一般來說，針對教師知識的研究很多，教師需要具備的知識也有許多不同 的範疇。本節針對教師的教學相關知識作探討，介紹不同學者對教學相關知識 的觀點，並說明研究者對數學教師的教學相關知識之立場與看法。
「教師需要具備何種知識 (What teachers need to know ?)」、「教師知道些什 麼 (What do teachers know ?)」等，這些問題都常見於教師知識研究的領域。關 於教師知識的內涵，各個不同的學者有不同的見解，以下分別介紹幾位較具代 表性學者的觀點：
一、Elbaz 的觀點
Elbaz (1983) 提到，教師的實作與知識是會相互影響，與過去、現在、未 來息息相關，這些知識的建構主要是透過在課室中與學生互動而成，慢慢地構 築出的一套具個人特色的規則 (rules) 或原則 (principles) 。Elbaz 將教師知識 的結構劃分成實作的規則、實作的原則、印象 (images) 三個部分，前兩者包含 了教師的教學知識，印象則是教師將其所有知識組織，其中包含情感、道德，
並且考量了現存或新的知識，將其一一排序後選擇使用。
每位教師的實作知識會指向一個特殊的實作脈絡，而這些脈絡能以多種面 向來檢驗，例如：社會、個人、經驗、理論，以及情境。透過各方面的檢視，
我們便可了解教師知識所照顧到較廣的細節，並從中注意教師知識上的變化。
Elbaz 也提到，一位教師需要擁有廣泛的教學相關知識，包括學科專門知識、課 程知識、教學知識，以及教學情境知識；而且，專業及個人的經驗會造就教師 的這些知識。
二、Shulman 的觀點
Shulman (1986) 認為，教師具備多種不同範疇的知識，如果要探討教師知 識的複雜，並傳達以內容知識為主的想法，就應該要有個理論框架來協助探 索。他藉由探討過去在測驗教師的準則，當代（1980 年代）的標準及其缺失，
以及一些文獻研究所提出建議，以內容知識該領域而言，應該包含三種分類：
(1) 學科內容知識 (subject matter content knowledge) (2) 學科教學知識 (pedagogical content knowledge) (3) 課程知識 (curricular knowledge)
Shulman (1897) 又依照上述之理論框架，以質性研究的方式蒐集新手教師 與專家教師在教學前的準備階段，以及教學時所使用的知識，並予以分析，最 後將教師的基礎知識分成七種類別：
(1) 學科內容知識 (subject matter content knowledge) (2) 一般教學知識 (general pedagogical knowledge) (3) 課程知識 (curricular knowledge)
(4) 對學習者及其特質的知識 (knowledge of learners and their characteristics) (5) 教育情境的知識 (knowledge of educational context)
(6) 教學內容知識 (pedagogical content knowledge; PCK)
(7) 對教育目標、目的、價值、哲學及其歷史淵源的知識 (knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds)
其實，早在 1985 年的美國教育研究協會 (American Education Research Association) 的主席致詞裡，Shulman 就已提出教學內容知識 (PCK) 的觀點。
Shulman (1986) 認為 PCK 是最具影響力的一個教師知識類別，它所指的是教師 對教授之學科，以最有效的表徵形式、最有力的類比、舉例、說明、圖解、示 範等方式，讓學生學習該學科。換句話說，教師在教授某種概念時，必須將其
擁有的學科內容知識加以重新組合，並以適當的方式表現，使學習者能理解相 關的內容。此外，教學內容知識還包含教師理解有什麼因素會使學生在學習該 學科概念時會感到困難或容易；也應理解不同年齡、背景的學生在學習該課題 時，會持有的先備知識。由此可見，PCK 是較有可能區分出新手教師與專家教 師之間差異的知識。
