學為科學之母」，我們日常生活中到處都可看到數學的影子。所以數學教育一直是國民教育中重要之一環（教育部，2003），數學教育的成敗亦將影響國家未來之整體競爭力與生存能力 (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001; TIMSS, 2004)。在國小階段的數學，分數是最難的教材（楊壬孝，1989；林碧珍，1990；呂玉琴，1991；劉秋木，1996；洪素敏，2004）。國外學者 Behr, Harel, Post 和 Lesh(1992)亦說：「學習分數為兒童數學發展上的嚴重障礙」。可見國內外學者都有「分數在國小數學中，是複雜又重要的概念」，國小學童分數學習有困難，會阻礙學童在國小之後的數學發展。在我國國小分數學習中，國小六年級的分數教學，是由具體到抽象的過渡期，也是國小六年分數教學的總和和國中分數教學的基礎，因此如何讓國小六年級的學童學好分數是很重要的。分數的學習可以分成兩大部分，一是分數的概念，另一項則是分數的運算(NCTM，2000)。黃幸美（1995）指出計算技能是影響解題成功的基本因素。因此雖然分數概念很重要，但是如果缺乏分數計算的能力，則終究還是無法正確的解題。教育部於民國92年公佈了九年一貫數學課. 1.

(18) 程綱要，其正綱的數學課程相對暫綱而言，就加強了學童的計算能力，強調運算能力的培養（陳俊宏，2010）。而且在九年一貫課程綱要的目標中，也明確的指出學童在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算（教育部，2003）。可見分數運算在國小課程有多重要。在分數的四則運算中，又以分數的乘除法運算對國小學童最為困難與重要。因為學童剛接觸分數概念時，分數代表一個量；在進行分數加減運算時，分數還是量的概念；但是進入分數乘除法運算時，分數表徵時而代表量，時而代表著關係（康桂瑛，2010），因此更增加了學童學習的難度。另外分數乘除法的學習又會影響到往後比率、比值、百分率、機率等的學習，甚至到了國中的運算（例如：函數、解聯立方程式等），都需要有分數乘除法運算當基礎，因此更加顯得重要。所以，本研究希望透過試題的施測，以了解國小六年級學童在分數乘除法運算時的答題表現。. 二、教育公平性與多元文化教育教育能促進社會流動，增進人民向上發展，保障弱勢學童的學習（張國保、張熒書，2012）。所以教育公平性一直以來都是大家注意的議題。英國前首相布萊爾曾說「教育是社會正義，是一種權利，也是一種機會。」（引自Gillborn & Youdell, 2000, p.17）。聯合國在《2010千禧年發展目標報告書》（The millennium development goals report 2010）目標二所宣示之「確保在2015年之前，世界各地的學童，不分性別，均能夠完成足夠的基礎教育（United Nations, 2010）」。美國在2002年重新修訂「中小學教育法」（The Elementary and Secondary Education Act, ESEA），並由國會通過「No Child Left Behind 教育改革法案」，意即不讓任何一個孩子落後（李孟峰、連廷嘉，2010；陳明印，2002；Hess & Petrilli, 2006； McDermott & Jensen, 2005）。而我國《憲法》第21條明定「人民有受國民教育之權利與義務」、第159條「國民受教育之機會，一律平等」。這些. 2.

(19) 都是在強調要保障「每一位」孩童有接受基礎教育的公平機會。台灣是個多元族群與多元文化的社會，從歷史上來看，由荷西、明鄭、清代、日治至國民政府遷台迄今，每一時期均有外來族群與文化的移入。為了族群的融合與教育機會的均等，多元文化教育就逐漸受到國人的重視。多元文化教育主張透過教育，來消弭性別、族群、宗教、階級差異所產生的偏見與歧視（周惠民，2010）。在我國《教育基本法》第 4條「人民無分性別、年齡、能力、地域、族群、宗教信仰、政治理念、社經地位及其他條件，接受教育之機會一律平等。對於原住民、身心障礙者及其他弱勢族群之教育，應考量其自主性及特殊性，依法令予以特別保障，並扶助其發展。」由上可知，多元文化教育是要消除教育不公平的現象，進而提升弱勢族群的學業成就。但有許多相關的研究顯示，學童在不同族群、不同地區、不同家庭社經地位與不同性別之間，仍存有學習成就差異的現象。（一）在不同族群方面，一些研究顯示原住民與漢族學童之間的學業成就有明顯的差異，而且原住民學業成就較低的差異，有愈來愈多的現象（楊肅棟，2001；王天佑，2002）。另有一些研究也顯示，外籍新娘的子女確實存在著整體學習弱勢的現象（王妙如，2004；吳孟娟，2006；吳錦惠，2005；林璣萍，2003；柯乃文，2006；張淑猜，2005；陳璽琳， 2006；劉芳玲，2006；劉秀燕，2004；盧秀芳，2004）。（二）在不同地區方面，陳美鈴（2009）的研究顯示，不同地區學童的數學表現有城鄉差異的現象存在。吳裕益（2004）的研究也指出城鄉地區學童的學業成就有明顯差異，而且都市化程度愈高的地區，其學業成就也愈高。（三）在不同家庭社經地位方面，陳梅嬌（2009）的研究顯示，社經不利學童的數學學業成就明顯比非社經不利學童差。翟本瑞（2002）也認為家庭經濟能力足夠時，便能提供學童更多的學習資源，使學童能順利獲取更好的教育地位。. 3.

(20) （四）在不同性別方面，吳淑珠（1997）研究發現女生在「數與計算」、「統計圖表」上有顯著高於男生，但是在「量與實測」、「圖形與空間」上並沒有顯著差異；蘇一如（2007）統計臺灣四年級學童參加第三次國際數學與科學教育成就調查研究測驗TIMSS 2003之結果，發現男生的數學學習能力優於女生；而龔玉春（2003）與蔡政賜（2006）分別以國小六年級學童為研究對象，卻發現男、女生的數學成就無顯著差異。根據上述之相關文獻，研究者發現學童的背景與其學業成就大部分還是有其關連性的。本研究就是希望透過試題的施測，探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位與不同性別等不同背景下學童在分數乘除法運算的答題表現，來檢視政府推動教育公平性及多元文化教育的成效，並作為現場教師教學時的參考。. 三、研究現況分析分數乘除法運算是國小分數教學中最重要也是最抽象難懂的。由於分數除法課程到六年級上學期才學到，有鑑於此，研究者乃選定國小六年級學童為研究對象，並於上學期期末時開始進行研究，以探討六年級學童在分數乘除法運算的答題表現。另外，台灣是個多元族群與多元文化的社會，而屏東縣可說是具有代表性的縣市。屏東縣的地形狹長，南北長 100 多公里，地理位置又在台灣的最南端，在全國 22 縣市中屬於都市化程度較低的地區，且原住民學童及外配子女較多，非常適合做多元文化教育的相關研究。研究者本身現正任教於屏東縣偏遠地區的國小，學區內學童的家長社經地位偏低，族群種類多元；而研究者本身又長期教授高年級學童的數學，常有感於學童的數學學業成就差異頗大，尤其是在分數乘除法的部份，發現有些學童遇到運算時，經常因為不會而隨便亂寫，甚至選擇跳過不寫。. 4.

