數學新手與資深教師對學生學習困難的預測與教學策略之比對與分析:以一元一次方程式為例

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班 碩士論文. 指導教授:譚克平 博士. 數學新手與資深教師對學生學習困難的 預測與教學策略之比對與分析: 以一元一次方程式為例 A comparison between a novice and an expert mathematics teachers on their prediction of students’ learning diffculties and their subsequent teaching strategies-Using first degree equation in one variable as an example. 研究生:林耿任. 中華民國 105 年 8 月.

(2) 中文摘要 本研究為質性研究,針對新北市某偏鄉國中的新手與資深教師,七年級上 學期「第三單元、一元一次方程式」的課程教學中,進行長期的課堂觀察記 錄。欲探討新手與資深教師在針對學生學習困難上的預測,以及教學策略使用 上的差異為何;同時,也進行該校學生學習困難的蒐集與整理。 兩位受測教師在知曉研究目的之狀況下進行教學,本研究的流程會先讓教 師進行課前預測,再進行課堂的觀察與記錄,課程結束後的一兩天內再進行學 生學習狀況測驗,並彙整告知受測教師,並繼續再後續課程觀察教師的因應教 學策略會作何改變。 研究針對兩位教師在課前的預測進行統整與比對,並與後續學生學習困難 整理對照,試圖描繪教師們容易忽略的細節;以及利用觀課筆記與教學影帶編 碼分析,比較兩位教師在教學策略使用上的差異。 本研究的新手與資深教師在學生學習困難的預測上,僅有些微的差異,在 與學生實際課後反應的學習困難對照,發現兩位受試教師皆有小部分的誤差, 但也各有預測準確的部分。在教學策略上,新手教師使用的方式較為開放,多 數的課堂時間皆以問答互動的方式進行,並時常利用一般化的例子或類比的方 式進行引導,再類推至代數符號上;資深教師則以課本課程脈絡作為教學的主 軸,並不時的針對其預測的學生學習困難處進行舉例、澄清,在課程進入中後 段則採用大量的學生練習與上台演示來進行教學,如此一來可藉由學生於黑板 上的反應,再針對其問題進行講解。而學生的學習困難部分,許多誠如多數文 獻所提及;與兩位教師的預測進行比對後,建議教師須針對代數相關的重要專 有名詞說明清楚,以及容易混淆的相關概念進行澄清,例如:化簡、列式、式 子與方程式等,以及強化學生對等號意義上的認知。 關鍵字:新手教師、資深教師、一元一次方程式、學生學習困難預測、 教學策略. i.

(3) A comparison between a novice and an expert mathematics teachers on their prediction of students’ learning diffculties and their subsequent teaching strategies -Using first degree equation in one variable as an example Geng-Ren Lin. Abstract This research focuse on teachers’ prediction and subsequent teaching strategies- using first degree equation in one variable as an example. The researcher spend about 4 months to follow a novice and an expert mathematics teacher, who predict their students’ learning diffculties before they start teaching to record their subsequent teaching stratieies by field notes or vedio records. We want to know the difference of predictions and subsequent teaching strategies between a novice and an expert mathematics teacher. And we also want to know what are the learning diffculties that students have at the end of the teaching session. After that the data about the problems students have are collected immediately to let the teacher know, and the changes of their subsequent teaching strategies are also recorded at their surplus classes This research indicates that a slight difference in prediction between novice and expert teacher. Comparing with students’ real learning diffculties, the prediction show the relative accuracy with some errors. Nevertheless, the diffience of subsequent teaching strategies are more worthy of our attention. The novice teacher tends to use the stratigy of questioning students at class, such as giving students general examples or using analogy for the mathematics conception to guide her students thinking and learning. The expert teacher’s subsequent teaching strategies are on the basis of the textbook, but he usually give the example or clarify some concepts at the point where he predicts the students may have learning diffcultes. Sometimes, he will give. ii.

(4) students times to practice some exercises by themselves, and ask some students to write down their calculation process on the board. As a result, he can explain for the problem. In addition, there is a difference between the teachers’ predictions and students’ real learning difficulties. Therefore, based on this discrepancies, it is advisable that teachers plainly explain and simplify mathematics concepts and terms, such as “Simplification”. Confusing concepts, such as formula and equation, should be illustrated clearly. Furthermore, the notion of equal mark should be strengthened, which may benefit students when learning algebra. Keywords: Novice teacher, Expert teacher, First degree equation in one variable, The prediction of students’ learning diffculties, Teaching strategies.. iii.

(5) 目錄 第壹章. 緒論 ......................................................................................1. 第一節 第二節 第三節. 研究背景與動機 ..............................................................................1 研究目的與問題 ..............................................................................4 名詞解釋 ..........................................................................................5. 第四節. 研究限制 ..........................................................................................7. 第貳章. 文獻探討 ..............................................................................9. 第一節 第二節 第三節. 質性研究與紮根理論 ......................................................................9 數學教師的教學相關知識與策略 ................................................16 新手教師與專家教師的差異 ........................................................25. 第四節. 一元一次方程式的學習困難 ........................................................29. 第參章. 研究方法 ............................................................................37. 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節 第六節. 第肆章. 資料分析 ............................................................................79. 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節. 第伍章. 研究設計 ........................................................................................37 研究準備期 ....................................................................................43 資料處理 ........................................................................................50 研究環境與對象 ............................................................................60 編碼 ................................................................................................63 研究流程 ........................................................................................76. 新手與資深教師對學生學習困難的預測 ................................... 79 新手與資深教師針對其預測採取的教學策略 ............................95 學生在學習一元一次方程式所遇到的學習困難 ......................121 新手與資深教師教學策略的調整 ..............................................144 研究結果總結 ..............................................................................152. 討論與建議 ......................................................................161. 第一節 第二節. 研究相關問題探討 ......................................................................161 研究相關建議 ..............................................................................164. iv.

(6) 參考文獻 ..............................................................................................169 一、英文文獻 ..............................................................................................169 二、中文文獻 ..............................................................................................172. 附件一 附件二 附件三. 學生背景問卷 ..............................................................................175 教師預測表範本 ..........................................................................177 研究者部分觀課筆記 ..................................................................179. 附件四 附件五. 學生學習狀況測驗範本 ..............................................................183 編碼表 ..........................................................................................191. v.

(7) 表目錄 表 2-3-1. 數學教師教學內容知識的研究整理 ......................................................26. 表 2-4-1. 林碧珍、林曉菁(2013)。國小列式子之教學討論。 列式教學問題佈題設計例子。 ............................................................. 31. 表 3-2-1. 各小節學生學習狀況測驗工具說明 ......................................................48. 表 3-3-1. 新手教師班級之錄影建檔 ......................................................................53. 表 3-3-2. 資深教師班級之錄影建檔 ......................................................................55. 表 3-6-1. 研究作業內容時間表 ..............................................................................76. 表 4-1-1. 新手教師預測學生在 3-1 的學習困難與造成之原因總表 ...................81. 表 4-1-2. 新手教師預測學生在 3-2 的學習困難與造成之原因總表 ...................84. 表 4-1-3. 新手教師預測學生在 3-3 的學習困難與造成之原因總表 ...................85. 表 4-1-4. 資深教師預測學生在 3-1 的學習困難與造成之原因總表 ...................87. 表 4-1-5. 資深教師預測學生在 3-2 的學習困難與造成之原因總表 ...................89. 表 4-1-6. 資深教師預測學生在 3-3 的學習困難與造成之原因總表 ...................90. 表 4-1-7. 新手與資深教師在各小節預測相似的編號與內容統整表 ..................91. 表 4-3-1. 新手教師班級學生在簡記類型題目的錯誤類型 ................................122. 表 4-3-2. 新手教師班級學生在「判斷 5x 與下列哪些式子等價」的作答情形 ..................................................................................................................123. 表 4-3-3. 新手教師班級學生在以符號列式類型題目的錯誤類型 ....................124. 表 4-3-4. 新手教師班級學生在化簡的錯誤類型 ................................................125. 表 4-3-5. 新手教師班級學生對一元一次方程式的理解 ....................................127. 表 4-3-6. 新手教師班級學生在解一元一次方程式的錯誤類型 ........................129. 表 4-3-7. 新手教師班級學生在解應用問題時的作答狀況 ................................131. 表 4-3-8. 資深教師班級學生在簡記類型題目的錯誤類型 ................................133. vi.

