數學課對於許多的臺灣孩子來說如同夢靨一般，原因其實顯而易見，因為 聽不懂、學不會。對於國中與高中的孩子們，在學習數學課程的過程會歷經四 次嚴峻的挑戰，從算數過渡到代數（七年級）、從代數過渡到幾何（八年級）、
從常量數學過渡到變量數學（九年級、高一），以及從有限過渡到無限（高 三）。在這四次過渡性的學習，只要有任何一次的不適應，都可能使孩子們喪失 學習數學的信心，而對數學產生畏懼（段翠卿，2007）。其中，數學課程由具體 轉變為抽象是造成學習困難的主要原因之一。而在學習數學的過程中，首當其 衝的挑戰是出現在七年級，如何讓孩子們跨越從算術思維過度到代數思維所面 臨的困難，便是教師們應面對的難題。洪友情（2003）也提及，從算術思維跨 至代數思維，學生必須學好算術運算的能力，也得從算術的舊經驗中調適過 來，才能順利轉至代數上的學習。因此，本節欲探討七年級學生在學「第三單 元、一元一次方程式」時會遭遇到那些學習上的困難。
翰林版教科書將第三單元分成三小節來談，分別是 3-1 式子的運算、3-2 解 一元一次方程式、3-3 應用問題。各個小節都有其學習目標，學生也會在各個小 節碰到不同的學習困難。本節分別依照研究場域所使用的教科書版本之課程編 排，探討學生在學一元一次方程式課程時，在不同階段會面臨到的學習困難。
一、3-1 式子的運算
在進入國中階段前，學生在小學五、六年級時的數學課程就已經接觸過與 未知數相關之概念。例如：翰林版國民小學數學課本第十冊，「第八單元、用符 號代表數」中就以“ A ”、“ B ”...等英文字母代表數量、長度、重量、距離等，並 學習簡單的列式與運算；並於翰林版國民小學數學課本第十二冊，「第五單元、
怎樣解題」則利用天平平衡的狀態來引入等量公理的概念（國中課程 3-2 解一 元一次方程式裡其中一個數學方法）。進入國中階段，七年級學生從一元一次方
程式單元又再一次的接觸到代數。在「3-1 式子的運算」小節裡，學生須開始學 習如何將算術思維轉化為代數思維。
從學習如何將符號簡記到如何以符號來代表數，進而能理解以符號表徵的 式子與符號所代表的值之間的關係，並能將帶有符號的式子化簡。在代數思維 裡，符號的表徵有一定的形式和規範。就像在算術思維裡，「2
3」的運算符 號「
」是不可省略；但在代數思維裡，「2 m
」的運算符號「
」是可省略，並簡記為「 m2 」。但在學生的學習經驗裡，英文字母可能代表的是某種物品或 某個字彙的縮寫。因此，他們可能認為 m2 所代表的意思為 2 公尺；但在代數思 維裡， m2 代表的是「2
m
」，它可以是許多不同的數值 (Booth, 1988)。也因為 符號的使用在算術與代數領域中意義上有所差異，學生在學習代數語言時，往 往會有所困擾。Kieran (1992) 的研究曾指出，算術與代數共用許多的符號與物件，例如：
、
、
、
、
，但有些符號在算術與代數之間的意義並不相同，以致於學 生在學習上容易產生混淆。以等號「
」為例，學生容易將「
」視為運算後 的結果，卻忽略了在代數思維裡「
」所表示的是一種等價關係。也因為學生 常將「
」視為一種運算後的結果，對學生在學習代數概念時容易造成一些混 淆與迷思，例如：在做代數的化簡部分，學生容易將 2a＋5 寫成 7a (Behr, Erlwanger, & Nichols, 1976; Iiany, & Shmueli, 1998)。因此，有許多學者非常強調 等號的等價概念 (Filloy, & Rojano, 1984; Kieran, 1989)。在以符號列式的部分，用符號表示未知數、列式等，這些都是從算術思維 過度到代數思維需要與學生溝通清楚的重要概念與用語。然而，在許多教學現 場卻常發現，學生在以符號列式時產生困境。林碧珍、林曉菁（2013）的研究 中，曾提及國小學童在進行關於以符號列式的練習活動，如下表 3-4-1 所示。
學童在前三題經常以 150、250、350，以計算的結果來表示答案，而非以列式 的形式來表示之，也因此導致對後續兩題的問題產生困惑。而這樣的佈題敘述 用語適當嗎？亦或是因維學生的舊經驗不足而導致？陳姿靜、梁文鎮、林碧珍
（2011）的研究建議，認為此處的佈題用語可將「總重量是( )公克」改成「請 用式子表示總重量」。此外，學生能否由前三題的引導，進而理解後兩題所傳達 列式的意義，這又是另一個教師應解決的問題。學生在學習以符號列式的時 候，往往會遭遇到諸多困難，但這過程卻是往後在代數學習上的重要根基。
表 3-4-1
林碧珍、林曉菁（2013）。國小列式子之教學討論。
列式教學問題佈題設計例子。
佈題：一個水果籃重 50 克，
(1) 裝入 100 公克的草莓後，總重量是（ ）公克。
(2) 裝入 200 公克的葡萄後，總重量是（ ）公克。
(3) 裝入 300 公克的蓮霧後，總重量是（ ）公克。
(2) 裝入□公克的香蕉後，總重量可以怎麼表示？
(2) 裝入 y 公克的蘋果後，總重量可以怎麼表示？
資料來源：林碧珍、林曉菁（2013）。國小列式子之教學探討。。