(21) 因此本研究以屏東縣國小六年級學童為研究對象，以了解學童在分數乘除法運算的答題表現，並進一步探討在不同族群、不同地區、不同家庭社經地位及不同性別等背景因素下，學生在分數乘除法運算的表現是否有差異，希望藉此了解學童所受教育是否有達到公平性，並根據研究結果提出具體之建議，做為國小教師在面對不同文化背景之多元文化族群學童時，數學科教學之參考。. 第二節. 研究目的與問題. 基於上述的研究動機，本研究之研究目的主要探討屏東縣國小六年級學童在分數乘法運算及分數除法運算的答題表現，並且分析屏東縣國小六年級學童在不同族群、地區、家庭社經地位及性別等四個因素下的表現是否有差異。研究目的有下列二點：一、探討國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現。二、探討國六年級學童在族群、地區、家庭社經地位及性別的因素下，其分數乘除法運算的答題表現是否有差異情形。根據上述的研究目的，將本研究問題依分數乘法運算與分數除法運算分述如下：一、國小六年級學童在分數乘法運算與分數除法運算的答題表現為何？二、不同族群之國小六年級學童在分數乘法運算與分數除法運算的答題表現是否有顯著差異？三、不同地區之國小六年級學童在分數乘法運算與分數除法運算的答題表現是否有顯著差異？四、不同家庭社經地位之國小六年級學童在分數乘法運算與分數除法運算的答題表現是否有顯著差異？五、不同性別之國小六年級學童在分數乘法運算與分數除法運算的答題. 5.

(22) 表現是否有顯著差異？. 第三節. 名詞釋義. 一、國小六年級學童本研究所指的國小六年級學童是於九十六學年度入學的學齡兒童，該學童在101學年度是國民小學六年級的學童，其所學習的數學為92 課綱之九年一貫數學課程。. 二、分數乘除法運算表現本研究的分數乘除法運算表現，是指學童在分數乘法計算及分數除法計算的答題表現。而本研究中學童在分數乘除法運算的答題表現，主要是看學童在做分數乘除法運算試題時的答對率，以及學童在分數乘除法運算答題時的錯誤類型。. 三、族群本研究所稱的不同族群是依學童之父母的身分，將族群分為漢族（包含閩南、客家、外省）、原住民族與外籍配偶（或稱新住民）等三大族群，學童所屬族群之判定之原則為：（1）父母親任一方為外籍，則學童歸類為外籍配偶子女；（2）父母親雙方皆非外籍，而父母親任一方為原住民籍則學童歸類為原住民子女；（3）扣除以上2種情況之學童即歸類為漢族子女。漢族包括閩南、客家、外省；原住民族包括排灣族與魯凱族；外籍配偶則包括中國與越南、印尼、菲律賓、泰國、柬埔寨等東南亞國家。. 四、地區本研究中所指的地區，是依據屏東縣政府所屬各級學校類型區分原則，將所屬各級學校及其分校、分班，依交通狀況、所處地理環境等情形，區分為一般地區學校、偏遠地區學校及特殊偏遠地區學校等三種類型；其區分原則如下：. 6.

(23) （一）一般地區類型學校：校址位於屏東市、潮州鎮、東港鎮、麟洛鄉、九如鄉、長治鄉、鹽埔鄉及萬丹鄉之各級學校及其分校、分班。（二）符合下列條件之一者，為特殊偏遠地區類型學校：１、本縣琉球鄉各級學校。２、校址距離本府六十公里以上。３、校址位處海拔五百公尺以上。４、連續山路十公里以上。（三）偏遠地區類型學校：前二款以外之學校。. 五、家庭社經地位為了研究方便，本研究中所指的家庭社經地位，是以學童午餐費是否有補助為依據。「午餐有補助」是指學童為低收入戶、中低收入戶或經由導師認定而減免午餐費的學童，也就是低家庭社經地位學童；而「午餐無補助」則是排除上述情況的學童，就是無減免午餐費的學童，也就是非低家庭社經地位學童。. 7.

(24) 第四節. 研究限制. 一、研究範圍限制本研究主要是探討國小六年級學童在分數乘除法運算表現之研究及不同背景下學童的答題表現。並未將版本、教學等變項對於答題表現之影響納入本研究的範圍。. 二、研究對象限制本研究因人力、時間及經費等客觀因素之限制，研究對象以屏東縣六年級學生為研究母群體，並依屏東縣政府所屬各級學校類型區分原則，分為一般地區、偏遠地區與特殊偏遠地區(以下簡稱為特偏地區)等三個地區，採分層叢集抽樣的方法來選取研究對象，故研究結果不宜過度推論到其他年級與區域的學生。. 8.

(25) 第二章. 文獻探討. 在本章文獻探討中，將根據研究之目的，分成四節來討論，第一節國小分數課程內容探討，第二節分數乘除法運算的相關研究，第三節教育公平性及多元文化教育，第四節背景與學業成就之相關研究。. 第一節. 國小分數課程內容探討. 為瞭解學童在學習分數乘除法運算時可能出現的困難，研究者在本節將探討分數的知識架構與九年一貫課程綱要下有關分數課程的內容。. 一、國小分數的知識架構在我國現行國小數學課程教材內容中，分數部分主要可分成「分數的概念」、「分數的計算」與「分數的應用」等三大部分。「分數的概念」主要包含分數的意義、分數比大小、等值分數、分數的稠密性以及分數與小數的關係；「分數的計算」主要包含分數的加法、分數的減法、分數的乘法及分數的除法；「分數的應用」則包含分數的加法文字題、分數的減法文字題、分數的乘法文字題與分數的除法文字題。茲將分數知識的架構摘要如下圖 2-1-1（王瑞慶，2003）：. 9.