(8) 表 4-3-9. 資深教師班級學生在「判斷 5x 與下列哪些式子等價」的作答情形 ..................................................................................................................134. 表 4-3-10. 資深教師班級學生在以符號列式類型題目的錯誤類型 ..................136. 表 4-3-11. 資深教師班級學生在化簡的錯誤類型 ..............................................137. 表 4-3-12. 資深教師班級學生對一元一次方程式的理解 ..................................139. 表 4-3-13. 資深教師班級學生對等量公理的理解 ..............................................140. 表 4-3-14. 資深教師班級學生在解一元一次方程式的錯誤類型 ......................141. 表 4-3-15. 資深教師班級學生在解應用問題時的作答狀況 ..............................142. 表 4-5-1. 新手與資深教師在預測學生學習困難的差異 ....................................153. 表 4-5-2. 新手教師班級學生的學習困難整理與教師的課前預測對照表 ........157. 表 4-5-3. 資深教師班級學生的學習困難整理與教師的課前預測對照表 ........159. vii.

(9) 圖目錄 圖 2-2-1. Domains of Mathematical Knowledge for Teaching (modified from Ball, Thames, & Phelps, 2008) .........................................20. 圖 2-2-2. Pentagon model of PCK for teaching science (modified from Park & Oliver, 2008) ........................................................22. 圖 3-6-1. 研究流程與大略工作內容總圖 ..............................................................76. 圖 4-1-1. A 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 A_3-1-1 ......................................79. 圖 4-1-2. A 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 A_3-1-2 ......................................80. 圖 4-1-3. A 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 A_3-1-3 ......................................80. 圖 4-1-4. A 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 A_3-1-4 ......................................81. 圖 4-1-5. A 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 A_3-1-5 ......................................81. 圖 4-1-6. A 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 A_3-1-6 ......................................81. 圖 4-1-7. A 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 A_3-2-1 ......................................83. 圖 4-1-8. A 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 A_3-2-2 ......................................83. 圖 4-1-9. A 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 A_3-2-3 ......................................83. 圖 4-1-10. A 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 A_3-2-4 ....................................83. 圖 4-1-11. B 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 B_3-1-1 ....................................85. 圖 4-1-12. B 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 B_3-1-2 ....................................85. 圖 4-1-13. B 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 B_3-1-3 ....................................86. 圖 4-1-14. B 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 B_3-1-4 ....................................86. 圖 4-1-15. B 師預測學生 3-1 的學習困難,編號 B_3-1-5 ....................................86. 圖 4-1-16. B 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 B_3-2-1 ....................................88. 圖 4-1-17. B 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 B_3-2-2 ....................................88. 圖 4-1-18. B 師預測學生 3-2 的學習困難,編號 B_3-2-3 ....................................89. 圖 4-1-19. B 師預測學生 3-3 的學習困難,編號 B_3-3-1 ....................................90. viii.

(10) 圖 4-1-20. B 師預測學生 3-3 的學習困難,編號 B_3-3-2 ....................................90. 圖 4-2-1. A 師以直觀的水果圖示為例作教學引入(觀課筆記) ......................96. 圖 4-2-2. A 師以直觀的水果圖示說明不同類項不可合併的概念 (觀課筆記)............................................................................................96. 圖 4-2-3. A 師以學生的舊經驗□來進行代入求值的教學(觀課筆記) ..........97. 圖 4-2-4. A 師針對拆括號教學作的註記強調(觀課筆記) ..............................99. 圖 4-2-5. A 師針對分式型的化簡教學作的步驟化說明(觀課筆記) ..............99. 圖 4-2-6. A 師在第三單元開始前等量公理的相關練習(觀課筆記) ............100. 圖 4-2-7. A 師在教以符號列式時運用等量公理的技巧(觀課筆記) ............100. 圖 4-2-8. A 師針對分式型的解方程式教學作的步驟化說明(觀課筆記) ....101. 圖 4-2-9. A 師以圖示輔助說明問題,並以數字例作引導(觀課筆記) ........102. 圖 4-2-10. A 師運用關鍵字翻譯策略來教學生以符號列式(觀課筆記) ......102. 圖 4-2-11. A 師在 3-1 節第四堂課的教學策略編碼統計分析圖 .......................104. 圖 4-2-12. A 師在 3-1 節第五堂課的教學策略編碼統計分析圖 .......................104. 圖 4-2-13. A 師在 3-1 節第六堂課的教學策略編碼統計分析圖 .......................105. 圖 4-2-14. B 師以一般學生易錯的例子作澄清(觀課筆記) ...........................106. 圖 4-2-15. B 師以類比的方式說明(觀課筆記) ...............................................107. 圖 4-2-16. B 師以一般學生易錯的例子說明,並以類比的敘述來引導學生理解 (觀課筆記) ......................................................................................107. 圖 4-2-17. B 師將在作分配律操作時的註記動作(觀課筆記) .......................108. 圖 4-2-18. B 師以天秤來教學等量公理的概念(觀課筆記) ...........................109. 圖 4-2-19. B 師以等量公理解題思維來歸納形成移項法則(觀課筆記) .......109. 圖 4-2-20. B 師在教移項法則解方程式時的註記動作(觀課筆記) ...............110. 圖 4-2-21. B 師針對分式型的解方程式教學作的步驟化說明(觀課筆記) ...111. 圖 4-2-22. B 師以圖示輔助說明問題,並以數字例作引導(觀課筆記) .......112. ix.

(11) 圖 4-2-23. B 師在 3-1 節前六堂課的課堂練習與學生演示過程說明統計分析圖 .................................................................................................................113. 圖 4-2-24. 新手與資深教師在 3-1 節第一堂課,教學策略各碼別的所占比例比 較 ..........................................................................................................115. 圖 4-2-25. 新手與資深教師在教同類項合併的式子化簡時,教學策略各碼別的 所占比例比較 ......................................................................................116. 圖 4-2-26. 新手與資深教師在教拆括號解方程式時,部分教學策略碼別所占比 例比較 ..................................................................................................117. 圖 4-2-27. 新手教師在 3-1 各課堂中評量占的比例 ...........................................118. 圖 4-2-28. 新手教師在 3-2 各課堂中評量占的比例 ...........................................119. 圖 4-2-29. 資深教師在 3-1 各課堂中評量占的比例 ...........................................119. 圖 4-2-30. 資深教師在 3-2 各課堂中評量占的比例 ...........................................120. 圖 4-4-1. A 師利用天秤圖示重新說明等量公理的目標與想法(觀課筆記)..147. 圖 4-4-2 B 師發現學生在 3-1 的學習困難 .........................................................149 圖 5-1-1. 新手教師以關鍵字翻譯的技巧進行符號列式的教學(觀課筆記)..162. x.

(12) 第壹章. 第壹章. 緒論. 緒論. 本章分成四小節。第一節敘述研究背景與動機,文中說明本研究的發想與 重要性;第二節提出研究目的和研究問題;第三節解釋本研究會使用的名詞; 第四節則說明本文之研究限制;第五節說明本研究之貢獻。. 第一節. 研究背景與動機. 現今多數教師的成長過程不外乎經歷過師資培育、實習輔導,通過教師檢 定取得合格教師證書,最後再經過數次的教師甄試並取得正式教職。而每位教 師都會有新手上路的經驗,並歷經長期不斷的修正與調整,蛻變成為一位專家 教師。在此,或許有人會問:「一位新手教師 (novice teacher) 到底與專家教師 (expert teacher) 的差異在哪呢?」孫志麟(1992)整理了當代新手教師與專家 教師的比較研究,其中內容包含教師的知識庫及知識結構、心理表徵及訊息處 理過程、教學目標、教學計畫及時間分配、教學方法等面向做比較。這些不同 面向的差異,往往說明了新手教師在教材脈絡方面還不夠熟悉,對許多的教學 方法還不夠融會貫通,在班級掌控還未駕輕就熟,甚至對年輕一代孩子的思維 還不夠了解。而新手教師與專家教師之間的些微差異,往往會直接或間接地反 映在學生的學習狀況上。 因此,一位教師應該具備什麼樣的能力才謂之「專業」?這問題有許多研 究者探討過,也值得我們教師一再思考。這類的研究多半是從教師身上著手, 了解教師知道些什麼,意即教師需要具備哪些知識。明確了解該學科知識嗎? 或是了解教學理論與教學方法?Shulman (1986) 將教師應具備的知識分成三 類 : 學 科 內 容 知 識 (subject matter content knowledge) 、 教 學 內 容 知 識 (pedagogical content knowledge, PCK)、課程知識 (curricular knowledge)。而上述 的分類方式就如同現今的教師甄試一般,教師們需經過第一階段筆試(測驗內. 1.