戴文賓（1999）的研究也指出，七年級學生在從算術領域跨入代數領域時 會有的迷思概念有 (1) 在代入求值的問題中，學生容易將 3x 當作 3＋x。(2) 在 同類項合併時，無法接受仍含有運算符號的式子，因此會有將 3a＋4 寫成 7a 或 7 的狀況產生。(3) 學生容易忽略 x 所代表的含意就是 1x，因此在作答時容易將 其係數忽略不計，導致出現 3x＋x＝3x 的答案。(4) 在拆括號的部分，則會出現 容易忽略括號外的數字也應與第二項相乘，或是括號外是負數時分配完沒有變 號的狀況。
二、3-2 解一元一次方程式
承接 3-1，在學生對文字符號的使用與意義有基礎的概念後，緊接著的課程 將會引領學生們做未知數的假設，並試著從簡單的生活問題中列出含有未知數
的方程式，最後學習如何解一元一次方程式。在「3-2 解一元一次方程式」小節 常出現的問題是使用移項法則時產生的錯誤，例如：2x－7＝5＋3x 移項後變為 2x＋3x＝5－7；在拆括號的時候也時常會出現錯誤，例如：3(x+13)＝3x＋13
三、3-3 應用問題
在「3-3 應用問題」小節裡，學生須學會將所學的數學概念與各種不同的情 境做連結，建立與情境相關的一元一次方程式，並求得問題的答案。換而言 之，學生須學會如何解決問題。Polya (1945) 在「怎樣解題」(How to solve it) 中，提及數學解題的四個步驟：(1) 了解問題；(2) 擬訂計畫；(3) 執行計畫；
(4) 驗算與回顧。在任何一個步驟出現了問題，將會對解題造成阻礙。因此，
學生在面對數學應用問題的學習內容時，往往備感困擾。
王姿勻（2008）整理了與學生解題困難相關之研究發現，其內容包含：閱 讀前，看到較長的題目時，會懷疑問題難度較高，導致其放棄思考，並排斥閱 讀題目（張景媛，1994；謝和秀，2001；王如敏，2004）；閱讀時，對題目裡某 些關鍵字詞的不了解，或閱讀後，並不了解題意或所求問題（張景媛，1994；
謝和秀，2001；陳哲仁，2004；李盈賢，2007）；亦或是閱讀後，不知如何做出 正確的假設，以及不知如何列式（張景媛，1994；謝和秀，2001；王如敏，
2004）。這些研究發現說明著，學生在學習將 3-1、3-2 所學的數學方法應用到 生活問題上時，可能會遭遇的學習困難。
從上述整理的文獻中發現，學生在解代數問題時的困難往往會發生在問題 表徵的步驟，這步驟包含了問題轉譯與問題整合（徐偉民、林潔慧，2010）。問 題轉譯是將每一個句子或主要的詞句轉變為內在的心理表徵，意即理解語句之 間的關係，並將這些語句加以解釋的過程；而問題整合則是包含認識問題類 型、了解有關與無關的資料、選擇解題所需資料，以及結合相關數學概念的過 程 (Mayer, 1992)。因此，在這部分學生除了需要具備分析、推理能力之外，還 需要擁有將問題「轉換」成代數符號的能力。故學生不僅得看懂題目，對於文 字敘述上所代表的運算規則要有基本的概念並做結合，最後將題意轉換為正確 的代數運算式。
Mayer 認為在問題轉譯的過程涉及「語言知識」，意即了解文句意思，而且 要能將問題從字句中轉譯為數學語言。而這樣的問題普遍存在於學生剛開始接 觸問題轉譯的時期，而國中階段的應用問題語句敘述變得更加複雜，學生在轉 譯的過程中也會變得更加困難。張景媛（1994）的研究發現，有多數的學生在 閱讀題目時會忽略題目中與「時間」相關的描述，例如「五年前，父親的年齡 是兒子的兩倍」，他們往往將時間軸直接當成了「現在」；或對代名詞的用法轉 換不過來，例如「阿諾對洛基說：『六年前，我的年齡是你的三倍』」，我是誰？
阿諾還洛基？學生對於轉換為「六年前，阿諾的年齡是洛基的三倍」這樣的敘 述會有困難。謝和秀（2001）也提到，學生對於某些「關鍵字」的意思會做直 覺上的反應，例如「每人『分』10 個，則剩下 6 個」的「分」字，就會直覺認 為要用除法；對於題目為「把 10 元和 1 元硬幣的個數調換，將比原有的錢數少 了 27 元」這類的文字敘述，兩者的關係學生常常也感到困惑，到底是哪一個錢 多，以至於無法進行符號化的轉譯。
在問題整合的過程則仰賴於「基模知識」的運用，也就是要能夠認識問題 類型，並分辨出與解題有幫助的相關資料。而這部分學生最常搞混的就是倍數 的基模知識，例如「姐姐的錢是的弟弟的 4 倍，假設姊姊的錢是 x，弟弟該如 何表示？」學生往往會直接寫出 4x 的答案（張景媛，1994；謝和秀，2001）。
謝和秀（2001）也提到，學生在這階段的學習仍缺乏因果關係的基模知識，因 此在「姐姐給弟弟 15 元」這類的問題，學生僅知道姐姐的錢會少 15 元，但忽 略了弟弟會因此而多 15 元這件事；位值的基模知識也尚未健全，故有許多學生 仍會忽略十位數字應該乘上 10 倍這件事。
而 Mayer 所認為的問題轉譯與問題整合的這兩個部分較接近於 Polya 的第
而 Mayer 所認為的問題轉譯與問題整合的這兩個部分較接近於 Polya 的第