(26) 分數知識. 分數的概念. 分數的計算. 分數的應用. 1.分數的意義. 1.分數的加法. 1.分數的加法文字題. 2.分數比大小. 2.分數的減法. 2.分數的減法文字題. 3.等值分數. 3.分數的乘法. 3.分數的乘法文字題. 4.分數的稠密性. 4.分數的除法. 4.分數的除法文字題. 5.分數與小數的關係. 圖 2-1-1. 分數知識架構圖. 資料來源：國小六年級學童在分數加減法問題的解題研究(頁 13)，王瑞慶，2003，屏東師範學院數理教育研究所碩士論文，屏東縣。. 分數知識包含了分數的概念、計算與應用等三大部分。雖然在許多研究中都說分數概念很重要，但是如果缺乏分數計算的能力，則終究還是無法正確的解題。蔡文標（2002）指出數學計算能力是數學最基本的能力，是學童數學成績能否提升的關鍵。而分數乘除法是國小分數中較抽象難懂的，分數乘除法計算能力又是國中數學學習的基礎，且在九年一貫課程綱要的目標中，也明確的指出學童在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算(教育部，2003)。可見分數乘除法運算在國小課程是很重要的。本研究希望透過分數乘除法運算試題的施測，來了解國小六年級學童在分數乘除法運算時的答題表現。. 二、九年一貫國小分數課程教材分析九年一貫課程綱要中數學領域分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，其中數與量在國民教育的數學課程中具有重要的地位，其主要概念的形成與演算能力的培養均奠基於國小階. 10.

(27) 段。國小數與量包含了「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等四個子題，而分數課程包含在「數與量」的有理數子題之下（教育部， 2008）。九年一貫數學領域課程綱要中有關「數」概念的學習順序，是先以「整數」學習為基礎，接著再引入「分數」、「小數」、「概數」的相關學習。分數的數概念學習順序則為「單位分數」、「真分數」，進入「假分數」及「帶分數」；至於「計算」部分的學習則是先進行「合成與分解（加減）」活動再進入「乘除」活動。教育部於 97 年及 98 年微調發布國民中小學九年一貫課程綱要(以下簡稱 97 課綱)，97 課綱訂於 100 學年度起自一年級、七年級逐年向上實施。本研究之研究對象為 96 年入學之國小六年級學童，其適用 92 年版之國民中小學九年一貫課程綱要(以下簡稱 92 課綱)。因此，本節除了探討 92 課綱數學領域的分數課程之能力指標外，同時也將探討 97 課綱數學領域中與分數概念相關之課程的能力指標及發展脈絡作一比較，幫助研究者對於分數課程有更清楚的掌握。茲分別將 92 課綱與 97 課綱中與分數課程有關之分年細目與所對應的能力指標整理如表 2-1-1 與表 2-1-2 所示：表 2-1-1. 92 課綱數學領域有關「分數」課程之分年細目表（教育部，2003）. 年級. 對應分年細目. （階段）. 指標 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以. 二年級. N-1-09. 內的單位分數，並比較不同單位分數的（第一階段）大小。三年級（第一階段）四年級（第二階段）. 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解. N-1-09. 決同分母分數的比較與加減問題。 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。. 11. N-2-06.

(28) 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練. N-2-07. 假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數. N-2-08. 的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-2-08. 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加. N-2-09. 減。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相五年級. N-2-06. 除」的意涵。. （第二階段） 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，. N-2-11. 並解決生活中的問題。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。. N-2-13. 5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、. N-2-14. 「折」）。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數. N-3-02. 與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約六年級. 成最簡分數。. （第三階段） 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，. N-3-03. 並解決生活中的問題。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。. N-3-11. 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 N-3-05 由表 2-1-1 可以看出 92 課綱中以分年細目訂出各年級學童所應達到. 12.

(29) 的數學能力。在綱要中從二年級開始逐步的引入分數的概念，並透過平分的情境，讓學童認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小；在三年級的分數課程安排學童在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題；四年級分數課程先介紹真分數、假分數與帶分數，再要求學童能熟練假分數與帶分數的互換，並作進一步之同分母分數的加減與比較，同時引入等值分數的概念，以及操作簡單異分母分數的比較；五年級則希望學童能學會用通分作簡單異分母分數的比較與加減，以及做分數的乘法計算與運用；到了六年級則是要求學童能做分數的除法計算與運用及分數的兩步驟四則混合計算與應用。表 2-1-2. 97 課綱數學領域有關「分數」課程之分年細目表（教育部，2008）. 年級. 分年細目. （階段）三年級（第二階段）. 對應指標. 3-n-11 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-2-09 N-2-10. 4-n-07 能理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-11. 4-n-08 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練. N-2-10. 假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數四年級倍的計算。（第二階段） 4-n-09 能認識等值分數，進行簡單異分母分數. N-2-12. 的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 4-n-10 能將簡單分數標記在數線上。. N-2-16. 5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-3-06. 5-n-07 能用通分作簡單異分母分數的比較與加. N-3-07. 五年級（第三階段）減。. 13.

(30) 5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計. N-3-09. 算，解決生活中的問題。 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義，. N-3-10. 並解決生活中的問題。 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上。. N -3-13. 5-n-14 能認識比率及其在生活中的應用(含「百. N-3-14. 分率」、「折」)。 6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成. N-3-05. 最簡分數。 6-n-04 能理解分數除法的意義及熟練其計算，六年級. N-3-10. 並解決生活中的問題。（第三階段） 6-n-05 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問. N-3-02. 題，並能併式計算。 6-n-09 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 N-3-15 由表 2-1-2 的 97 課綱分年細目中可以發現，與 92 課綱不同的是，97 課綱的分數課程是從國小三年級才開始引進，並要求這個年級的學童能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題；在四年級則是介紹分數的種類與互換，及作進一步的同分母分數的加減與比較，並引入等值分數的概念，進行簡單異分母分數的比較；五年級的分數課程安排學童學會用通分作簡單異分母分數的比較與加減，並理解分數乘法與除數為整數之分數除法的意義並熟練其計算，以解決生活中的問題；到了六年級則是要求學童能理解分數除法的意義及熟練其計算，並能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。教育部（2008）指出，學童在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用數量關係，解決日常生活的問題。可見分數乘除法運算為國小學童在分數課程的學習主軸之一。由表 2-1-3 研究者發現在分. 14.