(13) 第壹章. 緒論. 容為該學科內容知識),從中脫穎而出的數名教師再接受第二階段教學演示與面 試(著重於教師 PCK 的呈現與對課程的熟悉程度)。當同分參酌時,往往是第 二階段的分數所佔的比重較重;由此可見,在教學現場裡教師的教學內容知識 顯得相對重要。為人師者不同於書籍教材的地方就在於教學內容知識。如同書 籍一般,教師必須充分了解學科內容知識;但不同於書籍之處,教師需要了解 學生學習的特點,並運用有效的策略將學科內容用學生可以理解的方式呈現, 引導學生在這無垠的知識庫裡探究、學習。而屬於教師特有的教學內容知識, 其特徵包含教師對該教授學科內容之理解,教師是如何運用表徵來教授學科內 容,以及教師對學生學習的理解程度。 研究者認為身為一位教師,對於其教授學科的內容知識有一定程度的理解 是必然的;但能妥善運用教學理論及表徵方式於課堂,才是學生是否能有效學 習的關鍵。基於上述觀點,教師是否理解學生的先備知識、學習困難處、學習 特點等,將會影響教師在課堂中使用的教學策略。倘若沒有去了解學生的學習 困難,教師又何從針對問題來營造有效的教學環境呢? 在對教師掌握教學內容知識的研究中,值得注意的是新手教師與專家教師 的教學內容知識會有顯著差異(周健,2012)。研究者也在教學實習的期間發 現,數學資深教師與實習教師們在教學上的處理有許多的不同之處;追根究柢 之下發現,當時身為實習教師的我,對於學生學習的困難處掌握較不精準,以 致於在教學的處理上與資深教師有所差異。因此,研究者想試圖了解在數學課 堂中,新手教師與資深教師對學生學習的理解程度上之差異;並觀察其應對的 教學策略又有何差異。 根據上述之研究探討內容,研究者翻閱了國中、高中的教科書,並與一些 任教於教學現場的教師洽談,確認能配合研究之教師人選,以及研究的課程單 元。最後,研究者決定探討七年級上學期「一元一次方程式」課程。原因在於 該課程為學生在數學學習上的跨階,從算術思維要過渡到代數思維。此時,學 生將會面臨到一些學習上的困難。研究者預期在該單元有些的學習困難或許淺. 2.

(14) 第壹章. 緒論. 而易見,有些可能是需要有多年教學經驗的沙場老手才會知道;但就算是眾所 皆知的學習困難,新手教師與資深教師在教學上使用的手法也會有所差異可探 討。故選定此數學單元作為研究單元。 研究者期許本研究能提供師培生或初出茅廬的新手教師,關於七上數學課 程「一元一次方程式」教學現場上的真實的狀況描述,包含新手教師與資深教 師在教學前預測學生學習困難的差別,以及學生在學習該單元時,實際反應出 的學習困難有哪些?新手教師與專家教師在教學手法,著重的課程部分又有什 麼樣的差異?本研究希望透過有系統的分析與相關資料的整合,以便有需要之 教師能盡早了解學生在該單元較可能發生之學習困難;同時,本研究也並提供 兩位教師在針對這些學習困難所採用的不同教學策略。如此一來,也較能提升 學生的學習成效,以及教師在教學現場的續航力。. 3.

(15) 第壹章. 第二節. 緒論. 初期研究目的與問題. 緊扣上一節所敘述之研究動機,研究者認為數學教師對數學內容知識有充 分的了解固然重要,但能否有效地將數學知識重新組織,使學生能容易理解、 學習更是許多教師所關心的問題。而教師是否能察覺學生在學習時的困難處, 將會是能否達到有效教學的關鍵。. 因此,研究者針對在教一元一次方程式課程的新手教師與資深教師進行質 性研究的分析,研究目的初步分成兩個部分,如下敘述: 1.. 了解新手與資深教師對於學生在學一元一次方程式課程時,會面臨之學習 困難的預測差異。. 2.. 進入課室觀察新手與資深教師在課堂上處理其預測之學習困難處,所使用 教學策略上的差異。 根據第一個研究目的,以下分成三個欲探討的問題:. 1.1 新手教師認為學生在學一元一次方程式單元會面臨的學習困難有哪些? 1.2 資深教師認為學生在學一元一次方程式單元會面臨的學習困難有哪些? 1.3 新手教師與資深教師所認為學生在學習一元一次方程式單元會面臨的學習 困難之差異為何? 根據第二個研究目的,以下分成三個欲探討的問題: 2.1 新手教師以什麼樣的教學策略處理其認為學生會面臨之學習困難? 2.2 資深教師以什麼樣的教學策略處理其認為學生會面臨之學習困難? 2.3 在新手教師與資深教師都有預測之學生學習困難的條件下,兩位教師在處 理這些他們一致認為之學生學習困難的教學策略差異為何?. [註]:延伸問題詳見第參章第二節 p. 46。. 4.

(16) 第壹章. 第三節. 緒論. 名詞解釋. 本研究之題目為「數學新手與資深教師對學生學習困難的預測與教學策略 之比對與分析:以一元一次方程式為例」,為使讀者能更清楚了解本研究之內 容,故於本節將相關的重要名詞作些澄清與說明。. 一、新手教師 一般而言,新手教師指的是剛進入職場教學,尚未具有豐富教學經驗的教 師。本研究的新手教師為一應屆數學系畢業,於 104 學年度第一年任教於新北 市某國中,並兼任導師一職。. 二、資深教師 數學專家教師即是俗稱的數學名師,他們具備有專業的數學知識,在教學 方面有良好的技巧,並能有效進行教學,並結合有效率的班級經營,提升學生 學習品質;同時,自己也能在不斷的進修與思考中成長(張景媛,1996)。 而在陳義汶(2008)的影響國中數學專家教師教學發展之個案研究中,對 專家教師的取樣方式為立意抽樣,其中一個條件為任職國中數學教師 5 年資歷 以上。而研究者認為雖然文獻中專家教師有其說法及定義方式,但在每個人心 中的界定都不盡相同,故不以專家教師中定義帶有主觀判斷的因素來界定教 師,而改以確切數據年資來定義。 因此,本研究以資深教師一詞來定義研究樣本,所界定的資深教師為教學 經歷達五年以上。本研究的資深教師有八年的教學經歷,並於該研究場域任教 五年以上,並兼任導師一職。. 5.

(17) 第壹章. 緒論. 三、學習困難 本研究所界定的學習困難,除了學生在學習數學概念上的錯誤理解或表 現,亦或是學習遷移所帶來概念上的混淆等以外,還包含了利用研究者所設計 的各單元小節概念測驗卷來檢視學生的學習情況,並以訪問為輔來描述學生在 學習各種數學概念或方法上所遇到的學習困難。. 四、教學策略 在教法上,一般將教學策略與教學法視為同義詞,傳統的分類簡單將教學 法分成教師中心與學生中心兩類。而教學策略一詞是出現於 1970 年代後期,以 學生為中心的教學設計原理之中,指的是為了協助學習者能達成每個教學目標 所設計的教學計畫。 本研究指教師在分析過教材、學習者特性後,所選擇的教學方式。例如: 針對某些單一的數學概念提供例子、練習等;對於某些複雜的教學內容,提供 前導組織引導、程序化等;亦或是針對學生個別問題給予解答、進行桌邊指導 等方式,皆屬於教師教學策略的一環。 (改寫自國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網-教學策略). 6.

(18) 第壹章. 第四節. 緒論. 研究限制. 本研究場域為新北市某一所國中,該校學生 103 學年度的數學會考成績多 落於待加強等級。因此,針對學習困難的研究結果,並非與所有學校的學生狀 況都相近,故部分的研究結果可能只能推廣至學生組成程度相近的學校。 在教師教學編碼上的運用,由於本研究為質性研究中個案研究的範疇,編 碼表的形成是根據紮根理論,直接觀察兩位受試個案教師的教學後所編制設計 而成。為回答本研究之研究問題,編碼表的設計相較於一般研究的編碼表會稍 微複雜一些,故本研究的編碼表並不一定適用於所有教師的教學影帶分析上。 然而本研究編制的編碼表還是有一定程度的功能,可以由編碼過程看到教師教 學上的風格,建議有興趣使用的研究人員可以斟酌增減碼別。. 7.

(19) 第壹章. 8. 緒論.

