本節針對第壹章與第參章，以及本章所提出的研究問題作總結，在此先回 顧研究者欲探討的問題，如下列點，並分成四個部分說明結果：
1. 新手與資深教師對學生學習一元一次方程式單元困難的預測有哪些？差 異為何？
2. 新手與資深教師以何種教學策略來處理其認為學生會面臨之學習困難？
差異為何？
3. 綜合新手與資深教師的班級學生在學習一元一次方程式單元時，反應出 困難的部分有哪些？與教師預期吻合的有那些？
4. 新手與資深教師在針對學生學習困難做的教學策略改變有哪些？
一、新手與資深教師對學生學習困難的預測及差異
新手教師預測學生在剛開始接觸代數符號時，對代數符號代表的含意仍不 夠熟悉、清楚，亦或是與舊經驗做了錯誤的連結而產生的誤解。例如：學生常 忽略
x
1x
、 x
1x
，導致在處理式子的化簡運算容易出錯；或者對於與 x3 等價的式子判別容易混淆，尤其是x x x
與x x x
。在操作運算的部分，學 生也常會犯錯，例如：在代入求值時，替換數字後仍保留未知數；不同類項進 行合併；去括號時，分配律容易只分配一半，或運算符號未改變；分式型的化 簡問題容易放棄解題，以及與解方程式的過程混淆，出現同乘分母的狀況。在進行解方程式的過程，新手教師預測學生在處理一次項係數為分數、負 數的求解問題時，往往不知道該如何作答；當方程式的呈現越來越複雜，學生 的解題困難就越高，求解的慾望會變得低落。而她也在課堂上發現，班上學生 在運用等量公理解題時，會同加減錯東西，導致一次項與常數項皆在等號的同 一邊，導致解題活動的停滯。
應用問題的部分，新手教師則認為學生的閱讀理解能力有待加強，因而導 致在轉譯上的困難。
資深老師預測學生在接觸代數符號的化簡運算時，會有一些錯誤的概念，
表 4-5-1
新手與資深教師在預測學生學習困難的差異（續）
預測／發現內容 新手教師 資深教師
3. 學生在化簡運算時忽略四則運算的規則。 V
4. 敘述逆運算的列式困難。 V
5. 除法等量公理的運算困難。 V
6. 容易將一次項與常數項皆移到等號同一側，導
致解題過程中斷。 V
7. 等號兩邊皆有一次項時，衍生錯誤的計算方
式。 V
8. 無法根據題意進行相對應的假設。 V 9. 對題目中的專有名詞的不了解造成的列式困
難。 V
［註］：兩位教師預測相似的部分詳見本章第一節 pp. 91-92。
二、新手與資深教師對學生學習困難的教學策略及差異
新手教師習慣以問答的方式來建構整個課程，該師喜歡以淺顯易懂的直觀 例子讓學生先作直觀的判斷，再推廣至本章節課程的符號化例子來類推。例 如：5x＋4－2x＋7 的化簡問題，教師會以🍎的圖示代指 x，錢就好比是數字，
將問題轉換成 5🍎＋4－2🍎＋7 與學生做問答探討後，再拉回原問題。
在面對分配律的概念時，新手教師以問答的方式帶學生探討為什麼會有這 樣的分配律，延伸進來的概念及為連加法。經過概念上的探討後，教師則以口 訣、註記強調的方式，幫助學生在運算上減少錯誤的發生。較困難的分式型化 簡與解方程式的題型，則以步驟化的方式進行教學。
面對等量公理操作時學生發生的總總狀況，新手教師再以天秤圖解的方式 配合每個操作上的問題引導，例如：為什麼要拿掉兩顆蘋果？為什麼要拿掉一 個砝碼？並說明操作原因與目標的關聯性。
在處理學生轉譯上的困難，新手教師則以關鍵字翻譯的方式來進行教學，
讓學生記憶在看到敘述中有「為、是、比」這三個關鍵字時，它所代表的就是 等號的含意，而前後的敘述文字就照抄下來，再進行符號的轉換。而這樣的教 學方式，新手教師在 3-1 節的以符號列式就開始使用了；有時也會運用學生容 易理解的數字情境例子或圖示輔助作引導，幫助學生進行未知數假設與列出符 合題意的方程式。
資深老師則是以課本編排脈絡作為課程主軸，先說明代數符號的相關概 念，並不時在他所預測學生會有的學習困難或混淆的部分進行概念澄清，可能 用一般化的例子來呈現，也可能直接用學生容易出錯的作法來與學生問答，亦 或是用類比的方式來加深學生印象。
在面對分配律的概念時，資深老師則以註記強調的方式來幫助學生在運算 上減少錯誤的發生，並給予學生大量上台練習的機會，以訂正學生上台書寫的 過程在強調該注意的細節。
解方程式的方法教學上，資深教師有先講解等量公理的意涵，並強調等號 在方程式上的意義（意即等號左右兩邊的東西一樣）。爾後，移項法則的教學則 是由等量公理的解題方法來進行歸納，並用「搬家要換地址」的比喻方式來幫 助學生記憶移動的項性質符號要改變。也在解題操作時以註記強調的方式，來 讓學生理解每一個步驟在做些什麼。