(31) 數乘法部分，無論是 92 正綱或是 97 正綱中的分年細目，都是從四年級開始帶入分數乘以整數的概念，也都是在五年級時要能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。在分數除法部份，92 正綱在五年級時是沒有介紹的，但是 97 正綱在五年級就已先介紹除數為整數的分數除法，而六年級時則都是能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。表 2-1-3. 課程年. 92 正綱與 97 正綱分年細目中有關分數乘除法運算課程比較表. 92 版九年一貫課程綱要. 97 版九年一貫課程綱要. ◎能認識真分數、假分數與 ◎能認識真分數、假分數與帶分. 級. 帶分數，熟練假分數與帶. 數，熟練假分數與帶分數的互. 分數的互換，並進行同分. 換，並進行同分母分數的比. 母分數的比較、加、減與. 較、加、減與非帶分數的整數. 非帶分數的整數倍的計. 倍的計算。. 四. 算。 ◎ 能理解乘數為分數的意 ◎能理解分數乘法的意義，並熟義及計算方法，並解決生. 練其計算，解決生活中的問. 活中的問題。. 題。. 五 ◎ 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的問題。 ◎ 能理解除數為分數的意 ◎ 能理解分數除法的意義及熟. 六. 義及計算方法，並解決生. 練其計算，並解決生活中的問. 活中的問題。. 題。. ◎ 能作分數的兩步驟四則 ◎能在具體情境中，解決分數的混合計算。. 兩步驟問題，並能併式計算。. 分數乘除法課程的教學活動，主要是集中在高年級時才進行教學，. 15.

(32) 許多概念不清學童，很容易受到舊經驗分數加減法、擴分約分等的影響，而產生錯誤的運算。甚至很多學童是透過記憶算則來解題的，當學童還是中低年級時，記憶的算則較少，比較不會記錯。但是一旦升上高年級之後，記憶的算則一多，就容易受到舊經驗的影響，而產生算則混淆的情形（如：同分母時，分母不變，分子相乘）。由於分數除法是在六年級上學期才學完，因此本研究以六年級為對象，並在上學期期末先做預試的施測，而在下學期期初做正式的施測。並以此探討國小六年級學童在分數乘除法運算之表現。. 第二節. 分數乘除法運算的相關研究. 九年一貫課程綱要中特別強調熟練之演算能力的重要性，強調計算能力的加強。希望學童在活動、情境掌握計算的意義，流暢的計算能力，不只可以內化學童的數字感，也是以後學習抽象運算及形式推導的基礎。所以演算是學童獲得新數學經驗的方法，而新的經驗將會再形成學童下一階段新主題學習所需的具體經驗（教育部，2008）。由此可見演算能力對學童學習數學的重要性，而這重要性當然也包括了分數乘除法運算的能力，學童對於分數乘除法運算是否熟練，將會影響學童未來數學的學習表現。分數乘法運算與分數除法運算在傳統教學下，教師通常直接教導學童背誦算則。在分數乘法計算時，會教學童「分子乘以分子，分母乘以分母」，而且分子和分母能約分的就要先約分。在分數除法計算時，則會教學童「分數除以分數時，將除數顛倒後再相乘」。學生當下雖然記住了算則，但是如果遇到分數乘除法運算的式子中有整數或帶分數時，則學童容易因為無法變通，而產生各種錯誤類型出來。以下將一些國內外學者的研究，整理出分數乘法錯誤類型與分數除法錯誤類型，分別介紹如下：. 16.

(33) （一）分數乘法錯誤類型研究者根據多位學者（李浩然，2002；湯錦雲，2002；林榮煌，2006； Ashlock, 1990；Cox, 1975；Edwards, 1983；Lankford, 1972；Painter, 1989； Tatsuoka, 1984）的研究結果，將學童在分數乘法運算時的錯誤類型整理如下：. 1 1 2 2  。 1.分子和分母同時乘上整數，如：  2  3 3 2 6 1 1 2 3 6 2.先通分再相乘，如：     。 3 2 6 6 6 12 1 1 3.分子與乘數相互約分，如：  2  。 3 3 4.乘上被乘數的倒數，如： 3 . 1 1 1 1    。 2 3 2 6. 1 2 1 5 5 5.乘上乘數的倒數，如：     。 3 5 3 2 6 1 1 1 1 2 6.帶分數拆成整數乘以分數再運算，如： 2   2    。 3 3 3 3 9. 1 1 1 1 1 7.帶分數拆成整數加分數再運算，如： 2   2    2 。 3 3 3 3 9 1 1 1 1 1 8.整數相加再加上分數相乘，如： 2  1  2  1    3 。 3 3 3 3 9 1 1 11 2  。 9.分子與分子相加分母與分母相加，如：   3 3 33 6 1 1 1 1 1 10.整數相乘再加上分數相乘，如： 2  1  2  1    2 。 3 3 3 3 9 1 1 11. 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分，如： 2  2  4 。 3 3. 17.

(34) 1 1 11 2 12. 分母相乘分子作加法運算，如：    。 3 3 3 3 9 2 3 3 3 9  、 13. 交叉相乘而得到分子與分母，如：   3 4 2 4 8 2 3 2 4 8    。 3 4 3 3 9 14. 計算錯誤。. （二）分數除法錯誤類型研究者根據多位學者（李浩然，2002；湯錦雲，2002；林榮煌，2006； Lankford, 1972；Painter, 1989）的研究結果，將學童在分數除法運算時的錯誤類型整理如下：. 1 1 1 1 1 1.除法直接換成乘法計算，如：     。 3 3 3 3 9. 2  2  1 1 。 2 2.分子和分母同時除以整數，如： 2  2  2  2  4  2 2 4 1 1 1 3 3.乘上被除數的倒數，如：   3   。 3 2 2 2 4.乘上除數與被除數的倒數，如：. 1 3 2 4   2  。 2 2 3 3. 5.分母不變，但分子直接做除法運算，如：. 4 2 42 2    。 3 3 3 3. 1 1 1 2 6.帶分數拆成整數加分數再運算，如： 2   2   2  2 。 3 2 3 3. 1 1 1 1 7.將帶分數拆成整數乘以分數，再運算，如： 2   2   2  4 。 3 2 3 3 8.帶分數除以帶分數時，整數與分數分別運算，. 18.

(35) 1 1 1 1 2 如： 4  2  4  2    2 。 3 2 3 2 3 9. 分母不變，但分子相減，如：. 2 1 2 1 1    。 3 3 3 3. 10. 帶分數除以整數時，只做整數之間的運算，. 1 1 1 如： 4  2  4  2   2 。 3 3 3 11. 帶分數除以整數時，只以分子除以整數，其餘都不變，. 1 1 1 1 如： 4  2  4    4 。 3 3 2 6. 1 1 12. 消去時發生錯誤。分母相消，分子相消，相消得 0，如：   0 。 3 3 13. 計算錯誤。由上可知，學童在分數乘除法運算錯誤情形大致上有（一）乘法的計算用除法算則來處理。（二）除法的計算用乘法算則來處理。（三）乘法計算時，分子分母交叉相乘。（四）分數乘以分數時，分母用乘法運算而分子卻用加法運算。（五）帶分數和整數的乘除法計算時，學童只做整數部份計算或只做分數部份計算。（六）帶分數乘（除）以帶分數時，整數與分數分別運算。（七）分母不變分子直接相除。（八）通分與約分的錯誤等。所以本研究試題的題型中，就有考量學童計算時可能只做整數部份或只做分數部份，因此有整數和分數相乘（除）的題型，而分數中又有帶分數的情形；試題的內涵中，也考量到學童可能會有約分錯誤的情形，而有分子和分母互質或不互質的題目類型。希望能藉此了解學童在分數乘除法運算的表現。. 19.