(20) 第貳章. 第貳章. 文獻探討. 文獻探討. 本章共分為四節。第一節探討質性研究,並選擇其中的紮根理論作為本研 究之研究方法;第二節探討數學教師在教學上應有的教學知識;第三節整理過 去新手教師與專家教師在各方面的差異;第四節探討數學學習的困難與迷思概 念,並分析一元一次方程式課程之學習困難與迷思概念。. 第一節. 質性研究與紮根理論. 本節分為三個部分做敘述。第一部分探討、了解質性研究的重要與意義; 第二部分了解質性研究的方法;第三部分深入了解紮根理論。. 一、質性研究 在社會科學研究方法中,研究法可歸類為兩大範疇,其一為量化研究,另 一者則為質性研究。兩者的研究方式極為不同,質性研究可說是對量化研究的 一種反動。 質性研究認為社會個體之行為,皆有其意義的自主性;不同的個體行為, 背後所代表的知識與涵義皆有所差異。因此,在對社會個體的行為做瞭解、描 述或解釋時,應經由個體的內部觀點進行觀察,並給予個體解釋其立場的機 會。而這些行為的發生,不應單只看其行為所帶來之結果,必須視個體當時所 處情境,本身的特徵條件等因素進行探索,不應忽略該行為的背景因素所帶來 的影響。所以在對社會個體的研究探索時,我們應廣泛的進行觀察,並尋求客 觀性的解釋。 因此,質性研究法是針對社會個體的行為進行探索,理應以研究個體的立 場全盤的感受、理解個體在當時的情境與立場所做出之行為,並尋求整合出個 體內部一致性的理論,對社會行為本質去做更深入的詮釋。. 9.

(21) 第貳章. 文獻探討. 不同於量化研究,質性研究並非一味的依循數據來解釋;反之,其重視的 是社會事實的詮釋。也因此蘊含著許許多多的研究策略,以下介紹當研究出現 下列敘述的特質時,才可被視為是質性研究: (1) 在研究過程所蒐集的資料屬於人、地或面談等資料,而且這些資料能豐富 描述與研究探討之問題。 (2) 研究問題並非根據操作定義的變項發展而來,相反的則是在複雜的研究情 境中,逐漸形成問題、理論架構。 (3) 研究的問題或焦點並非在研究的一開始就預先設定好的,並等待研究結果 來驗證;反之,研究的問題或焦點是在資料蒐集的過程中逐漸清楚明瞭。 (4) 在對任何研究現象或行為的理解上,研究者必須深入地了解被研究者的內 在觀點,行為背後的涵義相較於外顯之行為可能更為重要。 (5) 資料的蒐集過程會與被研究者做長時間的接觸與互動,並從這些互動經驗 中做多元性的資料蒐集。 從上述之方法與研究策略的層次來界定質性研究,我們可以知道質性研究 所重視的是在自然的情境之下,透過個案的研究、深入訪談、實地觀察、與被 研究者之互動等資料,如此多元且豐富完整的資料蒐集過程,進而深入探討、 了解,並詮釋研究對象行為之涵義。因此,質性研究必須是在自然的情境中, 透過多種的資料蒐集方式,來對研究者與探討的現象或行為做較深入的理解。. 二、質性研究的方法 質性研究重視對研究個體之個別性的觀察與探索,並歸納、統整、分析, 做多元化的詮釋。因此,研究方法與資料蒐集的方式也很多種。方法如下列舉 說明: (一)個案研究法 (Case study) 個案研究緣起於人類學和社會學 (Yin, 2003),是一種實證方法,其運用多 元的方法(觀察、訪談、書面文件等)取得證據,在真實情境中探究現象。 Merriam (1998) 指出個案研究具有特定性、描述性、啟發性三大特徵,指研究 具有特定目標、範圍之現象,且報告會對欲探討的現象作豐富的文字描述,並. 10.

(22) 第貳章. 文獻探討. 讓讀者對該現象有深入的了解,從中發現它的意義,擴展讀者的經驗。根據上 述說明,本研究為個案研究的範疇。而個案研究可分為單一個案的探索 (Single Case Exploratory Inquiring),以及多重個案研究 (Multiple Case Research) 兩個種 類。本研究為多重個案研究,在整個研究過程中,研究者針對兩個或兩個以上 的個案進行研究,並同時進行與研究相關的資料蒐集工作。 (二)紮根理論法 (Grounded theory) 紮根理論是由 Glaser 與 Strauss (1967) 共同發展出的研究方法,指的是研 究者經由在實際現場蒐集資料,並從資料分析中尋找某些屬性或類別,再經由 多元的資料不斷驗證、比較、交互作用等方式,來釐清這些關係的組合,構築 較為客觀的理論基礎。 紮根理論的研究方法往往是用來針對未曾探索過的事件與現象,並就實地 的資料記錄與歸納分析,建立觀念與命題,形成理論之研究過程。本研究的過 程與設計方式會以此方法進行,詳細介紹會在本節的第三部分做闡述。 (三)訪談法 (Interviewing) 訪談法是質性研究資料的典型蒐集方法,指研究者運用口語敘述的形式, 針對研究對象或其行為做深入的了解。換而言之,這是一種人與人之間互動溝 通的方式,研究者(訪問者)可以透過訪問的過程,得到所欲探討、了解的資 訊,其中可以是知道被研究者(受訪者)的觀念、意見或看法。 訪談可根據研究的目的、性質的不同而有所差異,例如:依據交流方式的 不同,分為直接訪問與間接訪問;也可以根據每次進行訪問的人數差異,分為 個別訪談與集體訪談;但在研究中較為廣泛運用的分類方式則是依照訪問過程 的控制程度進行分類,分為結構式訪談、半結構式訪談,以及無結構式訪談 (Lincoln & Guba, 1985)。 (1) 結構訪談 (Structured interview) 結構式訪談又稱為標準化訪談或「正式訪談 (Formal Interview)」,這是一. 11.

(23) 第貳章. 文獻探討. 種在訪談過程中,訪談者有著高度控制的訪問。這種訪談類型必須按照統一的 標準和方法進行,針對訪談對象一般採用機率抽樣,提問的次序與方式,以及 記錄方式等皆有一定的規範。為了確保這種統一性,通常研究者在做訪談之前 會事先做設計,訪問時一定是有結構性的流程來進行訪問;訪問者通常會在訪 談之前進行訪談問卷的設計,並預先設想在訪問期間可能發生的誤解與問題; 而且會在正式訪談之前進行練習,再不斷進行問卷上的修正,並產出一個在訪 談時的一份訪談指南。 (2) 無結構式訪談 (Unstandardized interviews) 無結構式訪談又稱為非標準化訪談,與結構式訪談不同的地方,在於事先 不需要預訂問卷或提出問題的標準化程序,過程只給受訪者一個題目,接下來 就以該題目為主軸做自由交談,受訪者可隨意提及自己的意見或感受,無須顧 及訪問者的需要,訪問者事先僅需表列粗略的問題或簡略的要點提醒,大部分 的提問是在訪問的過程中逐漸形成。 (3) 半結構式訪談 (Semistructured interviews) 半結構式訪談又稱半標準化訪談或「引導式訪談 (Guided Interview)」,而 這類的訪談介於結構與非結構之間。研究者會在訪談進行前,根據研究目的與 問題來設計訪談大綱;訪談大綱的設計目的僅是為了讓訪問得以流暢進行,但 在訪談的過程中,研究者也不必全然依照原定之計畫順序來進行訪談,訪談者 可依據當時狀況做彈性的調整 (Bernard, 2006)。 本研究在針對教師或學生所進行的訪談會採取此一方式進行,其方法具有 幾項優點如下說明: (1) 對特定的議題進行探討時,採取較開放的態度來進行資料蒐集,往往 會有意外性的收穫。 (2) 當受訪者在接受訪談的過程中,受到較少的限制時,往往能以較開放 的態度來反思自身經驗。 (3) 當研究者的研究目的欲深入去了解個人之生活經驗,或需要將訪談的 資料進行比較時,使用此方法進行訪談較為適合。. 12.

(24) 第貳章. 文獻探討. (五)觀察法 (Observation) 透過「觀察」,研究者能在自然而不加控制的狀況下觀察個體行為,此乃是 科學研究上使用最基本、最廣泛且最早採用的方法。但觀察並不僅只是「看」, 其一詞也包含著「想」的動作;因此,在使用觀察法的時候,研究者應以嚴謹 的眼光來「看」,同時也在思考著這些行為或現象的某些可能,並將所見所聞做 客觀的記錄。 通常運用於質性研究的觀察法大多是以實地觀察為主,我們可以依據研究 者本身對研究情境的涉入程度與角色定位來區分不同的觀察方法,分別為參與 觀察法,以及非參與觀察法兩大類 (Dane, 1990);在此僅討論與本研究較為相 關之方法--參與觀察法。 參與觀察法 (Participant observation) 參與觀察是研究者為了瞭解某些特定現象,對欲觀察之現象或行為進行有 系統性的觀察,並輔以特定工具做記錄。這個研究方法起源於文化人類學的田 野調查研究 (Spradley, 1980),此方法幾乎適用於多數日常生活經驗的探討研究 上。研究者可以藉此方法,進一步描述研究的情境,有什麼樣的事件或行為發 生,有哪些人員參與或現象發生,而這些事件或行為又是在何時、何地,以及 其發生之原因等現象,並可隨時向自己提問,新增欲探討的問題 (LeCompte, Preissle, & Tesch, 1993)。 以下列點說明參與觀察法的特質: (1) 研究者主要以日常生活的情境脈絡作為研究基礎。 (2) 重視欲觀察之現象或行為背後隱含的意義,並嘗試去理解與作解釋。 (3) 研究者須以開放及彈性的態度,對觀察現象或行為來做定義與解釋。 (4) 研究者透過直接觀察的方式,對欲研究的現象與行為進行有系統的資 料蒐集。 (5) 研究者會進入研究情境,參與其中,並與研究對象保持良好的關係。. 13.