針對應用問題文字轉譯的學習困難，資深教師先是將題目朗讀，並以問題 引導的方式詢問學生內文中的條件敘述有哪些，同時也將學生的回答記錄在黑 板上；同時，設法讓學生了解題目，可能以學生容易理解的數字情境例子或圖 示輔助作引導，幫助學生進行未知數假設與列出符合題意的方程式。
兩位教師的教學策略使用風格差別相當的大，新手教師以較多的問題引導 來進行教學活動，以直觀、類比的例子來建構學生在代數上的相關概念，再推 廣至符號上來進行操作運算；資深教師則是先以傳統講述的教學方式來說明代 數符號的相關概念與規則，再輔以一般學生容易出錯的例子來與學生作問答互 動、澄清概念，或以類比的例子來與文字符號來作連結。
儘管兩位教師的教學策略使用風格有所不同，但針對課前預測的學生學習 困難，教師們卻皆有相仿的策略出現，例如：運用類比的方式來澄清不同類項 不可合併的概念；以註記強調的方式來進行拆括號的說明。
值得一提的是資深教師在給予學生自主練習與上台演示的機會較新手教師 來得多，故可藉此及時對學生的學習狀況進行了解，以及針對學生仍有的錯誤 或混淆概念進行澄清與說明。
三、學生的學習困難有哪些？與預測相符的又有哪些？
新手教師班級（內文說明簡稱 A 班）學生在符號簡記的部分，有部分學生 對於除法簡記的問題會有錯誤概念，他們往往只記得除號要改成乘號，卻忽略 了除數要變倒數的步驟；還有不同類項合併的錯誤概念，以及在進行含有符號 的四則運算化簡，也有多數的學生出現將文字符號與數字分開進行運算，忽略 四則運算規則的狀況。
在判斷 x5 與何種式子等價的問題上，也可以看到多數學生對於除法簡記的 判斷仍有問題，值得一提的是
x x x x x
與x x x x x
的判別，有蠻多 學生在這個部分出現判斷錯誤。文字轉譯的部份，面對簡易的關係敘述轉譯，該班學生在處理文字敘述題 型僅有一半的受試學生得以正確轉譯，其餘約有一半轉譯錯誤，剩下的一半則 空白作答。而面對與時間訊息相關的情境敘述轉譯，多數學生會忽略部分題目 的條件訊息，導致列出與題目不相符的式子。
化簡問題首先在於有部分的學生不懂「化簡」一詞的意思，經由研究者說 明後學生才繼續作答。經作答分析發現，學生在分配律的操作上會有分配不完 全或忘記乘以負數要變號的問題，以及分式型化簡問題有程度較好的學生作出 同乘分母的作答情形。
面對一元一次方程式進行判別問題時，A 班學生容易忽略「次」所代表的 意思，有高達 10 位受試學生勾選了
x
2 4 x 4 0
的選項；也有部分學生對於「式子」與「方程式」名詞上的差異仍有疑惑，因此勾選了
x
2的選項。A 班學生在解方程式時，當解到
x
2這樣的部分，有部分學生會卡在這 裡而沒有進行同除－1 的步驟，或者出現除以一個負數後，答案在性質符號上 仍然錯誤的情況。也有學生是在面對等號兩側皆有一次項與常數項的複雜問題 時，不知道該如何運用等量公理來解題，何時要用加減，何時要用乘除，先後 順序又該如何？應用問題的部分學生明顯在假設與將文字敘述轉譯成數學式子的過程中會 有狀況，導致許多學生在解題時空白的居多，即便是他最後有個合理的答案，
也是利用湊數字的方式來進行解題。
上述新手教師班級學生在一元一次方程式單元課程中的學習困難整理，如 表 4-5-2 所示，並與第一節教師的課前預測進行比對，呈現教師預測與學生在 學習後真實遇到的困難上的差異。
表 4-5-2
新手教師班級學生的學習困難整理與教師的課前預測對照表
#
學生學習困難與狀況敘述 教師是否預測1. 除法簡記的問題，ex: x
5 5x。2. 數字與符號合併的問題，ex: 2
x
2x
。 V 3. 文字符號與數字分開作運算，忽略四則運算規則，ex:
x
4 3
1x。表 4-5-2
新手教師班級學生的學習困難整理與教師的課前預測對照表（續）
#
學生學習困難與狀況敘述 教師是否預測4. 判斷
x x x x x
與x x x x x
何者是 x5 的混淆。 V 5. 去括號的問題，ex: 2
52x
102x。 V6. 分式型化簡同乘分母。 V
7. 代入求值的時候仍會將未知數保留。 V
8. 「式子」與「方程式」的混淆。
9. 「次」所代表意義的忽略。
10. 等量除法公理同除負數的操作困難，ex:
x
2#。 V 11. 等量公理操作順序的不清楚。12. 文字敘述轉譯為數學式子的困難。 V
資深教師班級（內文說明簡稱 B 班）學生在符號簡記的部分、判斷 x5 與何
資深教師班級（內文說明簡稱 B 班）學生在符號簡記的部分、判斷 x5 與何