(36) 第三節. 教育公平性及多元文化教育. 教育公平性以及教育機會均等一直是國際間所強調的議題，更是「多元文化教育」（Multicultural education）中最重要的指標之一。在本節中將分別介紹教育公平性及多元文化教育。. 一、教育公平性英國前首相布萊爾曾說「教育是社會正義，是一種權利，也是一種機會。」（引自Gillborn & Youdell, 2000, p.17）。聯合國在《2010千禧年發展目標報告書》（The millennium development goals report 2010）目標二所宣示之「確保在2015年之前，世界各地的學童，不分性別，均能夠完成足夠的基礎教育（ United Nations, 2010 ）」（張國保、張熒書， 2012）。美國在2002年重新修訂「中小學教育法」（The Elementary and Secondary Education Act, ESEA），並由國會通過「No Child Left Behind 教育改革法案」，意即不讓任何一個孩子落後（李孟峰、連廷嘉，2010；陳明印，2002；Hess & Petrilli, 2006；McDermott & Jensen, 2005）。而我國《憲法》第21條明定「人民有受國民教育之權力與義務」、第159條「國民受教育之機會，一律平等」。這些都是在強調要保障「每一位」孩童有接受基礎教育的公平機會。但是讓每位學童有接受基礎教育的機會就一定代表對學童學習是公平的嗎？事實上是否定的，因為影響學童學習公平的因素很多，如不被重視的族群、種族、社會階級、家庭收入、語言、地理區位等(Gillborn & Youdell, 2000; Grant & Sleeter, 2011)。而這些不受重視的一群人就是社會上的弱勢族群。因此教育公平性除了要讓每位學童都有受基礎教育的公平機會外，更希望的是縮短不同族群學童間的學習落差，提升學童學習成就的表現，讓弱勢的學童能學得跟其他人一樣好。而促進教育公平，建構機會均等的教育環境，是政府及社會的責任. 20.

(37) （張國保、胡茹萍、廖俊仁、江翊嘉，2011），政府及社會必須要關注資質較差的學童，並投入較多的教育資源來照顧弱勢族群的學童（張國保、張熒書，2012）。我國九年一貫課程綱要的基本理念，就提及要把每一位學童都帶上來，是九年一貫及國家政策既有的理念（教育部， 2008）。而政府多年來積極辦理「教育優先區-學習輔導」和「攜手計畫課後扶助」等學童課業輔導工作，就將少數族群（如原住民）、弱勢家庭以及偏遠地區等資格的弱勢族群學童納入輔導，直至2013年為因應12年國教的實施，將上述的課業輔導整合為「補救教學」一名詞，以確保每一位國民中小學童都能擁有基本的學力。然而我國追求教育公平性以及教育機會均等已經很久了，目的就是要縮短不同背景學童間的學習落差，並提升學童學習成效的表現。因此本研究目的之一，就是想要透過分數乘除法運算試題來了解不同背景學童間的學習成效是否有落差。. 二、多元文化教育多元文化教育是一個新興的教育改革運動，是強調尊重文化差異與追求教育機會均等的教育，它是源於美國 1960年代非裔美人的民權運動，後來因為其他弱勢團體意識的覺醒與要求，逐漸納入性別、階級、宗教、特殊性與性取向等問題的探討，使多元文化教育的內涵不斷擴増。為了瞭解多元文化教育，以下將分別針對多元文化教育的意義、多元文化教育的內涵及多元文化教育的目標來做介紹。. （一）多元文化教育的意義 Banks（ 1993）認為多元文化教育是一種概念、是一種教育改革運動、也是一種過程，其目的在於改變學校的文化與結構，使不同文化背景的學童在學校中都有公平的學習機會。Nieto（1996）除了認為多元文化教育是學校整體改革的過程，是針對學童的基本教育外，她更強調多元文化教育就是挑戰種族主義及各種歧視的教育，學校應教導學童接受並肯. 21.

(38) 定文化多樣性。多元文化教育辭典（Dictionary of Multicultural Education）（Grant & Ladson-Billings, 1997）將多元文化教育界定為：多元文化教育是一種哲學概念和教育的過程。它植基於哲學上平等、自由、正義、尊嚴等概念，希望透過學校和其他的教育機構，提供學生不同文化的歷史、文化及貢獻等方面的知識，使學童瞭解與認同自己的文化，並能欣賞及尊重他人的文化。多元文化教育對於文化不利的學童亦提供適性及補救教學的機會，而它所面對的社會議題包括了種族、族群、社經階級、性別、宗教、語言和特殊教育等。由上述定義可知，多元文化教育就是希望透過教育來肯定文化多樣性的價值，並尊重文化多樣性，進而促進社會正義和公平的一種教育方式。. （二）多元文化教育的內涵 Sleeter 和 Grant（1994）分析美國的相關文獻，依照時間順序，歸納出多元文化教育的五種取向： 1.針對特殊及異文化者的教學此種取向的人希望學童具備社會所要求的知識、技能、資訊、語言與價值，以便獲得工作機會，並維持社會既有的制度與文化。而教師的責任是要幫助學童適應主流社會，如果弱勢學童無法融入主流社會，就必須進行補救教學以搭起學校與學童之間的橋樑。 2.人際關係此種取向的人希望培養學童與異文化者和諧相處，並減少刻板印象，進而促進多元社會的寬容與團結。他們透過讚頌差異，視差異是正常的、有價值的，以減低學童對不同文化的偏見。 3.單一群體研究此取向的人希望透過學校的課程，讓學童理解某一群體過去與現在被壓迫的情形，突顯群體與群體之間衝突的存在，使被壓迫的團體增能，. 22.