(25) 第貳章. 文獻探討. 總而言之,參與觀察法意即以研究者進入欲研究的現場實地進行相關資料 的蒐集,並輔以表格、筆記或攝影器材,將所觀察到的現象、事件或行為詳細 記錄。簡而言之,研究者必須融入研究場域,對研究對象進行密集式的觀察。 Gold 依照研究者參與的程度,以下區分成四種類型 (引自 Dane, 1990): (1) 完全參與 (complete observer) (2) 參與者如觀察者 (participant as observer) (3) 觀察者如參與者 (observer as participant) (4) 完全觀察 (complete observer) 本研究採完全觀察的方式進行,研究者以旁觀的角度與立場來觀察課室活 動,並不參與研究場域的活動(教學現場之教學活動),透過旁觀來觀察被研究 的對象(教師或學生)與發生之事件。而研究者在研究場域裡的角色界定會在 第三章第二節的內文中詳細說明。. 三、紮根理論 紮根理論的創始者為 Barney Glaser 與 Anselm Strauss,而兩位學者在對該 理論進行敘述時,都一直有在進行補充與修正。最初於 1967 年所出版的「紮根 理論的發現」一書中,定義紮根理論是強調在社會研究中經由有系統的實施與 分析而得的理論。 而 Strauss 與 Corbin 在 1990 年的著作(徐宗國譯),認為紮根理論是運用 歸納的方式,對現象或行為加以整理、分析而後所得之結果。換句話說,該理 論是經由有系統的資料蒐集與分析,並發現、發展之理論。因此,資料的蒐集 與分析,與所歸納而得的理論彼此之間息息相關。在研究中使用該理論的人, 並非先有理論,爾後去證實之;而是研究者先有個待研究的領域,然後從該領 域中萌生出概念或理論。簡而言之,紮根理論是對質化研究資料去進行比對、 分析,進而形成推論。. 14.

(26) 第貳章. 文獻探討. 關於紮根理論研究與其他質化方法不同之處,Strauss 與 Corbin 提出以下四 點差異說明: (1) 紮根理論主張研究者在詮釋角色上的責任,研究者不僅是報導或描述 被研究之主體的觀念,且須具有理論的分析性。 (2) 紮根理論強調植根於現實資料的蒐集與分析做持續互動,進而達成理 論。資料的蒐集、分析,以及理論三者處於相互影響的關係,研究的 開始並非基於某個理論,再進行驗證;反之,研究是由某個研究者有 興趣的領域作為開端,理論是從資料的蒐集與分析過程中緩慢萌生。 (3) 強調概念的豐富性。 (4) 「不斷的比較」該策略,會讓紮根理論更具效力與影響力。 根據上述特色,紮根理論是一種思考方式,研究者運用適當的分析策略, 使得質化資料能經由系統性的步驟得以進行分析,並獲得理論的建構。. 15.

(27) 第貳章. 第二節. 文獻探討. 數學教師的教學相關知識與策略. 一般來說,針對教師知識的研究很多,教師需要具備的知識也有許多不同 的範疇。本節針對教師的教學相關知識作探討,介紹不同學者對教學相關知識 的觀點,並說明研究者對數學教師的教學相關知識之立場與看法。 「教師需要具備何種知識 (What teachers need to know ?)」、「教師知道些什 麼 (What do teachers know ?)」等,這些問題都常見於教師知識研究的領域。關 於教師知識的內涵,各個不同的學者有不同的見解,以下分別介紹幾位較具代 表性學者的觀點:. 一、Elbaz 的觀點 Elbaz (1983) 提到,教師的實作與知識是會相互影響,與過去、現在、未 來息息相關,這些知識的建構主要是透過在課室中與學生互動而成,慢慢地構 築出的一套具個人特色的規則 (rules) 或原則 (principles) 。Elbaz 將教師知識 的結構劃分成實作的規則、實作的原則、印象 (images) 三個部分,前兩者包含 了教師的教學知識,印象則是教師將其所有知識組織,其中包含情感、道德, 並且考量了現存或新的知識,將其一一排序後選擇使用。 每位教師的實作知識會指向一個特殊的實作脈絡,而這些脈絡能以多種面 向來檢驗,例如:社會、個人、經驗、理論,以及情境。透過各方面的檢視, 我們便可了解教師知識所照顧到較廣的細節,並從中注意教師知識上的變化。 Elbaz 也提到,一位教師需要擁有廣泛的教學相關知識,包括學科專門知識、課 程知識、教學知識,以及教學情境知識;而且,專業及個人的經驗會造就教師 的這些知識。. 16.

(28) 第貳章. 文獻探討. 二、Shulman 的觀點 Shulman (1986) 認為,教師具備多種不同範疇的知識,如果要探討教師知 識的複雜,並傳達以內容知識為主的想法,就應該要有個理論框架來協助探 索。他藉由探討過去在測驗教師的準則,當代(1980 年代)的標準及其缺失, 以及一些文獻研究所提出建議,以內容知識該領域而言,應該包含三種分類: (1) 學科內容知識 (subject matter content knowledge) (2) 學科教學知識 (pedagogical content knowledge) (3) 課程知識 (curricular knowledge) Shulman (1897) 又依照上述之理論框架,以質性研究的方式蒐集新手教師 與專家教師在教學前的準備階段,以及教學時所使用的知識,並予以分析,最 後將教師的基礎知識分成七種類別: (1) 學科內容知識 (subject matter content knowledge) (2) 一般教學知識 (general pedagogical knowledge) (3) 課程知識 (curricular knowledge) (4) 對學習者及其特質的知識 (knowledge of learners and their characteristics) (5) 教育情境的知識 (knowledge of educational context) (6) 教學內容知識 (pedagogical content knowledge; PCK) (7) 對教育目標、目的、價值、哲學及其歷史淵源的知識 (knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds) 其實,早在 1985 年的美國教育研究協會 (American Education Research Association) 的主席致詞裡,Shulman 就已提出教學內容知識 (PCK) 的觀點。 Shulman (1986) 認為 PCK 是最具影響力的一個教師知識類別,它所指的是教師 對教授之學科,以最有效的表徵形式、最有力的類比、舉例、說明、圖解、示 範等方式,讓學生學習該學科。換句話說,教師在教授某種概念時,必須將其. 17.

(29) 第貳章. 文獻探討. 擁有的學科內容知識加以重新組合,並以適當的方式表現,使學習者能理解相 關的內容。此外,教學內容知識還包含教師理解有什麼因素會使學生在學習該 學科概念時會感到困難或容易;也應理解不同年齡、背景的學生在學習該課題 時,會持有的先備知識。由此可見,PCK 是較有可能區分出新手教師與專家教 師之間差異的知識。 在 Shulman 提出教學內容知識的概念之後,這些年來 PCK 一直是學者們研 究的重點,對於其定義,也有進一步的討論與拓展。而這些研究多數都設定於 特定的學科中進行,而 PCK 既然謂之教學內容知識,就特別適合用於特定學科 內容下的教學;因此,PCK 在多數的情況下被視為具體教授特定學科的一種知 識。例如:Sherin (2002) 認為,PCK 是學科內容教學的專門知識,內容包含教 師知識是如何呈現該學科領域之知識來促使學生學習,也必須知道學生在學習 時可能理解什麼,或是誤解什麼。他認為教師的知識,是在教學中不斷的對不 同的知識進行協商而建構,這包括學科內容、課程教材,以及關於學生學習的 理解。 以下總結教學內容知識的一些主要特徵,包含以下三個方面: (1) 教師須對其教授的學科內容有所理解。 (2) 教師對其教授學科內容表徵的掌握及運用,例如用什麼樣的方式(類 比、舉例、圖示等)來表現學科內容才是較有效、具說服力,而且讓 學生容易明白。 (3) 教師對於學習與學習者的理解,例如能否了解學生在學習某個概念前 所擁有的先備知識,或學生在學習某些概念時是否會容易感到困難或 誤解,並且知道是什麼原因而造成的。 由此可知教學內容知識的複雜性,它不單只是某種單一層面的知識,而是 各種知識之間互相牽連,缺一不可。教學本是動態的,在這過程中各種知識間 的關係是會有所互動。. 18.