在 Shulman 提出教學內容知識的概念之後，這些年來 PCK 一直是學者們研 究的重點，對於其定義，也有進一步的討論與拓展。而這些研究多數都設定於 特定的學科中進行，而 PCK 既然謂之教學內容知識，就特別適合用於特定學科 內容下的教學；因此，PCK 在多數的情況下被視為具體教授特定學科的一種知 識。例如：Sherin (2002) 認為，PCK 是學科內容教學的專門知識，內容包含教 師知識是如何呈現該學科領域之知識來促使學生學習，也必須知道學生在學習 時可能理解什麼，或是誤解什麼。他認為教師的知識，是在教學中不斷的對不 同的知識進行協商而建構，這包括學科內容、課程教材，以及關於學生學習的 理解。
以下總結教學內容知識的一些主要特徵，包含以下三個方面：
(1) 教師須對其教授的學科內容有所理解。
(2) 教師對其教授學科內容表徵的掌握及運用，例如用什麼樣的方式（類 比、舉例、圖示等）來表現學科內容才是較有效、具說服力，而且讓 學生容易明白。
(3) 教師對於學習與學習者的理解，例如能否了解學生在學習某個概念前 所擁有的先備知識，或學生在學習某些概念時是否會容易感到困難或 誤解，並且知道是什麼原因而造成的。
由此可知教學內容知識的複雜性，它不單只是某種單一層面的知識，而是 各種知識之間互相牽連，缺一不可。教學本是動態的，在這過程中各種知識間 的關係是會有所互動。
三、Ball, Thames 與 Phelps 的觀點
Ball 與 Bass (2000) 認同 Shulman 強調的 PCK，並將其研究建立於 PCK 上，並致力於數學學科的教學實作上。他們認為 PCK 是一種特殊形式的知識，
將數學知識和學習者、學習、教學綑綁在一起，該知識可以幫助教師預期學生 可能遭遇之困難，以及思考可能處理方法，協助教師避免在教學上遇到瓶頸。
但實際上，教學現場的氛圍瞬息萬變，內容和教學總是持續不斷的在互動著，
使得 PCK 無法完全預期到學生會如何思考、教學主題在課室中會如何發展等。
由此可知，教學現場的不確定性因素有許多，PCK 能處理的是較一般性的問 題，而這些不確定性的因子可能來自於：(1) 不太可能「真正」知道學生知道 什麼；(2) 教學知識本身可能不太完整；(3) 與數學脈絡有密切關係的數學知識 所具有的內在不確定性。所以，研究焦點並不應只是放在教師需要知道什麼，
特別是「在教學情境中教師知道些什麼」更是不能忽視。
因此，Ball, Thames 與 Phelps (2008) 針對數學這門學科，建構出 MKT 的架 構，該架構源自於 MTLT (Mathematics Teaching and Learning to Teach)和 LMT (Learning Mathematics for Teaching)兩項計畫。MTLT 這項計畫主要是透過教學 實作去分析教學中的數學需求，並發展出關於教學用的數學知識本質的測試性 假設；LMT 這項計畫則是在發展檢測數學教學用內容知識的工具。
Ball 等人將 MKT 的架構分成兩個半橢圓形，左半邊為學科知識 (subject matter knowkedge; SMK) ， 右 半 邊 為 教 學 內 容 知 識 (pedagogical content knowkedge; PCK)，並將其共分為六個知識領域部分，如圖 2-2-1 所示。
圖 2-2-1 Domains of Mathematical Knowledge for Teaching (modified from Ball, Thames, & Phelps, 2008)
以下說明在 MKT 的架構中，各領域知識的涵義：
(2) 特殊內容知識 (specialized content knowledge; SCK)
數學知識和技巧是教學上所特有的。例如：教師能確切回應學生提出 的問題；判斷學生非標準的方式能否一般化；將表徵連結到其他概念 或其他表徵；評估或調整教科書的數學內容；有效使用數學表徵，使 學生容易理解數學概念；問具有發展性的問題等。
Specialized content knowledge
(SCK)
Knowledge of content
and curriculum
(KCC)
Common content knowledge
(CCK)
Horizon content knowledge
(HCK)
Knowledge of content and students
(KCS)
Knowledge of content and teaching
(KCT)
Subject matter knowledge Pedagogical content knowkedge