(39) 進而降低社會階層化，提升團體的地位。他們強調重新建構知識，重新檢視理所當然的分類架構。 4.多元文化教育本取向的人希望學校教育能達成兼顧多元差異與教育機會均等，強調尊重文化多樣性與生活方式的選擇，以及團體間的差異與權力平等。他們還期待進行全面性的課程改革，強調必須兼顧不同文化與學童經驗，而且沒有偏見與刻板印象。 5.多元文化與社會重建教育本取向的人強調批判與實踐精神，希望學童能分析差異背後隱藏的衝突，並將批判意識轉化為行動力，進而促進社會正義。他們主張視學童為教室的主體而非客體，強調若只一昧地教導學童順從，則學童無法學到公民的責任。台灣目前的多元文化教育內涵比較偏向讚頌差異與減少刻板印象，其中，讚頌差異固然是認識多元的基礎，但也容易將差異固著化，而將他者同化成虛假的集合體，反而造成多元文化所強調的公平正義難以實現（譚光鼎、劉美慧、游美惠，2012）。這也是台灣多元文化教育當前所需要注意的課題。另外，Banks（1996）指出多元文化教育有五大面向，包括內容统整、知識建構、減低偏見、平等教學與増能的學校文化。我們可以透過這五個面向瞭解多元文化的內涵。 1.內容统整教師在教學時，利用不同文化的內涵或例子，來闡釋學科的概念、原理或原則。 2.知識建構在教學過程中，讓學童瞭解知識如何產生，學科中的文化假設、觀點與偏見如何影響知識建構的過程。 3.減低偏見. 23.

(40) 運用各種策略減低學童對不同文化團體的偏見。 4.平等教學教師運用各種不同的教學方法，以提升不同文化背景學童的學業成就。 5.増能的學校文化學校環境的整體改革，營造一個使不同族群背景學童都能增能的學校文化。. （三）多元文化教育的目標 Banks（1993）指出，多元文化教育的目標有下列四點： 1.多元文化教育是在改變學校制度，使來自不同文化背景的學生有均等的學習機會。 2.多元文化教育在於幫助所有學生對不同文化、種族、民族與宗教團體發展出正向的態度。 3.多元文化教育在協助學生，使其免於成為受迫害的團體，幫助他們對自己具有成功學習的能力產生信心，以影響社會、政治與經濟機構。 4.多元文化教育應協助學生發展理解各個觀點的能力，並能考慮不同族群的觀點。吳清山、林天祐（1996）在定義多元文化教育時，曾提及多元文化教育應達到以下目標： 1.建立對其他族群文化的容忍。 2.消除種族的偏見與歧視。 3.教導不同族群文化的內涵。 4.教導學生從各種不同族群文化觀點看世界。 5.幫助弱勢族群學生發展其學習及對社會貢獻的信心。譚光鼎、劉美慧、游美惠（2012）歸納出多元文化教育的目標有： 1.在促進教育機會均等。 2.提升弱勢族群的學業成就。. 24.

(41) 3.瞭解與支持文化多樣性。 4.促進群際關係。 5.培養增能與社會行動能力。大部分的人都相信，透過教育能讓處於社會不利地位的子女，經由自己的努力，而有向上發展的機會，進而促進社會的流動。而透過文獻可以知道，多元文化教育就是要幫助弱勢族群，使其有向上發展的機會與權利，以期能達到教育公平性的目標。. 第四節. 背景與學業成就之相關研究. 弱勢族群常與低學業成就畫上等號，而弱勢族群的背景主要有族群、地區、家庭社經地位與性別等四個因素，所以本節希望從族群、地區、家庭社經地位與性別等因素，分別與學業成就的關連性來做探討。. 一、族群與學業成就在現今全球化的趨勢下，族群的多元化已是各國普遍的現象。但不同族群的價值觀、文化資本與社會資源都不相同，可能會對學業成就造成影響，所以弱勢族群大多存在著低學業成就的問題（譚光鼎、劉美慧、游美惠，2012）。而台灣本身也是一個多元族群的社會，台灣族群的結構被分類成閩南、客家、外省、原住民與外籍配偶家庭等五大族群（陳振新，2007）。在這五大族群中，閩南、客家與外省族群同為漢族，因此也可以分成漢族、原住民及外配家庭三大族群。楊肅棟（1997）以原漢族群做為分析對象，探討族群與學業成就之間的關聯性，研究中證實省籍族群對於學業成就會有顯著的影響。陳建志（2000）以台東縣國小五年級之原、漢族群的學生作學業關聯比較，發現族群對於學生的成就確有影響。所以族群是影響學童學業成就的重要因素之一。許多研究顯示，原漢之間學生的學業成就有明顯的差異，而且原住. 25.

(42) 民學業成就較低的差異，有愈來愈多的現象（楊肅棟，2001；王天佑， 2002）。簡敏娥（2006）在做原漢族群的學歷比較時也發現，原住民學生隨教育層次越高，比率有明顯下降的趨勢。另外有研究指出原住民學童在數學學習科目上，呈現低成就且嚴重落後的情形（黃茂夫、溫寶珠， 1996；洪麗晴、高淑芳，1998；陳招池，2001；劉祐彰，2001；黃志偉， 2002）。另有一些研究顯示，外籍新娘的子女確實存在著整體學習弱勢的現象（王妙如，2004；吳孟娟，2006；吳錦惠，2005；林璣萍，2003；柯乃文，2006；張淑猜，2005；陳璽琳，2006；劉芳玲，2006；劉秀燕， 2004；盧秀芳，2004）。楊淑朱、邢清清、翁慧雯、吳盈慧與張玉巍（2004）針對雲林縣外籍女性配偶子女在校狀況之調查研究中發現，外配子女在學習時最常出現被動及容易分心的情形，而且他們除了有語言能力的問題之外，數理理解力也較弱。鍾文悌（2004）研究屏東縣國小新台灣之子的學業表現與生活適應之相關，結果發現新台灣之子的學業表現確實較一般學童落後。但也有研究指出：新住民子女的學業表現，並不比漢族學童差。蕭彩琴（2005）探討台中縣新移民女性國小低年級子女的同儕社會地位與學業成就關係表示，新台灣之子的學業成就與一般學童沒有差異。陳湘淇（2004）以高雄市國小一年級學童為研究對象，研究也發現新台灣之子與本國籍兒童在智力、語文能力、各學習領域及整體學業成就的表現並無顯著差異。陳振新（2007）針對台東縣不同族群學童，研究在學業成就上的差異時發現：漢族學童與外籍配偶子女之學業成就無顯著差異，且皆顯著優於原住民學童。由此上述文獻可見族群確實對學童的學習成就有所影響，但各族群間差異的情況如何，則一直是社會大眾所關注的議題。故本研究想探討不同族群之國小六年級學童在分數乘除法運算表現是否有顯著差異。. 二、居住地區與學業成就. 26.