(30) 第貳章. 文獻探討. 三、Ball, Thames 與 Phelps 的觀點 Ball 與 Bass (2000) 認同 Shulman 強調的 PCK,並將其研究建立於 PCK 上,並致力於數學學科的教學實作上。他們認為 PCK 是一種特殊形式的知識, 將數學知識和學習者、學習、教學綑綁在一起,該知識可以幫助教師預期學生 可能遭遇之困難,以及思考可能處理方法,協助教師避免在教學上遇到瓶頸。 但實際上,教學現場的氛圍瞬息萬變,內容和教學總是持續不斷的在互動著, 使得 PCK 無法完全預期到學生會如何思考、教學主題在課室中會如何發展等。 由此可知,教學現場的不確定性因素有許多,PCK 能處理的是較一般性的問 題,而這些不確定性的因子可能來自於:(1) 不太可能「真正」知道學生知道 什麼;(2) 教學知識本身可能不太完整;(3) 與數學脈絡有密切關係的數學知識 所具有的內在不確定性。所以,研究焦點並不應只是放在教師需要知道什麼, 特別是「在教學情境中教師知道些什麼」更是不能忽視。 因此,Ball, Thames 與 Phelps (2008) 針對數學這門學科,建構出 MKT 的架 構,該架構源自於 MTLT (Mathematics Teaching and Learning to Teach)和 LMT (Learning Mathematics for Teaching)兩項計畫。MTLT 這項計畫主要是透過教學 實作去分析教學中的數學需求,並發展出關於教學用的數學知識本質的測試性 假設;LMT 這項計畫則是在發展檢測數學教學用內容知識的工具。 Ball 等人將 MKT 的架構分成兩個半橢圓形,左半邊為學科知識 (subject matter knowkedge; SMK) , 右 半 邊 為 教 學 內 容 知 識 (pedagogical content knowkedge; PCK),並將其共分為六個知識領域部分,如圖 2-2-1 所示。. 19.

(31) 第貳章. Subject matter knowledge. Common content knowledge. 文獻探討. Pedagogical content knowkedge. Knowledge of content and students. (CCK). Specialized content knowledge. Horizon content knowledge. (SCK). (HCK). (KCS). Knowledge of content and curriculum. Knowledge of content and teaching. (KCC). (KCT). 圖 2-2-1 Domains of Mathematical Knowledge for Teaching (modified from Ball, Thames, & Phelps, 2008) 以下說明在 MKT 的架構中,各領域知識的涵義: (1) 一般內容知識 (common content knowledge; CCK) 數學知識與技巧能夠用在除了教學之外的其他領域。例如:教師清楚 知道他所教授的教材;能夠辨識出學生的錯誤答案、過程或教科書上 不正確的定義、敘述;正確使用名詞與符號。 這裡的「common」並非指大眾都有這種知識,而是指它會被廣泛使用 在其他領域上,並非教學所特有。 (2) 特殊內容知識 (specialized content knowledge; SCK) 數學知識和技巧是教學上所特有的。例如:教師能確切回應學生提出 的問題;判斷學生非標準的方式能否一般化;將表徵連結到其他概念 或其他表徵;評估或調整教科書的數學內容;有效使用數學表徵,使 學生容易理解數學概念;問具有發展性的問題等。. 20.

(32) 第貳章. 文獻探討. (3) 內容和學生的知識 (knowledge of content and student; KCS) 該領域結合知道關於學生和知道關於數學的知識,意即該知識結合了 瞭解學生與數學知識。例如:教師知道學生如何思考,在學習的過程 中會在哪裡感到困惑;當給例題時,能預期哪些學生會有解題動機、 可能會如何來作答,以及覺得容易或困難;能夠傾聽並解釋學生使用 的語言所展現的思考方式;知道學生的先備知識與迷思概念等。這是 需要教師對數學知識有深入的了解,以及對學生程度與能力的熟悉, 才有辦法結合學生的思考方式與之互動。 (4) 內容和教學的知識 (knowledge of content and teaching; KCT) 該領域結合知道關於教學和知道關於數學的知識,意即該知識結合了 教學與數學上的知識。例如:教師在教學中選擇的啟蒙例;評量不同 的表徵在教授同一個概念的優缺點;在教學節奏上的掌握,知道何時 需要做停頓、做概念上的釐清,何時需要提出具思考性的問題,以幫 助學生做更深入的學習等。這樣的知識是需要教師對數學知識有深入 的了解,以及對教學策略會如何影響學生的學習有所熟悉,才有辦法 結合得完美。 (5) 內容知識的水平 (horizon content knowledge; HCK) 這是一種將教學放置於較大的數學視野的一種觀察,意思是說教師要 做個有經驗且具有鑑賞力的旅行家,而非僅只是個普通的導遊。這是 一種以較高觀點的數學知識來看待教師的教學工作,如此一來這些較 高等的數學知識基礎便能賦予教師的教學有更廣、更特殊的景象。 (6) 內容和課程的知識 (knowledge of content and curriculum; KCC) 指的是教師對教材與教學計畫的掌握,該領域如同 Shulman 的課程知 識。. 21.

(33) 第貳章. 文獻探討. 四、Park 與 Oliver 以 PCK 所做的延伸的研究 Park 與 Oliver (2008) 的研究發現三位化學教師在學科教學上的特色: (1) 教師的 PCK 會在教學過程與反思後成長。 (2) 在合作的情感下,能增進教師的教學效能。 (3) 學生的意見或作品能增進教師的 PCK。 (4) 在計畫、教學與評量學生的過程中,學生的迷思概念是形成教師 PCK 的主要原因。 (5) 教師在執行 PCK 的差異性。 該研究發現,教師的 PCK 是在教學的過程中,以及教學後的反思成長。教 師可藉由與學生課堂中的互動、學生提出的意見或作業中,來進行自我反省、 批判思考,藉此過程以提升自己的教學。如圖 2-2-2 所示,為 Park 與 Oliver 在 2008 年的研究中所建立教師在教學的過程中,互相影響的五個向度模型;而這 個模型也有被我國數學教育的相關研究所運用(陳彥廷,2015)。. Orientation to Teaching Science (OTS) Influences. Knowledge of Students’ Understanding in Science (KSU). Knowledge of Instructional Strategies for Teaching science (KISR). PCK. Influences. Influences Knowledge of Science Curriculum (KSC). 圖 2-2-2. Influences. Knowledge of Assessment of Science Learning (KAs). Pentagon model of PCK for teaching science (modified from Park & Oliver, 2008). 22.

(34) 第貳章. 文獻探討. 五、研究者的觀點 「教學」一詞本身就隱含著兩個意義--教師教導知識謂之「教」,學生學 習知識謂之「學」,本是一個雙向互動的活動,缺一不可。 我的指導教授曾經在課堂上分享過一個笑話,「他說他很佩服全世界的數學 老師,因為他們都把學生教得很怕數學。」這不禁讓我開始反思,數學真的這 麼的可怕嗎?回憶起過去學習的經驗,我好像也曾一度有這樣的感覺。而身為 數學教師的我們該如何教,學生才容易學? 我認為在課堂上,學生如果聽的懂,那麼數學就變得不這麼可怕。而怎麼 教才容易學,便是我們教師應該去探討的問題。在閱讀許多學者的研究與觀點 後,我認為教師必須了解學生的思維模式,以及其原有的知識背景,如此一來 才能做出相對應的教學回應,學生才更有可能接收到教師欲傳授的數學概念, 這便是本研究最初步的發想。而這樣的想法恰好與 Shulman 提出的 PCK,Ball 等學者所提出的 MKT 中的一部份概念是相符合。 而在進入課堂觀察後,以及同時不斷的閱讀相關文獻,研究者也發現教師 能藉由教學的過程去理解學生的學習困難,並適時調整課程節奏去應對學生所 拋出的疑惑,也能從教學評量中去取得學生更多學習上的資訊。故研究者進而 想探討學生在學習該小節後的學習成就表現,並即時了解其學習狀況與授課教 師彙報,其後持續觀察教師的因應教學策略。 一位初任教師對學生的了解程度或許有限,所應對之教學方式便會與資深 教師有所差異。在 Shulman 的文獻探討部分也提到「PCK 是較有可能區分出新 手教師與專家教師之間差異的知識。」但本研究除了初步將新手教師與專家教 師對學生學習困難之預測來做比較,同時探討兩位教師在教學策略與方法上選 擇的差異性之外。並藉由長時間的觀察,蒐集學生各小節學習成就資料,並彙 整報告於授課教師,以 Park 與 Oliver (2008) 的模型為基礎,簡化觀察教師在了 解學生學習困難、應對教學策略、教學評量三方面之間的關聯性,並觀察兩位. 23.