(3) 內容和學生的知識 (knowledge of content and student; KCS)
該領域結合知道關於學生和知道關於數學的知識，意即該知識結合了 瞭解學生與數學知識。例如：教師知道學生如何思考，在學習的過程 中會在哪裡感到困惑；當給例題時，能預期哪些學生會有解題動機、
可能會如何來作答，以及覺得容易或困難；能夠傾聽並解釋學生使用 的語言所展現的思考方式；知道學生的先備知識與迷思概念等。這是 需要教師對數學知識有深入的了解，以及對學生程度與能力的熟悉，
才有辦法結合學生的思考方式與之互動。
(4) 內容和教學的知識 (knowledge of content and teaching; KCT)
該領域結合知道關於教學和知道關於數學的知識，意即該知識結合了 教學與數學上的知識。例如：教師在教學中選擇的啟蒙例；評量不同 的表徵在教授同一個概念的優缺點；在教學節奏上的掌握，知道何時 需要做停頓、做概念上的釐清，何時需要提出具思考性的問題，以幫 助學生做更深入的學習等。這樣的知識是需要教師對數學知識有深入 的了解，以及對教學策略會如何影響學生的學習有所熟悉，才有辦法 結合得完美。
(5) 內容知識的水平 (horizon content knowledge; HCK)
這是一種將教學放置於較大的數學視野的一種觀察，意思是說教師要 做個有經驗且具有鑑賞力的旅行家，而非僅只是個普通的導遊。這是 一種以較高觀點的數學知識來看待教師的教學工作，如此一來這些較 高等的數學知識基礎便能賦予教師的教學有更廣、更特殊的景象。
(6) 內容和課程的知識 (knowledge of content and curriculum; KCC)
指的是教師對教材與教學計畫的掌握，該領域如同 Shulman 的課程知 識。
四、Park 與 Oliver 以 PCK 所做的延伸的研究
圖 2-2-2 Pentagon model of PCK for teaching science (modified from Park & Oliver, 2008)
Orientation to Teaching Science (OTS)
PCK Knowledge of
Students’
Understanding in Science
(KSU)
Knowledge of Instructional Strategies for Teaching science
(KISR)
Knowledge of Science Curriculum (KSC)
Knowledge of Assessment of Science Learning (KAs) Influences
Influences Influences
Influences
五、研究者的觀點
「教學」一詞本身就隱含著兩個意義－－教師教導知識謂之「教」，學生學 習知識謂之「學」，本是一個雙向互動的活動，缺一不可。
我的指導教授曾經在課堂上分享過一個笑話，「他說他很佩服全世界的數學 老師，因為他們都把學生教得很怕數學。」這不禁讓我開始反思，數學真的這 麼的可怕嗎？回憶起過去學習的經驗，我好像也曾一度有這樣的感覺。而身為 數學教師的我們該如何教，學生才容易學？
我認為在課堂上，學生如果聽的懂，那麼數學就變得不這麼可怕。而怎麼 教才容易學，便是我們教師應該去探討的問題。在閱讀許多學者的研究與觀點 後，我認為教師必須了解學生的思維模式，以及其原有的知識背景，如此一來 才能做出相對應的教學回應，學生才更有可能接收到教師欲傳授的數學概念，
這便是本研究最初步的發想。而這樣的想法恰好與 Shulman 提出的 PCK，Ball 等學者所提出的 MKT 中的一部份概念是相符合。
而在進入課堂觀察後，以及同時不斷的閱讀相關文獻，研究者也發現教師 能藉由教學的過程去理解學生的學習困難，並適時調整課程節奏去應對學生所 拋出的疑惑，也能從教學評量中去取得學生更多學習上的資訊。故研究者進而 想探討學生在學習該小節後的學習成就表現，並即時了解其學習狀況與授課教
而在進入課堂觀察後，以及同時不斷的閱讀相關文獻，研究者也發現教師 能藉由教學的過程去理解學生的學習困難，並適時調整課程節奏去應對學生所 拋出的疑惑，也能從教學評量中去取得學生更多學習上的資訊。故研究者進而 想探討學生在學習該小節後的學習成就表現，並即時了解其學習狀況與授課教