(43) 教育公平性一直是我國教育努力的目標，但是城鄉之間的教育資源卻一直有差異存在。根據兒童福利聯盟所做的「2013 台灣偏鄉弱勢學童學習貧窮分析報告」發現，偏鄉弱勢學童家中的教育資源不足比例 71.5%，與優勢學童相比相差 16 倍以上，偏鄉弱勢學童和優勢學童也存在明顯的數位和閱讀資源的落差，也缺乏文化刺激的機會；而教育資源的落差也實際反映在學童的學習表現上，僅半數偏鄉弱勢學童能答對基本學力題目，與優勢學童相差近三成，也有近二成的偏鄉弱勢學童反應平常上課大多聽不懂。駱明慶（2002）在「誰是台大學生？」一文中提到，在都會地區 18 歲青年人口中，成為台大學生的機率遠高於偏遠離島地區；另外駱明慶（2004）利用 1978-2001 年的人力資源調查，同樣發現都會區具有上大學的優勢。由此可見都會區的學童較有教育成就方面的優勢。而吳裕益（2004）的研究也指出城鄉地區學童的學業成就有明顯差異，而且都市化程度愈高的地區，其學業成就也愈高。陳美鈴（2009）的研究也同樣顯示，嘉義縣市地區學童的數學表現有城鄉差異的現象存在，而且是嘉義市區學生的整體測驗表現顯著優於嘉義縣學生。由上述的文獻可以知道我國基礎教育的學習成就有明顯的城鄉差距存在，而且都顯示出都會區的學童學習成就高於偏遠鄉村地區。而屏東縣政府將縣內所屬各級學校及其分校、分班，依交通狀況、所處地理環境等情形，區分為一般地區學校、特殊偏遠地區學校及偏遠地區學校等三種類型。所以本研究希望以屏東縣作為抽樣母體，將學童居住區域分為一般地區、偏遠地區與特殊偏遠地區，來探討不同地區之國小六年級學童在分數乘除法運算表現是否有顯著差異。. 三、家庭社經地位與學業成就家庭是學童最先接觸的教育場所，而父母是學童的第一位老師，所以家庭教育的好壞影響學童最深。如果家庭社經地位高，則能提供給學. 27.

(44) 童較好的教育資源，則學童的學業成就自然就比較好。翟本瑞（2002）認為家庭經濟能力足夠時，便能提供學童更多的學習資源，使學童能順利獲取更好的教育地位。林義男（1993）在探討國中學童家庭社經背景、父母參與及其學業成就的關係時指出，家庭社經背景愈高者，則父母參與的程度亦愈高，愈對學生學業成就愈有幫助。但是當低社經地位的家庭連基本的溫飽都有問題時，則就較難注意到家庭教育了。蔡文山（2004）在研究台灣原住民學童教育現況時，就指出原住民學童的家長社經地位比漢族學童的家長低，因而造成原住民學童學業成就也比漢族學童低。林璣萍（2003）在研究新住民家庭時，也發現父母的社經地位、家庭經濟等因素會影響學童的表現。而陳梅嬌（2009）在雲林縣國小低年級學童數學學習環境、學習興趣與學業成就之研究結果更直接顯示，社經不利學童的數學學業成就明顯比非社經不利學童差。由上述文獻可知，家庭社經地位與學童的學業成就有顯著的正相關。在本研究中因為受測學童的家長資料不易取得，所以將家庭社經地位區分為兩種，再請班級導師勾選：一為有能力繳交午餐費的一般學童，在本研究中稱之為非低家庭社經地位學童；二為無力繳交午餐費用的經濟弱勢學童，在本研究中稱之為低家庭社經地位學童，以此探討不同家庭社經地位之國小六年級學童在分數乘除法運算表現是否有顯著差異。. 四、性別與學業成就台灣早期的社會存在著重男輕女的觀念，因此能接受高等教育的大部分都是男性，但是隨著社會的開放，兩性平權的倡導，現在男生和女生接受教育的機會已經均等了。但是男生和女生在數學成就的表現上是否有差異，卻一直是一個爭論不休的話題，而一般人的刻版印象認為男生的數理表現比女生還強。在蘇一如（2007）統計臺灣四年級學童參加第三次國際數學與科學教育成就調查研究測驗 TIMSS 2003 之結果，就發現男生的數學學習能力優於女生。但是在吳淑珠（1997）的研究中發. 28.

(45) 現女生在「數與計算」、「統計圖表」上有顯著高於男生，在「量與實測」、「圖形與空間」上則沒有顯著差異。另外龔玉春（2003）與蔡政賜（2006）分別以國小六年級學童為研究對象，卻發現男、女生的數學成就無顯著差異。陳梅嬌（2009）在雲林縣國小低年級學童數學學習環境、學習興趣與學業成就之研究結果也顯示，國小低年級男、女生的數學學業成就表現並無明顯不同。由上述文獻可以發現，有些研究結果是男生的數學學業成就比女生的數學學業成就好，有些則是女生的數學學業成就比男生的數學學業成就好，有些則是男生和女生的數學學業成就無顯著的不同。所以，本研究想探討不同性別之國小六年級學童在分數乘除法運算表現是否有顯著差異。. 29.

(46) 30.

(47) 第三章. 研究方法. 本研究設計一份「分數乘除法運算測驗」，以屏東縣國小六年級學童進行施測。透過分數乘除法運算測驗來蒐集屏東縣六年級學童在分數乘除法運算的答題表現，並進一步探討不同背景的學童在分數乘除法運算答題表現為何。最後根據研究結果提供具體建議，作為教師教學上之參考或改進教學策略的依據。本章共分為六節。第一節為研究設計與架構，第二節為研究假設，第三節為研究對象，第四節為研究工具，第五節為資料處理與分析，第六節為研究步驟。茲詳述如下︰. 第一節. 研究設計與架構. 本研究採調查研究法，藉由紙筆測驗以了解六年級學童在分數乘除法運算的答題表現，並進一步探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位及不同性別等不同的背景因素影響下，學童在分數乘除法運算之答題表現及差異情形。本研究之測驗試題分成分數乘法類型與分數除法類型兩部分。在分數乘法的類型方面，分成「分數乘以整數」、「整數乘以分數」和「分數乘以分數」等三種類型；在分數除法類型方面，分成「分數除以整數」、「整數除以分數」和「分數除以分數」等三種類型。最後再根據學童筆試測驗的結果，探討六年級學童在分數乘除法運算的答題表現，並進一步分析在不同族群、不同地區、不同家庭社經地位及不同性別等不同的背景因素影響下，學童在分數的乘除法運算的答題表現，根據研究的目的，本研究的研究架構如圖 3-1-1 所示。. 31.

(48) 屏東縣國小六年級學童在分數乘除法運算表現之研究分數乘法的類型研究對象背景：. 1.分數乘以整數. 1.族群. 2.整數乘以分數. 2.地區. 3.分數乘以分數. 3.家庭社經地位 4.性別. 分數除法的類型 1.分數除以整數 2.整數除以分數 3.分數除以分數. 目的 1. 探討國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現。 2. 探討不同族群、地區、家庭社經地位及性別之國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現及差異情形。. 應用作為教師教學上之參考或改進教學策略的依據。. 圖 3-1-1 研究架構圖. 32.