(35) 第貳章. 文獻探討. 教師在教學中、後期的反思與成長。 最初的差異或許會發生,而這差異的探討能提供新手教師了解這段差異。 但一位教師的專業成長與反思,也是值得我們去了解。故研究者在第三章第二 節研究調整期,會進一步做研究問題新增之說明。. 24.

(36) 第貳章. 第三節. 文獻探討. 新手教師與專家教師的差異. 教師在教學現場裡扮演著相當重要的角色,從教學前的擬訂教學計畫與目 標,課堂時的教學手法、發問方式、班級經營,以及課後如何診斷學生的學習 困難、評量學生的學習成效等一連串的教學活動,都會直接或間接地影響學生 的學習成效。因此,與教師專業表現的相關研究也越來越受重視。每位教師都 會有新手上路的經驗,在經過長期不斷地調整與修正,蛻變成為專家教師。究 竟新手教師 (novice teacher) 與專家教師 (expert teacher) 的差異有哪些? 過去,新手教師與專家教師的比較研究,多半採取認知觀點,分析教師在 教學前、中、後各個時期的思考歷程,並在教學現場觀察教師如何傳的教學訊 息、營造教學情境,以及如何處理教室內突發的教學事件等。這類別的研究大 多數屬於質性研究,採取的方式不外乎觀察法、晤談法等。當代的研究指出, 新手教師與專家教師之間的差異並非僅在於經驗的多寡,其中包含教師的知識 結構、心理表徵及訊息處理過程、教學目標、教學計劃及課堂時間分配、教學 方法等面向(孫志麟,1992)。這些不同面向的差別,將會直接或間接地影響學 習品質。教師唯有不斷的成長與進步,才能為學生創造出良好的教育環境。 以下研究者將從過去的研究文獻,分別以知識、教學、班級經營三個不同 面向的觀點來探討新手教師與專家教師之間的差異。. 一、知識層面 教師除了其專業科目的知識以外,還有其特有的教學內容知識 (PCK)。而 新手與專家教師在知識庫的深度或廣度,將會影響其教學、決策等。在面對複 雜又多變的教學環境,當下應該做何判斷與反應,並使設定之教學目標與計畫 能順利進行,是令教師們頭痛的問題。Carter (1988) 認為,一位專家教師必須 能有條不紊地解決問題,並能掌握班級氛圍、營造良好的學習環境。針對問題 解決能力來做比較,研究發現專家教師有較豐富的知識與良好策略來解決所面. 25.

(37) 第貳章. 文獻探討. 臨的教學事件或問題,同時可能也相對於新手教師擁有較豐富的經驗 (Berliner, 1986 ; Swanson et al., 1990)。 針對教師的教學內容知識進行探討比較這類的研究文獻與本研究的相關性 較高,以下列表 2-3-1 呈現,並簡述其研究發現。 表 2-3-1 數學教師教學內容知識的研究整理. 1.. 研究者(年份). 研究主題. 樣本/研究方法. 研究發現. 李琼 (2004). 教學內容 知識、學 科知識及 其與課堂 教學的關 係。. 30 名小學 6 年級 的數學教師(包 含專家教師和非 專家教師)。. 1. 專家教師能夠意識到數學本 質並與實際教學做連結。. 問卷、訪談、課 堂觀察與錄像。. 2. 專家教師傾向於將「做」數 學視為解釋與論證思維的過 程;反之,非專家教師則視 為選擇適當的法則或既定的 步驟,以獲得答案的過程。 PCK 和 CK 的關係 1. 這兩種知識存在顯著的關聯 性。其中,學科知識中的知 識組織與教學內容知識關係 最大;而教學內容知識中對 學生思維的了解與學科知識 的關係最大。 2. 兩種知識之間的關係是雙向 的。. 2.. An, Kulm, & Wu (2004). 教學內容 知識。. 28 名美國 5-8 年 級教師和 33 名 中國 5-6 年級教 師,在一定文化 脈絡下的教學內 容知識比較。 問卷、訪談、課 堂觀察。. 26. 在不同的文化背景,教師的教 學內容知識也會不同。中國教 師較強調傳統的教學、機械式 的練習,致力於發展學生的概 念性知識;美國教師較注重於 促進學生創造及探究的能力, 課堂活動多樣化,但在幫助學 生的思維和操作、理解和過程 的發展之間欠缺聯繫。.

(38) 第貳章. 文獻探討. 表 2-3-1 數學教師教學內容知識的研究整理(續). 3.. 研究者(年份). 研究主題. 樣本/研究方法. Krauss etal. (2008). 教學內容 知識和學 科知識。. 198 位中學教 師。 測驗。. 研究發現 教學內容知識和學科知識之間 的相關程度很高,意即學科知 識豐富的教師,其教學內容知 識也很豐富。 此外,雖然研究顯顯示教學內 容知識與學科知識是兩種截然 不同的概念,但數學專科教師 的學科知識與教學內容知識是 很難區分的,而對於非專家教 師而言,這兩樣知識卻相對獨 立。. 資料來源:周健(2012)。教學內容知識的定義和內涵。香港教師中心學報,11, 145-163。 綜合上述研究,教師的教學內容知識有四個方面的性質: (1) 新手教師和資深教師的教學內容知識有明顯差異,新手教師在這方面 的知識會受實踐經驗所限制,無論在教學內容、策略,以及對學生的 理解等方面仍有待加強。 (2) 教學內容知識是一種綜合性的知識,是教師整合了各種知識後,展現 於教學中的知識。Shulman (1987)認為該項知識是體現教師專業所獨有 的一種知識;而該知識也將學科內容、課程、教學策略,以及關於學 生的知識緊密連結在一起。 (3) 教學內容知識與學科知識關係密切,學科知識會為教師的教學內容知 識發展打下重要的基礎根基。這兩種知識在概念上雖然截然不同,但 也很難明確劃分,尤其是在兩種知識都很豐富的教師身上更是明顯。 (4) 教師的教學內容知識主要體現於理解和表徵兩方面,具備豐富的教學 內容知識的教師,這兩方面的特點皆具備。「理解」乃包含對學科、課 程、學生、情境和自身的深入了解與掌握;「表徵」則是指教師為因應 教學上的需要,所運用的各種教學策略或方法。. 27.

(39) 第貳章. 文獻探討. 二、教學層面 「教學」是許多與教師相關之研究會去探討的問題。孫志麟(1992)整理 歸納了專家教師的主要特徵,在教學上專家教師較能根據學生的需求、課堂情 境、教學時間的限制等因素,來擬訂完善的教學計畫;同時,也較能夠靈活運 用不同的教學方法來達到其預定的教學目標。課堂中也較能洞察學生的個別需 求與反應,並能善用較多且較佳的發問技巧來引導學生學習,從中給予學生適 當地回饋與支持。並且在學生學習期間進行認知分析,以了解學生學習成敗的 原因。 新手教師較注意其工作目標,視其工作表現為較主要的任務;反觀專家教 師則較注重學習目標,將學生的學習視為其成長過程,同時會顧及到學生之間 的個別差異及需求。兩者對教學目標的看法有極大的差異,以致其教學行為也 會有所差別。前者多採取「教師中心」,後者則會妥善運用其教學方法,較具有 彈性的教學觀念(Bents, 1989)。 Westerman (1991) 針對專家與新手教師在教學前、中、後三期的思想與決 策的比較研究指出,專家教師較能從學習者的觀點來思考問題,並在教學過中 視學生的需求做課程的調整。反之,新手教師會用明確的課程目標來建構課程 教案,課堂中也較不會依照學生當時的需求而做出調整。. 三、班級經營層面 身為教師的我們最主要的工作即是教學,而教師在教學現場並非是一對一 的個別化教學,其教學的基本單位是一個班級。「如何經營好一個班級」便成為 每位教師的使命(張民杰,2015)。Veenman (1984) 指出班級紀律備受初出茅 廬的新手教師們所關注,如何管教便成為困擾著教師們的問題。而 Berliner (1987) 的研究則發現,專家教師能妥善處理班級常規的問題,讓學生能較明確 地了解在課堂時應有的言行舉止,並確實遵守。因此,專家教師的課堂相較於 新手教師順暢,其教學活動也較不會因為要處理學生課堂行為而受到中斷。. 28.