(49) 第二節. 研究假設. 本節針對研究問題二、三、四、五，採用獨立樣本單因子多變量變異數分析統計方法，分別就族群、地區、家庭社經地位及性別等四個不同自變項，探討其在分數乘法運算與分數除法運算的答題表現是否有顯著差異。提出了下列的研究假設：假設一：不同族群之國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現沒有顯著差異。假設二：不同地區之國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現沒有顯著差異。假設三：不同家庭社經地位之國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現沒有顯著差異。假設四：不同性別之國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現沒有顯著差異。. 第三節. 研究對象. 本研究旨在探討國小六年級學童在數學分數乘除法運算之表現，與不同族群、不同地區、不同家庭社經地位及不同性別之國小六年級學童在分數乘除法運算的表現。以下將針對各階段所選取的研究對象做更詳細的說明。. 一、預試樣本本研究筆試測驗工具共進行兩次預試，第一次的預試對象為屏東縣某國小某一班六年級學童，經由老師推薦選取該班 2 位高成就，2 位中成就及 2 位低成就共 6 位學童進行預試。目的在了解學童作答所需時間與筆試實際施測的情形，並據以作為測驗工具調整、修改之依據。. 33.

(50) 第一次預試施測後，將試題做以下四點之修正：第一，學童都能在 30 分鐘內完成試題，所以將正式測驗時間訂為 40 分鐘。第二，根據 5 位有數學教育背景之國小教師建議，部份試題數字太小，不容易鑑別出學童之程度，建議將數字改大。第三，原有兩題整數除以整數之題目，因為學童作答時容易以小數方式呈現，所以將這兩題刪除，另外再增加兩題分數除法的題目。第四，增加兩題分數加法與兩題分數減法，以作為判定試卷是否為有效試卷的參考。第二次預試樣本採方便取樣，分別從屏東縣的一般地區學校選取 2 班，和偏遠地區學校選取 3 班，共計 5 個班級，合計 109 名學童進行紙筆預試，預試結束後，統計學童答題結果並進行信度評估。第二次預試人數統計的情形見表 3-3-1。表 3-3-1. 預試對象統計表. 學校屬性. 一般地區. 偏遠地區總計. 班級數. A班. B班. C班. D班. E班. 學童人數. 30. 29. 19. 17. 14. 109. 二、正式施測樣本本研究欲探討國小六年級學童在分數乘除法運算之答題表現。正式的研究樣本選定屏東縣的六年級學童為施測對象。本研究基於研究目的考量，採用分層叢集抽樣。但是在做研究時，當樣本數愈小時，則誤差愈大，樣本數愈大時，則誤差愈小（ Suter, 2006）。所以樣本數大小的選取就顯的非常重要。根據相關研究，Anderson 提出當母群體人數在 5000~10000 人時，在 5%可接受的誤差範圍內，最少的樣本數需為 356 人（Verma, 1999）。Creswell 提出調查研究取樣至少要 350 人；Lodico、Spaulding 和 Voegtle(2006) 認為調查樣本人數 5000 人或以上的大母群體時，樣本數在 350~500 人即可（引自王文科、王智弘，2008）。本研究旨在探討不同族群、地區、家庭社經地位及性. 34.

(51) 別的因素下，學童於分數乘除法運算之答題表現及差異情形，但是如果本研究同時兼顧族群、地區、性別與家庭社經地位等四個背景因素作比例原則抽樣，則抽樣過程將會很繁複且樣本數會過於龐大。因此，在人力、物力的考量與抽樣無法針對四個因素面面俱到的情形下，本研究並未依比例原則來抽樣。而本研究以屏東縣的六年級學童為正式施測樣本，根據屏東縣教育處 101 學年度的公告，101 學年度屏東縣國小六年級的學生總數為 9436 人，因此本研究分別依各學校屬性：一般地區、偏遠地區、特殊偏遠地區等三個地區來選取樣本，每個地區平均選取 120~140 位學童，總共選取 394 人。經過施測後，扣除無效樣本 11 人後，剩餘有效樣本 383 人，作為本次正式施測之研究對象。整理所抽樣之學童人數如表 3-3-2 所示：表 3-3-2. 屏東縣六年級學童抽樣人數一覽表. 族群. (漢族、新住民、原住民) 學童數學校. 地區. 班級數漢. 新. 原. 總計. A校. 2. 49. 2. 6. 57. B校. 2. 53. 10. 0. 63. C校. 2. 34. 3. 13. 50. D校. 2. 41. 4. 9. 54. E校. 1. 0. 0. 23. 23. F校. 1. 0. 0. 13. 13. G校. 2. 50. 3. 4. 57. H校. 2. 19. 9. 2. 30. I 校. 2. 18. 2. 1. 21. J 校. 1. 11. 4. 0. 15. 10. 17. 275. 37. 71. 383. 一般. 偏遠. 特偏. 總計. 35.

(52) 第四節. 研究工具. 本研究透過給各班老師填寫的學童基本資料，與給各班學童的紙筆測驗來收集所需要的資料，茲針對其內容敘述如下：. 一、學童基本資料的內容本研究為了了解學童的不同族群、不同地區、不同家庭社經地位及不同性別是否是影響學童表現的因子，因此設計了一份學童基本資料問卷（如附錄一），請各班的導師幫忙填寫。. 二、試題的編製與內容本研究之研究工具為自編之筆試測驗，研究者針對研究問題編製出試題內容，試題內容是研究者參考九年一貫課程綱要、國小各版本之數學教科書及相關的文獻資料所編製而成。研究者希望能透過學童在紙筆測驗的作答結果，來了解國小六年級學童在分數乘除法運算的答題表現。由於本研究主要針對分數乘除法運算部分進行研究，所以試題的內容與設計皆以計算題的形式呈現，不包含分數概念與文字題的解題。本研究編製之試題內容分為分數的乘法與分數的除法。從課綱與數學教材中可知，不論是分數的乘法或除法，一定都是從被乘（除）數是分數，而乘（除）數是整數開始；再進一步到被乘（除）數是整數，而乘（除）數是分數；最後才是被乘（除）數和乘（除）數皆為分數。因此分數的乘除法運算中，被乘（除）數有分數與整數；乘（除）數有分數與整數，扣除掉「整數×整數」和「整數÷整數」的題型。可以將分數乘除法的題目分為 6 種題型，分別是「分數×整數」、「整數×分數」、「分數×分數」、「分數÷整數」、「整數÷分數」、「分數÷分數」。另外，因為約分與擴分為分數乘除法的先備知識，因此約分與擴分對分數乘除法的計算有很大的影響。部份國內外學者的研究（林榮煌，. 36.