(40) 第貳章. 第四節. 文獻探討. 一元一次方程式的學習困難. 數學課對於許多的臺灣孩子來說如同夢靨一般,原因其實顯而易見,因為 聽不懂、學不會。對於國中與高中的孩子們,在學習數學課程的過程會歷經四 次嚴峻的挑戰,從算數過渡到代數(七年級)、從代數過渡到幾何(八年級)、 從常量數學過渡到變量數學(九年級、高一),以及從有限過渡到無限(高 三)。在這四次過渡性的學習,只要有任何一次的不適應,都可能使孩子們喪失 學習數學的信心,而對數學產生畏懼(段翠卿,2007)。其中,數學課程由具體 轉變為抽象是造成學習困難的主要原因之一。而在學習數學的過程中,首當其 衝的挑戰是出現在七年級,如何讓孩子們跨越從算術思維過度到代數思維所面 臨的困難,便是教師們應面對的難題。洪友情(2003)也提及,從算術思維跨 至代數思維,學生必須學好算術運算的能力,也得從算術的舊經驗中調適過 來,才能順利轉至代數上的學習。因此,本節欲探討七年級學生在學「第三單 元、一元一次方程式」時會遭遇到那些學習上的困難。 翰林版教科書將第三單元分成三小節來談,分別是 3-1 式子的運算、3-2 解 一元一次方程式、3-3 應用問題。各個小節都有其學習目標,學生也會在各個小 節碰到不同的學習困難。本節分別依照研究場域所使用的教科書版本之課程編 排,探討學生在學一元一次方程式課程時,在不同階段會面臨到的學習困難。. 一、3-1 式子的運算 在進入國中階段前,學生在小學五、六年級時的數學課程就已經接觸過與 未知數相關之概念。例如:翰林版國民小學數學課本第十冊,「第八單元、用符 號代表數」中就以“ A ”、“ B ”...等英文字母代表數量、長度、重量、距離等,並 學習簡單的列式與運算;並於翰林版國民小學數學課本第十二冊,「第五單元、 怎樣解題」則利用天平平衡的狀態來引入等量公理的概念(國中課程 3-2 解一 元一次方程式裡其中一個數學方法)。進入國中階段,七年級學生從一元一次方. 29.

(41) 第貳章. 文獻探討. 程式單元又再一次的接觸到代數。在「3-1 式子的運算」小節裡,學生須開始學 習如何將算術思維轉化為代數思維。 從學習如何將符號簡記到如何以符號來代表數,進而能理解以符號表徵的 式子與符號所代表的值之間的關係,並能將帶有符號的式子化簡。在代數思維 裡,符號的表徵有一定的形式和規範。就像在算術思維裡,「 2  3 」的運算符 號「  」是不可省略;但在代數思維裡,「 2  m 」的運算符號「  」是可省略, 並簡記為「 2m 」。但在學生的學習經驗裡,英文字母可能代表的是某種物品或 某個字彙的縮寫。因此,他們可能認為 2m 所代表的意思為 2 公尺;但在代數思 維裡, 2m 代表的是「 2  m 」,它可以是許多不同的數值 (Booth, 1988)。也因為 符號的使用在算術與代數領域中意義上有所差異,學生在學習代數語言時,往 往會有所困擾。 Kieran (1992) 的研究曾指出,算術與代數共用許多的符號與物件,例如:  、  、  、  、  ,但有些符號在算術與代數之間的意義並不相同,以致於學. 生在學習上容易產生混淆。以等號「  」為例,學生容易將「  」視為運算後 的結果,卻忽略了在代數思維裡「  」所表示的是一種等價關係。也因為學生 常將「  」視為一種運算後的結果,對學生在學習代數概念時容易造成一些混 淆與迷思,例如:在做代數的化簡部分,學生容易將 2a+5 寫成 7a (Behr, Erlwanger, & Nichols, 1976; Iiany, & Shmueli, 1998)。因此,有許多學者非常強調 等號的等價概念 (Filloy, & Rojano, 1984; Kieran, 1989)。 在以符號列式的部分,用符號表示未知數、列式等,這些都是從算術思維 過度到代數思維需要與學生溝通清楚的重要概念與用語。然而,在許多教學現 場卻常發現,學生在以符號列式時產生困境。林碧珍、林曉菁(2013)的研究 中,曾提及國小學童在進行關於以符號列式的練習活動,如下表 3-4-1 所示。 學童在前三題經常以 150、250、350,以計算的結果來表示答案,而非以列式 的形式來表示之,也因此導致對後續兩題的問題產生困惑。而這樣的佈題敘述 用語適當嗎?亦或是因維學生的舊經驗不足而導致?陳姿靜、梁文鎮、林碧珍. 30.

(42) 第貳章. 文獻探討. (2011)的研究建議,認為此處的佈題用語可將「總重量是( )公克」改成「請 用式子表示總重量」。此外,學生能否由前三題的引導,進而理解後兩題所傳達 列式的意義,這又是另一個教師應解決的問題。學生在學習以符號列式的時 候,往往會遭遇到諸多困難,但這過程卻是往後在代數學習上的重要根基。 表 3-4-1 林碧珍、林曉菁(2013)。國小列式子之教學討論。 列式教學問題佈題設計例子。 佈題:一個水果籃重 50 克, (1) 裝入 100 公克的草莓後,總重量是(. )公克。. (2) 裝入 200 公克的葡萄後,總重量是(. )公克。. (3) 裝入 300 公克的蓮霧後,總重量是(. )公克。. (2) 裝入□公克的香蕉後,總重量可以怎麼表示? (2) 裝入 y 公克的蘋果後,總重量可以怎麼表示? 資料來源:林碧珍、林曉菁(2013)。國小列式子之教學探討。。. 戴文賓(1999)的研究也指出,七年級學生在從算術領域跨入代數領域時 會有的迷思概念有 (1) 在代入求值的問題中,學生容易將 3x 當作 3+x。(2) 在 同類項合併時,無法接受仍含有運算符號的式子,因此會有將 3a+4 寫成 7a 或 7 的狀況產生。(3) 學生容易忽略 x 所代表的含意就是 1x,因此在作答時容易將 其係數忽略不計,導致出現 3x+x=3x 的答案。(4) 在拆括號的部分,則會出現 容易忽略括號外的數字也應與第二項相乘,或是括號外是負數時分配完沒有變 號的狀況。. 二、3-2 解一元一次方程式 承接 3-1,在學生對文字符號的使用與意義有基礎的概念後,緊接著的課程 將會引領學生們做未知數的假設,並試著從簡單的生活問題中列出含有未知數. 31.

(43) 第貳章. 文獻探討. 的方程式,最後學習如何解一元一次方程式。在「3-2 解一元一次方程式」小節 裡,學生須學會如何解一元一次方程式。而「等量公理」與「移項法則」兩個 解一元一次方程式會使用到的方法,便是本小節的學習重點。 如同 3-1 的部分所提到,「等號」多了與過去不同的意義,其所代表的是一 種左右兩端等值的想法,並非只是左邊運算完後所得到的結果。邱志賢與毛國 楠(2001)的研究指出,學生在面對等式時,常會將等號右邊的式、值認為是 等號左邊運算出來的結果。乍看之下容易的概念,卻時常讓學生感到疑惑。廖 學專(2002)的研究也發現,學生其實並未真正了解等式代表的是左右兩端 「等價」的概念。也因為上述這些因素,使得學生在學習等量公理時會有所困 難。 不僅是「對『等號』所持的概念」會去影響到其學習等量公理或移項法 則。在 3-1 裡「同類項」的概念,也是學生在等量公理與移項法則時,會影響 其學習或運算的重要概念。學生在係數與文字上的分別處理,往往會造成不同 類項合併的結果(郭汾派、林光賢、林福來,1989),例如: 2a  3b  5ab 或. 3a  4  7 a 等。學生這樣的思維方式,進而會對其學習等量公理造成困難。 而在解題方法的部份則會與程序性知識的不熟練或誤用有關連性,學生最 常出現的問題是使用移項法則時產生的錯誤,例如:2x-7=5+3x 移項後變為 2x+3x=5-7;在拆括號的時候也時常會出現錯誤,例如:3(x+13)=3x+13 (張景媛,1994;謝和秀,2001)。曾映程(2007)的研究指出,學生會誤以為 有括號與沒括號對於運算上的結果並不會有影響;而這樣的觀念對分式型的解 方程式,則會造成很大的影響。 王志銘、康淑娟(2006)的研究發現,部分的國小學生在面對以分數方式 呈現的等式關係,例如:. x  4 ,學生比較難以理解;若改以除式的形式呈現 3. 時,例如:以 x  3  4 來取代. x  4 ,則學生會有較好的表現。 3. 32.

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參考文獻

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